الملحق A استخدام الرياضيات في مبادئ علم الاقتصاد

النماذج الجبرية

غالباً ما يتم التعبير عن النماذج الاقتصادية (أو أجزاء منها) في شكل دوال رياضية. ما هي الدالة؟ تصف الدالة (function) علاقة ما. أحياناً تكون العلاقة تعريفاً. على سبيل المثال (باستخدام الكلمات)، أستاذك هو Adam Smith. يمكن التعبير عن ذلك كـ Professor = Adam Smith. أو Friends = Bob + Shawn + Margaret.

غالباً في علم الاقتصاد، تصف الدوال العلاقة بين السبب والنتيجة. المتغير في الجانب الأيسر هو ما يتم شرحه ("النتيجة"). وفي الجانب الأيمن هو ما يقوم بالشرح ("الأسباب"). على سبيل المثال، لنفترض أن معدلك التراكمي (GPA) تم تحديده على النحو التالي:

تنص هذه المعادلة على أن معدلك التراكمي (GPA) يعتمد على ثلاثة أشياء: مجموع درجاتك في اختبار SAT، وحضورك الفصول الدراسية، وعدد الساعات التي تقضيها في الدراسة. كما تقول إن وقت الدراسة يمثل ضعف الأهمية (0.50) مقارنة بمجموع درجات SAT (0.25) أو حضور الفصول الدراسية (0.25). إذا كانت هذه العلاقة صحيحة، فكيف يمكنك رفع معدلك التراكمي (GPA)؟ بعدم التغيب عن الفصول والدراسة أكثر. لاحظ أنه لا يمكنك فعل أي شيء بخصوص درجة SAT الخاصة بك، لأنه إذا كنت في الكلية، فمن المفترض أنك قد أجريت اختبارات SAT بالفعل.

بالطبع، تعبر النماذج الاقتصادية عن العلاقات باستخدام المتغيرات الاقتصادية، مثل Budget = money_spent_on_econ_books + money_spent_on_music، بافتراض أن الأشياء الوحيدة التي تشتريها هي كتب علم الاقتصاد والموسيقى.

معظم العلاقات التي نستخدمها في هذا المقرر الدراسي يتم التعبير عنها كمعادلات خطية على الشكل التالي:

التعبير عن المعادلات بيانياً

الرسوم البيانية مفيدة لغرضين. الأول هو التعبير عن المعادلات بصرياً، والثاني هو عرض الإحصائيات أو البيانات. سيناقش هذا القسم التعبير عن المعادلات بصرياً.

بالنسبة لعالم الرياضيات أو الاقتصادي، المتغير (variable) هو الاسم الذي يُطلق على كمية قد تأخذ نطاقاً من القيم. في معادلة الخط المعروضة أعلاه، x و y هما المتغيران، حيث x على المحور الأفقي و y على المحور الرأسي، ويمثل b و m العوامل التي تحدد شكل الخط. لمعرفة كيفية عمل هذه المعادلة، لننظر في مثال رقمي:

في هذه المعادلة لخط معين، تم تعيين الحد b مساوياً لـ 9 وتم تعيين الحد m مساوياً لـ 3. يوضح الجدول A1 قيم x و y لهذه المعادلة المعطاة. يوضح الشكل A1 هذه المعادلة، وهذه القيم، في رسم بياني. لإنشاء الجدول، ما عليك سوى إدخال سلسلة من القيم المختلفة لـ x، ثم حساب قيمة y الناتجة. في الشكل، يتم رسم هذه النقاط ورسم خط يمر بها.

شكل A1 الميل وجبر الخطوط المستقيمة يحتوي هذا الرسم البياني الخطي على x على المحور الأفقي و y على المحور الرأسي. الجزء المقطوع من المحور y — أي النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور y — هو 9. ميل الخط هو 3؛ أي أن هناك ارتفاعاً قدره 3 على المحور الرأسي لكل زيادة قدرها 1 على المحور الأفقي. الميل هو نفسه على طول الخط المستقيم.

يوضح هذا المثال كيف تحدد الحدود b و m في معادلة الخط المستقيم شكل الخط. يُسمى الحد b الجزء المقطوع من المحور y. والسبب في هذه التسمية هو أنه إذا كانت x = 0، فإن الحد b سيكشف أين يقطع الخط المحور y. في هذا المثال، يقطع الخط المحور الرأسي عند 9. الحد m في معادلة الخط هو الميل. تذكر أن الميل (slope) يُعرّف على أنه الارتفاع على الامتداد؛ وبشكل أكثر تحديداً، ميل الخط من نقطة إلى أخرى هو التغير في المحور الرأسي مقسوماً على التغير في المحور الأفقي. في هذا المثال، في كل مرة يزداد فيها الحد x بمقدار واحد (الامتداد)، يرتفع الحد y بمقدار ثلاثة. وبالتالي، فإن ميل هذا الخط هو ثلاثة. تحديد الجزء المقطوع من المحور y والميل — أي تحديد b و m في معادلة الخط — سيحدد خطاً معيناً. على الرغم من أنه من النادر أن تترتب نقاط البيانات الواقعية كخط مستقيم دقيق، إلا أنه غالباً ما يتبين أن الخط المستقيم يمكن أن يقدم تقريباً معقولاً للبيانات الفعلية.

تفسير الميل

مفهوم الميل مفيد جداً في علم الاقتصاد، لأنه يقيس العلاقة بين متغيرين. يعني الميل الإيجابي (positive slope) أن المتغيرين مرتبطان إيجابياً؛ أي عندما تزداد x، تزداد y أيضاً، أو عندما تنخفض x، تنخفض y أيضاً. بيانياً، يعني الميل الإيجابي أنه عندما يتحرك الخط على الرسم البياني الخطي من اليسار إلى اليمين، يرتفع الخط. علاقة الطول بالوزن، الموضحة في الشكل A3 لاحقاً في هذا الملحق، لها ميل إيجابي. سنتعلم في فصول أخرى أن السعر والكمية المعروضة لهما علاقة إيجابية؛ أي أن الشركات ستعرض المزيد عندما يكون السعر أعلى.

يعني الميل السلبي (negative slope) أن المتغيرين مرتبطان سلبياً؛ أي عندما تزداد x، تنخفض y، أو عندما تنخفض x، تزداد y. بيانياً، يعني الميل السلبي أنه عندما يتحرك الخط على الرسم البياني الخطي من اليسار إلى اليمين، ينخفض الخط. علاقة الارتفاع بكثافة الهواء، الموضحة في الشكل A4 لاحقاً في هذا الملحق، لها ميل سلبي. سنتعلم أن السعر والكمية المطلوبة لهما علاقة سلبية؛ أي أن المستهلكين سيشترون أقل عندما يكون السعر أعلى.

ميل يساوي صفراً يعني عدم وجود علاقة بين x و y. بيانياً، يكون الخط مسطحاً؛ أي ارتفاع صفر على الامتداد. يوضح الشكل A5 لمعدل البطالة، المعروض لاحقاً في هذا الملحق، نمطاً شائعاً للعديد من الرسوم البيانية الخطية: بعض الأجزاء حيث يكون الميل إيجابياً، وأجزاء أخرى حيث يكون الميل سلبياً، وأجزاء أخرى حيث يكون الميل قريباً من الصفر.

يمكن حساب ميل الخط المستقيم بين نقطتين بالأرقام. لحساب الميل، ابدأ بتعيين نقطة واحدة كنقطة "البداية" والنقطة الأخرى كنقطة "النهاية" ثم احسب الارتفاع على الامتداد بين هاتين النقطتين. على سبيل المثال، لننظر في ميل رسم كثافة الهواء البياني بين النقاط التي تمثل ارتفاعاً قدره 4,000 متر وارتفاعاً قدره 6,000 متر:

الارتفاع: التغير في المتغير على المحور الرأسي (نقطة النهاية ناقص النقطة الأصلية)

الامتداد: التغير في المتغير على المحور الأفقي (نقطة النهاية ناقص النقطة الأصلية)

وبالتالي، فإن ميل الخط المستقيم بين هاتين النقطتين سيكون أن كثافة الهواء تنخفض بحوالي 0.1 كيلوغرام/متر مكعب لكل 1,000 متر تالية، وذلك من ارتفاع 4,000 متر إلى 6,000 متر.

لنفترض أن ميل الخط قد ازداد. بيانياً، هذا يعني أنه سيصبح أكثر انحداراً. لنفترض أن ميل الخط قد انخفض. عندها سيصبح أكثر تسطحاً. هذه الشروط صحيحة سواء كان الميل إيجابياً أو سلبياً في البداية. الميل الإيجابي الأعلى يعني انحداراً صعودياً أكثر حدة للخط، بينما الميل الإيجابي الأصغر يعني انحداراً صعودياً أكثر تسطحاً للخط. الميل السلبي الأكبر في القيمة المطلقة (أي الأكثر سلبية) يعني انحداراً نزولياً أكثر حدة للخط. الميل الصفري هو خط أفقي مسطح. الخط الرأسي له ميل لا نهائي.

لنفترض أن لخط ما جزءاً مقطوعاً أكبر. بيانياً، هذا يعني أنه سينتقل إلى الخارج (أو الأعلى) من نقطة الأصل القديمة، موازياً للخط القديم. إذا كان للخط جزء مقطوع أصغر، فإنه سينتقل إلى الداخل (أو الأسفل)، موازياً للخط القديم.

حل النماذج باستخدام الجبر

غالباً ما يستخدم الاقتصاديون النماذج للإجابة على سؤال محدد، مثل: ما هو معدل البطالة إذا نما الاقتصاد بنسبة 3% سنوياً؟ تتطلب الإجابة على أسئلة محددة حل "نظام" المعادلات الذي يمثل النموذج.

لنفترض أن الطلب على البيتزا الشخصية يُعطى بالمعادلة التالية:

حيث Qd هي كمية البيتزا الشخصية التي يرغب المستهلكون في شرائها (أي الكمية المطلوبة)، و P هو سعر البيتزا. لنفترض أن عرض البيتزا الشخصية هو:

حيث Qs هي كمية البيتزا التي سيعرضها المنتجون (أي الكمية المعروضة).

أخيراً، لنفترض أن سوق البيتزا الشخصية يعمل حيث يتساوى العرض مع الطلب، أو

لدينا الآن نظام من ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل (Qd و Qs و P)، والتي يمكننا حلها بالجبر:

بما أن Qd = Qs، يمكننا مساواة معادلة الطلب بمعادلة العرض:

بطرح 2 من الطرفين وإضافة 2P إلى الطرفين نحصل على:

بمعنى آخر، سيكون سعر كل بيتزا شخصية 2 دولار. فكم سيشتري المستهلكون؟

بأخذ سعر 2 دولار، وتعويضه في معادلة الطلب، نحصل على:

لذا إذا كان السعر 2 دولار لكل واحدة، سيشتري المستهلكون 12. فكم سيعرض المنتجون؟ بأخذ سعر 2 دولار، وتعويضه في معادلة العرض، نحصل على:

لذا إذا كان السعر 2 دولار لكل واحدة، سيعرض المنتجون 12 بيتزا شخصية. هذا يعني أننا قمنا بحساباتنا بشكل صحيح، بما أن Qd = Qs.

حل النماذج باستخدام الرسوم البيانية

إذا لم يكن الجبر نقطة قوتك، يمكنك الحصول على نفس الإجابة باستخدام الرسوم البيانية. خذ معادلات Qd و Qs وارسمها على نفس مجموعة المحاور كما هو موضح في الشكل A2. بما أن P على المحور الرأسي، فمن الأسهل أن تحل كل معادلة لـ P. منحنى الطلب هو P = 8 – 0.5Qd ومنحنى العرض هو P = –0.4 + 0.2Qs. لاحظ أن الأجزاء المقطوعة الرأسية هي 8 و –0.4، والميول هي –0.5 للطلب و 0.2 للعرض. إذا رسمت الرسوم البيانية بعناية، سترى أنه حيث تتقاطع (Qs = Qd)، يكون السعر 2 دولار والكمية 12، تماماً كما تنبأ الجبر.

شكل A2 رسم بياني للطلب والعرض يتم عرض معادلات Qd و Qs بيانياً بواسطة الخطوط المائلة.

سوف نستخدم الرسوم البيانية بشكل متكرر في هذا الكتاب أكثر من الجبر، ولكنك الآن تعرف الرياضيات الكامنة وراء الرسوم البيانية.

معدلات النمو

تُصادف معدلات النمو بشكل متكرر في علم الاقتصاد الواقعي. معدل النمو (growth rate) هو ببساطة التغير المئوي في كمية ما. يمكن أن يكون دخلك. يمكن أن يكون مبيعات شركة. يمكن أن يكون الناتج المحلي الإجمالي (GDP) لدولة. صيغة حساب معدل النمو مباشرة:

لنفترض أن وظيفتك تدفع 10 دولارات في الساعة. لكن رئيسك معجب بعملك لدرجة أنه يمنحك زيادة قدرها 2 دولار في الساعة. التغير المئوي (أو معدل النمو) في راتبك هو 2 دولار / 10 دولارات = 0.20 أو 20%.

لحساب معدل النمو للبيانات على مدى فترة زمنية طويلة، على سبيل المثال، متوسط النمو السنوي في الناتج المحلي الإجمالي (GDP) على مدى عقد أو أكثر، يتم تعريف المقام بشكل مختلف قليلاً. في المثال السابق، عرفنا الكمية على أنها الكمية الأولية — أو الكمية عندما بدأنا. هذا جيد لحساب لمرة واحدة، ولكن عندما نحسب النمو مراراً وتكراراً، يصبح من المنطقي أكثر تعريف الكمية على أنها متوسط الكمية خلال الفترة المعنية، والذي يُعرّف على أنه الكمية في منتصف المسافة بين الكمية الأولية والكمية التالية. هذا أصعب في الشرح بالكلمات منه في الإظهار بمثال. لنفترض أن الناتج المحلي الإجمالي (GDP) لدولة كان 1 تريليون دولار في عام 2005 و 1.03 تريليون دولار في عام 2006. سيكون معدل النمو بين عامي 2005 و 2006 هو التغير في الناتج المحلي الإجمالي (GDP) (1.03 تريليون دولار – 1.00 تريليون دولار) مقسوماً على متوسط الناتج المحلي الإجمالي (GDP) بين عامي 2005 و 2006 (1.03 تريليون دولار + 1.00 تريليون دولار)/2. بعبارة أخرى:

لاحظ أنه إذا استخدمنا الطريقة الأولى، فسيكون الحساب (1.03 تريليون دولار – 1.00 تريليون دولار) / 1.00 تريليون دولار = 3% نمو، وهو تقريباً نفس الطريقة الثانية الأكثر تعقيداً. إذا كنت بحاجة إلى تقدير تقريبي، استخدم الطريقة الأولى. إذا كنت بحاجة إلى دقة، استخدم الطريقة الثانية.

بعض الأمور التي يجب تذكرها: معدل النمو الإيجابي يعني أن الكمية تنمو. معدل النمو الأصغر يعني أن الكمية تنمو ببطء أكبر. معدل النمو الأكبر يعني أن الكمية تنمو بسرعة أكبر. معدل النمو السلبي يعني أن الكمية تتناقص.

نفس التغير على مر الزمن ينتج عنه معدل نمو أصغر. إذا حصلت على زيادة قدرها 2 دولار كل عام، ففي السنة الأولى سيكون معدل النمو 2 دولار / 10 دولارات = 20%، كما هو موضح أعلاه. ولكن في السنة الثانية، سيكون معدل النمو 2 دولار / 12 دولاراً = 0.167 أو 16.7% نمو. في السنة الثالثة، ستعادل نفس الزيادة البالغة 2 دولار 2 دولار / 14 دولاراً = 14.2%. خلاصة القول هي: للحفاظ على معدل النمو نفسه، يجب أن يزداد التغير في كل فترة.

عرض البيانات بيانياً وتفسير الرسم البياني

تُستخدم الرسوم البيانية أيضاً لعرض البيانات أو الأدلة. الرسوم البيانية هي طريقة لتقديم الأنماط العددية. إنها تكثف المعلومات العددية التفصيلية في شكل مرئي يمكن من خلاله رؤية العلاقات والأنماط العددية بسهولة أكبر. على سبيل المثال، أي الدول لديها عدد سكان أكبر أو أصغر؟ يمكن للقارئ المتأني فحص قائمة طويلة من الأرقام تمثل سكان العديد من البلدان، ولكن مع وجود أكثر من 200 دولة في العالم، فإن البحث في مثل هذه القائمة سيستغرق تركيزاً ووقتاً. يمكن لوضع هذه الأرقام نفسها على رسم بياني أن يكشف بسرعة عن أنماط السكان. يستخدم الاقتصاديون الرسوم البيانية لتقديم مجموعات من الأرقام بشكل مدمج وسهل القراءة، ولبناء فهم بديهي للعلاقات والروابط.

تُستخدم ثلاثة أنواع من الرسوم البيانية في هذا الكتاب: الرسوم البيانية الخطية، والرسوم البيانية الدائرية، والرسوم البيانية الشريطية. يناقش كل نوع أدناه. كما نقدم تحذيرات حول كيفية التلاعب بالرسوم البيانية لتغيير تصورات المشاهدين للعلاقات في البيانات.

الرسوم البيانية الخطية

الرسوم البيانية التي ناقشناها حتى الآن تسمى رسوماً بيانية خطية (line graphs)، لأنها تظهر علاقة بين متغيرين: أحدهما يقاس على المحور الأفقي والآخر يقاس على المحور الرأسي.

أحياناً يكون من المفيد إظهار أكثر من مجموعة بيانات على نفس المحاور. يتم عرض البيانات في الجدول A2 في الشكل A3 الذي يوضح العلاقة بين متغيرين: الطول والوزن الوسيط للأطفال الرضع الأمريكيين من الذكور والإناث خلال السنوات الثلاث الأولى من العمر. (يعني الوسيط (median) أن نصف جميع الأطفال يزنون أكثر من هذا ونصفهم يزنون أقل.) يقيس الرسم البياني الخطي الطول بالبوصة على المحور الأفقي والوزن بالباوند على المحور الرأسي. على سبيل المثال، النقطة A في الشكل تظهر أن صبياً بطول 28 بوصة سيكون وزنه الوسيط حوالي 19 باونداً. يوضح أحد الخطوط على الرسم البياني علاقة الطول بالوزن للذكور ويظهر الخط الآخر العلاقة للإناث. يستخدم هذا النوع من الرسوم البيانية على نطاق واسع من قبل مقدمي الرعاية الصحية للتحقق مما إذا كان النمو البدني للطفل يسير على المسار الصحيح تقريباً.

شكل A3 علاقة الطول بالوزن للأولاد والبنات الأمريكيين يوضح الرسم البياني الخطي العلاقة بين الطول والوزن للأولاد والبنات من الولادة حتى 3 سنوات. النقطة A، على سبيل المثال، تظهر أن صبياً بطول 28 بوصة (مقاساً على المحور الأفقي) يبلغ وزنه عادة 19 باونداً (مقاساً على المحور الرأسي). تنطبق هذه البيانات فقط على الأطفال في السنوات الثلاث الأولى من العمر.

ليست كل العلاقات في علم الاقتصاد خطية. أحياناً تكون منحنيات. يقدم الشكل A4 مثالاً آخر على رسم بياني خطي، يمثل البيانات من الجدول A3. في هذه الحالة، يوضح الرسم البياني الخطي كيف يصبح الهواء رقيقاً عندما تتسلق جبلاً. يوضح المحور الأفقي للشكل الارتفاع، مقاساً بالأمتار فوق مستوى سطح البحر. يقيس المحور الرأسي كثافة الهواء عند كل ارتفاع. تُقاس كثافة الهواء بوزن الهواء في متر مكعب من الفضاء (أي صندوق يبلغ ارتفاعه وعرضه وعمقه متراً واحداً). كما يوضح الرسم البياني، يكون ضغط الهواء أثقل عند مستوى سطح الأرض ويصبح أخف كلما صعدت. يوضح الشكل A4 أن متراً مكعباً من الهواء على ارتفاع 500 متر يزن حوالي كيلوغرام واحد (حوالي 2.2 باوند). ومع ذلك، مع زيادة الارتفاع، تنخفض كثافة الهواء. سيبلغ وزن متر مكعب من الهواء على قمة Mount Everest، على ارتفاع حوالي 8,828 متراً، 0.023 كيلوغرام فقط. يفسر الهواء الرقيق في الارتفاعات العالية سبب حاجة العديد من متسلقي الجبال لاستخدام خزانات الأكسجين عندما يصلون إلى قمة الجبل.

شكل A4 علاقة الارتفاع بكثافة الهواء يوضح هذا الرسم البياني الخطي العلاقة بين الارتفاع، المقاس بالأمتار فوق مستوى سطح البحر، وكثافة الهواء، المقاسة بالكيلوغرامات من الهواء لكل متر مكعب. مع ارتفاع الارتفاع، تنخفض كثافة الهواء. النقطة عند قمة Mount Everest لها ارتفاع يبلغ حوالي 8,828 متراً فوق مستوى سطح البحر (المحور الأفقي) وكثافة هواء تبلغ 0.023 كيلوغرام لكل متر مكعب (المحور الرأسي).

تمثل علاقات الطول بالوزن وعلاقات الارتفاع بكثافة الهواء في هذين الشكلين متوسطات. إذا قمت بجمع بيانات فعلية عن ضغط الهواء على ارتفاعات مختلفة، فإن نفس الارتفاع في مواقع جغرافية مختلفة سيكون له كثافة هواء مختلفة قليلاً، اعتماداً على عوامل مثل مدى بعدك عن خط الاستواء، والظروف الجوية المحلية، والرطوبة في الهواء. وبالمثل، عند قياس طول ووزن الأطفال للرسم البياني الخطي السابق، سيكون للأطفال من طول معين نطاق من الأوزان المختلفة، بعضها فوق المتوسط وبعضها أقل. في العالم الحقيقي، هذا النوع من التباين في البيانات شائع. مهمة الباحث هي تنظيم تلك البيانات بطريقة تساعد على فهم الأنماط النموذجية. تعد دراسة الإحصاء، خاصة عند دمجها مع الإحصاءات الحاسوبية وبرامج جداول البيانات، مساعدة كبيرة في تنظيم هذا النوع من البيانات، ورسم الرسوم البيانية الخطية، والبحث عن العلاقات الأساسية النموذجية. بالنسبة لمعظم تخصصات علم الاقتصاد والعلوم الاجتماعية، سيكون مقرر الإحصاء مطلوباً في مرحلة ما.

يُسمى أحد الرسوم البيانية الخطية الشائعة سلسلة زمنية (time series)، حيث يوضح المحور الأفقي الوقت ويعرض المحور الرأسي متغيراً آخر. وبالتالي، يوضح رسم بياني للسلسلة الزمنية كيف يتغير متغير ما بمرور الوقت. يوضح الشكل A5 معدل البطالة في United States منذ عام 1975، حيث تُعرّف البطالة بأنها النسبة المئوية للبالغين الذين يرغبون في الحصول على وظائف ويبحثون عن عمل، ولكن لا يمكنهم العثور عليه. يتم رسم نقاط معدل البطالة في كل عام على الرسم البياني، ثم يربط خط النقاط، موضحاً كيف تحرك معدل البطالة صعوداً وهبوطاً منذ عام 1975. يسهل الرسم البياني الخطي رؤية، على سبيل المثال، أن أعلى معدل بطالة خلال هذه الفترة الزمنية كان أقل بقليل من 10% في أوائل الثمانينيات وعام 2010، بينما انخفض معدل البطالة من أوائل التسعينيات إلى نهاية التسعينيات، قبل أن يرتفع ثم ينخفض مرة أخرى في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين، ثم يرتفع بشكل حاد خلال الركود من 2008-2009.

شكل A5 معدل البطالة في الولايات المتحدة، 1975-2014 يوفر هذا الرسم البياني ملخصاً بصرياً سريعاً لبيانات البطالة. باستخدام رسم بياني كهذا، من السهل تحديد فترات البطالة المرتفعة وفترات البطالة المنخفضة.

الرسوم البيانية الدائرية

يُستخدم الرسم البياني الدائري (pie graph) (يُسمى أحياناً مخططاً دائرياً (pie chart)) لإظهار كيفية تقسيم إجمالي كلي إلى أجزاء. تمثل الدائرة المجموعة ككل. وتوضح شرائح هذه "الفطيرة" الدائرية الأحجام النسبية للمجموعات الفرعية.

الشكل A6 يوضح كيف تم تقسيم سكان U.S. بين الأطفال، والبالغين في سن العمل، وكبار السن في أعوام 1970 و 2000، وما هو متوقع لعام 2030. يتم نقل المعلومات أولاً بالأرقام في الجدول A4، ثم في ثلاثة مخططات دائرية. يوضح العمود الأول من الجدول A4 إجمالي سكان U.S. لكل من السنوات الثلاث. تصنف الأعمدة 2-4 الإجمالي من حيث الفئات العمرية — من الولادة حتى 18 عاماً، ومن 19 إلى 64 عاماً، و 65 عاماً فما فوق. في الأعمدة 2-4، يوضح الرقم الأول العدد الفعلي للأشخاص في كل فئة عمرية، بينما يوضح الرقم بين قوسين النسبة المئوية لإجمالي السكان التي تشكلها تلك الفئة العمرية.

شكل A6 رسوم بيانية دائرية للتوزيع العمري لسكان الولايات المتحدة (الأرقام بالملايين) توضح الرسوم البيانية الدائرية الثلاثة تقسيم إجمالي السكان إلى ثلاث فئات عمرية للسنوات الثلاث المختلفة.

في الرسم البياني الدائري، تمثل كل شريحة من الفطيرة حصة من الإجمالي، أو نسبة مئوية. على سبيل المثال، 50% ستكون نصف الفطيرة و 20% ستكون خُمس الفطيرة. تظهر الرسوم البيانية الدائرية الثلاثة في الشكل A6 أن حصة سكان U.S. الذين تبلغ أعمارهم 65 عاماً فما فوق آخذة في النمو. تسمح لك الرسوم البيانية الدائرية بالحصول على إحساس بالحجم النسبي للفئات العمرية المختلفة من عام 1970 إلى 2000 إلى 2030، دون الحاجة إلى الخوض في الأرقام والنسب المئوية المحددة في الجدول. تتضمن بعض الأمثلة الشائعة لكيفية استخدام الرسوم البيانية الدائرية تقسيم السكان إلى مجموعات حسب العمر، ومستوى الدخل، والعرق، والدين، والمهنة؛ وتقسيم الشركات المختلفة إلى فئات حسب الحجم، والصناعة، وعدد الموظفين؛ وتقسيم الإنفاق الحكومي أو الضرائب إلى فئاتها الرئيسية.

الرسوم البيانية الشريطية

يستخدم الرسم البياني الشريطي (bar graph) ارتفاع الأشرطة المختلفة لمقارنة الكميات. يسرد الجدول A5 أكثر 12 دولة اكتظاظاً بالسكان في العالم. يقدم الشكل A7 نفس هذه البيانات في رسم بياني شريطي. يتوافق ارتفاع الأشرطة مع عدد سكان كل دولة. على الرغم من أنك قد تعرف أن China و India هما أكثر دول العالم اكتظاظاً بالسكان، إلا أن رؤية كيف تعلو الأشرطة في الرسم البياني على الدول الأخرى يساعد في توضيح حجم الفرق بين أحجام السكان الوطنيين.

شكل A7 الدول الرائدة في العالم من حيث عدد السكان، 2015 (بالملايين) يوضح الرسم البياني أكثر 12 دولة في العالم من حيث عدد السكان. يوضح ارتفاع الأشرطة في الرسم البياني الشريطي حجم سكان كل دولة.

يمكن تقسيم الرسوم البيانية الشريطية بطريقة تكشف معلومات مماثلة لتلك التي يمكننا الحصول عليها من المخططات الدائرية. يقدم الشكل A8 ثلاثة رسوم بيانية شريطية بناءً على المعلومات من الشكل A6 حول التوزيع العمري لسكان U.S. في أعوام 1970 و 2000 و 2030. يوضح الشكل A8 (أ) ثلاثة أشرطة لكل عام، تمثل العدد الإجمالي للأشخاص في كل فئة عمرية لكل عام. يوضح الشكل A8 (ب) شريطاً واحداً فقط لكل عام، ولكن الفئات العمرية المختلفة مظللة الآن داخل الشريط. في الشكل A8 (ج)، الذي لا يزال يعتمد على نفس البيانات، يقيس المحور الرأسي النسب المئوية بدلاً من عدد الأشخاص. في هذه الحالة، تكون جميع الرسوم البيانية الشريطية الثلاثة بنفس الارتفاع، وتمثل 100% من السكان، مع تقسيم كل شريط وفقاً للنسبة المئوية للسكان في كل فئة عمرية. يكون أحياناً أسهل للقارئ أن يمرر عينيه عبر عدة رسوم بيانية شريطية، مقارناً المناطق المظللة، بدلاً من محاولة مقارنة عدة رسوم بيانية دائرية.

شكل A8 سكان الولايات المتحدة برسوم بيانية شريطية يمكن تمثيل بيانات السكان بطرق مختلفة. (أ) يوضح ثلاثة أشرطة لكل عام، تمثل العدد الإجمالي للأشخاص في كل فئة عمرية لكل عام. (ب) يوضح شريطاً واحداً فقط لكل عام، ولكن الفئات العمرية المختلفة مظللة الآن داخل الشريط. (ج) يحدد المحور الرأسي كمقياس للنسب المئوية بدلاً من عدد الأشخاص. جميع الرسوم البيانية الشريطية الثلاثة لها نفس الارتفاع وكل شريط مقسم وفقاً للنسبة المئوية للسكان في كل فئة عمرية.

الشكل A7 و الشكل A8 يوضحان كيف يمكن للأشرطة أن تمثل دولاً أو سنوات، وكيف يمكن للمحور الرأسي أن يمثل قيمة عددية أو نسبة مئوية. يمكن للرسوم البيانية الشريطية أيضاً مقارنة الحجم والكمية والمعدلات والمسافات والفئات الكمية الأخرى.

مقارنة الرسوم البيانية الخطية بالمخططات الدائرية والرسوم البيانية الشريطية

الآن بعد أن أصبحت على دراية بالرسوم البيانية الدائرية والرسوم البيانية الشريطية والرسوم البيانية الخطية، كيف تعرف أي رسم بياني تستخدم لبياناتك؟ غالباً ما تكون الرسوم البيانية الدائرية أفضل من الرسوم البيانية الخطية في إظهار كيفية تقسيم مجموعة شاملة. ومع ذلك، إذا كان للرسم البياني الدائري شرائح كثيرة جداً، فقد يصبح من الصعب تفسيره.

تعد الرسوم البيانية الشريطية مفيدة بشكل خاص عند مقارنة الكميات. على سبيل المثال، إذا كنت تدرس سكان دول مختلفة، كما في الشكل A7، يمكن للرسوم البيانية الشريطية أن تظهر العلاقات بين أحجام السكان في عدة دول. ولا يمكنها إظهار هذه العلاقات فحسب، بل يمكنها أيضاً إظهار تفاصيل المجموعات المختلفة داخل السكان.

غالباً ما يكون الرسم البياني الخطي هو التنسيق الأكثر فعالية لتوضيح العلاقة بين متغيرين يتغيران كلاهما. على سبيل المثال، يمكن لرسوم السلاسل الزمنية البيانية أن تظهر أنماطاً مع تغير الوقت، مثل معدل البطالة بمرور الوقت. تُستخدم الرسوم البيانية الخطية على نطاق واسع في علم الاقتصاد لتقديم بيانات مستمرة حول الأسعار والأجور والكميات المشتراة والمباعة وحجم الاقتصاد.

كيف يمكن أن تكون الرسوم البيانية مضللة

لا تكشف الرسوم البيانية الأنماط فحسب؛ بل يمكنها أيضاً تغيير كيفية إدراك الأنماط. لرؤية بعض الطرق التي يمكن أن يتم بها ذلك، لننظر في الرسوم البيانية الخطية في الشكل A9، و الشكل A10، و الشكل A11. توضح هذه الرسوم البيانية جميعها معدل البطالة — ولكن من وجهات نظر مختلفة.

شكل A9

شكل A10 عرض معدلات البطالة بطرق مختلفة، جميعها دقيقة مجرد تغيير عرض وارتفاع المنطقة التي تُعرض فيها البيانات يمكن أن يغير تصور البيانات.

شكل A11 عرض معدلات البطالة بطرق مختلفة، جميعها دقيقة مجرد تغيير عرض وارتفاع المنطقة التي تُعرض فيها البيانات يمكن أن يغير تصور البيانات.

لنفترض أنك أردت رسماً بيانياً يعطي انطباعاً بأن الارتفاع في البطالة عام 2009 لم يكن كبيراً جداً، أو غير عادي بالمعايير التاريخية. قد تختار عرض بياناتك كما في الشكل A9 (أ). يتضمن الشكل A9 (أ) الكثير من نفس البيانات المعروضة سابقاً في الشكل A5، ولكنه يمد المحور الأفقي ليصبح أطول نسبياً إلى المحور الرأسي. من خلال نشر الرسم البياني بشكل عريض ومسطح، يكون المظهر البصري أن الارتفاع في البطالة ليس كبيراً جداً، ويشبه بعض الارتفاعات السابقة في البطالة. الآن تخيل أنك أردت التأكيد على كيف ارتفعت البطالة بشكل كبير في عام 2009. في هذه الحالة، باستخدام نفس البيانات، يمكنك مد المحور الرأسي نسبياً إلى المحور الأفقي، كما في الشكل A9 (ب)، مما يجعل جميع الارتفاعات والانخفاضات في البطالة تبدو أكبر.

يمكن تحقيق تأثير مماثل دون تغيير طول المحاور، ولكن عن طريق تغيير المقياس على المحور الرأسي. في الشكل A10 (ج)، يمتد المقياس على المحور الرأسي من 0% إلى 30%، بينما في الشكل A10 (د)، يمتد المحور الرأسي من 3% إلى 10%. مقارنة بـ الشكل A5، حيث يمتد المقياس الرأسي من 0% إلى 12%، يجعل الشكل A10 (ج) التقلبات في البطالة تبدو أصغر، بينما يجعل الشكل A10 (د) تبدو أكبر.

طريقة أخرى لتغيير تصور الرسم البياني هي تقليل مقدار التباين عن طريق تغيير عدد النقاط المرسومة على الرسم البياني. يوضح الشكل A10 (هـ) معدل البطالة وفقاً لمتوسطات خمس سنوات. من خلال حساب متوسط بعض التغيرات من سنة إلى أخرى، يبدو الخط أكثر سلاسة وبعدد أقل من الارتفاعات والانخفاضات. في الواقع، يتم الإبلاغ عن معدل البطالة شهرياً، ويوضح الشكل A11 (و) الأرقام الشهرية منذ عام 1960، والتي تتقلب أكثر من المتوسط لخمس سنوات. يعد الشكل A11 (و) أيضاً توضيحاً حياً لكيفية ضغط الرسوم البيانية للكثير من البيانات. يتضمن الرسم البياني بيانات شهرية منذ عام 1960، والتي على مدى ما يقرب من 50 عاماً، تصل إلى ما يقرب من 600 نقطة بيانات. قراءة قائمة الـ 600 نقطة بيانات هذه في شكل رقمي ستكون مملة. ومع ذلك، يمكنك الحصول على إحساس بديهي جيد بهذه الـ 600 نقطة بيانات بسرعة كبيرة من الرسم البياني.

خدعة أخيرة في التلاعب بتصور المعلومات الرسومية هي أنه باختيار نقاط البداية والنهاية بعناية، يمكنك التأثير على تصور ما إذا كان المتغير يرتفع أو ينخفض. تُظهر البيانات الأصلية نمطاً عاماً مع انخفاض البطالة في الستينيات، ولكنها ارتفعت بشكل حاد في منتصف السبعينيات، وأوائل الثمانينيات، وأوائل التسعينيات، وأوائل الألفينيات، وأواخر الألفينيات. ومع ذلك، يوضح الشكل A11 (ز) رسماً بيانياً يعود فقط إلى عام 1975، مما يعطي انطباعاً بأن البطالة كانت تتراجع تدريجياً تقريباً بمرور الوقت حتى دفعها ركود عام 2009 للارتفاع مرة أخرى إلى مستواها "الأصلي" — وهو تفسير معقول إذا بدأ المرء من النقطة المرتفعة حوالي عام 1975.

هذه الأنواع من الحيل — أو لنسميها "خيارات العرض" — لا تقتصر على الرسوم البيانية الخطية. في المخطط الدائري الذي يحتوي على العديد من الشرائح الصغيرة وشريحة واحدة كبيرة، يجب على شخص ما أن يقرر الفئات التي يجب استخدامها لإنتاج هذه الشرائح في المقام الأول، مما يجعل بعض الشرائح تبدو أكبر من غيرها. إذا كنت تنشئ رسماً بيانياً شريطياً، يمكنك جعل المحور الرأسي أطول أو أقصر، مما سيؤدي إلى جعل الاختلافات في ارتفاع الأشرطة تبدو أكثر أو أقل.

القدرة على قراءة الرسوم البيانية مهارة أساسية، سواء في علم الاقتصاد أو في الحياة. الرسم البياني هو مجرد منظور واحد أو وجهة نظر واحدة، يتشكل من خلال خيارات مثل تلك التي نوقشت في هذا القسم. لا تصدق دائماً الانطباع السريع الأول من الرسم البياني. انظر بحذر.

المفاهيم الأساسية والملخص

الرياضيات أداة لفهم علم الاقتصاد، ويمكن التعبير عن العلاقات الاقتصادية رياضياً باستخدام الجبر أو الرسوم البيانية. المعادلة الجبرية للخط هي y = b + mx، حيث x هو المتغير على المحور الأفقي و y هو المتغير على المحور الرأسي، والحد b هو الجزء المقطوع من المحور y والحد m هو الميل. ميل الخط هو نفسه عند أي نقطة على الخط ويشير إلى العلاقة (إيجابية، سلبية، أو صفرية) بين متغيرين اقتصاديين.

يمكن حل النماذج الاقتصادية جبرياً أو بيانياً. تسمح لك الرسوم البيانية بتوضيح البيانات بصرياً. يمكنها توضيح الأنماط والمقارنات والاتجاهات والتوزيع عن طريق تكثيف البيانات الرقمية وتوفير إحساس بديهي بالعلاقات في البيانات. يوضح الرسم البياني الخطي العلاقة بين متغيرين: أحدهما يظهر على المحور الأفقي والآخر على المحور الرأسي. يوضح الرسم البياني الدائري كيفية تخصيص شيء ما، مثل مبلغ من المال أو مجموعة من الأشخاص. يتم رسم حجم كل شريحة من الفطيرة لتمثل النسبة المئوية المقابلة للكل. يستخدم الرسم البياني الشريطي ارتفاع الأشرطة لإظهار العلاقة، حيث يمثل كل شريط كياناً معيناً، مثل بلد أو مجموعة من الأشخاص. يمكن أيضاً تقسيم الأشرطة في الرسم البياني الشريطي إلى أجزاء لإظهار المجموعات الفرعية.

أي رسم بياني هو منظور بصري واحد لموضوع ما. وسيعتمد الانطباع الذي يتركه على العديد من الخيارات، مثل البيانات أو الإطار الزمني المتضمن، وكيفية تقسيم البيانات أو المجموعات، والحجم النسبي للمحاور الرأسية والأفقية، وما إذا كان المقياس المستخدم على المحور الرأسي يبدأ من الصفر. وبالتالي، يجب النظر إلى أي رسم بياني بشيء من الشك، مع تذكر أن العلاقة الأساسية يمكن أن تكون مفتوحة لتفسيرات مختلفة.

أسئلة المراجعة