第6章

$\frac{d}{d x} (tanh (x^{2} + 3 x)) = ({sech}^{2} (x^{2} + 3 x)) (2 x + 3)$
$\frac{d}{d x} (\frac{1}{{(sinh x)}^{2}}) = \frac{d}{d x} {(sinh x)}^{−2} = −2 {(sinh x)}^{−3} cosh x$

6.48

$\int {sinh}^{3} x cosh x d x = \frac{{sinh}^{4} x}{4} + C$
$\int {sech}^{2} (3 x) d x = \frac{tanh (3 x)}{3} + C$

6.49

$\frac{d}{d x} ({cosh}^{−1} (3 x)) = \frac{3}{\sqrt{9 x^{2} - 1}}$
$\frac{d}{d x} {({coth}^{−1} x)}^{3} = \frac{3 {({coth}^{−1} x)}^{2}}{1 - x^{2}}$

6.50

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x = {cosh}^{−1} (\frac{x}{2}) + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} d x = − {sech}^{−1} (e^{x}) + C$

6.51

$52.95 ft$

第6.1节练习

1.

$\frac{32}{3}$

3.

$\frac{13}{12}$

5.

$36$

7.

此图包含两个函数图形。它们是函数 f(x)=x^2 和 g(x)=-x^2+18x。图形之间的区域被阴影表示，上方由 g(x) 边界，下方由 f(x) 边界。该区域位于第一象限。

243 平方单位

9.

此图包含两个函数图形。它们是函数 y=cos(x) 和 y=cos^2(x)。这些图形是周期性的，形状像波浪。曲线的交点形成了四个区域。这些区域被阴影表示。

4

11.

此图包含两个函数图形。它们是函数 f(x)=e^x 和 g(x)=e^-x。有两个阴影区域。在第二象限，该区域由 x=-1、上方 g(x) 和下方 f(x) 围成。第二个区域在第一象限，由上方 f(x)、下方 g(x) 和 x=1 围成。

$\frac{2 {(e - 1)}^{2}}{e}$

13.

此图包含两个函数图形。它们是函数 f(x)=x^2 和 g(x)=x 的绝对值。有两个阴影区域。第一个区域在第二象限，位于上方 g(x) 和下方 f(x) 之间。第二个区域在第一象限，上方由 g(x) 边界，下方由 f(x) 边界。

$\frac{1}{3}$

15.

此图包含三个函数图形。它们是函数 f(x)=x 的平方根、y=12-x 和 y=1。图形之间的区域被阴影表示，上方和左侧由 f(x) 边界，上方和右侧由直线 y=12-x 边界，下方由直线 y=1 边界。该区域位于第一象限。

$\frac{34}{3}$

17.

此图包含两个函数图形。它们是函数 f(x)=x^3 和 g(x)=x^2-2x。图形之间有两个阴影区域。第一个区域左侧由直线 x=-2 边界，上方由 g(x) 边界，下方由 f(x) 边界。第二个区域上方由 f(x) 边界，下方由 g(x) 边界，右侧由直线 x=2 边界。

$\frac{5}{2}$

19.

此图包含两个函数图形。它们是函数 f(x)=x^3+3x 和 g(x)=4x。图形之间有两个阴影区域。第一个区域上方由 f(x) 边界，下方由 g(x) 边界。第二个区域上方由 g(x) 边界，下方由 f(x) 边界。

$\frac{1}{2}$

21.

此图包含两个函数图形。它们是方程 x=2y 和 x=y^3-y。这些图形在第三象限相交，并在第一象限再次相交，在它们之间形成两个封闭区域。

$\frac{9}{2}$

23.

此图包含两个函数图形。它们是方程 x=y+2 和 y^2=x。这些图形相交，在它们之间形成一个区域。

$\frac{9}{2}$

25.

此图包含两个函数图形。它们是方程 x=cos(y) 和 x=sin(y)。这些图形相交，形成两个区域，上方由直线 y=pi/2 边界，下方由直线 y=-pi/2 边界。

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

27.

此图包含两个函数图形。它们是方程 y=xe^x 和 y=e^x。这些图形相交，在第一象限形成它们之间的一个区域。

$e −2$

29.

此图包含两个函数图形。它们是方程 x=-y^2+1 和 x=y^3+2y^2。这些图形相交，在它们之间形成两个区域。

$\frac{27}{4}$

31.

此图包含两个函数图形。它们是方程 y=4-3x 和 y=1/x。这些图形相交，它们之间的区域被阴影表示。该区域位于第一象限。

$\frac{4}{3} - ln (3)$

33.

此图包含两个函数图形。它们是方程 y=x^2-3x+2 和 y=x^3-2x^2-x+2。这些图形相交，它们之间的区域被阴影表示。

$\frac{1}{2}$

35.

此图包含两个函数图形。它们是方程 2y=x 和 y+y^3=x。这些图形相交，形成两个区域。这些区域被阴影表示。

$\frac{1}{2}$

37.

此图包含两个函数图形。它们是方程 y=arccos(x) 和 y=arcsin(x)。这些图形相交，形成两个区域。第一个区域左侧由 x=-1 边界。第二个区域右侧由 x=1 边界。两个区域都被阴影表示。

$−2 (\sqrt{2} - π)$

39.

$1.067$

41.

$1.605$

43.

$7.523$

45.

$\frac{3 π - 4}{12}$

47.

$1.429$

49.

$$ 33,333.33$ 售出 $200$ 部手机的总利润

51.

$3.32$ 英里表示野兔领先乌龟的距离

53.

$\frac{343}{24}$

55.

$4 \sqrt{3}$

57.

$π - \frac{32}{25}$

第6.2节练习

63.

8 立方单位

65.

$\frac{32}{3 \sqrt{2}}$ 立方单位

67.

$\frac{7}{24} π r^{2} h$ 立方单位

69.

此图显示了 x 轴和 y 轴，其中一条直线从 x 轴上的 (1,0) 开始，到 y 轴上的 (0,1) 结束。垂直于 xy 平面有 4 个阴影半圆形，它们的直径始于 x 轴，止于该直线，并且尺寸从原点向外逐渐减小。

$\frac{π}{24}$ 立方单位

71.

此图以三维透视图显示了 x 轴和 y 轴。在 x 轴上方的图形是一个抛物线，其顶点在 y=1 处，x 轴截距在 (-1,0) 和 (1,0) 处。有 3 个垂直于 xy 平面的方形阴影区域，它们两侧接触抛物线，并且尺寸从原点向外逐渐减小。

$2$ 立方单位

73.

此图是一个三维透视图，x轴和y轴呈对角线显示。在图的第一象限中，有曲线y=x（一条直线）和y=x^2（一条抛物线）。它们在原点和(1,1)处相交。几个半圆形阴影区域垂直于xy平面，从抛物线延伸到直线并垂直于该直线。

$\frac{π}{240}$ 单位³

75.

此图是第一象限中的一个图形。它是一个阴影区域，上方由曲线y=2x^2界定，下方由x轴界定，右侧由垂直线x=4界定。

$\frac{4096 π}{5}$ 单位³

77.

此图是第一象限中的一个图形。它是一个阴影区域，上方由直线y=1界定，下方由曲线y=x^4界定，左侧由y轴界定。

$\frac{8 π}{9}$ 单位³

79.

此图是一个阴影区域，上方由曲线y=cos(x)界定，左下方由y轴界定，右下方由y=sin(x)界定。该阴影区域位于第一象限。

$\frac{π}{2}$ 单位³

81.

此图是第一象限中的一个图形。它是一个阴影区域，上方由直线x+y=9界定，下方由x轴界定，左侧由y轴界定，左侧由曲线x^2-y^2=9界定。

$207 π$ 单位³

83.

此图是第一象限中的一个图形。它是一个阴影区域，上方由曲线y=2x^3界定，下方由x轴界定，右侧由直线x=1界定。

$\frac{4 π}{5}$ 单位³

85.

此图是第一象限中的一个图形。它是一个以原点为中心、半径为2的四分之一圆。内部为阴影区域。

$\frac{16 π}{3}$ 单位³

87.

此图是第一象限中的一个图形。它是一个阴影区域，上方由直线y=pi/4界定，右侧由曲线x=sec(y)界定，下方由x轴界定，左侧由y轴界定。

$π$ 单位³

89.

此图是第一象限中的一个图形。它是一个阴影三角形，上方由直线y=4-x界定，下方由直线y=x界定，左侧由y轴界定。

$\frac{16 π}{3}$ 单位³

91.

此图是x轴上方的一个图形。它是一个阴影区域，上方由直线y=x+2界定，下方由抛物线y=x^2界定。

$\frac{72 π}{5}$ 单位³

93.

$\frac{108 π}{5}$ 单位³

95.

此图是第一象限中的一个图形。它是一个阴影区域，上方由曲线y=squareroot(x)界定，下方由曲线y=x^2界定。

$\frac{3 π}{10}$ 单位³

97.

此图是一个阴影区域，上方由曲线y=squareroot(4-x^2)界定，下方由曲线y=squareroot(1+x^2)界定。

$2 \sqrt{6} π$ 单位³

99.

此图是第一象限中的一个图形。它是一个阴影区域，上方由直线y=x+2界定，下方由直线y=2x-1界定，左侧由y轴界定。

$9 π$ 单位³

101.

此图是第一象限中的一个图形。它是一个阴影区域，上方由曲线y=ln(2)界定，下方由x轴界定，左侧由曲线x=y^2界定，右侧由曲线x=e^(2y)界定。

$\frac{π}{20} (75 - 4 {ln}^{5} (2))$ 单位³

103.

$\frac{m^{2} π}{3} (b^{3} - a^{3})$ 单位³

105.

$\frac{4 a^{2} b π}{3}$ 单位³

107.

$2 π^{2}$ 单位³

109.

$\frac{2 a b^{2} π}{3}$ 单位³

111.

$V = \frac{2 π}{3} (2 r + h) {(r - h)}^{2}$ 单位³

113.

$\frac{π}{3} (h + R) {(h - 2 R)}^{2}$ 单位³

第6.3节练习

115.

此图是第一象限中的一个图形。它是一条直线y=3x。在该直线下方和x轴上方有一个阴影区域。该区域在x=3处向右界定。

$54 π$ 单位³

117.

$81 π$ 单位³

119.

此图是第一象限中的一个图形。它是一条递增曲线y=2x^3。在该曲线下方和x轴上方有一个阴影区域。该区域在x=2处向右界定。

$\frac{512 π}{7}$ 单位³

121.

$2 π$ 单位³

123.

$\frac{2 π}{3}$ 单位³

125.

$2 π$ 单位³

127.

$\frac{4 π}{5}$ 单位³

129.

$\frac{64 π}{3}$ 单位³

131.

$\frac{32 π}{5}$ 单位³

133.

$\frac{7 π}{6}$

135.

$48 π$

137.

$\frac{308 π}{5}$

139.

$\frac{512 π}{7}$

141.

$\frac{8 π}{5}$

143.

$\frac{28 π}{15}$ 单位³

145.

$\frac{3 π}{10}$ 单位³

147.

$π (\frac{6 \cdot 2^{2 / 3}}{5} - \frac{11}{10}) = \frac{π}{10} (12 \cdot 2^{2 / 3} - 11) \approx 2.5286$ 单位³

149.

$0.9876$ 单位³

151.

此图是一个图形。图上有两条曲线，y=cos(πx) 和 y=sin(πx)。它们是类似波浪的周期曲线。这些曲线在第一象限和第四象限相交。两个交点之间的区域被阴影覆盖。

$3 \sqrt{2}$ 单位³

153.

此图是第一象限中的一个图形。它是抛物线 y=x^2-2x。曲线下方和x轴上方有一个阴影区域。该区域始于 x=2，右侧边界为 x=4。

$\frac{496 π}{15}$ 单位³

155.

此图是第一象限中的一个图形。图上有两条曲线。第一条曲线是 y=3x^2-2，第二条曲线是 y=x。曲线之间有一个阴影区域。该区域始于 x=1，右侧边界为 x=2。

$\frac{398 π}{15}$ 单位³

157.

此图是一个图形。图上有两条曲线。第一条曲线是 x=y^2-2y+1，是一条向右开口的抛物线。第二条曲线是 x=y^2，也是一条向右开口的抛物线。曲线之间有一个阴影区域。该阴影区域的右侧边界为 x=2。

$15.9074$ 单位³

159.

$\frac{1}{3} π r^{2} h$ 单位³

161.

$π r^{2} h$ 单位³

163.

$π a^{2}$ 单位³

第6.4节练习

165.

$2 \sqrt{26}$

167.

$2 \sqrt{17}$

169.

$\frac{π}{6} (17 \sqrt{17} - 5 \sqrt{5})$

171.

$\frac{13 \sqrt{13} - 8}{27}$

173.

$\frac{4}{3}$

175.

$2.0035$

177.

$\frac{123}{32}$

179.

$10$

181.

$\frac{20}{3}$

183.

$\frac{1}{675} (229 \sqrt{229} - 8)$

185.

$\frac{1}{8} (4 \sqrt{5} + ln (9 + 4 \sqrt{5}))$

187.

$1.201$

189.

$15.2341$

191.

$\frac{49 π}{3}$

193.

$70 π \sqrt{2}$

195.

$8 π$

197.

$120 π \sqrt{26}$

199.

$\frac{π}{6} (17 \sqrt{17} - 1)$

201.

$9 \sqrt{2} π$

203.

$\frac{10 \sqrt{10} π}{27} (73 \sqrt{73} - 1)$

205.

$25.645$

207.

$π (2 + π)$

209.

$10.5017$

211.

$24$ 英尺

213.

$2$

215.

答案可能不同

217.

欲了解更多信息，请查阅加百利号角（Gabriel’s Horn）。

第6.5节练习

219.

$150$ 英尺-磅

221.

$200 J$

223.

$1$ 焦耳

225.

$\frac{39}{2}$

227.

$ln (243)$

229.

$\frac{332 π}{15}$

231.

$100 π$

233.

$20 π \sqrt{15}$

235.

$6$ 焦耳

237.

$5$ 厘米

239.

$36$ 焦耳

241.

$18,750$ 英尺-磅

243.

重量 $= \frac{32}{3} \times 10^{9} lb$

功 $= \frac{4}{3} \times 10^{12} ft-lb$

245.

$9.71 \times 10^{8} N m$

247.

a. $3,000,000$ 磅, b. $750,000$ 磅

249.

$23.25 π$ 百万英尺-磅

251.

$\frac{A ρ H^{2}}{2}$

253.

答案可能不同

第6.6节练习

255.

$\frac{5}{4}$

257.

$(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

259.

$(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

261.

$\frac{3 L}{4}$

263.

$\frac{π}{2}$

265.

$\frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1}$

267.

$\frac{π^{2} - 4}{π}$

269.

$\frac{1}{4} (1 + e^{2})$

271.

$(\frac{a}{3}, \frac{b}{3})$

273.

$(0, \frac{π}{8})$

275.

$(0, 3)$

277.

$(0, \frac{4}{π})$

279.

$(\frac{5}{8}, \frac{1}{3})$

281.

$\frac{2 m π}{3}$

283.

$π a^{2} b$

285.

$(\frac{4}{3 π}, \frac{4}{3 π})$

287.

$(\frac{1}{2}, \frac{2}{5})$

289.

$(0, \frac{28}{9 π})$

291.

质心: $(\frac{3 a}{8}, \frac{2 a^{2}}{5}),$ 体积: $\frac{π a^{4}}{2}$

293.

体积: $2 π^{2} a^{2} (b + a)$

第6.7节练习

295.

$\frac{1}{x}$

297.

$- \frac{1}{x {(ln x)}^{2}}$

299.

$ln (x + 1) + C$

301.

$ln (x) + 1$

303.

$cot (x)$

305.

$\frac{7}{x}$

307.

$csc (x) sec x$

309.

$−2 tan x$

311.

$\frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})$

313.

$2 - \frac{1}{2} ln (5)$

315.

$\frac{1}{ln (2)} - 1$

317.

$\frac{1}{2} ln (2)$

319.

$\frac{1}{3} {(ln x)}^{3}$

321.

$\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}}$

323.

$x^{−2 - (1 / x)} (ln x - 1)$

325.

$e x^{e - 1}$

327.

$1$

329.

$- \frac{1}{x^{2}}$

331.

$π - ln (2)$

333.

$\frac{1}{x}$

335.

$e^{5} - 6 {单位}^{2}$

337.

$ln (4) - 1 {单位}^{2}$

339.

$2.8656$

341.

$3.1502$

第6.8节练习

349.

真

351.

真； $k = \frac{ln (2)}{t}$

353.

$20$ 小时

355.

不。该文物大约有 $871$ 年历史。

357.

$73$ 年

359.

$5$ 天 $6$ 小时 $27$ 分钟

361.

$12$

363.

$8.618 %$

365.

$$ 6766.76$

367.

$9$ 小时 $13$ 分钟

369.

$239,179$ 年

371.

$P' (t) = 43 e^{0.01604 t} .$ 人口始终在增长。

373.

人口在 $2032 .$ 达到 $10$ 亿人

375.

$P' (t) = 2.259 e^{0.06407 t} .$ 人口始终在增长。

第6.9节练习

377.

$e^{x} 和 e^{− x}$

379.

答案可能不同

381.

答案可能不同

383.

答案可能不同

385.

$3 sinh (3 x + 1)$

387.

$− tanh (x) sech (x)$

389.

$4 cosh (x) sinh (x)$

391.

$\frac{x {sech}^{2} (\sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

393.

$6 {sinh}^{5} (x) cosh (x)$

395.

$\frac{1}{2} sinh (2 x + 1) + C$

397.

$\frac{1}{2} sinh (x^{2}) + C$

399.

$\frac{1}{3} {cosh}^{3} (x) + C$

401.

$ln (1 + cosh (x)) + C$

403.

$cosh (x) + sinh (x) + C$

405.

$\frac{4}{1 - 16 x^{2}}$

407.

$\frac{sinh (x)}{\sqrt{{cosh}^{2} (x) + 1}}$

409.

$− csc (x)$

411.

$- \frac{1}{(x^{2} - 1) {tanh}^{−1} (x)}$

413.

$\frac{1}{a} {tanh}^{−1} (\frac{x}{a}) + C$

415.

$\sqrt{x^{2} + 1} + C$

417.

${cosh}^{−1} (e^{x}) + C$

419.

答案可能不同

421.

$37.30$

423.

$y = \frac{1}{c} cosh (c x)$

425.

$−0.521095$

427.

$10$

复习练习

435.

错误

437.

错误

439.

$16 \sqrt{3} {units}^{3}$

441.

$\frac{162 π}{5}$

443.

a. $4,$ b. $\frac{128 π}{7},$ c. $\frac{64 π}{5}$

445.

a. $1.949,$ b. $21.952,$ c. $17.099$

447.

a. $\frac{31}{6},$ b. $\frac{452 π}{15},$ c. $\frac{31 π}{6}$

449.

$π ln 17$

451.

质量: $\frac{1}{2},$ 质心: $(\frac{18}{35}, \frac{9}{22})$

453.

$\sqrt{17} + \frac{1}{8} ln (33 + 8 \sqrt{17})$

455.

体积: $\frac{3 π}{4},$ 表面积: $π (\sqrt{2} - {sinh}^{−1} (1) + {sinh}^{−1} (16) - \frac{\sqrt{257}}{16})$

457.

上午11:02

459.

$π (1 + sinh (1) cosh (1))$

检验点

第6.1节 练习

第6.2节 练习

第6.3节 练习

第6.4节 练习

第6.5节 练习

第6.6节 练习

第6.7节 练习

第6.8节 练习

第6.9节 练习

复习练习

第6.1节练习

第6.2节练习

第6.3节练习

第6.4节练习

第6.5节练习

第6.6节练习

第6.7节练习

第6.8节练习

第6.9节练习