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最大值和最小值

4.3 最大值和最小值

学习目标

  • 4.3.1 定义绝对极值。
  • 4.3.2 定义局部极值。
  • 4.3.3 解释如何在闭区间上找到函数的临界点。
  • 4.3.4 描述如何使用临界点在闭区间上定位绝对极值。

对于给定函数，确定其最大值和最小值往往是我们关心的核心问题。这一信息对于绘制精确的函数图形至关重要。求函数的极值还有广泛的实际应用，比如使利润最大化、使制造铝罐所需的材料最少，或求火箭能达到的最大高度。本节将讨论如何利用导数来求函数的最大值和最小值。

绝对极值

考虑函数 f(x)=x2+1f(x)=x2+1 在区间 (−∞,∞).(−∞,∞). 上的情况。由于 x→±∞,x→±∞, f(x)→∞.f(x)→∞.，因此该函数没有最大值。然而，由于对所有实数 xx 都有 x2+1≥1x2+1≥1，并且当 x=0,x=0, 时 x2+1=1x2+1=1，所以当 x=0.x=0. 时，函数有一个最小值 1。我们称 1 是 f(x)=x2+1f(x)=x2+1 的绝对最小值，它在 x=0.x=0. 处取得。我们称 f(x)=x2+1f(x)=x2+1 没有绝对最大值（参见下图）。

函数 f(x) = x2 + 1 的图形，其最小值为 1，在 x = 0 处取得。
图 4.12 给定函数在 x=0.x=0. 处有绝对最小值 1。该函数没有绝对最大值。

定义

设 ff 是定义在区间 II 上的函数，且 c∈I.c∈I.。如果对所有 x∈I.x∈I. 都有 f(c)≥f(x)f(c)≥f(x)，则称 ff 在区间 II 上的 cc 处取得绝对最大值。如果对所有 x∈I.x∈I. 都有 f(c)≤f(x)f(c)≤f(x)，则称 ff 在区间 II 上的 cc 处取得绝对最小值。如果 ff 在区间 II 上的 cc 处取得绝对最大值，或者在区间 II 上的 c,c, 处取得绝对最小值，则称 ff 在区间 II 上的 c.c. 处取得绝对极值。

在继续之前，我们先注意关于此定义的两个重要问题。首先，这里的“绝对”一词并非指绝对值。绝对极值可以是正数、负数或零。其次，如果函数 ff 在区间 II 上的 c,c, 处有绝对极值，那么这个绝对极值是 f(c).f(c).。实数 cc 是定义域中绝对极值发生的点。例如，考虑函数 f(x)=1/(x2+1)f(x)=1/(x2+1) 在区间 (−∞,∞).(−∞,∞). 上的情况。由于

f(0)=1≥1x2+1=f(x)f(0)=1≥1x2+1=f(x)

对所有实数 x,x, 成立，因此我们说 ff 在 x=0.x=0. 在区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 上取得绝对最大值。绝对最大值为 f(0)=1.f(0)=1.。它在 x=0,x=0, 处取得，如 图 4.13(b) 所示。

一个函数可能同时拥有绝对最大值和绝对最小值，也可能只有一个极值，或者两者都没有。图 4.13 展示了几个函数以及关于绝对极值的一些不同可能性。不过，下面的定理，称为最值定理，保证了在闭有界区间 [a,b][a,b] 上的连续函数 ff 同时拥有绝对最大值和绝对最小值。

此图包含六个部分：a、b、c、d、e 和 f。图 a 显示了函数 f(x) = x3 的曲线，并指出它没有绝对最小值和绝对最大值。图 b 显示了函数 f(x) = 1/(x2 + 1) 的曲线，该曲线大部分长度接近 0，并在 (0, 1) 处上升形成一个凸起；它没有绝对最小值，但在 x = 0 处有绝对最大值 1。图 c 显示了函数 f(x) = cos x 的曲线，它在 ±π, ±3π, … 处有绝对最小值 −1，在 0, ±2π, ±4π, … 处有绝对最大值 1。图 d 显示了分段函数 f(x) = 2 – x2 (0 ≤ x < 2) 和 x – 3 (2 ≤ x ≤ 4) 的曲线，在 x = 0 处有绝对最大值 2，没有绝对最小值。图 e 显示了函数 f(x) = (x – 2)2 在 [1, 4] 上的曲线，在 x = 4 处有绝对最大值 4，在 x = 2 处有绝对最小值 0。图 f 显示了函数 f(x) = x/(2 − x) 在 [0, 2) 上的曲线，在 x = 0 处有绝对最小值 0，没有绝对最大值。
图 4.13 图 (a)、(b) 和 (c) 展示了定义域为 (−∞,∞).(−∞,∞). 的函数绝对极值的几种可能性。图 (d)、(e) 和 (f) 展示了定义域为有界区间的函数绝对极值的几种可能性。

定理 4.1

最值定理

如果 ff 是在闭有界区间 [a,b],[a,b], 上的连续函数，那么在 [a,b][a,b] 中存在一点，使得 ff 在 [a,b][a,b] 上有绝对最大值；并且在 [a,b][a,b] 中存在一点，使得 ff 在 [a,b].[a,b]. 上有绝对最小值。

最值定理的证明超出了本书的范围。通常，它在实分析课程中进行证明。关于该定理的陈述有几个关键点需要注意。要使最值定理适用，函数必须在闭有界区间上连续。如果区间 II 是开区间，或者函数甚至有一个不连续点，那么函数在 I.I. 上可能没有绝对最大值或绝对最小值。例如，考虑 图 4.13(d)、(e) 和 (f) 中所示的函数。这三个函数都定义在有界区间上。然而，图 (e) 中的函数是唯一一个在其定义域上同时具有绝对最大值和绝对最小值的函数。最值定理不能应用于图 (d) 和 (f) 中的函数，因为这两个函数都不是在闭有界区间上连续的。尽管图 (d) 中的函数定义在闭区间 [0,4],[0,4], 上，但该函数在 x=2.x=2. 处不连续。该函数在 [0,4][0,4] 上有绝对最大值，但没有绝对最小值。图 (f) 中的函数在半开区间 [0,2),[0,2), 上连续，但在 x=2,x=2, 处没有定义，所以它不是在闭有界区间上连续的。该函数在 [0,2),[0,2), 上有绝对最小值，但在 [0,2).[0,2). 上没有绝对最大值。这两个图形说明了为什么在有界区间上的函数可能没有绝对最大值和/或绝对最小值。

在探讨如何寻找绝对极值之前，我们先研究局部极值的相关概念。这一概念对于确定绝对极值出现的位置非常有用。

局部极值和临界点

考虑函数 ff，如图 4.14所示。该图形可以描述为两座山峰中间夹着一个山谷。函数的绝对最大值出现在较高的山峰处，即 x=2.x=2.。但是，x=0x=0 也是一个值得关注的点。尽管 f(0)f(0) 不是 f,f, 的最大值，但对于 0 附近的所有 xx，值 f(0)f(0) 都大于 f(x)f(x)。我们称 ff 在 x=0.x=0. 处有一个局部最大值。类似地，函数 ff 没有绝对最小值，但在 x=1x=1 处有一个局部最小值，因为对于 1 附近的所有 xx，f(1)f(1) 都小于 f(x)f(x)。

函数 f(x) 的图形显示，它从第三象限向上弯曲，在第二象限减速，在 y 轴上达到一个局部最大值，然后下降到第一象限 x = 1 处的一个局部最小值，再增加到 x = 2 处的一个局部最大值（该值大于另一个局部最大值），然后迅速下降穿过第四象限。
图 4.14 此函数 ff 有两个局部最大值和一个局部最小值。在 x=2x=2 处的局部最大值也是绝对最大值。

定义

如果存在一个包含 cc 的开区间 II，使得 II 包含在 ff 的定义域中，并且对所有 x∈I.x∈I. 都有 f(c)≥f(x)f(c)≥f(x)，则函数 ff 在 cc 处有一个局部最大值。如果存在一个包含 cc 的开区间 II，使得 II 包含在 ff 的定义域中，并且对所有 x∈I.x∈I. 都有 f(c)≤f(x)f(c)≤f(x)，则函数 ff 在 cc 处有一个局部最小值。如果 ff 在 cc 处有一个局部最大值，或者 ff 在 c.c. 处有一个局部最小值，则函数 ff 在 cc 处有一个局部极值。

注意，如果 ff 在 cc 处有绝对极值，并且 ff 在包含 c,c, 的区间上定义，那么 f(c)f(c) 也被认为是局部极值。如果函数 ff 的绝对极值出现在端点处，我们不将其视为局部极值，而是将其称为端点极值。

给定函数 f,f, 的图形，有时很容易看出局部最大值或局部最小值出现在何处。然而，这并非总是显而易见的，因为函数图形上的一些有趣特征可能由于尺度太小而不可见。此外，我们可能没有函数的图形。在这些情况下，我们如何使用函数公式来确定这些极值出现的位置？

为了回答这个问题，我们再次查看图 4.14。局部极值出现在 x=0,x=0,、x=1,x=1, 和 x=2.x=2. 处。注意，在 x=0x=0 和 x=1,x=1, 处，导数 f′(x)=0.f′(x)=0.。在 x=2,x=2, 处，导数 f′(x)f′(x) 不存在，因为函数 ff 在该处有一个尖角。事实上，如果 ff 在点 x=c,x=c, 处有局部极值，那么导数 f′(c)f′(c) 必须满足以下条件之一：f′(c)=0f′(c)=0 或 f′(c)f′(c) 未定义。这样的值 cc 被称为临界数，它对于寻找函数的极值非常重要。

定义

设 cc 是 f.f. 定义域中的一个内点。如果 f′(c)=0f′(c)=0 或 f′(c)f′(c) 未定义，我们称 cc 是 ff 的一个临界数。我们称点 (c, f(c))(c, f(c)) 为 ff 的临界点。注意，这两个术语在本书及其他教材中经常互换使用。

如前所述，如果 ff 在点 x=c,x=c, 处有局部极值，那么 cc 必须是 f.f. 的一个临界数。这一事实被称为费马定理。

定理 4.2

费马定理

如果 ff 在 cc 处有局部极值，并且 ff 在 c,c, 处可微，那么 f′(c)=0.f′(c)=0.。

证明

假设 ff 在 cc 处有局部极值，并且 ff 在 c.c. 处可微。我们需要证明 f′(c)=0.f′(c)=0.。为此，我们将证明 f′(c)≥0f′(c)≥0 和 f′(c)≤0,f′(c)≤0,，因此 f′(c)=0.f′(c)=0.。由于 ff 在 c,c, 处有局部极值，ff 在 c.c. 处有局部最大值或局部最小值。假设 ff 在 c.c. 处有局部最大值。ff 在 cc 处有局部最小值的情况可以类似处理。因此存在一个开区间 II，使得对所有 x∈I.x∈I. 都有 f(c)≥f(x)f(c)≥f(x)。由于 ff 在 c,c, 处可微，根据导数的定义，我们知道

f′(c)=limx→cf(x)−f(c)x−c.f′(c)=limx→cf(x)−f(c)x−c.

由于此极限存在，于是两个单侧极限也存在且等于 f′(c).f′(c).。因此，

f′(c)=limx→c+f(x)−f(c)x−c,f′(c)=limx→c+f(x)−f(c)x−c,
(4.4)

且

f′(c)=limx→c−f(x)−f(c)x−c.f′(c)=limx→c−f(x)−f(c)x−c.
(4.5)

由于 f(c)f(c) 是局部最大值，可以看出对于 c.c. 附近的 xx，有 f(x)−f(c)≤0f(x)−f(c)≤0。因此，对于 c,c, 附近但 x>c,x>c, 的 xx，我们有 f(x)−f(c)x−c≤0.f(x)−f(c)x−c≤0.。由式 4.4，可得 f′(c)≤0.f′(c)≤0.。类似地，可以证明 f′(c)≥0.f′(c)≥0.。所以，f′(c)=0.f′(c)=0.。

□

根据费马定理，于是：如果 ff 在 c,c, 处有局部极值，那么 f′(c)=0f′(c)=0 或 f′(c)f′(c) 必有一个未定义。也就是说，局部极值只能出现在临界点处。

注意，此定理并非声称函数 ff 在临界点处一定有局部极值。相反，它指出临界点是局部极值的候选点。例如，考虑函数 f(x)=x3.f(x)=x3.。当 x=0.x=0. 时，我们有 f′(x)=3x2=0f′(x)=3x2=0。因此，x=0x=0 是一个临界数。不过，f(x)=x3f(x)=x3 在 (−∞,∞),(−∞,∞), 上是递增的，因此 ff 在 x=0.x=0. 处没有局部极值。在图 4.15中可以看到临界点的几种不同可能性。在某些情况下，函数在临界点处有局部极值，而在其他情况下则没有。注意，这些图形并未显示函数在临界点处行为的所有可能性。

此图包含 a、b、c、d 和 e 五个部分。在图 a 中，显示了一个在第一象限开口向下的抛物线；在标记为 f’(c) = 0 的局部最大值处有一条水平切线。在图 b 中，绘制了一个在 c 处有渐近线的函数，这意味着函数在 c 的两侧都趋向无穷大；注意到 f’(c) 未定义。在图 c 中，显示了一个绝对值函数的变体，其最小值已平移到第一象限 x = c 处。注意到 f’(c) 未定义。在图 d 中，显示了函数 f(x) = x3 的一个变体，其拐点已平移到第一象限 x = c 处。其在 (c, f(c)) 处的拐点有一条水平线穿过，并注意到 f’(c) = 0。在图 e 中，显示了函数 f(x) = x1/3 的一个变体，其拐点已平移到第一象限 x = c 处。其在 (c, f(c)) 处的拐点有一条垂直线穿过，并注意到 f’(c) 未定义。
图 4.15 (a–e) 如果 f′(c)=0f′(c)=0 或 f′(c)f′(c) 未定义，则函数 ff 在 cc 处有一个临界数。函数在临界点处可能有局部极值，也可能没有。

本章后面，我们将探讨用于确定函数在临界点处是否确实存在局部极值的分析方法。现在，我们把注意力转向寻找临界点。我们将利用图形观察来确定临界点是否与局部极值相关联。

例 4.12

定位临界点

对于以下每个函数，找出所有临界点。使用图形工具确定函数在每个临界点处是否有局部极值。

  1. f(x)=13x3−52x2+4xf(x)=13x3−52x2+4x
  2. f(x)=(x2−1)3f(x)=(x2−1)3
  3. f(x)=4x1+x2f(x)=4x1+x2

解

  1. 导数 f′(x)=x2−5x+4f′(x)=x2−5x+4 对所有实数 x.x. 都有定义。于是，我们只需找到使 f′(x)=0.f′(x)=0. 的 xx 值。由于 f′(x)=x2−5x+4=(x−4)(x−1),f′(x)=x2−5x+4=(x−4)(x−1),，临界数是 x=1x=1 和 x=4.x=4.。从图 4.16中 ff 的图形可以看出，ff 在 x=1x=1 处有局部最大值，在 x=4.x=4. 处有局部最小值。
    函数 f(x) = (1/3) x3 – (5/2) x2 + 4x 的图形。该函数在 x = 1 处有局部最大值，在 x = 4 处有局部最小值。
    图 4.16 此函数有一个局部最大值和一个局部最小值。
  2. 使用链式法则，可得导数为
    f′(x)=3(x2−1)2(2x)=6x(x2−1)2.f′(x)=3(x2−1)2(2x)=6x(x2−1)2.

     因此，ff 有临界点，当 x=0x=0 和 x2−1=0.x2−1=0. 时。可得临界数是 x=0,±1.x=0,±1.。从图 4.17中 ff 的图形可以看出，ff 在 x=0,x=0, 处有局部（和绝对）最小值，但在 x=1x=1 或 x=−1.x=−1. 处没有局部极值。
    函数 f(x) = (x2 − 1)3 的图形。该函数在 x = 0 处有局部最小值，在 x = ±1 处有拐点。
    图 4.17 此函数有三个临界数：x=0,x=0,、x=1,x=1, 和 x=−1.x=−1.。该函数在 x=0,x=0, 处有局部（和绝对）最小值，但在其他两个临界点处没有极值。
  3. 根据商法则，可得导数为
    f'(x)=(1+x2)(4)−4x(2x)(1+x2)2=4−4x2(1+x2)2.f'(x)=(1+x2)(4)−4x(2x)(1+x2)2=4−4x2(1+x2)2.

     导数处处有定义。因此，我们只需找到使 f′(x)=0.f′(x)=0. 的 xx 值。解 f′(x)=0,f′(x)=0,，可得 4−4x2=0,4−4x2=0,，这意味着 x=±1.x=±1.。所以，临界数是 x=±1.x=±1.。从图 4.18中 ff 的图形可以看出，ff 在 x=1x=1 处有绝对最大值，在 x=−1.x=−1. 处有绝对最小值。因此，ff 在 x=1x=1 处有局部最大值，在 x=−1.x=−1. 处有局部最小值。（注意，如果 ff 在区间 II 上的绝对极值出现在不是 I,I, 端点的点 cc 处，那么 ff 在 c.)c.) 处有局部极值。）
    函数 f(x) = 4x/(1 + x2) 的图形。该函数在 x = 1 处有局部/绝对最大值，在 x = −1 处有局部/绝对最小值。
    图 4.18 此函数有一个绝对最大值和一个绝对最小值。

检验点 4.12

找出 f(x)=x3−12x2−2x+1.f(x)=x3−12x2−2x+1. 的所有临界点。

定位绝对极值

最值定理指出，闭有界区间上的连续函数具有绝对最大值和绝对最小值。如图 4.13 所示，这些绝对极值中的一个或两个可能出现在端点处。然而，如果一个绝对极值不出现在端点处，那么它必然出现在内点处，此时，该绝对极值是一个局部极值。因此，根据费马定理，出现局部极值的点 cc 必须是一个临界点。我们将此结果总结在以下定理中。

定理 4.3

绝对极值的位置

设 ff 是闭有界区间 I.I. 上的一个连续函数。ff 在 II 上的绝对最大值和 ff 在 II 上的绝对最小值，必然出现在 II 的端点处或 I.I. 中 ff 的临界点处。

基于这一思路，下面研究定位绝对极值的步骤。

解题策略

在闭区间上定位绝对极值

考虑在闭区间 [a,b].[a,b]. 上定义的连续函数 ff。

  1. 计算 ff 在端点 x=ax=a 和 x=b.x=b. 处的值。
  2. 找出 ff 在区间 (a,b)(a,b) 内的所有临界点，并计算 ff 在这些临界点处的值。
  3. 比较在 (1) 和 (2) 中找到的所有值。根据绝对极值的位置定理，绝对极值必然出现在端点或临界点处。于是，这些值中最大的就是 f.f. 的绝对最大值，最小的就是 f.f. 的绝对最小值。

现在来看看如何使用这个策略来找到连续函数的绝对最大值和绝对最小值。

例 4.13

定位绝对极值

对于下列每个函数，求其在指定区间上的绝对最大值和绝对最小值，并说明这些值出现的位置。

  1. f(x)=−x2+3x−2f(x)=−x2+3x−2 在 [1,3].[1,3]. 上
  2. f(x)=x2−3x2/3f(x)=x2−3x2/3 在 [0,2].[0,2]. 上

解

  1. 步骤 1. 计算 ff 在端点 x=1x=1 和 x=3.x=3. 处的值。
    f(1)=0，f(3)=−2f(1)=0，f(3)=−2

     步骤 2. 由于 f′(x)=−2x+3,f′(x)=−2x+3, f′f′ 对所有实数 x.x. 都有定义，因此不存在导数未定义的临界点。接下来需要检查 f′(x)=0.f′(x)=0. 的情况。由于 f′(x)=−2x+3=0f′(x)=−2x+3=0 在 x=32x=32 处，且 3232 位于区间 [1,3],[1,3], 内，因此 f(32)f(32) 是 ff 在 [1,3].[1,3]. 上的一个绝对极值候选点。我们计算 f(32)f(32) 得到
    f(32)=14.f(32)=14.

     步骤 3. 我们建立下表来比较步骤 1 和步骤 2 中找到的值。
    xx f(x)f(x) 结论
    11 00
    3232 1414 绝对最大值
    33 −2−2 绝对最小值

    从表中可知，ff 在区间 [1, 3] 上的绝对最大值为 14,14,，它出现在 x=32.x=32. 处。ff 在区间 [1, 3] 上的绝对最小值为 −2,−2,，它出现在 x=3x=3 处，如下图所示。
    函数 f(x) = – x2 + 3x – 2 的图形从 (1, 0) 到 (3, −2)，其最大值标记在 (3/2, 1/4) 处。
    图 4.19 此函数同时具有绝对最大值和绝对最小值。
  2. 步骤 1. 计算 ff 在端点 x=0x=0 和 x=2.x=2. 处的值。
    f(0)=0，f(2)=4−343≈−0.762f(0)=0，f(2)=4−343≈−0.762

     步骤 2. ff 的导数由下式给出：
    f′(x)=2x−2x1/3=2x4/3−2x1/3f′(x)=2x−2x1/3=2x4/3−2x1/3

     对于 x≠0.x≠0.。当 2x4/3−2=0,2x4/3−2=0, 时，导数为零，这意味着 x=±1.x=±1.。导数在 x=0.x=0. 处无定义。所以，ff 的临界数是 x=0,1,−1.x=0,1,−1.。点 x=0x=0 是一个端点，所以我们已经在步骤 1 中计算了 f(0)f(0)。点 x=−1x=−1 不在所关注的区间内，所以我们只需计算 f(1).f(1).。我们发现
    f(1)=−2.f(1)=−2.

     步骤 3. 我们在下表中比较步骤 1 和步骤 2 中找到的值。
    xx f(x)f(x) 结论
    00 00 绝对最大值
    11 −2−2 绝对最小值
    22 −0.762−0.762

    由此可得，ff 在区间 [0, 2] 上的绝对最大值为零，它出现在 x=0.x=0. 处。绝对最小值为 −2，它出现在 x=1x=1 处，如下图所示。
    函数 f(x) = x2 – 3x2/3 的图形从 (0, 0) 到 (2, −0.762)，其最小值标记在 (1, −2) 处。
    图 4.20 此函数在区间的端点处有一个绝对最大值。

检验点 4.13

求函数 f(x)=x2−4x+3f(x)=x2−4x+3 在区间 [1,4].[1,4]. 上的绝对最大值和绝对最小值。

至此，我们已经知道如何定位闭区间上连续函数的绝对极值。我们还定义了局部极值，并确定如果函数 ff 在点 c,c, 处有局部极值，那么 cc 必须是 f.f. 的一个临界数。但是，cc 是一个临界点并不是 ff 在 c.c. 处有局部极值的充分条件。在本章后面，我们将展示如何确定函数是否在临界点处确实有局部极值。但是，首先我们需要引入中值定理，它将有助于我们分析函数图形的行为。

第 4.3 节练习

90.

在预备微积分中，你学过二次方程 y=ax2+bx+c,y=ax2+bx+c, 的最大值或最小值位置的公式，即 h=−b(2a).h=−b(2a).。请用微积分证明这个公式。

91.

在区间 [a,b][a,b] 上寻找绝对最小值时，为什么需要检查端点？画图说明你的论证。

92.

考察函数在区间 (a,b),(a,b), 上的行为，其中 aa 和 bb 是有限的，是否可能没有绝对最大值或绝对最小值？

93.

在寻找临界点时，解释为什么还需要确定 f'(x)f'(x) 未定义的点。画图说明你的解释。

94.

函数 y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c 在 (−∞,∞)(−∞,∞) 上是否可以有有限的绝对最大值？请用图形论证说明理由。

95.

假设 a 不为零，函数 y=ax3+bx2+cx+dy=ax3+bx2+cx+d 在 (−∞,∞)(−∞,∞) 上是否可以有有限的绝对最大值？请用图形论证说明理由。

96.

设 mm 为局部最小值的数量，MM 为局部最大值的数量。你能否构造一个函数，使得 M>m+2?M>m+2?？画图说明你的解释。

97.

是否可能存在多个绝对最大值？请用图形论证证明你的结论。

98.

一个函数是否可能没有绝对最小值或最大值？如果可能，请构造一个这样的函数。如果不可能，请解释原因。

99.

[T] 绘制函数 y=eax.y=eax. 的图形。对于哪些 aa 值，该函数在无穷区间上具有绝对最小值和绝对最大值？

对于以下练习，确定给定图形中局部最大值、局部最小值以及绝对最大值、绝对最小值出现的位置。假设图形展示了每个函数的全部信息。对于出现在端点处的极值，请近似给出相应的 x 值。

100.
所绘制的函数图形从 (−4, 60) 开始，迅速下降到 (−3, −40)，然后上升到 (−1, 10)，接着缓慢下降到 (2, 0)，在此点之后迅速上升到 (3, 30)。
101.
所绘制的函数图形从 (−2.2, 10) 开始，迅速下降到 (−2, −11)，然后上升到 (−1, 5)，接着缓慢下降到 (1, 3)，在此点之后上升到 (2, 7)，然后下降到 (3, −20)。
102.
所绘制的函数图形从 (−3, −1) 开始，迅速上升到 (−2, 0.7)，然后下降到 (−1, −0.25)，接着缓慢下降到 (1, 0.25)，在此点之后下降到 (2, 0.7)，然后上升到 (3, 1)。
103.
所绘制的函数图形从 (−2.5, 1) 开始，迅速下降到 (−2, −1.25)，然后上升到 (−1, 0.25)，接着缓慢下降到 (0, 0.2)，在此点之后缓慢上升到 (1, 0.25)，然后迅速下降到 (2, −1.25)，最后上升到 (2.5, 1)。

对于以下问题，绘制在区间 [−4,4][−4,4] 上连续的函数 f(x),f(x), 的图形，使其具有以下性质：

104.

在 x=2x=2 处有绝对最大值，在 x=±3x=±3 处有绝对最小值。

105.

在 x=1x=1 处有绝对最小值，在 x=2x=2 处有绝对最大值。

106.

在 x=4,x=4, 处有绝对最大值，在 x=−1,x=−1, 处有绝对最小值，在 x=−2,x=−2, 处有局部最大值，在 x=2x=2 处有一个既不是最大值也不是最小值的临界点。

107.

在 x=2x=2 和 x=−3,x=−3, 处有绝对最大值，在 x=1,x=1, 处有局部最小值，在 x=4x=4 处有绝对最小值。

对于以下练习，找出下列函数定义域中的临界数。

108.

y = 4 x 3 − 3 x y = 4 x 3 − 3 x

109.

y = 4 x − x 2 y = 4 x − x 2

110.

y = 1 x − 1 y = 1 x − 1

111.

y = ln ( x − 2 ) y = ln ( x − 2 )

112.

y = tan ( x ) y = tan ( x )

113.

y = 4 − x 2 y = 4 − x 2

114.

y = x 3 / 2 − 3 x 5 / 2 y = x 3 / 2 − 3 x 5 / 2

115.

y = x 2 − 1 x 2 + 2 x − 3 y = x 2 − 1 x 2 + 2 x − 3

116.

y = sin 2 ( x ) y = sin 2 ( x )

117.

y = x + 1 x y = x + 1 x

对于以下练习，找出函数在指定定义域上的局部极值和/或绝对极值。

118.

f(x)=x2+3f(x)=x2+3 在 [−1,4][−1,4] 上

119.

y=x2+2xy=x2+2x 在 [1,4][1,4] 上

120.

y=(x−x2)2y=(x−x2)2 在 [−1,1][−1,1] 上

121.

y=1(x−x2)y=1(x−x2) 在 (0,1)(0,1) 上

122.

y=9−xy=9−x 在 [1,9][1,9] 上

123.

y=x+sin(x)y=x+sin(x) 在 [0,2π][0,2π] 上

124.

y=x1+xy=x1+x 在 [0,100][0,100] 上

125.

y=|x+1|+|x−1|y=|x+1|+|x−1| 在 [−3,2][−3,2] 上

126.

y=x−x3y=x−x3 在 [0,4][0,4] 上

127.

y=sinx+cosxy=sinx+cosx 在 [0,2π][0,2π] 上

128.

y=4sinθ−3cosθy=4sinθ−3cosθ 在 [0,2π][0,2π] 上

对于以下练习，求在 (−∞,∞).(−∞,∞). 上的函数的局部极值和绝对极值。

129.

y = x 2 + 4 x + 5 y = x 2 + 4 x + 5

130.

y = x 3 − 12 x y = x 3 − 12 x

131.

y = 3 x 4 + 8 x 3 − 18 x 2 y = 3 x 4 + 8 x 3 − 18 x 2

132.

y = x 3 ( 1 − x ) 6 y = x 3 ( 1 − x ) 6

133.

y = x 2 + x + 6 x − 1 y = x 2 + x + 6 x − 1

134.

y = x 2 − 1 x − 1 y = x 2 − 1 x − 1

对于以下函数，使用计算器绘制函数图形，并估计其绝对极值和局部极值。然后，显式地求解它们。

135.

[T] y=3x1−x2y=3x1−x2

136.

[T] y=x+sin(x)y=x+sin(x)

137.

[T] y=12x5+45x4+20x3−90x2−120x+3y=12x5+45x4+20x3−90x2−120x+3

138.

[T] y=x3+6x2−x−30x−2y=x3+6x2−x−30x−2

139.

[T] y=4−x24+x2y=4−x24+x2

140.

一家生产手机的公司，其成本函数为 C=x2−1200x+36,400,C=x2−1200x+36,400,，其中 CC 是以美元计的成本，xx 是生产的手机数量（以千为单位）。多少单位的手机（以千为单位）能使此成本函数最小化？

141.

一个球被抛向空中，其位置由 h(t)=−4.9t2+60t+5m.h(t)=−4.9t2+60t+5m. 给出。求球停止上升时的高度。从抛出到此时经过了多长时间？

对于以下练习，考虑加利福尼亚淘金热（1848-1888年）期间的黄金产量。黄金产量可以用 G(t)=(25t)(t2+16),G(t)=(25t)(t2+16), 建模，其中 tt 是淘金热开始以来的年数 (0≤t≤40)(0≤t≤40)，GG 是黄金产量（以百万盎司计）。数据摘要显示在下图中。

该柱状图显示了从1848年到1888年每年的黄金产量（以百万金衡盎司计）。1848年，柱状图显示0.05；1849年，0.5；1850年，2；1851年，3.6；1852年，3.9；1853年，3.3；1854年，3.4；1855年，2.6；1856年，2.75；1857年，2.1；1858年，2.2；1859年，2.15；1860年，2.1；1861年，2；1862年，1.8；1863年，1.1；1864年，1.15；1865年，0.9；1866年，0.85；1867年，0.9；1868年，0.85；1869年，0.9；1870年，0.85；1871年，0.85；1872年，0.75；1873年，0.7；1874年，0.8；1875年，0.75；1876年，0.7；1877年，0.73；1878年，0.9；1879年，0.95；1880年，1；1881年，0.95；1882年，0.85；1883年，1.1；1884年，0.6；1885年，0.55；1886年，0.65；1887年，0.6；1888年，0.55。
142.

求黄金产量达到最大值（局部和绝对）的时间，以及该最大值时的黄金产量。

143.

求黄金产量达到最小值（局部和绝对）的时间。该最小值时的黄金产量是多少？

求以下分段函数的临界点、最大值和最小值。

144.

y = { x 2 − 4 x 0 ≤ x ≤ 1 x 2 − 4 1 < x ≤ 2 y = { x 2 − 4 x 0 ≤ x ≤ 1 x 2 − 4 1 < x ≤ 2

145.

y = { x 2 + 1 x ≤ 1 x 2 − 4 x + 5 x > 1 y = { x 2 + 1 x ≤ 1 x 2 − 4 x + 5 x > 1

对于以下练习，求以下一般函数的临界点。它们是最大值、最小值还是两者都不是？说明必要的条件。

146.

y=ax2+bx+c,y=ax2+bx+c, 已知 a>0a>0

147.

y=(x−1)a,y=(x−1)a, 已知 a>1a>1 且 a 是一个整数。