复习练习

判断对错。用证明或反例说明理由。

310.

函数 (function)必为一一对应函数 (one-to-one function)。

311.

$f \circ g = g \circ f,$ ，设 f 与 g 均为函数。

312.

同时通过水平线检验 (horizontal line test)与垂直线检验 (vertical line test)的关系是一一对应函数。

313.

通过水平线检验的关系是函数。

求下列函数的定义域 (domain)与值域 (range)：

$f = x^{2} + 2 x - 3, g = ln (x - 5), h = \frac{1}{x + 4}$

314.

315.

316.

$h \circ f$

317.

$g \circ f$

求下列多项式函数 (polynomial function)的次数 (degree)、y轴截距与零点。

318.

$f (x) = 2 x^{2} + 9 x - 5$

319.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x$

化简下列三角表达式。

320.

$\frac{{tan}^{2} x}{{sec}^{2} x} + {cos}^{2} x$

321.

${cos}^{2} x - {sin}^{2} x$

在区间 (interval) $x = [−2 π, 2 π]$ 上精确求解下列三角方程。

322.

$6 {cos}^{2} x - 3 = 0$

323.

${sec}^{2} x - 2 sec x + 1 = 0$

求解下列对数方程。

324.

$5^{x} = 16$

325.

${log}_{2} (x + 4) = 3$

下列函数在其定义域上是否一一对应？是否存在反函数 (inverse function)？若存在，求 $f^{−1} (x)$ 。说明理由。

326.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

327.

$f (x) = \frac{1}{x}$

确定使下列函数为一一对应的最大定义域，并在该定义域上求反函数。

328.

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

329.

$f (x) = x^{2} + 3 x + 4$

330.

一辆汽车沿直径为1英里的圆形赛道行驶。站在圆心的教练每5秒记录一次汽车位置。5秒后教练需转过55°才能跟上汽车方向。求汽车行驶速度。

以下各题讨论一位餐馆老板出售品牌T恤的问题。他记得有固定成本与可变成本，但不记得具体数值。已知印制公司印20件收费440美元，印100件收费1000美元。

331.

a. 求总成本关于T恤数量的方程 (equation) $C = f (x)$ ；b. 若每件售价10美元，至少卖多少件才能收支平衡？

332.

a. 求反函数 $x = f^{−1} (C)$ 并说明其含义；b. 若预算为8000美元，能购买多少件T恤？

以下各题讨论新泽西州海洋城的人口问题，其人口随季节呈周期性变化。

333.

人口可用 $P (t) = 82.5 - 67.5 cos [(π / 6) t],$ 来表示，其中 $t$ 是以月为单位的时间（ $(t = 0$ 代表1月1日）， $P$ 是人口数量（以千为单位）。一年中，人口低于20,000的时间区间是什么？高于140,000的时间区间是什么？

334.

实际上，总体人口很可能逐年递增或递减。将模型改为 $P (t) = 82.5 - 67.5 cos [(π / 6) t] + t,$ ，其中 $t$ 是以月为单位的时间（ $t = 0$ 代表1月1日）， $P$ 是人口数量（以千为单位）。人口首次达到200,000是在何时？

以下各题讨论放射性定年法。考古发掘中发现一具人类骨骼，利用碳定年方程 $y = e^{r t},$ 确定其年龄。其中 $y$ 为材料中放射性碳的残留比， $t$ 为经过的年数， $r = −0.0001210$ 为放射性碳的衰变率。

335.

若该骨骼距今约2000年，放射性碳残留百分比应为多少？

336.

求碳定年方程的反函数并说明其含义。若放射性碳残留量为25%，骨骼距今多少年？