$\frac{1}{4}$

$6$

$f^{\prime }\left(1\right)=5$

$\mathrm{-32}$ ft/s

$P^{\prime }\left(3.25\right)=20>0;$ 提高价格

$f^{\prime }\left(x\right)=2x$

$\left(0,\text{+}\infty \right)$

$a=6$ 和 $b=\mathrm{-9}$

$f^{″}\left(x\right)=2$

$a\left(t\right)=6t$

0

$4x^3$

$f^{\prime }\left(x\right)=7x^6$

$f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-12x.$

$y=12x-23$

$j^{\prime }\left(x\right)=10x^4\left(4x^2+x\right)+\left(8x+1\right)\left(2x^5\right)=56x^6+12x^5.$

$k^{\prime }\left(x\right)=-\frac{13}{{(4x-3)}^2}.$

$g^{\prime }\left(x\right)=\mathrm{-7}{x}^{\mathrm{-8}}.$

$3f^{\prime }\left(x\right)-2g^{\prime }\left(x\right).$

$\frac{5}{8}$

$\mathrm{-4.4}$

从左到右

3,300

$2

$f^{\prime }\left(x\right)={\text{cos}}^{2}x-{\text{sin}}^{2}x$

$\frac{\text{cos}x+x\text{sin}x}{{\text{cos}}^{2}x}$

$t=\frac{\pi }{3},t=\frac{2\pi }{3}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\text{−}{\text{csc}}^{2}x$

$f^{\prime }\left(x\right)=2{\text{sec}}^{2}x+3{\text{csc}}^{2}x$

$\frac{4}{3}$

$\text{cos}x$

$\text{−}\text{cos}x$

$v\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\text{−}\sqrt{3}<0$ 和 $a\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\mathrm{-1}<0.$ 该物体正在加速。

$h^{\prime }\left(x\right)=4{\left(2x^3+2x-1\right)}^3\left(6x^2+2\right)=8\left(3x^2+1\right){\left(2x^3+2x-1\right)}^3$

$y=\mathrm{-48}x-88$

$h^{\prime }\left(x\right)=7\text{cos}\left(7x+2\right)$

$h^{\prime }\left(x\right)=\frac{3-4x}{{\left(2x+3\right)}^4}$

$h^{\prime }\left(x\right)=18x^2{\text{sin}}^5\left(x^3\right)\text{cos}\left(x^3\right)$

$a\left(t\right)=\mathrm{-16}\text{sin}(4t)$

$28$

$\frac{dy}{dx}=\mathrm{-3}{x}^2\text{sin}\left(x^3\right)$

$g^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{{(x+2)}^2}$

$g\left(x\right)=\frac{1}{5}{x}^{\text{−}4\text{/}5}$

$s^{\prime }\left(t\right)={\left(2t+1\right)}^{\text{−}1\text{/}2}$

$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}$

$h^{\prime }\left(x\right)=\frac{\mathrm{-3}}{\sqrt{6x-9x^2}}$

$y=x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{5-20x^4}{{\text{sec}}^{2}y-2y}$

$y=\frac{5}{3}x-\frac{16}{3}$

$h^{\prime }\left(x\right)=e^{2x}+2x{e}^{2x}$

996

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{15}{3x+2}$

$9\text{ln}\left(3\right)$

$\frac{dy}{dx}=x^x\left(1+\text{ln}x\right)$

$y^{\prime }=\pi {\left(\text{tan}x\right)}^{\pi -1}{\text{sec}}^{2}x$

$4$

$8.5$

$-\frac{3}{4}$

$0.2$

$0.25$

a. $\mathrm{-4}$ b. $y=3-4x$

a. $3$ b. $y=3x-1$

a. $\frac{\mathrm{-7}}{9}$ b. $y=\frac{\mathrm{-7}}{9}x+\frac{14}{3}$

a. $12$ b. $y=12x+14$

a. $\mathrm{-2}$ b. $y=\mathrm{-2}x-10$

$5$

$13$

$\frac{1}{4}$

$-\frac{1}{4}$

$\mathrm{-3}$

a. $\text{(i)}5.100000,$ $\text{(ii)}5.010000,$ $\text{(iii)}5.001000,$ $\text{(iv)}5.000100,$ $\text{(v)}5.000010,$ $\text{(vi)}5.000001,$ $\text{(vii)}4.900000,$ $\text{(viii)}4.990000,$ $\text{(ix)}4.999000,$ $\text{(x)}4.999900,$ $\text{(xi)}4.999990,$ $\text{(x)}4.999999$ b. $m_{\text{tan}}=5$ c. $y=5x+3$

a. $\text{(i)}4.8771,$ $\text{(ii)}4.9875\text{(iii)}4.9988,$ $\text{(iv)}4.9999,$ $\text{(v)}4.9999,$ $\text{(vi)}4.9999$ b. $m_{\text{tan}}=5$ c. $y=5x+10$

a. $\frac{1}{3};$ b. $\text{(i)}0.\bar{3}$ m/s, $\text{(ii)}0.\bar{3}$ m/s, $\text{(iii)}0.\bar{3}$ m/s, $\text{(iv)}0.\bar{3}$ m/s; c. $0.\bar{3}=\frac{1}{3}$ m/s

a. $2\left(h^2+6h+12\right);$ b. $\text{(i)}25.22$ m/s, $\text{(ii)}24.12$ m/s, $\text{(iii)}24.01$ m/s, $\text{(iv)}24$ m/s; c. $24$ m/s

a. $1.25;$ b. $0.5$

$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{x^{1\text{/}3}-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{1}{x^{2\text{/}3}}=\infty$

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\frac{1-1}{x-1}=0\ne 1=\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}\frac{x-1}{x-1}$

a. $\text{(i)}61.7244$ ft/s, $\text{(ii)}61.0725$ ft/s $\text{(iii)}61.0072$ ft/s $\text{(iv)}61.0007$ ft/s b. 在 $4$ 秒时，赛车以 $61$ ft/s 的速度行驶。

a. 由 $f\left(t\right),$ 表示的车辆，因为它行驶了 $2$ 英尺，而 $g\left(t\right)$ 行驶了 $1$ 英尺。 b. $f\left(t\right)$ 的速度保持不变，为 $1$ ft/s，而 $g\left(t\right)$ 的速度大约是 $2$ ft/s。 c. 由 $g\left(t\right),$ 表示的车辆，速度约为 $4$ ft/s。 d. 两者都在 $4$ 秒内行驶了 $4$ 英尺。

a.

b. $a\approx -1.361,2.694$

a. $N\left(x\right)=\frac{x}{30}$ b. $\sim 3.3$ 加仑。当车辆行驶 $100$ 英里时，它消耗了 $3.3$ 加仑汽油。 c. $\frac{1}{30}.$ 该车辆在行驶了 $100$ 英里后所达到的汽油消耗率（单位：加仑/英里）。

a.

b. $\mathrm{-0.028},\mathrm{-0.16},0.16,0.028$

$\mathrm{-3}$

$8x$

$\frac{1}{\sqrt{2x}}$

$\frac{\mathrm{-9}}{x^2}$

$\frac{\mathrm{-1}}{2x^{3\text{/}2}}$

$f\left(x\right)=3x^2+2,a=2$

$f\left(x\right)=x^4,a=2$

$f\left(x\right)=e^x,a=0$

a.

b. $\underset{h\to 1^{-}}{\text{lim}}\frac{3-3}{h}\ne \underset{h\to 1^{+}}{\text{lim}}\frac{3h}{h}$

a.

b. $\underset{h\to 1^{-}}{\text{lim}}\frac{2h}{h}\ne \underset{h\to 1^{+}}{\text{lim}}\frac{\frac{2}{x+h}-\frac{2}{x}}{h}.$

a. $x=1,$ b. $x=2$

$0$

$\frac{2}{x^3}$

$f^{\prime }\left(x\right)=6x+2$

$f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{{\left(2x\right)}^{3\text{/}2}}$

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$

a. 顾客在特许商品上的人均消费平均变化率（单位：千美元/顾客）。b. $x$ 顾客在特许商品上的人均消费变化率（单位：千美元/顾客）。

a. 在两个平均学习时间之间，考试成绩的平均分。b. 在给定平均学习时间为 $x$ 小时的情况下，考试成绩增加或减少的变化率（单位：百分点/小时）。

a. 两个不同海拔高度之间大气压力的平均变化。b. 在 $x$ 英尺处大气压力增加或减少的变化率（单位：托/英尺）。

a. 在给定高度 $x.$ 处，温度增加或减少的变化率（单位：度/英尺）。b. 在 $1000$ 英尺处，温度随海拔高度变化的变化率为 $\mathrm{-0.1}$ 度/英尺。

a. 在最初爆发 $t$ 周后，感染流感人数的变化率。b. 该变化率在第三周之前急剧增加，之后减缓并趋于恒定。

$G^{\prime }\left(t\right)=2.858t+0.0857$

$H^{″}\left(t\right)=0,G^{″}\left(t\right)=2.858\text{且}{f}^{″}\left(t\right)=1.222t+5.912$ 表示火箭的加速度，单位为米每二次方秒 $({\text{m/s}}^2).$

$f^{\prime }\left(x\right)=15x^2-1$

$f^{\prime }\left(x\right)=32x^3+18x$

$f^{\prime }\left(x\right)=270x^4+\frac{39}{{\left(x+1\right)}^2}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\mathrm{-5}}{x^2}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{4x^4+2x^2-2x}{x^4}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\text{−}{x}^2-18x+64}{{\left(x^2-7x+1\right)}^2}$

$T\left(x\right)=–4x+7$

$T\left(x\right)=4x-5$

$h^{\prime }\left(x\right)=3x^{2}f\left(x\right)+x^3{f}^{\prime }\left(x\right)$

$h^{\prime }\left(x\right)=\frac{3f^{\prime }\left(x\right)\left(g\left(x\right)+2\right)-3f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}{{\left(g\left(x\right)+2\right)}^2}$

$\frac{16}{9}$

无定义

a. $2,$ b. 不存在, c. $2.5$

a. 23, b. $y=23x-28$

a. 3, b. $y=3x+2$

$y=\mathrm{-7}x-3$

$y=\mathrm{-5}x+7$

$y=-\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$

$y=\mathrm{-3}{x}^2+9x-1$

$\frac{12}{121}$ 或 0.0992 英尺/秒

a. $\frac{\mathrm{-2}{t}^4-2t^3+200t+50}{{\left(t^3+50\right)}^2}$ b. $\mathrm{-0.02395}$ 毫克/升·小时, −0.01344 毫克/升·小时, −0.003566 毫克/升·小时, −0.001579 毫克/升·小时 c. 随着时间增加，血液中药物浓度降低的速率趋近于 0。

a. $F\prime (d)=\frac{\mathrm{-2}G{m}_1{m}_2}{d^3}$ b. $\mathrm{-1.33}\times {10}^{\mathrm{-7}}$ 牛顿/米

a. $v\left(t\right)=6t^2-30t+36,a\left(t\right)=12t-30;$ b. 加速 $\left(2,2.5\right){\displaystyle \cup }\left(3,\infty \right),$ 减速 $\left(0,2\right){\displaystyle \cup }\left(2.5,3\right)$

a. $464{\text{ft/s}}^2$ b. $\mathrm{-32}{\text{ft/s}}^2$

a. 5 英尺/秒 b. 9 英尺/秒

a. 84 英尺/秒, −84 英尺/秒 b. 84 英尺/秒 c. $\frac{25}{8}\text{s}$ d. $\mathrm{-32}{\text{ft/s}}^2$ 在两种情况下 e. $\frac{1}{8}\left(25+\sqrt{965}\right)\text{s}$ f. $\mathrm{-4}\sqrt{965}\text{ft/s}$

a. 速度在 $\left(0,1.5\right){\displaystyle \cup }\left(6,7\right),$ 上为正，在 $\left(1.5,2\right){\displaystyle \cup }\left(5,6\right),$ 上为负，在 $\left(2,5\right).$ 上为零。b.

c. 加速度在 $\left(5,7\right),$ 上为正，在 $\left(0,2\right),$ 上为负，在 $\left(2,5\right).$ 上为零。d. 物体在 $\left(6,7\right){\displaystyle \cup }\left(1.5,2\right)$ 上加速，在 $\left(0,1.5\right){\displaystyle \cup }\left(5,6\right).$ 上减速。

a. $R\left(x\right)=10x-0.001x^2$ b. $R^{\prime }\left(x\right)=10-0.002x$ c. 每件 6 美元，每件 0 美元

a. $C^{\prime }\left(x\right)=65$ b. $R\left(x\right)=143x-0.03x^2,R^{\prime }\left(x\right)=143-0.06x$ c. $83,\mathrm{-97}.$ 在生产 1000 台无绳电钻时，收入以每台 83 美元的速度增长；在生产 4000 台无绳电钻时，收入以每台 97 美元的速度下降。d. $P\left(x\right)=\mathrm{-0.03}{x}^2+78x-75000,P^{\prime }\left(x\right)=\mathrm{-0.06}x+78$ e. $18,\mathrm{-162}.$ 在生产 1000 台无绳电钻时，利润以每台 18 美元的速度增长；在生产 4000 台无绳电钻时，利润以每台 162 美元的速度下降。

a. $N^{\prime }\left(t\right)=3000\left(\frac{\mathrm{-4}{t}^2+400}{{\left(t^2+100\right)}^2}\right)$ b. $120,0,\mathrm{-14.4},\mathrm{-9.6}$ c. 细菌数量在0到10小时内增加；之后，细菌数量减少。 d. $0,\mathrm{-6},0.384,0.432.$ 细菌数量的增长率在最初的10小时内是递减的。之后，细菌数量以递减的速度减少。

a. $P\left(t\right)=0.03983+0.4280$ b. $P^{\prime }\left(t\right)=0.03983.$ 人口数量正在增加。 c. $P^{″}\left(t\right)=0.$ 人口数量的增长率是恒定的。

a. $p(t)=\mathrm{-0.6071}{x}^2+0.4357x-0.3571$ b. $p^{\prime }\left(t\right)=\mathrm{-1.214}x+0.4357.$ 这是传感器的速度。 c. $p^{″}\left(t\right)=\mathrm{-1.214}.$ 这是传感器的加速度；它是一个恒定的向下加速度。

a.

b. $f^{\prime }\left(x\right)=a.$ 猎物增加越多，捕食者的增长越多。 c. $f^{″}\left(x\right)=0.$ 随着猎物数量的增加，捕食者种群增长的速率是恒定的。 d. 这个方程假设如果猎物数量增加，捕食者能够线性地增加捕食量。这个假设是不符合物理实际的，因为我们预期会存在一个饱和点，在该点猎物数量过多，捕食者无法充分捕食。

a.

b. $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2ax{n}^2}{{\left(n^2+x^2\right)}^2}.$ 当猎物数量增加时，捕食者增长增加。 c. $f^{″}\left(x\right)=\frac{2a{n}^2\left(n^2-3x^2\right)}{{\left(n^2+x^2\right)}^3}.$ 当猎物数量极少时，捕食者增长的速率是递增的，但当猎物数量超过某个阈值时，捕食者增长的速率开始递减。 d. 在较低的猎物水平下，猎物更容易避免被捕食者发现，因此被捕食的个体数量较少，导致捕食者增长较少。

$\frac{dy}{dx}=2x-\text{sec}x\text{tan}x$

$\frac{dy}{dx}=2x\text{cot}x-x^2{\text{csc}}^{2}x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x\text{sec}x\text{tan}x-\text{sec}x}{x^2}$

$\frac{dy}{dx}=\left(1-\text{sin}x\right)\left(1-\text{sin}x\right)-\text{cos}x\left(x+\text{cos}x\right)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2{\text{csc}}^{2}x}{{\left(1+\text{cot}x\right)}^2}$

$y=\text{−}x$

$y=x+\frac{2-3\pi }{2}$

$y=\text{−}x$

$3\text{cos}x-x\text{sin}x$

$\frac{1}{2}\text{sin}x$

$2\text{csc}x\left({\text{csc}}^{2}x+{\text{cot}}^{2}x\right)$

$\frac{(2n+1)\pi }{4},\text{其中}n\text{为整数}$

$(\frac{\pi }{4}, 1), (\frac{3\pi }{4}, \mathrm{-1}), (\frac{5\mathrm{\pi }}{4}, 1), (\frac{7\mathrm{\pi }}{4}, -1)$

$a=0,b=3$

$y^{\prime }=5\text{cos}\left(x\right),$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right),\left(\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right),$ 和 $\left(\frac{7\pi }{2},12\right)$ 上递增

$3\text{sin}x$

$5\text{cos}x$

$720x^7-5\text{tan}\left(x\right){\text{sec}}^3\left(x\right)-{\text{tan}}^3\left(x\right)\text{sec}\left(x\right)$

$18u^2·7=18{\left(7x-4\right)}^2·7$