第5章

如果 $[c, d]$ 是 $[a, b]$ 在一个左端点和矩形下的一个子区间，那么构成左端点估计的矩形面积是 $f (c) (d - c) .$ 。但是，对于 $c \leq x \leq d,$ ， $f (c) \leq f (x)$ ，因此函数 f 在 c 和 d 之间的图形下的面积是 $f (c) (d - c)$ 加上函数 f 的图形下方但在高度 $f (c),$ 处的水平线段上方的面积，该面积为正。由于这对于每个左端点和区间都成立，因此左黎曼和小于或等于函数 f 在 $[a, b] .$ 上的图形下方的面积。

55.

$L_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (a + (b - a) \frac{i - 1}{N}) = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 0}^{N - 1} f (a + (b - a) \frac{i}{N})$ 和 $R_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (a + (b - a) \frac{i}{N}) .$ 。左和有一个对应于 $i = 0$ 的项，右和有一个对应于 $i = N .$ 的项。在 $R_{N} - L_{N},$ 中，任何对应于 $i = 1, 2,…, N - 1$ 的项都出现一次带加号和一次带减号，因此每个这样的项都抵消了，剩下 $R_{N} - L_{N} = \frac{b - a}{N} (f (a + (b - a)) \frac{N}{N}) - (f (a) + (b - a) \frac{0}{N}) = \frac{b - a}{N} (f (b) - f (a)) .$ 。

57.

图 1：a. $L (A) = 0, B (A) = 20;$ b. $U (A) = 20 .$ 图 2：a. $L (A) = 9;$ b. $B (A) = 11, U (A) = 20 .$ 图 3：a. $L (A) = 11.0;$ b. $B (A) = 4.5, U (A) = 15.5 .$

59.

设 A 为单位圆的面积。该圆包含 n 个全等三角形，每个三角形的面积为 $\frac{sin (\frac{2 π}{n})}{2},$ ，因此 $\frac{n}{2} sin (\frac{2 π}{n}) \leq A .$ 。类似地，该圆包含在 n 个全等三角形内，每个三角形的面积为 $\frac{B H}{2} = \frac{1}{2} {(\cos (\frac{π}{n}) + \sin (\frac{π}{n}) \tan (\frac{π}{n}))}^{2} \sin (\frac{2 π}{n}),$ ，因此 $A \leq \frac{n}{2} sin (\frac{2 π}{n}) (cos (\frac{π}{n}) + sin (\frac{π}{n}) tan {(\frac{π}{n}))}^{2} .$ 。由于 $n \to \infty, \frac{n}{2} sin (\frac{2 π}{n}) = \frac{sin (\frac{2 π}{n})}{(\frac{2}{n})} Α \to π,$ ，可得 $π \leq A .$ 。此外，由于 $n \to \infty, cos (\frac{π}{n}) + sin (\frac{π}{n}) tan (\frac{π}{n}) \to 1,$ ，我们也有 $A \leq π .$ 。根据极限的夹逼定理，可得 $A = π .$ 。

第5.2节练习

61.

$\int_{0}^{2} (5 x^{2} - 3 x^{3}) d x$

63.

$\int_{0}^{1} {cos}^{2} (2 π x) d x$

65.

$\int_{0}^{1} x d x$

67.

$\int_{3}^{6} x d x$

69.

$\int_{1}^{2} x log (x^{2}) d x$

71.

$1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 14$

73.

$1 - 4 + 9 = 6$

75.

$1 - 2 π + 9 = 10 - 2 π$

77.

该积分是三角形的面积， $\frac{1}{2}$

79.

该积分是三角形的面积，为 9。

81.

该积分是面积 $\frac{1}{2} π r^{2} = 2 π .$

83.

该积分是“大”三角形的面积减去“缺失”三角形的面积，为 $9 - \frac{1}{2} .$

85.

$L = 2 + 0 + 10 + 5 + 4 = 21, R = 0 + 10 + 10 + 2 + 0 = 22, \frac{L + R}{2} = 21.5$

87.

$L = 0 + 4 + 0 + 4 + 2 = 10, R = 4 + 0 + 2 + 4 + 0 = 10, \frac{L + R}{2} = 10$

89.

$\int_{2}^{4} f (x) d x + \int_{2}^{4} g (x) d x = 8 - 3 = 5$

91.

$\int_{2}^{4} f (x) d x - \int_{2}^{4} g (x) d x = 8 + 3 = 11$

93.

$4 \int_{2}^{4} f (x) d x - 3 \int_{2}^{4} g (x) d x = 32 + 9 = 41$

95.

被积函数是奇函数；该积分是零。

97.

被积函数关于 $x = 3 .$ 反对称；该积分是零。

99.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

101.

$\int_{0}^{1} (1 - 6 x + 12 x^{2} - 8 x^{3}) d x = (x - 3 x^{2} + 4 x^{3} - 2 x^{4}) = (1 - 3 + 4 - 2) (0 - 0 + 0 - 0) = 0$

103.

$7 - \frac{5}{4} = \frac{23}{4}$

105.

被积函数在 $[−2, 3] .$ 上为负。

107.

$x \leq x^{2}$ 在 $[1, 2],$ 上，因此 $\sqrt{1 + x} \leq \sqrt{1 + x^{2}}$ 在 $[1, 2] .$ 上。

109.

$cos (t) \geq \frac{\sqrt{2}}{2} .$ 乘以区间的长度以得到不等式。

111.

$f_{ave} = 0; c = 0$

113.

$\frac{3}{2}$ 当 $c = \pm \frac{3}{2}$ 时

115.

$f_{ave} = 0; c = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

117.

$L_{100} = 1.294, R_{100} = 1.301;$ 准确的平均值介于这些值之间。

119.

$L_{100} \times (\frac{1}{2}) = 0.5178, R_{100} \times (\frac{1}{2}) = 0.5294$

121.

$L_{1} = 0, L_{10} \times (\frac{1}{2}) = 8.743493, L_{100} \times (\frac{1}{2}) = 12.861728 .$ 准确答案为 $\approx 26.799,$ ，因此 L₁₀₀ 不准确。

123.

$L_{1} \times (\frac{1}{π}) = 1.352, L_{10} \times (\frac{1}{π}) = −0.1837, L_{100} \times (\frac{1}{π}) = −0.2956 .$ 准确答案为 $\approx - 0.303,$ ，因此 L₁₀₀ 不精确到第一位小数。

125.

使用 ${tan}^{2} θ + 1 = {sec}^{2} θ .$ 。那么， $B - A = \int_{− π / 4}^{π / 4} 1 d x = \frac{π}{2} .$

127.

$\int_{0}^{2 π} {cos}^{2} t d t = π,$ ，因此除以区间长度 2π。 ${cos}^{2} t$ 的周期为 π，所以这是正确的。

129.

当使用 p 为非负的最大区间时，积分最大化。因此， $A = \frac{− b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 且 $B = \frac{− b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

131.

如果对于某个 $t_{0} \in [a, b],$ ， $f (t_{0}) > g (t_{0})$ 成立，那么由于 $f - g$ 是连续的，存在一个包含 t₀ 的区间，使得在区间 $[c, d],$ 上 $f (t) > g (t)$ ，并且在该区间上 $\int_{d}^{d} f (t) d t > \int_{c}^{d} g (t) d t$ 。

133.

函数 f 在一个区间上的积分与 f 在该区间上的平均值的积分相同。因此， $\begin{matrix} \int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a_{0}}^{a_{1}} f (t) d t + \int_{a_{1}}^{a_{2}} f (t) d t + ⋯ + \int_{a_{N + 1}}^{a_{N}} f (t) d t = \int_{a_{0}}^{a_{1}} 1 d t + \int_{a_{1}}^{a_{2}} 1 d t + ⋯ + \int_{a_{N + 1}}^{a_{N}} 1 d t \\ = (a_{1} - a_{0}) + (a_{2} - a_{1}) + ⋯ + (a_{N} - a_{N - 1}) = a_{N} - a_{0} = b - a . \end{matrix}$ 。两边除以 $b - a$ 即可得到所需的恒等式。

135.

$\int_{0}^{N} f (t) d t = \sum_{i = 1}^{N} \int_{i - 1}^{i} f (t) d t = \sum_{i = 1}^{N} i^{2} = \frac{N (N + 1) (2 N + 1)}{6}$

137.

$L_{10} = 1.815, R_{10} = 1.515, \frac{L_{10} + R_{10}}{2} = 1.665,$ ，因此该估计精确到两位小数。

139.

平均值为 $1 / 2,$ ，此时恰好等于积分值。

141.

a. 在 $[0, 1],$ 上，图形关于 $t = \frac{1}{2}$ 反对称，因此平均值为零。 b. 对于任意 a 值， $[a, a + 1]$ 之间的图形是 $[0, 1],$ 上图形的平移，因此轴上方和下方的净面积不变，平均值仍为零。

143.

是的，任何长度为 1 的区间上的积分都相同。

第 5.3 节练习

145.

是的。这由积分中值定理所蕴含。

147.

$F^{'} (2) = −1;$ $F^{′}$ 在 $[1, 2]$ 上的平均值为 $−1 / 2 .$

149.

$e^{cos x}$

151.

$\frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

153.

$\sqrt{x} \frac{d}{d x} \sqrt{x} = \frac{1}{2}$

155.

$− \sqrt{1 - {cos}^{2} x} \frac{d}{d x} cos x = | sin x | sin x$

157.

$2 x \frac{| x |}{1 + x^{2}}$

159.

$ln (e^{2 x}) \frac{d}{d x} e^{x} = 2 x e^{x}$

161.

a. f 在 $(1, 2)$ 和 $(5, 6),$ 上为正，在 $(0, 1)$ 和 $(3, 4),$ 上为负，在 $(2, 3)$ 和 $(4, 5) .$ 上为零。 b. 最大值为 2，最小值为 −3。 c. 平均值为 0。

163.

a. ℓ 在 $(0, 1)$ 和 $(3, 6),$ 上为正，在 $(1, 3) .$ 上为负。 b. 它在 $(0, 1)$ 和 $(3, 5),$ 上递增，在 $(1, 3)$ 和 $(5, 6) .$ 上为常数。 c. 其平均值为 $\frac{1}{3} .$ 。

165.

$T_{10} = 49.08, \int_{−4}^{3} (x^{3} + 6 x^{2} + x - 5) d x = 48$

167.

$T_{10} = 260.836, \int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x^{2}) d x = 260$

169.

$T_{10} = 3.058, \int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x = 3$

171.

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 5 x, F (3) - F (−2) = - \frac{35}{6}$

173.

$F (x) = - \frac{t^{5}}{5} + \frac{13 t^{3}}{3} - 36 t, F (3) - F (2) = \frac{62}{15}$

175.

$F (x) = \frac{x^{100}}{100}, F (1) - F (0) = \frac{1}{100}$

177.

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x}, F (4) - F (\frac{1}{4}) = \frac{1125}{64}$

179.

$F (x) = \sqrt{x}, F (4) - F (1) = 1$

181.

$F (x) = \frac{4}{3} t^{3 / 4}, F (16) - F (1) = \frac{28}{3}$

183.

$F (x) = − cos x, F (\frac{π}{2}) - F (0) = 1$

185.

$F (x) = sec x, F (\frac{π}{4}) - F (0) = \sqrt{2} - 1$

187.

$F (x) = − cot (x), F (\frac{π}{2}) - F (\frac{π}{4}) = 1$

189.

$F (t) = - \frac{1}{t} + \frac{1}{2 t^{2}}, F (−1) - F (−2) = \frac{7}{8}$

191.

$F (x) = e^{x} - e$

193.

$F (x) = 0$

195.

$\int_{−2}^{−1} (t^{2} - 2 t - 3) d t - \int_{−1}^{3} (t^{2} - 2 t - 3) d t + \int_{3}^{4} (t^{2} - 2 t - 3) d t = \frac{46}{3}$

197.

$− \int_{− π / 2}^{0} sin t d t + \int_{0}^{π / 2} sin t d t = 2$

199.

a. 平均值为 $11.21 \times 10^{9}$ ，因为 $cos (\frac{π t}{6})$ 的周期为 12，并且在任何周期上的积分为 0。当 $cos (\frac{π t}{6}) = 0,$ 、当 $t = 3,$ 以及当 $t = 9 .$ 时，消耗量等于平均值。 b. 总消耗量是平均速率乘以持续时间： $11.21 \times 12 \times 10^{9} = 1.35 \times 10^{11}$ 。 c. $10^{9} (11.21 - \frac{1}{6} \int_{3}^{9} cos (\frac{π t}{6}) d t) = 10^{9} (11.21 + \frac{2}{π}) = 11.84 x 10^{9}$

201.

如果 f 不是常数，那么它的平均值严格小于最大值且大于最小值，这些值根据最值定理在 $[a, b]$ 上取得。

203.

a. $d^{2} θ = {(a cos θ + c)}^{2} + b^{2} {sin}^{2} θ = a^{2} + c^{2} {cos}^{2} θ + 2 a c cos θ = {(a + c cos θ)}^{2};$ b. $\bar{d} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} (a + c cos θ) d θ = a$

205.

平均引力 = $\frac{G m M}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(a + 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}} cos θ)}^{2}} d θ .$

第5.4节练习

207.

$\int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) d x = \int x^{1 / 2} d x - \int x^{−1 / 2} d x = \frac{2}{3} x^{3 / 2} + C_{1} - 2 x^{1 / 2} + C_{2} = \frac{2}{3} x^{3 / 2} - 2 x^{1 / 2} + C$

209.

$\int \frac{d x}{2 x} = \frac{1}{2} ln | x | + C$

211.

$\int_{0}^{π} sin x d x - \int_{0}^{π} cos x d x = − cos x |_{0}^{π} - (sin x) |_{0}^{π} = (− (−1) + 1) - (0 - 0) = 2$

213.

$P (s) = 4 s,$ 因此 $\frac{d P}{d s} = 4$ 且 $\int_{2}^{4} 4 d s = 8 .$

215.

$\int_{1}^{2} N d s = N$

217.

与上一道练习中的 p 相同，12 个五边形的面积每个都从 2p 单位增加到 4p 单位，因此十二面体的面积净增加量为 36p 单位。

219.

$18 s^{2} = 6 \int_{s}^{2 s} 2 x d x$

221.

$12 π R^{2} = 8 π \int_{R}^{2 R} r d r$

223.

$d (t) = \int_{0}^{t} v (s) d s = 4 t - t^{2} .$ 总距离为 $d (2) = 4 m .$

225.

$d (t) = \int_{0}^{t} v (s) d s .$ 对于 $t < 3, d (t) = \int_{0}^{t} (6 - 2 t) d t = 6 t - t^{2} .$ 对于 $t > 3, d (t) = d (3) + \int_{3}^{t} (2 t - 6) d t = 9 + (t^{2} - 6 t) |_{3}^{6} .$ 总距离为 $d (6) = 18 m .$

227.

$v (t) = 40 - 9.8 t m/sec; h (t) = 1.5 + 40 t - 4.9 t^{2}$ m/s

229.

净增加量为 1 单位。

231.

在 $t = 5,$ 时，水的高度为 $x = {(\frac{15}{π})}^{1 / 3} m . .$ 。从 $t = 5$ 到 $t = 10$ 的高度净变化量为 ${(\frac{30}{π})}^{1 / 3} - {(\frac{15}{π})}^{1 / 3}$ 米。

233.

每日总功耗估计为每小时功率之和，即 911 gW-h。

235.

17 kJ

237.

a. 54.3%；b. 27.00%；c. 下图中的曲线为 $2.35 (t + 3) e^{−0.15 (t + 3)} .$

239.

在干燥条件下，初速度为 $v_{0} = 30$ 米/秒， $D = 64.3$ ，如果 $v_{0} = 25, D = 44.64 .$ 。在潮湿条件下，如果 $v_{0} = 30,$ 且 $D = 180$ ，并且如果 $v_{0} = 25, D = 125 .$ 。

241.

225 cal

243.

$E (150) = 28, E (300) = 22, E (450) = 16$

245.

给定数据的图，其大致以凸的（concave down）方式从 600 减少到 2200。

b. 在 600 到 1000 之间，每小时每车道车辆数的平均减少量为 −0.0075。在 1000 到 1500 之间为每小时每车道车辆数 −0.006，在 1500 到 2100 之间为每小时每车道车辆数 −0.04。c.

该图形是非线性的，当每小时每车道车辆数达到 2000 时，每英里分钟数显著增加。

247.

$\frac{1}{37} \int_{0}^{37} p (t) d t = \frac{0.07 {(37)}^{3}}{4} + \frac{2.42 {(37)}^{2}}{3} - \frac{25.63 (37)}{2} + 521.23 \approx 2037$

249.

平均加速度为 $- \frac{0.7}{3} t^{3} + \frac{1.44}{2} t^{2} + 10.44 t |_{0}^{5} = - \frac{0.7}{3} (5^{3}) + 10.44 (5) \approx 41$ mph/s

251.

$s (t) = v (t) d t = \int (- \frac{7}{30} t^{3} + 0.72 t^{2} + 10.44 t + 23.967) d t = - \frac{7}{120} t^{4} + \frac{0.72}{3} t^{3} + \frac{10.44}{2} t^{2} + 23.967 t + C = 174.24 feet$

253.

$\frac{1}{40} \int_{0}^{40} (−0.068 t + 5.14) d t = - \frac{0.068 (40)}{2} + 5.14 = 3.78 m/sec$

第5.5节练习

255.

$u = h (x)$

257.

$f (u) = \frac{{(u + 1)}^{2}}{\sqrt{u}}$

259.

$d u = 8 x d x; f (u) = \frac{1}{8 \sqrt{u}}$

261.

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$

263.

$- \frac{1}{12 {(2 x - 3)}^{6}} + C$

265.

$\sqrt{x^{2} + 1} + C$

267.

$\frac{1}{8} {(x^{2} - 2 x)}^{4} + C$

269.

$sin θ - \frac{{sin}^{3} θ}{3} + C$

271.

$\frac{{(1 - x)}^{101}}{101} - \frac{{(1 - x)}^{100}}{100} + C$

273.

$\int {(11 x - 7)}^{-2} dx = - \frac{1}{22 {(11 x - 7)}^{2}} + C$

275.

$- \frac{{cos}^{4} θ}{4} + C$

277.

$- \frac{{cos}^{3} (π t)}{3 π} + C$

279.

$- \frac{1}{4} {cos}^{2} (t^{2}) + C$

281.

$- \frac{1}{3 (x^{3} - 3)} + C$

283.

$- \frac{2 (y^{3} - 2)}{3 \sqrt{1 - y^{3}}} + C$

285.

$\frac{1}{33} {(1 - {cos}^{3} θ)}^{11} + C$

287.

$\frac{1}{12} {({sin}^{3} θ - 3 {sin}^{2} θ)}^{4} + C$

289.

$L_{50} = −8.5779 .$ 精确面积为 $\frac{−81}{8}$

291.

$L_{50} = −0.006399$ … 精确面积为 0。

293.

$u = 1 + x^{2}, d u = 2 x d x, \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{−1 / 2} d u = \sqrt{2} - 1$

295.

$u = 1 + t^{3}, d u = 3 t^{2} d t, \frac{1}{3} \int_{1}^{2} u^{−1 / 2} d u = \frac{2}{3} (\sqrt{2} - 1)$

297.

$u = cos θ, d u = − sin θ d θ, \int_{1 / \sqrt{2}}^{1} u^{−4} d u = \frac{1}{3} (2 \sqrt{2} - 1)$

299.

两个图形。第一个显示函数 f(x) = cos(ln(2x)) / x，它在大约区间 (0,.25) 上急剧增加，然后逐渐减小到 x 轴。第二个显示函数 f(x) = sin(ln(2x))，它在大约区间 (0, .25) 上急剧减小，然后以平缓的曲线增加到第一象限。

原函数为 $y = sin (ln (2 x)) .$ 。由于原函数在 $x = 0,$ 处不连续，因此无法找到一个 C 值使得 $y = sin (ln (2 x)) - C$ 作为定积分成立。

301.

两张图。第一张是函数 f(x) = sin(x) / cos(x)^3 在区间 [-5pi/16, 5pi/16] 上的图形。它在小于零的值处是递增的凸函数，在大于零的值处是递增的凹函数。第二张是函数 f(x) = ½ sec(x)^2 在相同区间上的图形。它是一条宽阔的凹曲线，在小于零的值处递减，在大于零的值处递增。

原函数为 $y = \frac{1}{2} {sec}^{2} x .$ 。你应该取 $C = −2$ ，使得 $F (- \frac{π}{3}) = 0 .$

303.

两张图。第一张显示了函数 f(x) = 3x^2 * sqrt(2x^3 + 1) 的图形。它是一条从原点开始的递增凹曲线。第二张显示了函数 f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3) 的图形。它是一条从大约 0.3 处开始的递增凹曲线。

原函数为 $y = \frac{1}{3} {(2 x^{3} + 1)}^{3 / 2} .$ 。应该取 $C = - \frac{1}{3} .$

305.

不，因为被积函数在 $x = 1 .$ 处不连续。

307.

$u = sin (t^{2});$ ，积分变为 $\frac{1}{2} \int_{0}^{0} u d u .$

309.

$u = (1 + {(t - \frac{1}{2})}^{2});$ ，积分变为 $− \int_{5 / 4}^{5 / 4} \frac{1}{u} d u .$

311.

$u = 1 - t;$ ，积分变为
$\begin{array}{l} \int_{1}^{−1} u cos (π (1 - u)) d u \\ = \int_{1}^{−1} u [cos π cos π u - sin π sin π u] d u \\ = − \int_{1}^{−1} u cos π u d u \\ = \int_{−1}^{1} u cos π u d u = 0 \end{array}$
因为被积函数是奇函数。

313.

设 $u = c x$ 和 $d u = c d x$ ，可得 $\frac{1}{\frac{b}{c} - \frac{a}{c}} \int_{a / c}^{b / c} f (c x) d x = \frac{c}{b - a} \int_{u = a}^{u = b} f (u) \frac{d u}{c} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (u) d u .$

315.

$\int_{0}^{x} g (t) d t = \frac{1}{2} \int_{u = 1 - x^{2}}^{1} \frac{d u}{u^{a}} = \frac{1}{2 (1 - a)} u^{1 - a} |_{u = 1 - x^{2}}^{1} = \frac{1}{2 (1 - a)} (1 - {(1 - x^{2})}^{1 - a}) .$ 当 $x \to 1$ 时，如果 $a < 1,$ ，则极限为 $\frac{1}{2 (1 - a)}$ ；如果 $a \geq 1 .$ ，则极限发散到 +∞。

317.

$\int_{t = π}^{0} b \sqrt{1 - {cos}^{2} t} \times (− a sin t) d t = \int_{t = 0}^{π} a b {sin}^{2} t d t$

319.

$f (t) = 2 cos (3 t) - cos (2 t); \int_{0}^{π} (2 cos (3 t) - cos (2 t)) d t = 0$

第5.6节练习

321.

$\frac{−1}{3} e^{−3 x} + C$

323.

$- \frac{3^{− x}}{ln 3} + C$

325.

$2 \ln |x| + C 或 \ln (x^{2}) +C$

327.

$2 \sqrt{x} + C$

329.

$- \frac{1}{ln x} + C$

331.

$ln (ln (ln x)) + C$

333.

$ln (x cos x) + C$

335.

$- \frac{1}{2} {(ln (cos (x)))}^{2} + C$

337.

$\frac{− e^{− x^{3}}}{3} + C$

339.

$e^{tan x} + C$

341.

$t + C$

343.

$\frac{2}{9} x^{3} (ln (x^{3}) - 1) + C$

345.

$2 \sqrt{x} (ln x - 2) + C$

347.

$\int_{0}^{ln x} e^{t} d t = e^{t} |_{0}^{ln x} = e^{ln x} - e^{0} = x - 1$

349.

$- \frac{1}{3} ln |sin (3 x) + cos (3 x)| +C$

351.

$- \frac{1}{2} ln | csc (x^{2}) + cot (x^{2}) | + C$

353.

$- \frac{1}{2} {(ln (csc x))}^{2} + C$

355.

$\frac{1}{3} ln (\frac{26}{7})$

357.

$ln (\sqrt{3} - 1)$

359.

$\frac{1}{2} ln \frac{3}{2}$

361.

$y - 2 ln | y + 1 | + C$

363.

$ln | sin x - cos x | + C$

365.

$- \frac{1}{3} {(1 - (ln {x)}^{2})}^{3 / 2} + C$

367.

精确解： $\frac{e - 1}{e}, R_{50} = 0.6258 .$ 。由于 f 是递减的，右端点估计低估了面积。

369.

精确解： $\frac{2 ln (3) - ln (6)}{2}, R_{50} = 0.2033 .$ 。由于 f 是递增的，右端点估计高估了面积。

371.

精确解： $- \frac{1}{ln (4)}, R_{50} = −0.7164 .$ 。由于 f 在区间上为负且递增，右端点估计高估了积分值，但低估了区域面积（积分的绝对值）。

373.

$\frac{11}{2} ln 2$

375.

$\frac{1}{ln (65, 536)}$

377.

$\int_{N}^{N + 1} x e^{− x^{2}} d x = \frac{1}{2} (e^{− N^{2}} - e^{− {(N + 1)}^{2}}) .$ 。当 $N = 2 .$ 时，该量小于 0.01。

379.

$\int_{a}^{b} \frac{d x}{x} = ln (b) - ln (a) = ln (\frac{1}{a}) - ln (\frac{1}{b}) = \int_{1 / b}^{1 / a} \frac{d x}{x}$

381.

383.

我们可以假设 $x > 1, 所以 \frac{1}{x} < 1 .$ 。则 $\int_{1}^{1 / x} \frac{d t}{t} .$ 。现在进行换元 $u = \frac{1}{t},$ ，因此 $d u = - \frac{d t}{t^{2}}$ 和 $\frac{d u}{u} = - \frac{d t}{t},$ ，并改变积分限： $\int_{1}^{1 / x} \frac{d t}{t} = − \int_{1}^{x} \frac{d u}{u} = − ln x .$

385.

答案不唯一。

387.

$x = E (ln (x)) .$ 。则 $1 = \frac{E' (ln x)}{x} 或 x = E' (ln x) .$ 。由于任何数 t 都可以写成 $t = ln x$ （对于某个 x），且对于这样的 t，我们有 $x = E (t),$ ，因此对于任何 $t, E' (t) = E (t) .$ 。

389.

$R_{10} = 0.6811, R_{100} = 0.6827$

函数 f(x) = .5 * ( sqrt(2)*e^(-.5x^2)) / sqrt(pi) 的图形。它是一条向下开口的曲线，关于 y 轴对称，在大约 (0, .4) 处相交。当 x 趋于正负无穷大时，它趋于 0。在 1 和 -1 之间，绘制了十个矩形，用于估计曲线下方的面积的右端点近似。

第5.7节练习

391.

${sin}^{−1} x |_{0}^{\sqrt{3} / 2} = \frac{π}{3}$

393.

${tan}^{−1} x |_{\sqrt{3}}^{1} = - \frac{π}{12}$

395.

${sec}^{−1} |_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}} = \frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{π}{12}$

397.

${sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

399.

$\frac{1}{3} {tan}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

401.

$\frac{1}{3} {sec}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

403.

$cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ .$ 因此， ${sin}^{−1} t = \frac{π}{2} - {cos}^{−1} t .$ 它们相差一个常数。

405.

$\sqrt{1 - t^{2}}$ 当 $t > 1 .$ 时，未定义为实数。

407.

两张图。第一张图显示函数 f(x) = 1 / sqrt(9 – x^2)。它是一条关于 y 轴对称的向上开口曲线，在 (0, 1/3) 处相交。第二张图显示函数 F(x) = arcsin(1/3 x)。它是一条通过原点的递增曲线。

原函数是 ${sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + C .$ 。取 $C = \frac{π}{2}$ 可恢复定积分。

409.

两张图。第一张图显示函数 f(x) = cos(x) / (4 + sin(x)^2)。它是在 [-6, 6] 上振荡的函数，转折点大约在 (-3, -2.5)、(0, .25) 和 (3, -2.5) 处，其中 (0, .25) 是局部最大值，其他是局部最小值。第二张图显示函数 F(x) = .5 * arctan(.5*sin(x))，它也在 [-6, 6] 上振荡。它的转折点大约在 (-4.5, .25)、(-1.5, -.25)、(1.5, .25) 和 (4.5, -.25) 处。

原函数是 $\frac{1}{2} {tan}^{−1} (\frac{sin x}{2}) + C .$ 。取 $C = \frac{1}{2} {tan}^{−1} (\frac{sin (6)}{2})$ 可恢复定积分。

411.

$\frac{1}{2} {({sin}^{−1} t)}^{2} + C$

413.

$\frac{1}{4} {({tan}^{−1} (2 t))}^{2} + C$

415.

$\frac{1}{4} ({sec}^{−1} {(\frac{t}{2})}^{2}) + C$

417.

函数 f(x) = -.5 * arctan(2 / ( sqrt(x^2 – 4) ) ) 在第四象限的图形。它是一条递增的凸曲线，在 x=2 处有垂直渐近线。

原函数是 $\frac{1}{2} {sec}^{−1} (\frac{x}{2}) + C .$ 。取 $C = 0$ 可恢复在 $[2, 6] .$ 上的定积分。

419.

函数 f(x) = arctan(x sin(x)) 在 [-6,6] 上的图形。它大约有五个转折点，分别在 (-5, -1.5)、(-2,1)、(0,0)、(2,1) 和 (5,-1.5) 处。

一般原函数是 ${tan}^{−1} (x sin x) + C .$ 。取 $C = − {tan}^{−1} (6 sin (6))$ 可恢复定积分。

421.

函数 f(x) = arctan(ln(x)) 在 (0, 2] 上的图形。它是一条递增曲线，x 轴截距在 (1,0) 处。

一般原函数是 ${tan}^{−1} (ln x) + C .$ 。取 $C = \frac{π}{2} = {tan}^{−1} \infty$ 可恢复定积分。

423.

${sin}^{−1} (e^{t}) + C$

425.

${sin}^{−1} (ln t) + C$

427.

$- \frac{1}{4} {({cos}^{−1} (2 t))}^{2} + C$

429.

$\frac{1}{2} ln (\frac{4}{3})$

431.

$1 - \frac{2}{\sqrt{5}}$

433.

$2 {tan}^{−1} (A) \to π$ 当 $A \to \infty$

435.

利用提示，可得 $\int \frac{{csc}^{2} x}{{csc}^{2} x + {cot}^{2} x} d x = \int \frac{{csc}^{2} x}{1 + 2 {cot}^{2} x} d x .$ 。设 $u = \sqrt{2} cot x .$ 。那么， $d u = − \sqrt{2} {csc}^{2} x$ ，且积分是 $- \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d u}{1 + u^{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{−1} u + C = \frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{−1} (\sqrt{2} cot x) + C .$ 。如果使用恒等式 ${tan}^{−1} s + {tan}^{−1} (\frac{1}{s}) = \frac{π}{2},$ ，那么这也可以写成 $\frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{−1} (\frac{tan x}{\sqrt{2}}) + C .$