三角函数 - 微积分：第一卷

1.3 三角函数

学习目标

1.3.1 在度与弧度之间转换角度度量。
1.3.2 了解基本三角函数的三角形定义与单位圆定义。
1.3.3 写出基本三角恒等式。
1.3.4 识别三角函数的图形和周期。
1.3.5 根据函数表达式描述正弦或余弦图形的平移。

三角函数可描述声波、琴弦振动、交流电及摆的运动等多种现象。事实上，几乎任何重复性或周期性运动都可用若干三角函数的组合来建模。本节将定义六种基本三角函数，并讨论相关的若干重要恒等式。

弧度制

使用三角函数之前，须先理解角的度量方式。弧度和度均可度量角，但弧度更自然，因其与单位圆（半径为1的圆）直接相关。弧度制定义如下：给定角 $θ,$ ，设 $s$ 为单位圆上对应弧的长度（图 1.30）。弧长为1所对之角定义为1弧度。

一个圆的图像。圆的中心有一个点。从这个点出发，有一条线段水平向右延伸到圆周上的一点，另一条线段对角向上向右延伸到圆周上的另一点。这些线段的长度为1个单位。连接这两条线段末端圆周上的弧段标记为“s”。圆内有一个箭头，从水平线段指向对角线段。这个箭头标记为“theta = s 弧度”。

图 1.30 角

θ

的弧度制度量等于其在单位圆上所对弧的弧长

s

。

由于 $360 °$ 的角对应整个圆周，即弧长 $2 π,$ ，故 $360 °$ 等价于 $2 π$ 弧度。同理， $180 °$ 等价于 $π$ 弧度。表 1.8列出了常见角度数与弧度的对应关系。

度	弧度	度	弧度
0	0	120	$2 π / 3$
30	$π / 6$	135	$3 π / 4$
45	$π / 4$	150	$5 π / 6$
60	$π / 3$	180	$π$
90	$π / 2$

表 1.8 用度数和弧度表示的常见角

例 1.22

弧度与度数之间的转换

用弧度表示 $225 °$ 。
用度数表示 $5 π / 3$ 弧度。

解

利用 $180 °$ 等价于 $π$ 弧度这一关系换算： $1 = \frac{π rad}{180 °} = \frac{180 °}{π rad} .$

$225 ° = 225 ° \cdot \frac{π}{180 °} = \frac{5 π}{4}$ 弧度
$\frac{5 π}{3}$ 弧度 = $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{180 °}{π} = 300 °$

检验点 1.17

用弧度表示 $210 °$ 。用度数表示 $11 π / 6$ 弧度。

六种基本三角函数

借助三角函数，可由角度（弧度或度数）求任意圆——而非仅限于单位圆——上某点的坐标，亦可由圆上已知点反求角度。三角函数还刻画了三角形边与角的关系。

为定义三角函数，考虑以原点为圆心的单位圆及其上一点 $P = (x, y)$ 。设 $θ$ 为始边沿正 $x$ 轴、终边为线段 $O P .$ 。处于此位置的角称为标准位置角（图 1.31）。由此可用坐标 $x$ 和 $y .$ 定义 $θ$ 的六个三角函数。

图。图上绘制了一个圆，圆心在原点，原点处有一个点。从这个点出发，有一条线段水平沿x轴向右延伸到圆周上的一点。还有一条线段对角向上向右延伸到圆周上的另一点。这个点标记为“P = (x, y)”。这些线段的长度为1个单位。从点“P”出发，有一条虚线垂直向下延伸，直到它与x轴相交，从而与水平线段相交。圆内有一个箭头，从水平线段指向对角线段。这个箭头标记为“theta”。

图 1.31 角

θ

处于标准位置。

θ

的三角函数值由坐标

x

和

y .

定义。

定义

设 $P = (x, y)$ 是以原点 $O .$ 为圆心的单位圆上一点。设 $θ$ 为始边沿正 $x$ 轴、终边为线段 $O P .$ 的角。则三角函数 (trigonometric functions)定义为

\begin{matrix} sin θ = y & csc θ = \frac{1}{y} \\ cos θ = x & sec θ = \frac{1}{x} \\ tan θ = \frac{y}{x} & cot θ = \frac{x}{y} \end{matrix}

(1.9)

若 $x = 0,$ 则 $sec θ$ 和 $tan θ$ 无定义。若 $y = 0,$ 则 $cot θ$ 和 $csc θ$ 无定义。

对于半径为 $r$ 的圆上一点 $P = (x, y)$ ，其对应角为 $θ,$ ，坐标 $x$ 和 $y$ 满足

\begin{matrix} cos θ = \frac{x}{r} \\ x = r cos θ \end{matrix}

\begin{matrix} sin θ = \frac{y}{r} \\ y = r sin θ . \end{matrix}

其余三角函数亦可用 $x, y,$ 和 $r$ 来表示（图 1.32）。

图。图上绘制了一个圆，圆心在原点，原点处有一个点。从这个点出发，有一条蓝色线段水平沿x轴向右延伸到圆周上的一点。还有一条蓝色线段对角向上向右延伸到圆周上的另一点。这个点标记为“P = (x, y)”。这些线段的长度为“r”个单位。这些线段之间圆内是标记为“theta”的角，表示线段之间的角度。从点“P”出发，有一条蓝色垂直线向下延伸，直到它与x轴相交，从而与水平线段相交，交点标记为“x”。在水平线段和垂直线段在点x处的交点，有一个直角三角形符号。从点“P”出发，有一条虚线水平向左延伸，直到它与y轴相交，交点标记为“y”。

图 1.32 对于半径为

r,

的圆上的一点

P = (x, y)

，坐标

x

和

y

满足

x = r cos θ

和

y = r sin θ .

。

表 1.9列出了第一象限主要角的正弦和余弦值。据此可确定其他象限中对应角的正弦和余弦值。其余三角函数值可由 $sin θ$ 和 $cos θ .$ 直接算得。

$θ$	$s i n θ$	$c o s θ$
$0$	$0$	$1$
$\frac{π}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{π}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{π}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{π}{2}$	$1$	$0$

表 1.9 第一象限主要角

θ

的正弦

sin θ

和余弦

cos θ

值

例 1.23

计算三角函数值

求下列各式的值。

$sin (\frac{2 π}{3})$
$cos (- \frac{5 π}{6})$
$tan (\frac{15 π}{4})$

解

在单位圆上，角 $θ = \frac{2 π}{3}$ 对应于点 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) .$ 。因此， $sin (\frac{2 π}{3}) = y = \frac{\sqrt{3}}{2} .$
角 $θ = - \frac{5 π}{6}$ 对应顺时针方向（即负方向）的旋转，如图所示。故 $cos (- \frac{5 π}{6}) = x = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$
角 $θ = \frac{15 π}{4} = 2 π + \frac{7 π}{4} .$ 。故此角超过一整圈，如图所示。已知角 $\frac{7 π}{4}$ 对应于点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}),$ ，可得 $tan (\frac{15 π}{4}) = \frac{y}{x} = −1 .$

检验点 1.18

计算 $cos (3 π / 4)$ 和 $sin (− π / 6) .$ 。

如前所述，直角三角形的边长之比可用其任一锐角的三角函数来表示。设 $θ$ 为其中一个锐角。设 $A$ 为邻边长， $O$ 为对边长， $H$ 为斜边长。将三角形内接于半径为 $H,$ 的圆中，如图 1.33所示，可得 $A, H,$ 和 $O$ 与 $θ$ 的关系如下：

\begin{matrix} sin θ = \frac{O}{H} & csc θ = \frac{H}{O} \\ cos θ = \frac{A}{H} & sec θ = \frac{H}{A} \\ tan θ = \frac{O}{A} & cot θ = \frac{A}{O} \end{matrix}

图。图上绘制了一个圆，圆心在原点，原点处有一个点。从这个点出发，有一条线段水平沿x轴向右延伸到圆周上的一点。还有一条长度标记为“H”的线段对角向上向右延伸到圆周上的另一点。从这个点出发，有一条长度标记为“O”的垂直线向下延伸，直到它与x轴相交，从而与水平线段相交，交点处有一个直角三角形符号。从这个点到圆心的距离标记为“A”。圆内有一个箭头，从水平线段指向对角线段。这个箭头标记为“theta”。

图 1.33 将直角三角形内接于圆中，即可用

θ

的三角函数值表示各边长之比。

例 1.24

建造木制坡道

需建造一个木制坡道，一端置于地面，另一端搭在短楼梯顶部。若楼梯顶部离地面 $4$ 英尺，地面与坡道的夹角为 $10 °,$ ，问坡道需要多长？

解

设 $x$ 表示坡道的长度。由下图可知 $x$ 需要满足方程 $sin (10 °) = 4 / x .$ 。解此方程得 $x = 4 / sin (10 °) \approx 23.035$ 英尺。

检验点 1.19

一位油漆工将一把 $20$ 英尺长的梯子靠墙。若梯子与地面的夹角为 $60 °,$ ，梯子底部距墙多远？

三角恒等式

三角恒等式是关于三角函数的等式，对函数有定义的一切角 $θ$ 均成立。利用恒等式可求解或化简方程。主要三角恒等式如下。

法则: 三角恒等式

倒数恒等式

\begin{matrix} tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} & cot θ = \frac{cos θ}{sin θ} \\ csc θ = \frac{1}{sin θ} & sec θ = \frac{1}{cos θ} \end{matrix}

勾股恒等式

{sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1 1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ 1 + {cot}^{2} θ = {csc}^{2} θ

和差公式

sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β

cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β

二倍角公式

sin (2 θ) = 2 sin θ cos θ

cos (2 θ) = 2 {cos}^{2} θ - 1 = 1 - 2 {sin}^{2} θ = {cos}^{2} θ - {sin}^{2} θ

例 1.25

求解三角方程

利用三角恒等式，求下列各方程的全部解。

$1 + cos (2 θ) = cos θ$
$sin (2 θ) = tan θ$

解

使用 $cos (2 θ),$ 的二倍角公式，可知 $θ$ 满足方程
$1 + cos (2 θ) = cos θ$

当且仅当
$1 + 2 {cos}^{2} θ - 1 = cos θ,$

等价于
$2 {cos}^{2} θ - cos θ = 0 .$

求解时应将左端因式分解，而非两边除以 $cos θ .$ 。原因是 $cos θ$ $cos θ$ 可能为零。若除以 $cos θ,$ ，就会遗漏解。对左端因式分解，可知 $θ$ 为解当且仅当
$cos θ (2 cos θ - 1) = 0 .$

由于 $cos θ = 0$ 时
$θ = \frac{π}{2}, \frac{π}{2} \pm π, \frac{π}{2} \pm 2 π,…,$

而 $cos θ = 1 / 2$ 时
$θ = \frac{π}{3}, \frac{π}{3} \pm 2 π,… 或 θ = - \frac{π}{3}, - \frac{π}{3} \pm 2 π,…,$

故解集为

$θ = \frac{π}{2} + n π, θ = \frac{π}{3} + 2 n π, 和 θ = - \frac{π}{3} + 2 n π, n = 0, \pm 1, \pm 2, … .$
使用 $sin (2 θ)$ 的二倍角公式和 $tan (θ),$ 的商恒等式，方程改写为
$2 sin θ cos θ = \frac{sin θ}{cos θ} .$

两边乘以 $cos θ$ 消去分母。若 $θ$ 满足原方程，则亦满足
$2 sin θ {cos}^{2} θ - sin θ = 0 .$

但须注意：满足新方程的 $θ$ 未必满足原方程，因回推需除以 $cos θ .$ 。而当 $cos θ = 0,$ 时不可除以 $cos θ .$ 。故可能引入增根，须逐一验证。关键是提取 $sin θ$ 为公因子，而非两边除以 $sin θ .$ 。因式分解后得
$sin θ (2 {cos}^{2} θ - 1) = 0 .$

故解为满足 $sin θ = 0$ 或 ${cos}^{2} θ = 1 / 2 .$ 的所有角 $θ$ 。前者的解为 $θ = 0, \pm π, \pm 2 π,….$ 。后者的解为 $θ = π / 4, (π / 4) \pm (π / 2), (π / 4) \pm π,….$ 。排除增根后，解为

$θ = n π 和 θ = \frac{π}{4} + \frac{n π}{2}, n = 0, \pm 1, \pm 2, … .$

检验点 1.20

求方程 $cos (2 θ) = sin θ .$ 的所有解。

例 1.26

证明三角恒等式

证明三角恒等式 $1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ .$ 。

解

由恒等式

{sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1 .

将此方程两边除以 ${cos}^{2} θ,$ ，得

\frac{{sin}^{2} θ}{{cos}^{2} θ} + 1 = \frac{1}{{cos}^{2} θ} .

由于 $sin θ / cos θ = tan θ$ 和 $1 / cos θ = sec θ,$ ，即得

{tan}^{2} θ + 1 = {sec}^{2} θ .

检验点 1.21

证明三角恒等式 $1 + {cot}^{2} θ = {csc}^{2} θ .$ 。

三角函数的图形与周期

前面已看到，沿单位圆移动时三角函数值周期性地重复。从图形可直观看出此规律。设 $P = (x, y)$ 是单位圆上一点， $θ$ 为对应角 $.$ 。由于角 $θ$ 和 $θ + 2 π$ 对应同一点 $P,$ ，故三角函数在 $θ$ 和在 $θ + 2 π$ 处取值相同。即三角函数为周期函数。函数 $f$ 的周期定义为最小正实数 $p$ ，使对 $f .$ 定义域中一切 $x$ ，都有 $f (x + p) = f (x)$ 。正弦、余弦、正割和余割函数的周期为 $2 π .$ 。正切和余切函数每隔 $π,$ 重复一次，故其周期为 $π$ (图 1.34)。

六个图形的图像。每个图形的x轴范围从-2π到2π，y轴范围从-2到2。第一个图形是函数“f(x) = sin(x)”的曲线波形图。函数图从点(-2π, 0)开始，增加到点(-((3π)/2), 1)。此后，函数减小到点(-(π/2), -1)。此后，函数增加到点((π/2), 1)。此后，函数减小到点(((3π)/2), -1)。此后，函数再次开始增加。图上显示的x截距在点(-2π, 0)、(-π, 0)、(0, 0)、(π, 0)和(2π, 0)处。y截距在原点。第二个图形是函数“f(x) = cos(x)”的曲线波形图。函数图从点(-2π, 1)开始，减小到点(-π, -1)。此后，函数增加到点(0, 1)。此后，函数减小到点(π, -1)。此后，函数再次开始增加。图上显示的x截距在点(-((3π)/2), 0)、(-(π/2), 0)、((π/2), 0)和(((3π)/2), 0)处。y截距在点(0, 1)处。cos(x)的图形与sin(x)的图形相同，只是向左平移了(π/2)的距离。接下来的四个图形中有虚线垂直线，它们不是函数的一部分，而是函数的边界，函数永远不会触及这些边界。它们被称为垂直渐近线。所有这些函数都有无限条垂直渐近线，但这些图形只显示了几条。第三个图形是函数“f(x) = csc(x)”的图形。“f(x) = csc(x)”在此图上的垂直渐近线出现在“x = -2π”、“x = -π”、“x = 0”、“x = π”和“x = 2π”处。在“x = -2π”和“x = -π”渐近线之间，函数看起来像一个向上开口的“U”形，最小值为点(-((3π)/2), 1)。在“x = -π”和“x = 0”渐近线之间，函数看起来像一个向下开口的“U”形，最大值为点(-(π/2), -1)。在“x = 0”和“x = π”渐近线之间，函数看起来像一个向上开口的“U”形，最小值为点((π/2), 1)。在“x = π”和“x = 2π”渐近线之间，函数看起来像一个向下开口的“U”形，最大值为点(((3π)/2), -1)。第四个图形是函数“f(x) = sec(x)”的图形。此函数在此图上的垂直渐近线出现在“x = -((3π)/2)”、“x = -(π/2)”、“x = (π/2)”和“x = ((3π)/2)”处。在“x = -((3π)/2)”和“x = -(π/2)”渐近线之间，函数看起来像一个向下开口的“U”形，最大值为点(-π, -1)。在“x = -(π/2)”和“x = (π/2)”渐近线之间，函数看起来像一个向上开口的“U”形，最小值为点(0, 1)。在“x = (π/2)”和“x = (3π/2)”渐近线之间，函数看起来像一个向下开口的“U”形，最大值为点(π, -1)。sec(x)的图形与csc(x)的图形相同，只是向左平移了(π/2)的距离。第五个图形是函数“f(x) = tan(x)”的图形。此函数在此图上的垂直渐近线出现在“x = -((3π)/2)”、“x = -(π/2)”、“x = (π/2)”和“x = ((3π)/2)”处。在所有垂直渐近线之间，函数总是递增的，但从不触及渐近线。此图上的x截距出现在点(-2π, 0)、(-π, 0)、(0, 0)、(π, 0)和(2π, 0)处。y截距在原点。第六个图形是函数“f(x) = cot(x)”的图形。此函数在此图上的垂直渐近线出现在“x = -2π”、“x = -π”、“x = 0”、“x = π”和“x = 2π”处。在所有垂直渐近线之间，函数总是递减的，但从不触及渐近线。此图上的x截距出现在点(-((3π)/2), 0)、(-(π/2), 0)、((π/2), 0)和(((3π)/2), 0)处，并且没有y截距。

图 1.34 六个三角函数都是周期函数。

与代数函数一样，三角函数亦可进行变换。考虑函数

f (x) = A cos (B (x - α)) + C .

(1.10)

在图 1.35 中，常数 $α$ 决定水平（相位）平移；因子 $B$ 改变周期，使之变为 $2 π / | B | .$ 。因子 $A$ 使函数在垂直方向伸缩 $| A | .$ 。称 $| A |$ 为 $f$ 的振幅。常数 $C$ 决定垂直平移。

图。该图形是函数“f(x) = Acos(B(x - alpha)) + C”的图像。沿y轴有3个刻度线：从下往上，刻度线的值分别为“C - A”、“C”和“C + A”。从原点到“C”的距离标记为“垂直移动”。从“C - A”到“A”的距离以及从“A”到“C + A”的距离为“A”，标记为“振幅”。x轴上有一个刻度线在“alpha”处，从原点到“alpha”的距离标记为“水平移动”。函数两个连续最小值之间的距离（换句话说，波形两个相邻底部之间的距离）是“(2π)/(B的绝对值)”，标记为周期。周期也是函数两个连续最大值之间的距离。

图 1.35 一般余弦函数的图形。

注意，在图 1.34 中， $y = cos x$ 的图形是 $y = sin x$ 的图形左移 $π / 2$ 个单位所得。因此 $cos x = sin (x + π / 2) .$ 。同理，也可将 $y = sin x$ 的图形看作 $y = cos x$ 的图形右移 $π / 2$ 个单位所得，从而 $sin x = cos (x - π / 2) .$ 。

将某地日照时长视为日期的函数，自然会得到平移的正弦曲线。例如，假设某城市6月21日日照最长，达 $15.7$ 小时，12月21日最短，仅 $8.3$ 小时。可验证

h (t) = 3.7 sin (\frac{2 π}{365} (t - 80.5)) + 12

可作为日照时数 $h$ 关于日序 $t$ 的模型 (图 1.36)。

图。x轴从0到365，标记为“t，一年中的天数”。y轴从0到20，标记为“h，日照小时数”。该图形是函数“h(t) = 3.7sin(((2π)/365)(t - 80.5)) + 12”的曲线波形图。函数从近似点(0, 8.4)开始增加，直到近似点(171.8, 15.7)。此后，函数减小到近似点(354.3, 8.3)。此后，函数再次开始增加。

图 1.36 日照小时数作为一年中某天的函数可以用平移的正弦曲线建模。

例 1.27

绘制变换后的正弦曲线图形

绘制 $f (x) = 3 sin (2 (x - \frac{π}{4})) + 1 .$ 的图形。

解

此图形由正弦曲线经如下变换得到：水平压缩为原来的1/2，右移π/4个单位，垂直拉伸3倍，再上移1个单位。 $f$ 的周期是 $π .$ 。

图。x轴从-((3π)/2)到2π，y轴从-3到5。该图形是函数“f(x) = 3sin(2(x-(π/4))) + 1”的曲线波形图。函数从点(-((3π)/2), 4)开始递减，直到点(-π, -2)。在此点之后，函数开始递增，直到点(-(π/2), 4)。在此点之后，函数开始递减，直到点(0, -2)。在此点之后，函数增加，直到点((π/2), 4)。在此点之后，函数递减，直到点(π, -2)。在此点之后，函数增加，直到点(((3π)/2), 4)。在此点之后，函数再次递减。

检验点 1.22

描述 $f (x) = 3 sin (4 x) - 5$ 的图形与 $y = sin (x) .$ 的图形之间的关系。

第 1.3 节练习

以下各题，将角度从度转换为弧度，答案写成 $π .$ 的倍数形式。

113.

$240 °$

114.

$15 °$

115.

$−60 °$

116.

$−225 °$

117.

$330 °$

以下各题，将角度从弧度转换为度。

118.

$\frac{π}{2} rad$

119.

$\frac{7 π}{6} rad$

120.

$\frac{11 π}{2} rad$

121.

$−3 π rad$

122.

$\frac{5 π}{12} rad$

求下列各式的值。

123.

$cos (\frac{4 π}{3})$

124.

$tan (\frac{19 π}{4})$

125.

$sin (- \frac{3 π}{4})$

126.

$sec (\frac{π}{6})$

127.

$sin (\frac{π}{12})$

128.

$cos (\frac{5 π}{12})$

以下各题，设直角三角形 ABC 中角 C 为直角。a. 求未知边长。b. 求角 A 的六个三角函数值（必要时化简为分数或保留三位小数）。

一张三角形的图片。三角形的三个角分别标记为“A”、“B”和“C”。角 A 和角 C 之间是边 b。角 C 和角 B 之间是边 a。角 B 和角 A 之间是边 c。角 C 处标有直角符号。角 A 处标有角度符号。

129.

$a = 4, c = 7$

130.

$a = 21, c = 29$

131.

$a = 85.3, b = 125.5$

132.

$b = 40, c = 41$

133.

$a = 84, b = 13$

134.

$b = 28, c = 35$

以下各题， $P$ 为单位圆上一点。a. 求缺失坐标（精确值），b. 求终边过 $P$ 的角 $θ$ 的六个三角函数值（需要时将分母有理化）。

135.

$P (\frac{7}{25}, y), y > 0$

136.

$P (\frac{−15}{17}, y), y < 0$

137.

$P (x, \frac{\sqrt{7}}{3}), x < 0$

138.

$P (x, \frac{− \sqrt{15}}{4}), x > 0$

以下各题，先将表达式用正弦和余弦表示，再化简。最终答案不必只含正弦和余弦。

139.

${tan}^{2} x + sin x csc x$

140.

$sec x sin x cot x$

141.

$\frac{{tan}^{2} x}{{sec}^{2} x}$

142.

$sec x - cos x$

143.

${(1 + tan θ)}^{2} - 2 tan θ$

144.

$sin x (csc x - sin x)$

145.

$\frac{cos t}{sin t} + \frac{sin t}{1 + cos t}$

146.

$\frac{1 + {tan}^{2} α}{1 + {cot}^{2} α}$

以下各题，验证各方程均为恒等式。

147.

$\frac{tan θ cot θ}{csc θ} = sin θ$

148.

$\frac{{sec}^{2} θ}{tan θ} = sec θ csc θ$

149.

$\frac{sin t}{csc t} + \frac{cos t}{sec t} = 1$

150.

$\frac{sin x}{cos x + 1} + \frac{cos x - 1}{sin x} = 0$

151.

$cot γ + tan γ = sec γ csc γ$

152.

${sin}^{2} β + {tan}^{2} β + {cos}^{2} β = {sec}^{2} β$

153.

$\frac{1}{1 - sin α} + \frac{1}{1 + sin α} = 2 {sec}^{2} α$

154.

$\frac{tan θ - cot θ}{sin θ cos θ} = {sec}^{2} θ - {csc}^{2} θ$

以下各题，在区间 $0 \leq θ < 2 π .$ 上求解下列三角方程。

155.

$2 sin θ - 1 = 0$

156.

$1 + cos θ = \frac{1}{2}$

157.

$2 {tan}^{2} θ = 2$

158.

$4 {sin}^{2} θ - 2 = 0$

159.

$\sqrt{3} cot θ + 1 = 0$

160.

$3 sec θ - 2 \sqrt{3} = 0$

161.

$2 cos θ sin θ = sin θ$

162.

${csc}^{2} θ + 2 csc θ + 1 = 0$

以下各题，每个图形都是 $y = A sin B x$ 或 $y = A cos B x,$ 的形式，其中 $B > 0 .$ 。写出其函数表达式。

163.

一张图形的图片。x 轴范围从 -4 到 4，y 轴范围从 -5 到 5。图形是一个弯曲的波函数，从点 (-4, 0) 开始递减，直到点 (-2, 4)。在此点之后，函数开始递增，直到达到点 (2, 4)。在此点之后，函数再次开始递减。该图形上函数的 x 截距在 (-4, 0)、(0, 0) 和 (4, 0) 处。y 截距在原点。

164.

一张图形的图片。x 轴范围从 -4 到 4，y 轴范围从 -5 到 5。图形是一个弯曲的波函数，从点 (-4, -2) 开始递增，直到点 (-3, 2)。在此点之后，函数递减，直到达到点 (-2, -2)。在此点之后，函数递增，直到达到点 (-1, 2)。在此点之后，函数递减，直到达到点 (0, -2)。在此点之后，函数递增，直到达到点 (1, 2)。在此点之后，函数递减，直到达到点 (2, -2)。在此点之后，函数递增，直到达到点 (3, 2)。在此点之后，函数再次开始递减。该图形上函数的 x 截距在 (-3.5, 0)、(-2.5, 0)、(-1.5, 0)、(-0.5, 0)、(0.5, 0)、(1.5, 0)、(2.5, 0) 和 (3.5, 0) 处。y 截距在 (0, -2) 处。

165.

一张函数图形。x轴范围从-4到4，y轴范围从-5到5。图形是一个弯曲的波浪函数。有许多周期，此处只解释其中几个。函数从点(-1, 1)开始递减，一直递减到点(-0.5, -1)。此后函数递增，直到达到点(0, 1)。此后函数递减，直到达到点(0.5, -1)。此后函数递增，直到达到点(1, 1)。此后函数再次递减。此图上函数的x截距在(-0.75, 0)、(-0.25, 0)、(0.25, 0)和(0.75, 0)处。y截距在(0, 1)处。

166.

一张函数图形。x轴范围从-4到4，y轴范围从-5到5。图形是一个弯曲的波浪函数。有许多周期，此处只解释其中几个。函数从点(-1.25, 0.75)开始递减，一直递减到点(-0.75, -0.75)。此后函数递增，直到达到点(0.25, 0.75)。此后函数递减，直到达到点(0.25, -0.75)。此后函数递增，直到达到点(0.75, 0.75)。此后函数再次递减。此图上函数的x截距在(-1, 0)、(-0.5, 0)、(0, 0)和(0.5, 0)处。y截距在原点。

以下各题，求各函数的 a. 振幅，b. 周期，c. 相移（含方向）。

167.

$y = sin (x - \frac{π}{4})$

168.

$y = 3 cos (2 x + 3)$

169.

$y = \frac{−1}{2} sin (\frac{1}{4} x)$

170.

$y = 2 cos (x - \frac{π}{3})$

171.

$y = −3 sin (π x + 2)$

172.

$y = 4 cos (2 x - \frac{π}{2})$

173.

[T] 一个在地面上滚动的轮子直径为40英寸。若轮子转过角度 $120 °,$ ，它移动了多少英寸？结果四舍五入到整数。

174.

[T] 在半径为 r 的圆中，求由圆心角 $θ$ 所截弧的长度。四舍五入到小数点后两位。

a. $r = 12.8$ 厘米, $θ = \frac{5 π}{6}$ 弧度 b. $r = 4.378$ 厘米, $θ = \frac{7 π}{6}$ 弧度 c. $r = 0.964$ 厘米, $θ = 50 °$ d. $r = 8.55$ 厘米, $θ = 325 °$

175.

[T] 当点 P 绕圆移动时，角度的度量会发生变化。角度变化的速度称为角速度， $ω,$ ，其表达式为 $ω = θ / t,$ ，其中 $θ$ 以弧度表示，t 为时间。根据给定数据求角速度。四舍五入到小数点后三位。

a. $θ = \frac{7 π}{4} rad, t = 10$ 秒 b. $θ = \frac{3 π}{5} rad, t = 8$ 秒 c. $θ = \frac{2 π}{9} rad, t = 1$ 分 d. $θ = 23.76 rad, t = 14$ 分

176.

[T] 建造一座核电站共需要250,000平方米的土地。假设决定将电站建造在一个圆形区域内。

求圆形土地区域的半径。
若土地区域形成一个 $45 °$ 的扇形而不是整个圆形，求弯曲边的长度。

177.

[T] 等腰三角形的面积，其等边长度为 x，为

$\frac{1}{2} x^{2} sin θ,$

其中 $θ$ 是由两条边形成的角。求等边长度为8英寸，角为 $θ = 5 π / 12$ 弧度的等腰三角形的面积。

178.

[T] 一个粒子以恒定角速度 $ω .$ 沿圆形路径运动。角速度由函数 $ω = 9 | cos (π t - π / 12) | .$ 建模。确定在 $t = 9$ 秒时的角速度。

179.

[T] 家用插座的交流电电压由函数给出

$V (t) = 150 cos 368 t,$

其中 V 是在 t 秒时的电压（伏特）。

求函数的周期并解释其含义。
求1秒钟内的周期数。

180.

[T] 某东北城市的日照小时数由函数建模

N (t) = 12 + 3 sin [\frac{2 π}{365} (t - 79)],

其中 t 是1月1日之后的日数。

求振幅和周期。
求一年中最长日的日照小时数。
求一年中最短日的日照小时数。
求1月1日之后90天的日照小时数。
绘制从1月1日开始的一个周期的函数图形。

181.

[T] 假设 $T = 50 + 10 sin [\frac{π}{12} (t - 8)]$ 是某一天午夜之后 t 小时温度（华氏度）的数学模型。

求振幅和周期。
求午夜之后7小时的温度。
在什么时间 $T = 60 ° ?$
绘制 $T$ 在 $0 \leq t \leq 24 .$ 上的图形。

182.

[T] 函数 $H (t) = 8 sin (\frac{π}{6} t)$ 模拟了午夜之后 t 小时潮汐的高度 H（英尺）。假设 $t = 0$ 是午夜。

求振幅和周期。
绘制函数在一个周期内的图形。
凌晨4:30的潮汐高度是多少？