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洛必达法则
洛必达法则

4.8 洛必达法则

学习目标

  • 4.8.1 识别何时应用洛必达法则。
  • 4.8.2 识别由商、积、差和幂产生的未定式，并在每种情况下应用洛必达法则。
  • 4.8.3 描述函数的相对增长率。

本节介绍一个计算极限的有力工具——洛必达法则。该法则借助导数来求极限，使我们能够计算出许多此前无法确定的极限值。有了这一工具，我们不必再依赖数值证据来猜测极限是否存在，而是能严格证明极限的存在性并给出精确结果。

应用洛必达法则

洛必达法则可用于计算涉及两个函数之商的极限。考虑

limx→af(x)g(x).limx→af(x)g(x).

如果 limx→af(x)=L1和limx→ag(x)=L2≠0,limx→af(x)=L1和limx→ag(x)=L2≠0,，那么

limx→af(x)g(x)=L1L2.limx→af(x)g(x)=L1L2.

然而，如果 limx→af(x)=0limx→af(x)=0 且 limx→ag(x)=0?limx→ag(x)=0? 会发生什么？我们称之为未定式，类型为 00.00.。之所以称其为未定式，是因为若不做进一步分析，我们无法确定 f(x)g(x)f(x)g(x) 当 x→ax→a 时的确切行为。前面的章节中已经出现过此类例子。例如，考虑

limx→2x2−4x−2和limx→0sinxx.limx→2x2−4x−2和limx→0sinxx.

对于这些例子中的第一个，我们可以通过分解分子来计算极限，并写成

limx→2x2−4x−2=limx→2(x+2)(x−2)x−2=limx→2(x+2)=2+2=4.limx→2x2−4x−2=limx→2(x+2)(x−2)x−2=limx→2(x+2)=2+2=4.

对于 limx→0sinxxlimx→0sinxx，我们能够通过几何论证表明

limx→0sinxx=1.limx→0sinxx=1.

下面我们介绍另一种计算此类极限的技术。该技术不仅使计算更加简便，更重要的是，它使我们能够计算出许多以前无法求得的极限。

洛必达法则的基本思想可以用局部线性近似来解释。考虑两个可微函数 ff 和 gg，使得 limx→af(x)=0=limx→ag(x)limx→af(x)=0=limx→ag(x) 且 g′(a)≠0g′(a)≠0。对于 xx 接近 a,a, 的情况，我们可以写出

f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)

以及

g(x)≈g(a)+g′(a)(x−a).g(x)≈g(a)+g′(a)(x−a).

因此，

f(x)g(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)g(a)+g′(a)(x−a).f(x)g(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)g(a)+g′(a)(x−a).
绘制了两个函数 y = f(x) 和 y = g(x)，它们在 x = a 上方的一个点相交。还绘制了这两个函数的线性近似 y = f(a) + f’(a)(x – a) 和 y = g(a) + g’(a)(x – a)。
图 4.71 如果 limx→af(x)=limx→ag(x),limx→af(x)=limx→ag(x),，则比率 f(x)/g(x)f(x)/g(x) 大致等于它们在 a.a. 附近的线性近似之比。

由于 ff 在 a,a, 处可微，因此 ff 在 a,a, 处连续，从而 f(a)=limx→af(x)=0.f(a)=limx→af(x)=0.。类似地，g(a)=limx→ag(x)=0.g(a)=limx→ag(x)=0.。如果我们还假设 f′f′ 和 g′g′ 在 x=a,x=a, 处连续，那么 f′(a)=limx→af′(x)f′(a)=limx→af′(x) 和 g′(a)=limx→ag′(x).g′(a)=limx→ag′(x).。综合以上分析，可得：

limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)(x−a)g′(x)(x−a)=limx→af′(x)g′(x).limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)(x−a)g′(x)(x−a)=limx→af′(x)g′(x).

注意，上述关于 f′f′ 和 g′g′ 在 aa 处连续且 g′(a)≠0g′(a)≠0 的假设可以放宽。下面给出洛必达法则在未定式 00.00. 情况下的正式表述。另注意，记号 0000 并不意味着我们真的在用零除以零。实际上，记号 0000 来表示极限的商，其中每个极限都为零。

定理 4.12

洛必达法则（0/0 型）

假设 ff 和 gg 是在包含 a,a, 的一个开区间上可微的函数，可能除了 a.a. 点。如果 limx→af(x)=0limx→af(x)=0 且 limx→ag(x)=0,limx→ag(x)=0,，那么

limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x),limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x),

假设右侧的极限存在或为 ∞∞ 或 −∞.−∞.。如果考虑单侧极限，或者如果 a=∞和−∞.a=∞和−∞.，此结果也成立。

证明

我们给出本定理在特殊情况下的证明，即当 f,g,f′,f,g,f′, 和 g′g′ 在包含 a.a. 的一个开区间上都连续时。这时，由于 limx→af(x)=0=limx→ag(x)limx→af(x)=0=limx→ag(x) 和 ff 以及 gg 在 a,a, 处连续，所以 f(a)=0=g(a).f(a)=0=g(a).。所以，

limx→af(x)g(x)=limx→af(x)−f(a)g(x)−g(a)因为f(a)=0=g(a)=limx→af(x)−f(a)x−ag(x)−g(a)x−a代数运算=limx→af(x)−f(a)x−alimx→ag(x)−g(a)x−a商的极限=f′(a)g′(a)导数的定义=limx→af′(x)limx→ag′(x)由f′和g′的连续性=limx→af′(x)g′(x).商的极限limx→af(x)g(x)=limx→af(x)−f(a)g(x)−g(a)因为f(a)=0=g(a)=limx→af(x)−f(a)x−ag(x)−g(a)x−a代数运算=limx→af(x)−f(a)x−alimx→ag(x)−g(a)x−a商的极限=f′(a)g′(a)导数的定义=limx→af′(x)limx→ag′(x)由f′和g′的连续性=limx→af′(x)g′(x).商的极限

注意，洛必达法则表明，我们可以通过求导数之商 f′g′.f′g′. 的极限来计算商 fgfg 的极限。需要特别注意的是，我们并不是在计算商 fg.fg. 的导数。

□

例 4.38

应用洛必达法则（0/0 型）

通过应用洛必达法则计算下列各极限。

  1. limx→01−cosxxlimx→01−cosxx
  2. limx→1sin(πx)lnxlimx→1sin(πx)lnx
  3. limx→∞e1/x−11/xlimx→∞e1/x−11/x
  4. limx→0sinx−xx2limx→0sinx−xx2

解

  1. 由于分子 1−cosx→01−cosx→0 且分母 x→0,x→0,，我们可以应用洛必达法则来计算此极限。可得
    limx→01−cosxx=limx→0ddx(1−cosx)ddx(x)=limx→0sinx1=limx→0(sinx)limx→0(1)=01=0.limx→01−cosxx=limx→0ddx(1−cosx)ddx(x)=limx→0sinx1=limx→0(sinx)limx→0(1)=01=0.
  2. 当 x→1,x→1, 时，分子 sin(πx)→0sin(πx)→0 且分母 ln(x)→0.ln(x)→0.。因此，我们可以应用洛必达法则。可得
    limx→1sin(πx)lnx=limx→1πcos(πx)1/x=limx→1(πx)cos(πx)=(π·1)(−1)=−π.limx→1sin(πx)lnx=limx→1πcos(πx)1/x=limx→1(πx)cos(πx)=(π·1)(−1)=−π.
  3. 当 x→∞,x→∞, 时，分子 e1/x−1→0e1/x−1→0 且分母 (1x)→0.(1x)→0.。因此，我们可以应用洛必达法则。可得
    limx→∞e1/x−11x=limx→∞e1/x(−1x2)(−1x2)=limx→∞e1/x=e0=1.limx→∞e1/x−11x=limx→∞e1/x(−1x2)(−1x2)=limx→∞e1/x=e0=1.
  4. 当 x→0,x→0, 时，分子和分母都趋近于零。于是，我们可以应用洛必达法则。可得
    limx→0sinx−xx2=limx→0cosx−12x.limx→0sinx−xx2=limx→0cosx−12x.

     由于这个新商的分子和分母都趋近于零，当 x→0,x→0, 时，我们再次应用洛必达法则，可得
    limx→0cosx−12x=limx→0−sinx2=0.limx→0cosx−12x=limx→0−sinx2=0.

     由此可知：
    limx→0sinx−xx2=0.limx→0sinx−xx2=0.

检验点 4.37

计算 limx→0xtanx.limx→0xtanx.

我们也可以使用洛必达法则来计算商 f(x)g(x)f(x)g(x) 的极限，其中 f(x)→±∞f(x)→±∞ 且 g(x)→±∞.g(x)→±∞.。这种形式的极限称为 ∞/∞.∞/∞. 型未定式。再次注意，我们并不是真的在用 ∞∞ 除以 ∞.∞.。由于 ∞∞ 不是一个实数，这是不可能的；相反，∞/∞.∞/∞. 用于表示极限的商，其中每个极限都为 ∞∞ 或 −∞.−∞.。

定理 4.13

洛必达法则（(∞/∞(∞/∞ 型）

假设 ff 和 gg 是在包含 a,a, 的一个开区间上可微的函数，可能除了 a.a. 点。假设 limx→af(x)=∞limx→af(x)=∞ (或 −∞)−∞)) 且 limx→ag(x)=∞limx→ag(x)=∞ (或 −∞).−∞).)。那么，

limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x),limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x),

假设右侧的极限存在或为 ∞∞ 或 −∞.−∞.。当极限为无穷极限时，当 a=∞a=∞ 或 −∞,−∞,，或者极限是单侧极限，此结果也成立。

例 4.39

应用洛必达法则（(∞/∞(∞/∞ 型）

通过应用洛必达法则计算下列各极限。

  1. limx→∞3x+52x+1limx→∞3x+52x+1
  2. limx→0+lnxcotxlimx→0+lnxcotx

解

  1. 由于 3x+53x+5 和 2x+12x+1 是具有正首项系数的一次多项式函数，因此 limx→∞(3x+5)=∞limx→∞(3x+5)=∞ 且 limx→∞(2x+1)=∞.limx→∞(2x+1)=∞.。所以，我们应用洛必达法则并得到
    limx→∞3x+52x+1=limx→∞32=32.limx→∞3x+52x+1=limx→∞32=32.

     注意，这个极限也可以不使用洛必达法则来计算。在本章前面，我们展示了如何将分子和分母除以分母中 xx 的最高次幂来计算此类极限，可得
    limx→∞3x+52x+1=limx→∞3+5/x2+1/x=32.limx→∞3x+52x+1=limx→∞3+5/x2+1/x=32.

     洛必达法则为我们提供了计算此类极限的另一种方法。
  2. 这里，limx→0+lnx=−∞limx→0+lnx=−∞ 且 limx→0+cotx=∞.limx→0+cotx=∞.。因此，我们可以应用洛必达法则并得到
    limx→0+lnxcotx=limx→0+1/x−csc2x=limx→0+1−xcsc2x.limx→0+lnxcotx=limx→0+1/x−csc2x=limx→0+1−xcsc2x.

     现在，当 x→0+,x→0+, 时，csc2x→∞.csc2x→∞.。所以，分母中的第一项趋近于零，而第二项变得非常大。此时乘积的极限尚不确定，因此还不能直接得出结论。为了计算极限，我们使用 cscxcscx 的定义来写成
    limx→0+1−xcsc2x=limx→0+sin2x−x.limx→0+1−xcsc2x=limx→0+sin2x−x.

     现在 limx→0+sin2x=0limx→0+sin2x=0 且 limx→0+x=0,limx→0+x=0,，所以我们再次应用洛必达法则。我们发现
    limx→0+sin2x−x=limx→0+2sinxcosx−1=0−1=0.limx→0+sin2x−x=limx→0+2sinxcosx−1=0−1=0.

     于是：
    limx→0+lnxcotx=0.limx→0+lnxcotx=0.

检验点 4.38

计算 limx→∞lnx5x.limx→∞lnx5x.

如前所述，洛必达法则是一个非常有用的计算极限的工具。不过必须牢记，要将洛必达法则应用于商 f(x)g(x),f(x)g(x),，前提是 f(x)g(x)f(x)g(x) 的极限必须是 0000 或 ∞/∞.∞/∞. 的形式。考虑以下示例。

例 4.40

洛必达法则不适用时

考虑 limx→1x2+53x+4.limx→1x2+53x+4.。说明该极限不能通过洛必达法则来计算。

解

因为分子和分母的极限并非都为零，也并非都为无穷大，所以我们不能应用洛必达法则。如果我们尝试这样做，我们会得到

d d x ( x 2 + 5 ) = 2 x d d x ( x 2 + 5 ) = 2 x

以及

d d x ( 3 x + 4 ) = 3 . d d x ( 3 x + 4 ) = 3 .

这样就会错误地得出：

lim x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 = lim x → 1 2 x 3 = 2 3 . lim x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 = lim x → 1 2 x 3 = 2 3 .

然而，由于 limx→1(x2+5)=6limx→1(x2+5)=6 且 limx→1(3x+4)=7,limx→1(3x+4)=7,，我们实际上有

lim x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 = 6 7 . lim x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 = 6 7 .

可以得出结论：

lim x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 ≠ lim x → 1 d d x ( x 2 + 5 ) d d x ( 3 x + 4 ) . lim x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 ≠ lim x → 1 d d x ( x 2 + 5 ) d d x ( 3 x + 4 ) .

检验点 4.39

解释为什么我们不能应用洛必达法则来计算 limx→0+cosxx.limx→0+cosxx.。通过其他方法计算 limx→0+cosxxlimx→0+cosxx。

其他未定式

洛必达法则对于计算涉及未定式 0000 和 ∞/∞.∞/∞. 的极限非常有用。但是，我们也可以使用洛必达法则来帮助计算在求极限时出现的其他未定式。表达式 0·∞,0·∞,、∞−∞,∞−∞,、1∞,1∞,、∞0,∞0, 和 0000 都属于未定式。这些表达式并非实数，而是在求极限过程中出现的特定形式。接下来，我们将说明为什么这些是未定式，以及如何在这些情况下使用洛必达法则。核心思想是：我们必须将未定式适当改写，使其化为 0000 或 ∞/∞.∞/∞. 型的未定式。

0·∞0·∞ 型未定式

假设我们要计算 limx→a(f(x)·g(x)),limx→a(f(x)·g(x)), 的极限，其中当 x→a.x→a. 时，f(x)→0f(x)→0 且 g(x)→∞g(x)→∞ (或 −∞)−∞))。由于乘积中一项趋近于零而另一项的绝对值变得任意大，因此乘积的极限不确定。我们使用记号 0·∞0·∞ 来表示这种情况下的形式。表达式 0·∞0·∞ 是未定式，因为若不做进一步分析，我们无法确定当 x→a.x→a. 时乘积 f(x)g(x)f(x)g(x) 的确切行为。例如，设 nn 为正整数，并考虑

f(x)=1(xn+1)和g(x)=3x2.f(x)=1(xn+1)和g(x)=3x2.

当 x→∞,x→∞, 时，f(x)→0f(x)→0 且 g(x)→∞.g(x)→∞.。然而，当 x→∞x→∞ 时，f(x)g(x)=3x2(xn+1)f(x)g(x)=3x2(xn+1) 的极限会因 n.n. 而异。如果 n=2,n=2,，那么 limx→∞f(x)g(x)=3.limx→∞f(x)g(x)=3.。如果 n=1,n=1,，那么 limx→∞f(x)g(x)=∞.limx→∞f(x)g(x)=∞.。如果 n=3,n=3,，那么 limx→∞f(x)g(x)=0.limx→∞f(x)g(x)=0.。这里我们考虑另一个涉及 0·∞0·∞ 型未定式的极限，并展示如何将函数重写为商的形式以使用洛必达法则。

例 4.41

0·∞0·∞ 型未定式

计算 limx→0+xlnx.limx→0+xlnx.

解

首先，将函数 xlnxxlnx 重写为商的形式以应用洛必达法则。如果我们写成

x ln x = ln x 1 / x , x ln x = ln x 1 / x ,

可以看出，当 x→0+x→0+ 时 lnx→−∞lnx→−∞，且当 x→0+.x→0+. 时 1x→∞1x→∞。因此，我们可以应用洛必达法则并得到

lim x → 0 + ln x 1 / x = lim x → 0 + d d x ( ln x ) d d x ( 1 / x ) = lim x → 0 + 1 / x -1 / x 2 = lim x → 0 + ( − x ) = 0 . lim x → 0 + ln x 1 / x = lim x → 0 + d d x ( ln x ) d d x ( 1 / x ) = lim x → 0 + 1 / x -1 / x 2 = lim x → 0 + ( − x ) = 0 .

由此可得：

lim x → 0 + x ln x = 0 . lim x → 0 + x ln x = 0 .
函数 y = x ln(x) 在 x ≥ 0 的值域内被绘制。在 x = 0 处，函数值为 0。
图 4.72 求函数 f(x)=xlnx.f(x)=xlnx. 在 x=0x=0 处的极限。

检验点 4.40

计算 limx→0xcotx.limx→0xcotx.

∞−∞∞−∞型未定式

另一种未定式是 ∞−∞.∞−∞.。考虑以下例子。设 nn 为正整数，且设 f(x)=3xnf(x)=3xn 和 g(x)=3x2+5.g(x)=3x2+5.。当 x→∞,x→∞, 时，f(x)→∞f(x)→∞ 且 g(x)→∞.g(x)→∞.。我们对 limx→∞(f(x)−g(x)).limx→∞(f(x)−g(x)). 感兴趣。如下所示，取决于 f(x)f(x) 增长更快，g(x)g(x) 增长更快，还是它们以相同的速率增长，这个极限可能出现不同的结果。由于 f(x)→∞f(x)→∞ 和 g(x)→∞,g(x)→∞,，我们用 ∞−∞∞−∞ 来表示这个极限的形式。与我们其他的未定式一样，∞−∞∞−∞ 本身没有意义，我们必须进行更多分析来确定极限的值。例如，假设函数 f(x)=3xnf(x)=3xn 中的指数 nn 是 n=3,n=3,，那么

limx→∞(f(x)−g(x))=limx→∞(3x3−3x2−5)=∞.limx→∞(f(x)−g(x))=limx→∞(3x3−3x2−5)=∞.

另一方面，如果 n=2,n=2,，那么

limx→∞(f(x)−g(x))=limx→∞(3x2−3x2−5)=−5.limx→∞(f(x)−g(x))=limx→∞(3x2−3x2−5)=−5.

不过，如果 n=1,n=1,，那么

limx→∞(f(x)−g(x))=limx→∞(3x−3x2−5)=−∞.limx→∞(f(x)−g(x))=limx→∞(3x−3x2−5)=−∞.

于是，仅通过考虑 ∞−∞.∞−∞. 无法确定极限。接下来，我们将看到如何将涉及 ∞−∞∞−∞ 型未定式的表达式重写为分数形式，以便应用洛必达法则。

例 4.42

∞−∞∞−∞型未定式

计算 limx→0+(1x2−1tanx).limx→0+(1x2−1tanx).。

解

通过合并分数，可将该函数写成一个商。由于最小公分母是 x2tanx,x2tanx,，可得

1 x 2 − 1 tan x = ( tan x ) − x 2 x 2 tan x . 1 x 2 − 1 tan x = ( tan x ) − x 2 x 2 tan x .

当 x→0+,x→0+, 时，分子 tanx−x2→0tanx−x2→0 且分母 x2tanx→0.x2tanx→0.。因此，我们可以应用洛必达法则。对分子和分母求导，可得

lim x → 0 + ( tan x ) − x 2 x 2 tan x = lim x → 0 + ( sec 2 x ) − 2 x x 2 sec 2 x + 2 x tan x . lim x → 0 + ( tan x ) − x 2 x 2 tan x = lim x → 0 + ( sec 2 x ) − 2 x x 2 sec 2 x + 2 x tan x .

当 x→0+,x→0+, 时，(sec2x)−2x→1(sec2x)−2x→1 且 x2sec2x+2xtanx→0.x2sec2x+2xtanx→0.。由于当 xx 从右侧趋近于零时分母为正，故：

lim x → 0 + ( sec 2 x ) − 2 x x 2 sec 2 x + 2 x tan x = ∞ . lim x → 0 + ( sec 2 x ) − 2 x x 2 sec 2 x + 2 x tan x = ∞ .

因此，

lim x → 0 + ( 1 x 2 − 1 tan x ) = ∞ . lim x → 0 + ( 1 x 2 − 1 tan x ) = ∞ .

检验点 4.41

计算 limx→0+(1x−1sinx).limx→0+(1x−1sinx).。

还有一类未定式与指数有关。表达式 00,00,、∞0,∞0, 和 1∞1∞ 都是未定式。这些表达式本身没有确定的值，因为无法像对待实数运算那样直接计算。它们只是表示在求极限过程中出现的特定形式。下面研究如何利用洛必达法则来计算涉及这些未定式的极限。

由于洛必达法则适用于商的形式，我们利用自然对数函数及其性质，将涉及指数的极限问题转化为涉及商的极限问题。例如，假设我们要计算 limx→af(x)g(x)limx→af(x)g(x)，并得到未定式 ∞0.∞0.。（未定式 0000 和 1∞1∞ 可以类似处理。）我们按如下步骤进行。设

y=f(x)g(x).y=f(x)g(x).

那么，

lny=ln(f(x)g(x))=g(x)ln(f(x)).lny=ln(f(x)g(x))=g(x)ln(f(x)).

所以，

limx→a[ln(y)]=limx→a[g(x)ln(f(x))].limx→a[ln(y)]=limx→a[g(x)ln(f(x))].

由于 limx→af(x)=∞,limx→af(x)=∞,，我们知道 limx→aln(f(x))=∞.limx→aln(f(x))=∞.。因此，limx→ag(x)ln(f(x))limx→ag(x)ln(f(x)) 是 0·∞,0·∞, 型未定式，我们可以使用前面讨论的技术将表达式 g(x)ln(f(x))g(x)ln(f(x)) 重写成可以应用洛必达法则的形式。假设 limx→ag(x)ln(f(x))=L,limx→ag(x)ln(f(x))=L,，其中 LL 可能是 ∞∞ 或 −∞.−∞.。那么

limx→a[ln(y)]=L.limx→a[ln(y)]=L.

由于自然对数函数是连续的，由此可知：

ln(limx→ay)=L,ln(limx→ay)=L,

由此可得

limx→ay=limx→af(x)g(x)=eL.limx→ay=limx→af(x)g(x)=eL.

例 4.43

∞0∞0型未定式

计算 limx→∞x1/x.limx→∞x1/x.。

解

设 y=x1/x.y=x1/x.。那么，

ln y = ln ( x 1 / x ) = 1 x ln x = ln x x . ln y = ln ( x 1 / x ) = 1 x ln x = ln x x .

我们需要计算 limx→∞lnxx.limx→∞lnxx.。应用洛必达法则，可得

lim x → ∞ ln y = lim x → ∞ ln x x = lim x → ∞ 1 / x 1 = 0 . lim x → ∞ ln y = lim x → ∞ ln x x = lim x → ∞ 1 / x 1 = 0 .

因此，limx→∞lny=0.limx→∞lny=0.。由于自然对数函数是连续的，可见：

ln ( lim x → ∞ y ) = 0 , ln ( lim x → ∞ y ) = 0 ,

这导致

lim x → ∞ y = e ln ( y ) = lim   e 0 = 1 . （所有极限均取   x   →   ∞ 。） lim x → ∞ y = e ln ( y ) = lim   e 0 = 1 . （所有极限均取   x   →   ∞ 。）

于是，

lim x → ∞ x 1 / x = 1 . lim x → ∞ x 1 / x = 1 .

检验点 4.42

计算 limx→∞x1/ln(x).limx→∞x1/ln(x).。

例 4.44

0000型未定式

计算 limx→0+xsinx.limx→0+xsinx.。

解

设

y = x sin x . y = x sin x .

因此，

ln y = ln ( x sin x ) = sin x ln x . ln y = ln ( x sin x ) = sin x ln x .

现在计算 limx→0+sinxlnx.limx→0+sinxlnx.。由于 limx→0+sinx=0limx→0+sinx=0 和 limx→0+lnx=−∞,limx→0+lnx=−∞,，可得未定式 0·∞.0·∞.。为了应用洛必达法则，我们需要将 sinxlnxsinxlnx 重写为分数形式。我们可以写成

sin x ln x = sin x 1 / ln x sin x ln x = sin x 1 / ln x

或

sin x ln x = ln x 1 / sin x = ln x csc x . sin x ln x = ln x 1 / sin x = ln x csc x .

先考虑第一种选择。这时应用洛必达法则，可得

lim x → 0 + sin x ln x = lim x → 0 + sin x 1 / ln x = lim x → 0 + cos x −1 / ( x ( ln x ) 2 ) = lim x → 0 + ( − x ( ln x ) 2 cos x ) . lim x → 0 + sin x ln x = lim x → 0 + sin x 1 / ln x = lim x → 0 + cos x −1 / ( x ( ln x ) 2 ) = lim x → 0 + ( − x ( ln x ) 2 cos x ) .

然而，这样做不仅得到了另一个涉及未定式 0·∞,0·∞, 的表达式，而且新的极限比我们开始时遇到的极限更复杂，难以计算。相反，我们尝试第二种选择。通过写成

sin x ln x = ln x 1 / sin x = ln x csc x , sin x ln x = ln x 1 / sin x = ln x csc x ,

并应用洛必达法则，可得

lim x → 0 + sin x ln x = lim x → 0 + ln x csc x = lim x → 0 + 1 / x − csc x cot x = lim x → 0 + −1 x csc x cot x . lim x → 0 + sin x ln x = lim x → 0 + ln x csc x = lim x → 0 + 1 / x − csc x cot x = lim x → 0 + −1 x csc x cot x .

利用 cscx=1sinxcscx=1sinx 和 cotx=cosxsinx,cotx=cosxsinx, 的事实，我们可以将右侧的表达式重写为

lim x → 0 + − sin 2 x x cos x = lim x → 0 + [ sin x x · ( − tan x ) ] = ( lim x → 0 + sin x x ) · ( lim x → 0 + ( − tan x ) ) = 1 · 0 = 0 . lim x → 0 + − sin 2 x x cos x = lim x → 0 + [ sin x x · ( − tan x ) ] = ( lim x → 0 + sin x x ) · ( lim x → 0 + ( − tan x ) ) = 1 · 0 = 0 .

于是：limx→0+lny=0.limx→0+lny=0.。因此，ln(limx→0+y)=0ln(limx→0+y)=0，且我们有

lim x → 0 + y = lim x → 0 + x sin x = e 0 = 1 . lim x → 0 + y = lim x → 0 + x sin x = e 0 = 1 .

所以，

lim x → 0 + x sin x = 1 . lim x → 0 + x sin x = 1 .

检验点 4.43

计算 limx→0+xx.limx→0+xx.。

函数的增长率

假设函数 ff 和 gg 当 x→∞.x→∞. 时都趋近于无穷大。尽管当 xx 的值足够大时，两个函数的值都变得任意大，但有时一个函数比另一个函数增长得更快。例如，当 x→∞.x→∞. 时，f(x)=x2f(x)=x2 和 g(x)=x3g(x)=x3 都趋近于无穷大。然而，如下表所示，x3x3 的值比 x2.x2. 的值增长得快得多。

xx 1010 100100 10001000 10,00010,000
f(x)=x2f(x)=x2 100100 10,00010,000 1,000,0001,000,000 100,000,000100,000,000
g(x)=x3g(x)=x3 10001000 1,000,0001,000,000 1,000,000,0001,000,000,000 1,000,000,000,0001,000,000,000,000
表 4.7 比较 x 2 x 2 和 x 3 x 3 的增长率

事实上，

limx→∞x3x2=limx→∞x=∞.或等价地，limx→∞x2x3=limx→∞1x=0.limx→∞x3x2=limx→∞x=∞.或等价地，limx→∞x2x3=limx→∞1x=0.

因此，我们说当 x→∞.x→∞. 时，x3x3 比 x2x2 增长得更快。另一方面，对于 f(x)=x2f(x)=x2 和 g(x)=3x2+4x+1,g(x)=3x2+4x+1,，尽管当 x>0,x>0, 时，g(x)g(x) 的值总是大于 f(x)f(x) 的值，但当 x→∞,x→∞, 时，g(x)g(x) 的每个值大约是 f(x)f(x) 对应值的三倍，如下表所示。事实上，

limx→∞x23x2+4x+1=13.limx→∞x23x2+4x+1=13.
xx 1010 100100 10001000 10,00010,000
f(x)=x2f(x)=x2 100100 10,00010,000 1,000,0001,000,000 100,000,000100,000,000
g(x)=3x2+4x+1g(x)=3x2+4x+1 341341 30,40130,401 3,004,0013,004,001 300,040,001300,040,001
表 4.8 比较 x 2 x 2 和 3 x 2 + 4 x + 1 3 x 2 + 4 x + 1 的增长率

此时，我们说当 x→∞.x→∞. 时，x2x2 和 3x2+4x+13x2+4x+1 以相同的速率增长。

更一般地，假设 ff 和 gg 是两个当 x→∞.x→∞. 时趋近于无穷大的函数。如果

limx→∞g(x)f(x)=∞;或等价地，limx→∞f(x)g(x)=0.limx→∞g(x)f(x)=∞;或等价地，limx→∞f(x)g(x)=0.

我们说当 x→∞x→∞ 时，gg 比 ff 增长得更快。另一方面，如果存在一个常数 M≠0M≠0 使得

limx→∞f(x)g(x)=M,limx→∞f(x)g(x)=M,

我们说当 x→∞.x→∞. 时，ff 和 gg 以相同的速率增长。

接下来，我们将看到如何使用洛必达法则比较幂函数、指数函数和对数函数的增长率。

例 4.45

比较 ln(x),ln(x), x2,x2, 和 exex 的增长率

对于以下每对函数，使用洛必达法则计算 limx→∞(f(x)g(x)).limx→∞(f(x)g(x)).

  1. f(x)=x2和g(x)=exf(x)=x2和g(x)=ex
  2. f(x)=ln(x)和g(x)=x2f(x)=ln(x)和g(x)=x2

解

  1. 由于 limx→∞x2=∞limx→∞x2=∞ 和 limx→∞ex=∞,limx→∞ex=∞,，我们可以使用洛必达法则计算 limx→∞[x2ex].limx→∞[x2ex].。可得
    limx→∞x2ex=limx→∞2xex.limx→∞x2ex=limx→∞2xex.

     由于 limx→∞2x=∞limx→∞2x=∞ 和 limx→∞ex=∞,limx→∞ex=∞,，我们可以再次应用洛必达法则。由于
    limx→∞2xex=limx→∞2ex=0,limx→∞2xex=limx→∞2ex=0,

     由此可得
    limx→∞x2ex=0.limx→∞x2ex=0.

     因此，当 x→∞x→∞ 时，exex 比 x2x2 增长得更快。（参见图 4.73 和表 4.9）。
    函数 g(x) = ex 和 f(x) = x2 的图形。显然，g(x) 的增长速度比 f(x) 快得多。
    图 4.73 指数函数的增长速度比幂函数快。
    xx 55 1010 1515 2020
    x2x2 2525 100100 225225 400400
    exex 148148 22,02622,026 3,269,0173,269,017 485,165,195485,165,195
    表 4.9 幂函数和指数函数的增长率。
  2. 由于 limx→∞lnx=∞limx→∞lnx=∞ 和 limx→∞x2=∞,limx→∞x2=∞,，我们可以使用洛必达法则计算 limx→∞lnxx2.limx→∞lnxx2.。可得
    limx→∞lnxx2=limx→∞1/x2x=limx→∞12x2=0.limx→∞lnxx2=limx→∞1/x2x=limx→∞12x2=0.

     于是，当 x→∞x→∞ 时，x2x2 比 lnxlnx 增长得更快（参见图 4.74 和表 4.10）。
    函数 g(x) = x2 和 f(x) = ln(x) 的图形。显然，g(x) 的增长速度比 f(x) 快得多。
    图 4.74 幂函数的增长速度比对数函数快。
    xx 1010 100100 10001000 10,00010,000
    ln(x)ln(x) 2.3032.303 4.6054.605 6.9086.908 9.2109.210
    x2x2 100100 10,00010,000 1,000,0001,000,000 100,000,000100,000,000
    表 4.10 幂函数和对数函数的增长率

检验点 4.44

比较 x100x100 和 2x.2x. 的增长率。

使用例 4.45a 中的相同思路，不难证明对于任意 p>0.p>0.，exex 比 xpxp 增长得更快。在图 4.75 和表 4.11 中，我们比较了当 x→∞.x→∞. 时 exex 与 x3x3 和 x4x4 的增长率。

此图包含标记为 a 和 b 的两个图形。在图 a 中，绘制了函数 y = ex 和 y = x3 的图形。显然，ex 的增长速度比 x3 快。在图 b 中，绘制了函数 y = ex 和 y = x4 的图形。显然，ex 的增长速度比 x4 快得多，但发生这种情况的点比 x3 的点更靠右。
图 4.75 对任意 p>0p>0，指数函数 exex 的增长速度都比 xpxp 快。(a) exex 与 x3.x3. 的比较 (b) exex 与 x4.x4. 的比较
xx 55 1010 1515 2020
x3x3 125125 10001000 33753375 80008000
x4x4 625625 10,00010,000 50,62550,625 160,000160,000
exex 148148 22,02622,026 3,269,0173,269,017 485,165,195485,165,195
表 4.11 指数函数的增长速度比任何幂函数都快

类似地，不难证明对于任意 p>0.p>0.，xpxp 比 lnxlnx 增长得更快。在图 4.76 和表 4.12 中，我们比较了 lnxlnx 与 x3x3 和 x.x. 的增长率。

此图显示了 y = x 的平方根、y = x 的立方根和 y = ln(x)。显然，y = ln(x) 的增长速度比这些函数中的任何一个都慢。
图 4.76 函数 y=ln(x)y=ln(x) 当 x→∞x→∞ 时，对任意 p>0p>0，增长速度都比 xpxp 慢。
xx 1010 100100 10001000 10,00010,000
ln(x)ln(x) 2.3032.303 4.6054.605 6.9086.908 9.2109.210
x3x3 2.1542.154 4.6424.642 1010 21.54421.544
xx 3.1623.162 1010 31.62331.623 100100
表 4.12 对数函数的增长速度比任何根式函数都慢

第4.8节练习

对于以下练习，求极限。

356.

求极限 limx→∞exx.limx→∞exx.

357.

求极限 limx→∞exxk.limx→∞exxk.

358.

求极限 limx→∞lnxxk.limx→∞lnxxk.

359.

求极限 limx→ax−ax2−a2,a≠0limx→ax−ax2−a2,a≠0。

360.

求极限 limx→ax−ax3−a3,a≠0limx→ax−ax3−a3,a≠0。

361.

求极限 limx→ax−axn−an,a≠0limx→ax−axn−an,a≠0。

对于以下练习，判断是否可以直接应用洛必达法则。解释原因。然后，指出是否有方法可以改变极限形式，从而应用洛必达法则。

362.

lim x → 0 + x 2 ln x lim x → 0 + x 2 ln x

363.

lim x → ∞ x 1 / x lim x → ∞ x 1 / x

364.

lim x → 0 x 2 / x lim x → 0 x 2 / x

365.

lim x → 0 x 2 1 / x lim x → 0 x 2 1 / x

366.

lim x → ∞ e x x lim x → ∞ e x x

对于以下练习，使用洛必达法则或之前学过的方法求极限。

367.

lim x → 3 x 2 − 9 x − 3 lim x → 3 x 2 − 9 x − 3

368.

lim x → 3 x 2 − 9 x + 3 lim x → 3 x 2 − 9 x + 3

369.

lim x → 0 ( 1 + x ) −2 − 1 x lim x → 0 ( 1 + x ) −2 − 1 x

370.

lim x → π / 2 cos x π 2 − x lim x → π / 2 cos x π 2 − x

371.

lim x → π x − π sin x lim x → π x − π sin x

372.

lim x → 1 x − 1 sin x lim x → 1 x − 1 sin x

373.

lim x → 0 ( 1 + x ) n − 1 x lim x → 0 ( 1 + x ) n − 1 x

374.

lim x → 0 ( 1 + x ) n − 1 − n x x 2 lim x → 0 ( 1 + x ) n − 1 − n x x 2

375.

lim x → 0 sin x − tan x x 3 lim x → 0 sin x − tan x x 3

376.

lim x → 0 1 + x − 1 − x x lim x → 0 1 + x − 1 − x x

377.

lim x → 0 e x − x − 1 x 2 lim x → 0 e x − x − 1 x 2

378.

lim x → 0 + tan x x lim x → 0 + tan x x

379.

lim x → 1 x − 1 ln x lim x → 1 x − 1 ln x

380.

lim x → 0 ( x + 1 ) 1 / x lim x → 0 ( x + 1 ) 1 / x

381.

lim x → 1 x − x 3 x − 1 lim x → 1 x − x 3 x − 1

382.

lim x → 0 + x 2 x lim x → 0 + x 2 x

383.

lim x → ∞ x sin ( 1 x ) lim x → ∞ x sin ( 1 x )

384.

lim x → 0 sin x − x x 2 lim x → 0 sin x − x x 2

385.

lim x → 0 + x ln ( x 4 ) lim x → 0 + x ln ( x 4 )

386.

lim x → ∞ ( x − e x ) lim x → ∞ ( x − e x )

387.

lim x → ∞ x 2 e − x lim x → ∞ x 2 e − x

388.

lim x → 0 3 x − 2 x x lim x → 0 3 x − 2 x x

389.

lim x → 0 1 + 1 / x 1 − 1 / x lim x → 0 1 + 1 / x 1 − 1 / x

390.

lim x → π / 4 ( 1 − tan x ) cot x lim x → π / 4 ( 1 − tan x ) cot x

391.

lim x → ∞ x e 1 / x lim x → ∞ x e 1 / x

392.

lim x → 0 + x 1 / cos x lim x → 0 + x 1 / cos x

393.

lim x → 0 + x 1 / x lim x → 0 + x 1 / x

394.

lim x → 0 - ( 1 − 1 x ) x lim x → 0 - ( 1 − 1 x ) x

395.

lim x → ∞ ( 1 − 1 x ) x lim x → ∞ ( 1 − 1 x ) x

对于以下练习，使用计算器绘制函数图形并估计极限值，然后直接使用洛必达法则求极限。

396.

[T] limx→0ex−1xlimx→0ex−1x

397.

[T] limx→0xsin(1x)limx→0xsin(1x)

398.

[T] limx→1x−11−cos(πx)limx→1x−11−cos(πx)

399.

[T] limx→1e(x−1)−1x−1limx→1e(x−1)−1x−1

400.

[T] limx→1(x−1)2lnxlimx→1(x−1)2lnx

401.

[T] limx→π1+cosxsinxlimx→π1+cosxsinx

402.

[T] limx→0(cscx−1x)limx→0(cscx−1x)

403.

[T] limx→0+tan(xx)limx→0+tan(xx)

404.

[T] limx→0+lnxsinxlimx→0+lnxsinx

405.

[T] limx→0ex−e−xxlimx→0ex−e−xx