曲线的弧长和曲面面积 - 微积分：第一卷

6.4 曲线的弧长和曲面面积

学习目标

6.4.1 确定两点之间曲线 $y = f (x),$ 的长度。
6.4.2 确定两点之间曲线 $x = g (y),$ 的长度。
6.4.3 求旋转体的表面积。

在本节中，我们使用定积分来求曲线的弧长。我们可以将弧长视为沿着曲线路径行走的距离。许多实际应用都涉及弧长。如果火箭沿着抛物线路径发射，我们可能想知道火箭飞行了多远。或者，如果地图上的曲线代表一条道路，我们可能想知道到达目的地需要行驶多远。

我们首先计算定义为 $x,$ 的函数的曲线的弧长，然后研究定义为 $y .$ 的函数的曲线的相同过程。（该过程是相同的，只是 $x$ 和 $y$ 的角色互换。）求弧长的方法可以推广到求旋转体的表面积，本节末尾将探讨这一内容。

曲线 y = f(x) 的弧长

在此前的积分应用中，我们要求函数 $f (x)$ 是可积的，或者至多是连续的。然而，对于计算弧长，我们对 $f (x) .$ 有更严格的要求。这里要求 $f (x)$ 是可微的，且要求其导数 $f^{'} (x),$ 是连续的。具有连续导数的函数称为光滑函数。（该性质在后续章节中还会出现。）

设 $f (x)$ 是定义在 $[a, b] .$ 上的光滑函数。我们想计算从点 $(a, f (a))$ 到点 $(b, f (b)) .$ 的曲线长度。我们先用线段近似曲线长度。对于 $i = 0, 1, 2,…, n,$ ，设 $P = {x_{i}}$ 是 $[a, b] .$ 的一个等分分割。然后，对于 $i = 1, 2,…, n,$ ，构造一个从点 $(x_{i - 1}, f (x_{i - 1}))$ 到点 $(x_{i}, f (x_{i})) .$ 的线段。虽然使用水平或垂直线段似乎也合理，但我们希望线段尽可能地贴近曲线。图 6.37 描述了 $n = 5 .$ 的这种构造。

第一象限中的图。曲线有增有减。它在点 a=xsub0, xsub1, xsub2, xsub3, xsub4 和 xsub5=b 处被分成几部分。此外，曲线上的点之间有线段。

图 6.37 我们可以用添加线段的方法近似曲线长度。

为了帮助我们找到每条线段的长度，我们考察每个区间上垂直距离的变化以及水平距离的变化。因为我们使用了等分分割，所以每个区间上水平距离的变化由 $Δ x .$ 给出。不过，垂直距离的变化因区间而异，于是我们使用 $Δ y_{i} = f (x_{i}) - f (x_{i - 1})$ 来表示区间 $[x_{i - 1}, x_{i}],$ 上的垂直距离变化，如图 6.38 所示。注意，一些（或所有） $Δ y_{i}$ 可能为负。

图。它是一条在 x 轴上方的曲线，始于点 f(xsubi-1)。曲线在第一象限终止于点 f(xsubi)。曲线上的两点之间有一条线段。以这条线段为斜边，水平线段长度为 delta x，垂直线段长度为 delta y，形成一个直角三角形。

图 6.38 一个代表性线段近似区间

[x_{i - 1}, x_{i}] .

上的曲线。

根据勾股定理，线段的长度为 $\sqrt{{(Δ x)}^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}} .$ 。我们也可以将其写成 $Δ x \sqrt{1 + {((Δ y_{i}) / (Δ x))}^{2}} .$ 。现在，根据中值定理，存在一点 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ 使得 $f^{'} (x_{i}^{*}) = (Δ y_{i}) / (Δ x) .$ 。那么线段的长度由 $Δ x \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} .$ 给出。将所有线段的长度相加，可得

弧长 \approx \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x .

这是一个黎曼和。取 $n \to \infty,$ 时的极限，可得

弧长 = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

我们将以上结果归纳为如下定理。

定理 6.4

曲线 y = f(x) 的弧长

设 $f (x)$ 是区间 $[a, b] .$ 上的光滑函数。则函数 $f (x)$ 的图形从点 $(a, f (a))$ 到点 $(b, f (b))$ 的弧长由下式给出

弧长 = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

(6.7)

注意，被积表达式涉及 $f^{'} (x),$ ，因此需要确保 $f^{'} (x)$ 是可积的。这就是要求 $f (x)$ 光滑的原因。下面的例题展示了如何应用该定理。

例 6.18

计算 x 的函数的弧长

设 $f (x) = 2 x^{3 / 2} .$ 。计算函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1] .$ 上的弧长。将答案四舍五入到三位小数。

解

我们有 $f^{'} (x) = 3 x^{1 / 2},$ ，所以 ${[f^{'} (x)]}^{2} = 9 x .$ 。那么，弧长为

\begin{matrix} 弧长 & = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} d x . \end{matrix}

代入 $u = 1 + 9 x .$ 。那么， $d u = 9 d x .$ 。当 $x = 0,$ 时， $u = 1,$ ；当 $x = 1,$ 时， $u = 10 .$ 。于是，

\begin{matrix} 弧长 & = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} d x \\ = \frac{1}{9} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} 9 d x = \frac{1}{9} \int_{1}^{10} \sqrt{u} d u \\ = {\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{3 / 2} |}_{1}^{10} = \frac{2}{27} [10 \sqrt{10} - 1] \approx 2.268 单位 . \end{matrix}

检验点 6.18

设 $f (x) = (4 / 3) x^{3 / 2} .$ 。计算函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1] .$ 上的弧长。将答案四舍五入到三位小数。

虽然我们有了计算弧长的公式，但该定理可能会产生难以积分的表达式。我们将在积分方法导论中学习一些积分技巧。在某些情况下，我们可能需要使用计算机或计算器近似积分值。

例 6.19

使用计算机或计算器确定 x 的函数的弧长

设 $f (x) = x^{2} .$ 。计算函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 3] .$ 上的弧长。

解

我们有 $f^{'} (x) = 2 x,$ ，所以 ${[f^{'} (x)]}^{2} = 4 x^{2} .$ 。那么弧长由下式给出

弧长 = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x .

使用计算机近似计算这个积分的值，可得

\int_{1}^{3} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \approx 8.26815 .

检验点 6.19

设 $f (x) = sin x .$ 。计算函数 $f (x)$ 在区间 $[0, π] .$ 上的弧长。使用计算机或计算器近似计算积分的值。

曲线 x = g(y) 的弧长

我们已经了解了如何用线段近似曲线的长度。如果要求 $y,$ 的函数的图形的弧长，可以重复相同的过程，只需分割 $y 轴$ 而不是 $x 轴 .$ 。图 6.39 显示了一个代表性线段。

图。它是一条在 y 轴右侧的曲线，始于点 g(ysubi-1)。曲线在第一象限终止于点 g(ysubi)。曲线上的两点之间有一条线段。以这条线段为斜边，水平线段长度为 delta x，垂直线段长度为 delta y，形成一个直角三角形。

图 6.39 区间

[y_{i - 1}, y_{i}] .

上的一个代表性线段。

那么线段的长度为 $\sqrt{{(Δ y)}^{2} + {(Δ x_{i})}^{2}},$ ，也可以写成 $Δ y \sqrt{1 + {((Δ x_{i}) / (Δ y))}^{2}} .$ 。按照前面相同的推导过程，可得函数 $x = g (y) .$ 的弧长公式。

定理 6.5

曲线 x = g(y) 的弧长

设 $g (y)$ 是 $y$ 区间 $[c, d] .$ 上的光滑函数。则函数 $g (y)$ 的图形从点 $(g (d), d)$ 到点 $(g (c), c)$ 的弧长由下式给出

弧长 = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + {[g^{'} (y)]}^{2}} d y .

(6.8)

例 6.20

计算 y 的函数的弧长

设 $g (y) = 3 y^{3} .$ 。计算函数 $g (y)$ 在区间 $[1, 2] .$ 上的弧长。

解

我们有 $g^{'} (y) = 9 y^{2},$ ，所以 ${[g^{'} (y)]}^{2} = 81 y^{4} .$ 。那么弧长为

弧长 = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + {[g^{'} (y)]}^{2}} d y = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + 81 y^{4}} d y .

使用计算机近似计算这个积分的值，可得

\int_{1}^{2} \sqrt{1 + 81 y^{4}} d y \approx 21.0277 .

检验点 6.20

设 $g (y) = 1 / y .$ 。计算函数 $g (y)$ 在区间 $[1, 4] .$ 上的弧长。使用计算机或计算器近似计算积分的值。

旋转体的表面积

我们用来求曲线弧长的概念可以推广到求旋转体的表面积。表面积是物体外层的总面积。对于立方体或砖块等物体，其表面积是所有面的面积之和。对于曲面，情况稍微复杂一些。设 $f (x)$ 是区间 $[a, b] .$ 上的一个非负光滑函数。我们希望求出将 $y = f (x)$ 的图形绕 $x 轴$ 旋转所形成的旋转体的表面积，如下图所示。

此图包含两幅图。第一幅图标记为“a”，是第一象限中从y轴开始的一条曲线。曲线为y=f(x)。第二幅图标记为“b”，具有相同的曲线y=f(x)。还有一个通过将曲线绕x轴旋转形成的实体表面。

图 6.40 (a) 表示函数

f (x) .

的曲线 (b) 将

f (x)

的图形绕

x 轴 .

旋转所形成的旋转体表面。

与之前多次做的一样，我们将分割区间 $[a, b]$ 并通过计算更简单形状的表面积近似表面积。我们首先用线段近似曲线，就像本节前面所做的那样。对于 $i = 0, 1, 2,…, n,$ ，设 $P = {x_{i}}$ 是 $[a, b] .$ 的一个等分分割。然后，对于 $i = 1, 2,…, n,$ ，构造一个从点 $(x_{i - 1}, f (x_{i - 1}))$ 到点 $(x_{i}, f (x_{i})) .$ 的线段。现在，将这些线段绕 $x 轴$ 旋转，以近似旋转体表面，如下图所示。

此图包含两幅图。第一幅图标记为“a”，是第一象限中从y轴开始的一条曲线。曲线为y=f(x)。x轴上方曲线下的区域已被垂直线划分为多个区域。第二幅图标记为“b”，具有相同的曲线y=f(x)。还有一个通过将曲线绕x轴旋转形成的实体表面。

图 6.41 (a) 用线段近似

f (x)

。(b) 将线段绕

x 轴 .

旋转所形成的旋转体表面。

注意，当每个线段绕轴旋转时，它会产生一个环带。这些环带实际上是圆锥的一部分（想象一个尖端被切掉的冰淇淋筒）。这样的圆锥截段称为截锥体。

为了求出环带的表面积，我们需要求出截锥体的侧面积 $S,$ （即截锥体斜面的面积，不含上下底面）。设 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 分别是截锥体宽端和窄端的半径，并设 $l$ 是截锥体的斜高，如下图所示。

图。它是一个位于x轴上方的圆锥截锥体，y轴位于中心。截锥体底部的半径为rsub1，顶部的半径为rsub2。侧面长度标记为“l”。

图 6.42 圆锥截锥体可以近似表面积的一小部分。

我们知道圆锥的侧面积由下式给出：

侧面积 = π r s,

其中 $r$ 是圆锥底面的半径， $s$ 是斜高（见下图）。

图 6.43 圆锥的侧面积由

π r s .

给出。

由于截锥体可以看作圆锥的一部分，因此截锥体的侧面积等于整个圆锥的侧面积减去被切掉的小圆锥（尖端）的侧面积（见下图）。

图。它是一个圆锥截锥体。截锥体底部的半径为rsub1，顶部的半径为rsub2。侧面长度标记为“l”。截锥体上方还有一个用虚线表示的圆锥顶部。其侧面长度为s。

图 6.44 计算圆锥截锥体的侧面积。

小圆锥和大圆锥的截面是相似三角形，因此我们有

\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{s - l}{s} .

解出 $s,$ ，可得

\begin{matrix} \frac{r_{2}}{r_{1}} & = & \frac{s - l}{s} \\ r_{2} s & = & r_{1} (s - l) \\ r_{2} s & = & r_{1} s - r_{1} l \\ r_{1} l & = & r_{1} s - r_{2} s \\ r_{1} l & = & (r_{1} - r_{2}) s \\ \frac{r_{1} l}{r_{1} - r_{2}} & = & s . \end{matrix}

则截锥体的侧面积为

\begin{matrix} S & = （大圆锥的侧面积） - （小圆锥的侧面积） \\ = π r_{1} s - π r_{2} (s - l) \\ = π r_{1} (\frac{r_{1} l}{r_{1} - r_{2}}) - π r_{2} (\frac{r_{1} l}{r_{1} - r_{2}} - l) \\ = \frac{π r_{1}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} + π r_{2} l \\ = \frac{π r_{1}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} + \frac{π r_{2} l (r_{1} - r_{2})}{r_{1} - r_{2}} \\ = \frac{π r_{1}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} + \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{2}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} \\ = \frac{π (r_{1}^{2} - r_{2}^{2}) l}{r_{1} - r_{2}} = \frac{π (r_{1} - r_{2}) (r_{1} + r_{2}) l}{r_{1} - r_{2}} = π (r_{1} + r_{2}) l . \end{matrix}

现在我们使用这个公式来计算将线段绕 $x 轴 .$ 旋转所形成的每个环带的表面积。一个代表性的环带如下图所示。

此图包含两幅图形。第一幅是第一象限中的一条曲线。x轴周围是一个圆锥截锥体。截锥体的边缘紧贴曲线。边缘始于f(xsubi-1)，止于f(xsubi)。第二幅图是相同的曲线和相同的截锥体。截锥体的高度为delta x，曲线标记为y=f(x)。

图 6.45 用于确定表面积的代表性环带。

注意，这个截锥体的斜高就是生成它的线段的长度。因此，应用表面积公式，可得

\begin{matrix} S & = π (r_{1} + r_{2}) l \\ = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) \sqrt{Δ x^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}} \\ = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) Δ x \sqrt{1 + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ x})}^{2}} . \end{matrix}

与推导弧长公式时一样，应用中值定理来选择 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ ，使得 $f^{'} (x_{i}^{*}) = (Δ y_{i}) / Δ x .$ 。可得

S = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

此外，由于 $f (x)$ 是连续的，根据介值定理，存在一点 $x_{i}^{* *} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ ，使得 $f (x_{i}^{* *}) = (1 / 2) [f (x_{i - 1}) + f (x_{i})],$ ，因此可得

S = 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

则整个旋转体的近似表面积由下式给出：

曲面面积 \approx \sum_{i = 1}^{n} 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

这几乎看起来像一个黎曼和，只是我们在区间 $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ 上有两个不同点 $x_{i}^{*}$ 和 $x_{i}^{* *},$ 处的函数值。虽然我们在此不详细探讨，但可以证明，由于 $f (x)$ 是光滑的，如果我们令 $n \to \infty,$ ，即使有两个不同的求值点，极限也与黎曼和相同。这在直观上是合理的。 $x_{i}^{*}$ 和 $x_{i}^{* *}$ 都位于区间 $[x_{i - 1}, x_{i}],$ 内，可见当 $n \to \infty,$ 时， $x_{i}^{*}$ 和 $x_{i}^{* *}$ 都趋近于 $x .$ 是合理的。对细节感兴趣的读者应查阅高等微积分教材。

取 $n \to \infty,$ 时的极限，可得

曲面面积 = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x .

与弧长的情形类似，可以对 $y$ 的函数进行类似的推导，以获得绕 $y 轴 .$ 旋转的旋转体表面的表面积公式。这些结果总结在以下定理中。

定理 6.6

旋转体的表面积

设 $f (x)$ 是区间 $[a, b] .$ 上的一个非负光滑函数。则将 $f (x)$ 的图形绕 x-轴旋转所形成的旋转体的表面积由下式给出：

曲面面积 = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x .

(6.9)

类似地，设 $g (y)$ 是区间 $[c, d] .$ 上的一个非负光滑函数。则将 $g (y)$ 的图形绕 $y 轴$ 旋转所形成的旋转体的表面积由下式给出：

曲面面积 = \int_{c}^{d} (2 π g (y) \sqrt{1 + {(g^{'} (y))}^{2}}) d y .

例 6.21

计算旋转体的表面积 1

设 $f (x) = \sqrt{x}$ 在区间 $[1, 4] .$ 上。求将 $f (x)$ 的图形绕 $x 轴 .$ 旋转所形成的曲面的表面积。将答案四舍五入到三位小数。

解

$f (x)$ 的图形和旋转体表面如下图所示。

此图包含两幅图。第一幅是曲线f(x)=squareroot(x)。曲线递增并从原点开始。图上还有垂直线x=1和x=4。第二幅图与第一幅图是相同的函数。f(x)与x轴之间、由x=1和x=4界定的区域已绕x轴旋转形成一个表面。

图 6.46 (a)

f (x) .

的图形 (b) 旋转体表面。

我们有 $f (x) = \sqrt{x} .$ 。则 $f^{'} (x) = 1 / (2 \sqrt{x})$ 和 ${(f^{'} (x))}^{2} = 1 / (4 x) .$ 。因此，

\begin{matrix} 曲面面积 & = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{4 x}}) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x + \frac{1}{4}}) d x . \end{matrix}

设 $u = x + 1 / 4 .$ 。则 $d u = d x .$ 。当 $x = 1,$ 时， $u = 5 / 4,$ ；当 $x = 4,$ 时， $u = 17 / 4 .$ 。可得

\begin{matrix} \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x + \frac{1}{4}}) d x & = \int_{5 / 4}^{17 / 4} 2 π \sqrt{u} d u \\ = 2 π {[\frac{2}{3} u^{3 / 2}] |}_{5 / 4}^{17 / 4} = \frac{π}{6} [17 \sqrt{17} - 5 \sqrt{5}] \approx 30.846. \end{matrix}

检验点 6.21

设 $f (x) = \sqrt{1 - x}$ 在区间 $[0, 1 / 2] .$ 上。求将 $f (x)$ 的图形绕 $x 轴 .$ 旋转所形成的曲面的表面积。将答案四舍五入到三位小数。

例 6.22

计算旋转体的表面积 2

设 $f (x) = y = \sqrt[3]{3 x} .$ 。考虑曲线中 $0 \leq y \leq 2 .$ 的部分。求将 $f (x)$ 的图形绕 $y 轴 .$ 旋转所形成的曲面的表面积。

解

注意，这里是将曲线绕 $y 轴,$ 旋转，并且区间是关于 $y,$ 的，因此需要将函数改写为 y 的函数。可得 $x = g (y) = (1 / 3) y^{3} .$ 。 $g (y)$ 的图形和旋转体表面如下图所示。

此图包含两幅图。第一幅是曲线g(y)=1/3y^3。曲线递增并从原点开始。图上还有水平线y=0和y=2。第二幅图与第一幅图是相同的函数。g(y)与y轴之间、由y=0和y=2界定的区域已绕y轴旋转形成一个表面。

图 6.47 (a)

g (y) .

的图形 (b) 旋转体表面。

我们有 $g (y) = (1 / 3) y^{3},$ ，所以 $g^{'} (y) = y^{2}$ 和 ${(g^{'} (y))}^{2} = y^{4} .$ 。因此

\begin{matrix} 曲面面积 & = \int_{c}^{d} (2 π g (y) \sqrt{1 + {(g^{'} (y))}^{2}}) d y \\ = \int_{0}^{2} (2 π (\frac{1}{3} y^{3}) \sqrt{1 + y^{4}}) d y \\ = \frac{2 π}{3} \int_{0}^{2} (y^{3} \sqrt{1 + y^{4}}) d y . \end{matrix}

设 $u = y^{4} + 1 .$ 。则 $d u = 4 y^{3} d y .$ 。当 $y = 0,$ 时， $u = 1,$ ；当 $y = 2,$ 时， $u = 17 .$ 。所以

\begin{matrix} \frac{2 π}{3} \int_{0}^{2} (y^{3} \sqrt{1 + y^{4}}) d y & = \frac{2 π}{3} \int_{1}^{17} \frac{1}{4} \sqrt{u} d u \\ = \frac{π}{6} {[\frac{2}{3} u^{3 / 2}] |}_{1}^{17} = \frac{π}{9} [{(17)}^{3 / 2} - 1] \approx 24.118. \end{matrix}

检验点 6.22

设 $g (y) = \sqrt{9 - y^{2}}$ 在区间 $y \in [0, 2] .$ 上。求将 $g (y)$ 的图形绕 $y 轴 .$ 旋转所形成的曲面的表面积。

第6.4节练习

对于以下练习，求给定区间上函数的长度。

165.

$y = 5 x 从 x = 0 到 x = 2$

166.

$y = - \frac{1}{2} x + 25 从 x = 1 到 x = 4$

167.

$x = 4 y 从 y = −1 到 y = 1$

168.

任取一个线性函数 $x = g (y)$ ，并在自选的区间 $(y_{1}, y_{2}) .$ 上求其长度。然后用几何方法验证该结果。

169.

求曲线 $y = \sqrt{x}$ 绕 $x 轴$ 从 $(1, 1)$ 到 $(4, 2),$ 旋转所形成的旋转体的表面积，如下图所示。

此图是一个曲面。它是由曲线 y=squareroot(x) 绕 x 轴旋转形成的。该曲面位于一个立方体内部，以显示三维效果。

170.

求曲线 $y = x^{2}$ 绕 $y 轴$ 从 $(1, 1)$ 到 $(3, 9) .$ 旋转所形成的旋转体的表面积。

对于以下练习，求给定区间上 $x$ 函数的长度。如果无法精确计算积分，请使用技术手段进行近似。

171.

$y = x^{3 / 2}$ 从 $(0, 0) 到 (1, 1)$

172.

$y = x^{2 / 3}$ 从 $(1, 1) 到 (8, 4)$

173.

$y = \frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{3 / 2}$ 从 $x = 0 到 x = 1$

174.

$y = \frac{1}{3} {(x^{2} - 2)}^{3 / 2}$ 从 $x = 2$ 到 $x = 4$

175.

[T] $y = e^{x}$ 在 $x = 0$ 到 $x = 1$

176.

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 从 $x = 1 到 x = 3$

177.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ 从 $x = 1 到 x = 2$

178.

$y = \frac{2 x^{3 / 2}}{3} - \frac{x^{1 / 2}}{2}$ 从 $x = 1 到 x = 4$

179.

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{3 / 2}$ 从 $x = 0 到 x = 2$

180.

[T] $y = sin x$ 在 $x = 0 到 x = π$

对于以下练习，求给定区间上 $y$ 函数的长度。如果无法精确计算积分，请使用技术手段进行近似。

181.

$y = \frac{5 - 3 x}{4}$ 从 $y = 0$ 到 $y = 4$

182.

$x = \frac{1}{2} (e^{y} + e^{− y})$ 从 $y = −1 到 y = 1$

183.

$x = 5 y^{3 / 2}$ 从 $y = 0$ 到 $y = 1$

184.

[T] $x = y^{2}$ 从 $y = 0$ 到 $y = 1$

185.

$x = \sqrt{y}$ 从 $y = 0 到 y = 1$

186.

$x = \frac{2}{3} {(y^{2} + 1)}^{3 / 2}$ 从 $y = 1$ 到 $y = 3$

187.

[T] $x = tan y$ 从 $y = 0$ 到 $y = \frac{3}{4}$

188.

[T] $x = {cos}^{2} y$ 从 $y = - \frac{π}{2}$ 到 $y = \frac{π}{2}$

189.

[T] $x = 4^{y}$ 从 $y = 0 到 y = 2$

190.

[T] $x = ln (y)$ 在 $y = \frac{1}{e}$ 到 $y = e$

对于以下练习，求以下曲线绕 $x 轴 .$ 旋转所形成的旋转体的表面积。如果无法精确计算积分，请使用计算器进行近似。

191.

$y = \sqrt{x}$ 从 $x = 2$ 到 $x = 6$

192.

$y = x^{3}$ 从 $x = 0$ 到 $x = 1$

193.

$y = 7 x$ 从 $x = −1 到 x = 1$

194.

[T] $y = \frac{1}{x^{2}}$ 从 $x = 1 到 x = 3$

195.

$y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 从 $x = 0 到 x = 2$

196.

$y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 从 $x = −1 到 x = 1$

197.

$y = 5 x$ 从 $x = 1 到 x = 5$

198.

[T] $y = tan x$ 从 $x = - \frac{π}{4} 到 x = \frac{π}{4}$

对于以下练习，求以下曲线绕 $y 轴 .$ 旋转所形成的旋转体的表面积。如果无法精确计算积分，请使用计算器进行近似。

199.

$y = x^{2}$ 从 $x = 0 到 x = 2$

200.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ 从 $x = 0 到 x = 1$

201.

$y = x + 1$ 从 $x = 0 到 x = 3$

202.

[T] $y = \frac{1}{x}$ 从 $x = \frac{1}{2}$ 到 $x = 1$

203.

$y = \sqrt[3]{x}$ 从 $x = 1 到 x = 27$

204.

[T] $y = 3 x^{4}$ 从 $x = 0$ 到 $x = 1$

205.

[T] $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 从 $x = 1$ 到 $x = 3$

206.

[T] $y = cos x$ 从 $x = 0$ 到 $x = \frac{π}{2}$

207.

灯的底座是通过将四分之一圆 $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ 绕 $y 轴$ 从 $x = 1$ 到 $x = 2,$ 旋转形成的，如下图所示。建立该曲面面积的积分并求值。

此图是一个曲面。它是通过将曲线 y=squareroot(2x-x^2) 绕 x 轴旋转而形成的半环面。

208.

一个灯泡是半径为 $1 / 2$ 英寸的球体，底部被切掉，以便精确地安装在一个半径为 $1 / 4$ 英寸、长度为 $1 / 3$ 英寸的圆柱体上，如下图所示。球体底部切割后恰好与圆柱体吻合，切口半径为 $1 / 4$ 英寸。求其表面积（不包括圆柱体的顶部或底部）。

209.

[T] 一个灯罩是通过将 $y = 1 / x$ 绕 $x 轴$ 从 $y = 1$ 到 $y = 2,$ 旋转形成的，如下图所示。确定制作这个灯罩所需的材料量（即表面积），精确到小数点后四位。

210.

[T] 一艘船的锚按函数 $y = 24 e^{− x / 2} - 24,$ 下沉，其中 $y$ 表示锚在船下方的深度， $x$ 是锚与船尾的水平距离。如果锚在船下方 $23$ 英尺处，需要拉起多长的绳索才能收回锚？将答案四舍五入到小数点后三位。

211.

[T] 假设要建造一座跨度为 $10$ 英尺的桥梁。计划用形状为 $y = 5 | sin ((x π) / 5) |,$ 的装饰绳索，其中 $x$ 是距桥梁一端的距离（以英尺为单位）。计算需要购买多少绳索（以整数英尺为单位）。

对于以下练习，求给定区间上以下问题的精确弧长。

212.

$y = ln (sin x)$ 从 $x = π / 4$ 到 $x = (3 π) / 4 .$ （提示： 回顾三角恒等式。）

213.

[T] 绘制 $y = x^{2},$ 、 $y = x^{6},$ 和 $y = x^{10} .$ 的图形。对于 $y = x^{n},$ ，当 $n$ 增加时，对从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1) .$ 的弧长做出预测。现在，计算这三个函数的长度，并确定你的预测是否正确。

214.

比较抛物线 $x = y^{2}$ 和直线 $x = b y$ 从 $(0, 0) 到 (b^{2}, b)$ 开始，当 $b$ 增加时的长度。你发现了什么？

215.

求 $x = y^{2}$ 从 $(0, 0) 到 (1, 1) .$ 开始的长度。证明 $x = (1 / 2) y^{2}$ 从 $(0, 0)$ 到 $(2, 2)$ 的长度是其两倍。绘制这两个函数的图形并解释原因。

216.

[T] 在 $(1, 1)$ 和 $(2, 1 / 2) :$ 之间，双曲线 $y = 1 / x$ 和 $x + 2 y = 3 ?$ 的图形哪个更长？

217.

解释为什么当 $y = 1 / x$ 绕 $x 轴$ 旋转时，对于 $1 \leq x < \infty,$ ，表面积是无穷大，而体积却是有限的。

6.4 曲线的弧长和曲面面积

学习目标

曲线 y = f(x) 的弧长

定理 6.4

曲线 y = f(x) 的弧长

例 6.18

计算 x 的函数的弧长

解

检验点 6.18

例 6.19

使用计算机或计算器确定 x 的函数的弧长

解

检验点 6.19

曲线 x = g(y) 的弧长

定理 6.5

曲线 x = g(y) 的弧长

例 6.20

计算 y 的函数的弧长

解

检验点 6.20

旋转体的表面积

定理 6.6

旋转体的表面积

例 6.21

计算旋转体的表面积 1

解

检验点 6.21

例 6.22

计算旋转体的表面积 2

解

检验点 6.22

第6.4节 练习

第6.4节练习