指数增长与衰减 - 微积分：第一卷

6.8 指数增长与衰减

学习目标

6.8.1 在应用中使用指数增长模型，包括人口增长和复利。
6.8.2 解释倍增时间的概念。
6.8.3 在应用中使用指数衰减模型，包括放射性衰变和牛顿冷却定律。
6.8.4 解释半衰期的概念。

指数函数最广泛的应用之一是增长与衰减模型。指数增长和衰减出现在许多自然现象中。从种群增长、连续复利，到放射性衰变和牛顿冷却定律，指数函数在自然界中无处不在。本节将通过若干实例探讨指数增长与衰减。

指数增长模型

许多系统表现出指数增长。这些系统遵循 $y = y_{0} e^{k t},$ 形式的模型，其中 $y_{0}$ 表示系统的初始状态， $k$ 是一个正常数，称为增长常数。注意，在指数增长模型中，我们有

y^{'} = k y_{0} e^{k t} = k y .

(6.27)

也就是说，增长率与当前的函数值成正比。这是指数增长的一个关键特征。公式 6.27 涉及导数，被称为微分方程。我们将在微分方程导论中了解更多关于微分方程的知识。

法则: 指数增长模型

表现出指数增长的系统根据以下数学模型增长

y = y_{0} e^{k t},

其中 $y_{0}$ 表示系统的初始状态， $k > 0$ 是一个常数，称为增长常数。

种群增长是指数增长的一个常见例子。以细菌种群为例，种群增长率与种群规模成正比是合理的——毕竟，能繁殖的细菌越多，种群增长就越快。图 6.79 和表 6.1 表示一个细菌种群的增长，其初始种群为 $200$ 个细菌，增长常数为 $0.02 .$ 。注意，仅在 $2$ 小时 $(120$ 分钟后，种群规模就达到了其原始规模的 $10$ 倍！

第一象限中 y=200e^0.02t 的指数增长曲线，从 y 轴出发向右上方递增。

图 6.79 细菌指数增长的一个例子。

时间 (分钟)	种群规模 (细菌数量)
$10$	$244$
$20$	$298$
$30$	$364$
$40$	$445$
$50$	$544$
$60$	$664$
$70$	$811$
$80$	$991$
$90$	$1210$
$100$	$1478$
$110$	$1805$
$120$	$2205$

表 6.1 细菌种群的指数增长

注意，我们用连续函数来模拟本质上是离散的行为。在任意给定时刻，真实种群的细菌数量都是整数，而模型给出的却是非整数值。使用指数增长模型时，必须结合所描述现象的实际背景来解读函数值。

例 6.42

人口增长

考虑前面描述的细菌种群。该种群根据函数 $f (t) = 200 e^{0.02 t},$ 增长，其中 t 以分钟为单位。在 $5$ 小时 $(300$ 分钟后，种群中有多少细菌？种群何时达到 $100,000$ 个细菌？

解

我们有 $f (t) = 200 e^{0.02 t} .$ 。那么

f (300) = 200 e^{0.02 (300)} \approx 80,686 .

在 $5$ 小时后，种群中有 $80,686$ 个细菌。

要求种群何时达到 $100,000$ 个细菌，需解方程

\begin{matrix} 100,000 & = & 200 e^{0.02 t} \\ 500 & = & e^{0.02 t} \\ ln 500 & = & 0.02 t \\ t & = & \frac{ln 500}{0.02} \approx 310.73. \end{matrix}

种群约在 $310.73$ 分钟后达到 $100,000$ 个细菌。

检验点 6.42

考虑一个细菌种群，它根据函数 $f (t) = 500 e^{0.05 t},$ 增长，其中 $t$ 以分钟为单位。在 4 小时后，种群中有多少细菌？种群何时达到 $1$ 亿个细菌？

现在我们来看一个金融应用：复利。不按复利计算的利息称为单利。单利在指定时间段（通常为 $1$ 年）结束时支付一次。因此，如果我们把 $$ 1000$ 存入一个每年赚取 $2 %$ 单利的储蓄账户，那么在年底我们有

1000 (1 + 0.02) = $ 1020 .

复利每年计算多次，具体取决于复利周期。因此，如果银行每 $6$ 个月计算一次利息，它会在 $6$ 个月后将当年一半的利息存入账户。下半年，账户不仅对初始的 $$ 1000,$ 计息，还对上半年产生的利息也计息。用数学语言表示，年底时我们有

1000 {(1 + \frac{0.02}{2})}^{2} = $ 1020.10 .

类似地，如果利息每 $4$ 个月计算一次，我们有

1000 {(1 + \frac{0.02}{3})}^{3} = $ 1020.13,

如果利息每天计算一次（每年 $(365$ 次），我们有 $$ 1020.20 .$ 。如果我们扩展这个概念，使利息连续复利，那么在 $t$ 年后我们有

1000 lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{n})}^{n t} .

现在我们对这个表达式进行变形，使其成为指数增长函数的形式。回顾数 $e$ 可以表示为极限：

e = lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m} .

基于此，我们希望括号内的表达式具有 $(1 + 1 / m) .$ 的形式。令 $n = 0.02 m .$ 。注意，当 $n \to \infty,$ 时， $m \to \infty$ 。于是可得

1000 lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{n})}^{n t} = 1000 lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{0.02 m})}^{0.02 m t} = 1000 {[lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m}]}^{0.02 t} .

可以看出，方括号内的极限正是数 $e .$ 。因此，我们银行账户在 $t$ 年后的余额为 $1000 e^{0.02 t} .$ 。推广这一结论可知，如果一个初始余额为 $$ P$ 的银行账户以 $r %,$ 的利率连续复利，那么该账户在 $t$ 年后的余额为

余额 = P e^{r t} .

例 6.43

复利

一名 25 岁的学生有机会将钱投入一个年利率 $5 %$ 连续复利的退休账户。她今天需要投入多少钱，才能在 $65$ 岁退休时拥有 $$ 1$ 百万？如果年利率为 $6 %$ 连续复利呢？

解

我们有

\begin{matrix} 1,000,000 & = & P e^{0.05 (40)} \\ P & = & 135,335.28. \end{matrix}

在 $5 %$ 的利率下，她需要投资 $$ 135,335.28$ 。

如果利率为 $6 %,$ ，则方程变为

\begin{matrix} 1,000,000 & = & P e^{0.06 (40)} \\ P & = & 90,717.95. \end{matrix}

此时，她只需要投资 $$ 90,717.95 .$ 。这大约是 $5 %$ 利率下所需投资额的三分之二。由于利息是连续复利的，利率仅提高 $1 %$ 就产生了巨大的差异。

检验点 6.43

假设该学生不是在 $25$ 岁投资，而是等到 $35$ 岁。在 $5 %$ 的利率下她需要投资多少？在 $6 %$ 的利率下呢？

如果一个量呈指数增长，其翻倍所需的时间始终不变。换句话说，细菌种群从 $100$ 增长到 $200$ 个细菌所需的时间与从 $10,000$ 增长到 $20,000$ 个细菌所需的时间相同。这个时间称为倍增时间。要计算倍增时间，需要求出该量何时达到初始值的两倍。因此有

\begin{matrix} 2 y_{0} & = & y_{0} e^{k t} \\ 2 & = & e^{k t} \\ ln 2 & = & k t \\ t & = & \frac{ln 2}{k} . \end{matrix}

定义

如果一个量呈指数增长，倍增时间是该量翻倍所需的时间。其计算公式为

倍增时间 = \frac{ln 2}{k} .

例 6.44

使用倍增时间

假设鱼的数量呈指数增长。一个池塘最初放养了 $500$ 条鱼。 $6$ 个月后，池塘里有 $1000$ 条鱼。当鱼群数量达到 $10,000 .$ 时，主人才允许朋友和邻居来池塘钓鱼。朋友们最早何时可以来钓鱼？

解

已知鱼的数量翻倍需要 $6$ 个月。设 t 表示以月为单位的时间，由倍增时间公式可得 $6 = (ln 2) / k .$ 。那么， $k = (ln 2) / 6 .$ 。因此，鱼的数量为 $y = 500 e^{((ln 2) / 6) t} .$ 。要求鱼的数量何时达到 $10,000$ 条，需解方程：

\begin{matrix} 10,000 & = & 500 e^{(ln 2 / 6) t} \\ 20 & = & e^{(ln 2 / 6) t} \\ ln 20 & = & (\frac{ln 2}{6}) t \\ t & = & \frac{6 (ln 20)}{ln 2} \approx 25.93. \end{matrix}

朋友们需要等待 $25.93$ 个月（略多于 $2$ 年）才能来钓鱼。

检验点 6.44

假设例 6.44中鱼的数量达到 $1000$ 条需要 $9$ 个月。那么朋友们需要等多久？

指数衰减模型

指数函数也可以用来描述缩减的种群（例如因疾病导致的减少）或随时间分解的化合物。我们称这类系统表现出指数衰减，而非指数增长。模型形式几乎相同，只是指数中多了一个负号。即对于某个正常数 $k,$ ，我们有 $y = y_{0} e^{− k t} .$ 。

与指数增长一样，指数衰减也与一个微分方程相关联。我们有

y^{'} = − k y_{0} e^{− k t} = − k y .

法则: 指数衰减模型

表现出指数衰减的系统根据以下模型变化

y = y_{0} e^{− k t},

其中 $y_{0}$ 表示系统的初始状态， $k > 0$ 是一个常数，称为衰减常数。

下图是一个典型的指数衰减函数图形。

图 6.80 指数衰减的一个例子。

下面来看指数衰减的一个物理应用。牛顿冷却定律指出，物体的冷却速率与其温度和环境温度之差成正比。即，若 $T$ 表示物体的温度， $T_{a}$ 表示房间的环境温度，那么

T^{'} = − k (T - T_{a}) .

注意，这还不完全是指数衰减模型的形式。我们需要导数与函数本身成正比，但上式中多出了一个 $T_{a}$ 项。好在可以用换元来解决这个问题。令 $y (t) = T (t) - T_{a} .$ ，则 $y^{'} (t) = T^{'} (t) - 0 = T^{'} (t),$ ，方程变为

y^{'} = − k y .

由之前的讨论可知，y 与其导数之间的这种关系意味着指数衰减。因此，

y = y_{0} e^{− k t},

我们看到

\begin{matrix} T - T_{a} & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} \\ T & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} + T_{a} \end{matrix}

其中 $T_{0}$ 表示初始温度。下面用一个实例来应用此公式。

例 6.45

牛顿冷却定律

据有经验的咖啡师介绍，咖啡的最佳饮用温度在 $155 ° F$ 和 $175 ° F .$ 之间。假设咖啡以 $200 ° F,$ 的温度倒入，在 $70 ° F$ 的房间中放置 $2$ 分钟后，冷却到 $180 ° F .$ 。咖啡最早何时降温到适合饮用？又何时冷得不宜饮用？将答案四舍五入到最接近的半分钟。

解

我们有

\begin{matrix} T & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} + T_{a} \\ 180 & = & (200 - 70) e^{− k (2)} + 70 \\ 110 & = & 130 e^{−2 k} \\ \frac{11}{13} & = & e^{−2 k} \\ ln \frac{11}{13} & = & −2 k \\ ln 11 - ln 13 & = & −2 k \\ k & = & \frac{ln 13 - ln 11}{2} . \end{matrix}

那么，模型是

T = 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 .

当温度降到 $175 ° F$ 时

\begin{matrix} 175 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 \\ 105 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ \frac{21}{26} & = & e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ ln \frac{21}{26} & = & \frac{ln 11 - ln 13}{2} t \\ ln 21 - ln 26 & = & \frac{ln 11 - ln 13}{2} t \\ t & = & \frac{2 (ln 21 - ln 26)}{ln 11 - ln 13} \approx 2.56. \end{matrix}

咖啡倒入约 $2.5$ 分钟后即可饮用。咖啡降温到 $155 ° F$

\begin{matrix} 155 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 \\ 85 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ \frac{17}{26} & = & e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ ln 17 - ln 26 & = & (\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t \\ t & = & \frac{2 (ln 17 - ln 26)}{ln 11 - ln 13} \approx 5.09. \end{matrix}

咖啡倒入约 $5$ 分钟后就冷得不宜饮用了。

检验点 6.45

假设房间温度更高 $(75 ° F)$ ，并且在 $2$ 分钟后，咖啡只冷却到 $185 ° F .$ 。咖啡最早何时降温到适合饮用？又何时冷得不宜饮用？将答案四舍五入到最接近的半分钟。

正如指数增长的系统具有恒定的倍增时间，指数衰减的系统也具有恒定的半衰期。要计算半衰期，需要求出该量何时减少到初始值的一半。因此有

\begin{matrix} \frac{y_{0}}{2} & = & y_{0} e^{− k t} \\ \frac{1}{2} & = & e^{− k t} \\ - ln 2 & = & − k t \\ t & = & \frac{ln 2}{k} . \end{matrix}

注意：这与我们为倍增时间得出的表达式相同。

定义

如果一个量呈指数衰减，半衰期是该量减半所需的时间。其计算公式为

半衰期 = \frac{ln 2}{k} .

例 6.46

放射性碳定年法

指数衰减模型最常见的应用之一是碳定年法。 $碳- 14$ 以恒定的指数速率衰变（释放放射性粒子）。因此，只要知道物体中碳的初始含量和剩余含量，就可以确定物体的年龄。 $碳- 14$ 的半衰期约为 $5730$ 年——即经过这么多年后，有一半的物质从原始的 $碳- 14$ 转化为新的非放射性 $氮- 14 .$ 。如果我们今天有 $100$ 克 $碳- 14$ ，那么在 $50$ 年后还剩下多少？如果一件文物最初含有 $100$ 克碳，现在含有 $10$ 克碳，那么它距今多少年？将答案四舍五入到最接近的百年。

解

我们有

\begin{matrix} 5730 & = & \frac{ln 2}{k} \\ k & = & \frac{ln 2}{5730} . \end{matrix}

所以，模型表明

y = 100 e^{− (ln 2 / 5730) t} .

在 $50$ 年后，我们有

\begin{matrix} y & = & 100 e^{− (ln 2 / 5730) (50)} \\ \approx & 99.40 . \end{matrix}

于是，在 $50$ 年后，还剩下 $99.40$ 克 $碳- 14$ 。

要确定文物的年龄，需解

\begin{matrix} 10 & = & 100 e^{− (ln 2 / 5730) t} \\ \frac{1}{10} & = & e^{− (ln 2 / 5730) t} \\ t & \approx & 19035. \end{matrix}

该文物距今约 $19,000$ 年。

检验点 6.46

如果我们有 $100$ 克 $碳- 14,$ ，那么在 $500$ 年后还剩下多少？如果一件文物最初含有 $100$ 克碳，现在含有 $20 g$ 的碳，那么它距今多少年？将答案四舍五入到最接近的百年。

第 6.8 节练习

判断对错。如果正确，请给出证明；如果错误，请给出正确答案。

348.

$y = e^{c t}$ 的倍增时间是 $(ln (2)) / (ln (c)) .$ 。

349.

如果你投资 $$ 500,$ ，那么 $3 %$ 的年利率第一年的收益比 $2.5 %$ 的连续复利更多。

350.

如果你将一壶 $100 ° C$ 的茶放在室温 $(25 ° C)$ 下，并将一壶相同的茶放在冰箱 $(5 ° C),$ 中，且 $k = 0.02,$ ，则冰箱中的茶比室温下的茶提前 $5$ 分钟以上降至可饮用温度 $(70 ° C)$ 。

351.

如果给定半衰期为 t 年，那么 $y = e^{k t}$ 的常数 $k$ 通过 $k = ln (1 / 2) / t .$ 计算。

对于以下练习，请使用 $y = y_{0} e^{k t} .$ 。

352.

如果细菌培养物在 $3$ 小时内翻倍，那么它需要多少小时才能增长 $10 ?$ 倍？

353.

如果细菌在 $10$ 小时内增长 $10$ 倍，那么它需要多少小时才能增长 $100 ?$ 倍？

354.

一个放射性碳含量仅为现代头骨五分之一的头骨距今多少年？提示：放射性碳的半衰期为 $5730$ 年。

355.

如果一件文物的放射性碳含量为新鲜材料的 $90 %$ ，它是否可能来自基督时代（距今约 $2000$ 年）？提示：放射性碳的半衰期为 $5730$ 年。

356.

开罗的人口在 $20$ 年内从 $5$ 百万增长到 $10$ 百万。利用指数模型求出人口何时达到 $8$ 百万。

357.

纽约和洛杉矶的人口分别以每年 $1 %$ 和 $1.4 %$ 的速度增长。从 $8$ 百万（纽约）和 $6$ 百万（洛杉矶）开始，人口何时相等？将答案四舍五入到整数年。

358.

假设 $$ 1$ 对应的日元数每年减少 $2 %$ 。从 $$ 1 = ¥ 250,$ 开始，何时 $$ 1 = ¥ 1 ?$ ？

359.

广告效果按指数规律衰减。如果 $3$ 天后有 $40 %$ 的人记住了一个新产品，那么多久后只有 $20 %$ 的人还记得它？

360.

如果 $t = 3$ 时 $y = 1000$ ，且 $t = 4,$ 时 $y = 3000$ ，那么 $t = 0 ?$ 时 $y_{0}$ 是多少？

361.

如果 $t = 4$ 时 $y = 100$ ，且 $t = 8,$ 时 $y = 10$ ，那么 $y = 1 ?$ 何时发生？

362.

如果一家银行提供 $7.5 %$ 的年利率或 $7.25 %,$ 的连续复利，哪种的年收益更高？

363.

多大的连续复利利率与 $9 % ?$ 的年利率收益相同？

364.

如果你以 $8 %$ 的年利率存入 $$ 5000$ ，那么你可以提取 $$ 500$ （从第一年年末开始），多少年后才会用完？

365.

你打算在 $20$ 年内为孩子的大学学费攒够 $$ 50,000$ 。如果按 $10 %,$ 连续复利，你最初需要投资多少？

366.

你从烤箱中取出了一只内部温度为 $165 ° F .$ 的火鸡，将其放在 $70 ° F$ 的公寓中冷却 $10$ 分钟后，火鸡温度降至 $155 ° F .$ 。火鸡从烤箱中取出 $20$ 分钟后的温度是多少？

367.

你有一些温度为 $1 ° F .$ 的冷冻蔬菜需要解冻。为安全起见，你将其放入环境温度为 $44 ° F$ 的冰箱中。 $2$ 小时后检查，发现它们现在是 $12 ° F .$ 。画出温度随时间变化的曲线，并据此确定蔬菜何时升温到 $33 ° F .$ 。

368.

你是一名考古学家，收到一块声称来自霸王龙的骨骼。已知这些恐龙生活在白垩纪（距今 $(146$ 百万年至 $65$ 百万年前）。你用放射性碳定年法测得其放射性碳含量为初始值的 $0.000001 %$ 。这块骨骼是否来自白垩纪？

369.

核反应堆乏燃料中含有钚-239，其半衰期为 $24,000$ 年。如果将装有 $10 kg$ 钚-239 的桶密封起来，需要多少年后桶内只剩下 $10 g$ 的钚-239？

以下练习使用下表中按十年列出的世界人口数据。

自 1950 年以来的年份	人口 (百万)
$0$	$2,556$
$10$	$3,039$
$20$	$3,706$
$30$	$4,453$
$40$	$5,279$
$50$	$6,083$
$60$	$6,849$

来源：http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html。

370.

[T] 数据的最佳拟合指数曲线形式为 $P (t) = a e^{b t}$ ，即 $P (t) = 2686 e^{0.01604 t} .$ 。用图形计算器同时绘制数据点和指数曲线。

371.

[T] 求出方程的导数 $y^{'}$ 并绘制其图形。它在哪里递增？这意味着什么？

372.

[T] 求出方程的二阶导数并绘制其图形。它在哪里递增？这意味着什么？

373.

[T] 求出人口达到 $10$ 亿的预测日期。结合之前关于一阶和二阶导数的结论，解释为什么指数增长模型无法准确预测未来。

以下练习使用下表中 19 世纪旧金山的人口数据。

自 1850 年以来的年份	人口 (千)
$0$	$21.00$
$10$	$56.80$
$20$	$149.5$
$30$	$234.0$

来源：http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm。

374.

[T] 数据的最佳拟合指数曲线形式为 $P (t) = a e^{b t}$ ，即 $P (t) = 35.26 e^{0.06407 t} .$ 。用图形计算器同时绘制数据点和指数曲线。

375.

[T] 求出方程的导数 $y^{'}$ 并绘制其图形。它在哪里递增？这意味着什么？增长率是否有最大值？

376.