相关变化率 - 微积分：第一卷

4.1 相关变化率

学习目标

4.1.1 用导数表示变化量。
4.1.2 找出给定问题中导数之间的关系。
4.1.3 利用链式法则，由已知量的变化率求出相关量的变化率。

前面我们已经知道，随时间变化的量，其变化率可以用导数来描述。如果两个量之间存在某种关系，且它们都随时间变化，那么它们各自的变化率之间也必然相互关联。例如，给气球充气时，气球的半径和体积同时增大。本节将通过若干问题，研究当多个相关量同时变化时，如何确定它们的变化率之间的关系。

建立相关变化率问题

在许多实际应用中，相关量都是随时间变化的。仍以气球为例，体积的变化率 $V,$ 与半径的变化率 $r .$ 相关。此时，我们称 $\frac{d V}{d t}$ 和 $\frac{d r}{d t}$ 为相关变化率，因为 V 与 r 相关。下面我们通过几个例子，研究如何利用已知的变化率来求解未知的变化率。

例 4.1

气球充气

一个球形气球以 $2 {cm}^{3} / sec$ 的恒定速率充气（图 4.2）。当半径为 $3 cm ?$ 时，半径增加的速度是多少？

图 4.2 随着气球被充入空气，其半径和体积都随时间增加。

解

半径为 $r$ 厘米的球体体积为

V = \frac{4}{3} π r^{3} {cm}^{3} .

由于气球正在充气，体积和半径都是时间的函数。因此，开始充气 $t$ 秒后，气球中的空气体积为

V (t) = \frac{4}{3} π {[r (t)]}^{3} {cm}^{3} .

对该方程两边关于时间求导，并应用链式法则，可得体积的变化率与半径的变化率之间的关系方程为

V' (t) = 4 π {[r (t)]}^{2} r^{'} (t) .

气球以 2 cm³/sec 的恒定速率充气，因此 $V' (t) = 2 {cm}^{3} / sec .$ 。所以，

2 {cm}^{3} / sec = (4 π {[r (t)]}^{2} {cm}^{2}) \cdot (r' (t) cm/s),

这意味着

r' (t) = \frac{1}{2 π {[r (t)]}^{2}} cm/sec .

当半径 $r = 3 cm,$ 时，

r' (t) = \frac{1}{18 π} cm/sec .

检验点 4.1

当 $r = 6 cm ?$ 时，半径的瞬时变化率是多少？

在看其他例题之前，我们先概述一下解决相关变化率问题的解题策略。

解题策略

解决相关变化率问题

为问题中涉及的所有变量指定符号。如果适用，绘制图形。
用变量表示已知信息和待确定的变化率。
找出步骤1中引入的变量之间的关系方程。
利用链式法则，对步骤3中得到的方程两边关于自变量求导。由此得到的新方程将把各导数联系起来。
将所有已知值代入步骤4的方程，然后求解未知变化率。

注意，在解决相关变化率问题时，切忌过早代入已知值。例如，如果在对方程两边求导之前就代入了某个变化量的值，那么该量就会被当作常数处理，其导数也就不会出现在步骤4所得到的新方程中。下面的例子将说明这一常见错误。

解题过程示例

下面运用上述策略求解几道相关变化率的例题。第一个例子涉及一架从头顶飞过的飞机，研究飞机速度与人机距离变化率之间的关系。

例 4.2

飞机以恒定高度飞行

一架飞机在 $4000 ft$ 的恒定高度水平飞行。有人站在距无线电塔底部 $3000 ft$ 处观察该飞机，飞机正沿水平方向远离此人。若飞机的飞行速率为 $600 ft/sec,$ ，那么当飞机经过无线电塔正上方时，人与飞机之间的距离以多大的速率增加？

解

步骤1. 绘制图形，引入变量表示所涉及的不同量。

图中显示了一个直角三角形，由地面上的人、空中的飞机和地面上直角处的无线电塔构成。斜边为 s，人与无线电塔之间的地面距离为 x，人对面的边（即从地面到飞机的距离）为 4000 英尺。

图 4.3 一架飞机以 4000 英尺的恒定高度飞行。人与飞机之间的距离以及人与飞机正下方地面位置之间的距离都在变化。我们分别用变量

s

和

x,

表示这些量。

如图所示， $x$ 表示人与飞机正下方地面位置之间的距离。变量 $s$ 表示人与飞机之间的距离。注意 $x$ 和 $s$ 都是时间的函数。我们不为飞机的高度引入变量，因为它保持在 $4000 ft .$ 的恒定高度。由于高度是物体与地面之间的最短距离，长度为 4000 英尺的线段垂直于长度为 $x$ 英尺的线段，形成一个直角三角形。

步骤2. 由于 $x$ 表示人与飞机下方地面点之间的水平距离， $d x / d t$ 代表飞机的速度。已知飞机的速度为 600 ft/sec。因此， $\frac{d x}{d t} = 600$ ft/sec。题目要求求飞机在无线电塔正上方时人与飞机之间距离的变化率，因此需要在 $x = 3000 ft .$ 时求 $d s / d t$ 。

步骤3. 从图中，我们可以使用勾股定理写出关联 $x$ 和 $s :$ 的方程。

{[x (t)]}^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2} .

步骤4. 对该方程关于时间求导，并利用常数的导数为零的事实，可得方程

x \frac{d x}{d t} = s \frac{d s}{d t} .

步骤5. 找出当飞机在无线电塔正上方时，人与飞机之间距离的增加速率。也就是说，当 $x = 3000 ft .$ 时，求 $\frac{d s}{d t}$ 。由于飞机的速度是 $600 ft/sec,$ ，我们知道 $\frac{d x}{d t} = 600 ft/sec .$ 。虽然 $s$ 的值未直接给出，但由于我们要在 $x = 3000 ft,$ 时求 $\frac{d s}{d t}$ ，我们可以使用勾股定理来确定当 $x = 3000$ 且高度为 $4000 ft .$ 时的距离 $s$ 。求解方程

3000^{2} + 4000^{2} = s^{2}

解出 $s,$ ，在所关注的时刻， $s = 5000 ft$ 。将这些值代入，可知 $d s / d t$ 满足方程

(3000) (600) = (5000) \cdot \frac{d s}{d t} .

于是，

\frac{d s}{d t} = \frac{3000 \cdot 600}{5000} = 360 ft/sec .

注意：在解决相关变化率问题时，重要的是不要过早地代入变量的值。例如，在步骤3中，我们通过方程关联了变量 $x (t)$ 和 $s (t)$

{[x (t)]}^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2} .

由于飞机保持恒定高度，无需为高度引入变量，可以直接用常数 4000 表示。但另外两个量是变化的。如果我们错误地在求导之前将 $x (t) = 3000$ 代入方程，我们的方程将是

3000^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2} .

求导后，我们的方程将变为

0 = s (t) \frac{d s}{d t} .

结果，我们将错误地得出 $\frac{d s}{d t} = 0 .$ 的结论。

检验点 4.2

如果人与飞机之间的距离以 $300 ft/sec ?$ 的速率增加，那么飞机的速度是多少？

现在回到本章开头的火箭发射问题。

例 4.3

章节开篇：火箭发射

图 4.4 (图片来源：Steve Jurvetson，维基共享资源，经修改)

一枚火箭垂直发射。一台摄像机放置在距发射台 $5000 ft$ 的位置。当火箭在发射台上空 $1000 ft$ 时，其速度为 $600 ft/sec .$ 。求此时摄像机仰角的变化率，使其始终对准火箭。

解

步骤1. 绘制图形，引入变量。

图中形成一个直角三角形，其中一个非直角处是摄像机，另一个非直角处是火箭。摄像机处的角度为 θ。火箭到地面的距离为 h；注意，这是角度 θ 的对边。角度 θ 的邻边为 5000 英尺。

图 4.5 一台摄像机放置在距火箭发射台 5000 英尺的位置。火箭的高度和摄像机的角度都随时间变化。我们分别用变量

h

和

θ,

表示这些量。

设 $h$ 表示火箭在发射台上空的高度， $θ$ 表示摄像机镜头与地面之间的夹角。

步骤2. 我们试图找出当火箭离地 1000 英尺时，摄像机角度随时间的变化率。也就是说，我们需要在 $h = 1000 ft .$ 时求 $\frac{d θ}{d t}$ 。此时，我们知道火箭的速度是 $\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec .$ 。

步骤3. 现在需要找到一个方程来关联随时间变化的两个量： $h$ 和 $θ .$ 。如何建立这样的方程？既然图中是一个直角三角形，自然会想到三角函数。回想一下， $tan θ$ 是三角形对边长度与邻边长度之比。因此，我们有

tan θ = \frac{h}{5000} .

由此得到方程

h = 5000 tan θ .

步骤4. 对该方程关于时间 $t,$ 求导，可得

\frac{d h}{d t} = 5000 {sec}^{2} θ \frac{d θ}{d t} .

步骤5. 我们想在 $h = 1000 ft .$ 时求 $\frac{d θ}{d t}$ 。此时，我们知道 $\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec .$ 。我们需要确定 ${sec}^{2} θ .$ 。回想一下， $sec θ$ 是斜边长度与邻边长度之比。我们知道邻边长度为 $5000 ft .$ 。为了确定斜边长度，我们使用勾股定理，其中一条直角边长度为 $5000 ft,$ ，另一条直角边长度为 $h = 1000 ft,$ ，斜边长度为 $c$ 英尺，如下图所示。

一个直角三角形有一个角度为 θ。斜边为 c，角度 θ 的对边长度为 1000，邻边长度为 5000。

可以看出

1000^{2} + 5000^{2} = c^{2}

可得斜边为

c = 1000 \sqrt{26} ft .

所以，当 $h = 1000,$ 时，我们有

{sec}^{2} θ = {(\frac{1000 \sqrt{26}}{5000})}^{2} = \frac{26}{25} .

回到步骤4，联系 $\frac{d θ}{d t}$ 与已知值的方程是

\frac{d h}{d t} = 5000 {sec}^{2} θ \frac{d θ}{d t} .

当 $h = 1000 ft,$ 时，我们知道 $\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec$ 和 ${sec}^{2} θ = \frac{26}{25} .$ 。将这些值代入上述方程，得

600 = 5000 (\frac{26}{25}) \frac{d θ}{d t} .

因此， $\frac{d θ}{d t} = \frac{3}{26} rad/sec .$ 。

检验点 4.3

如果摄像机放置在距发射台 $4000 ft$ 的地面上，并且当火箭离地 $2000 ft$ 时，火箭的速度为 500 ft/sec，那么摄像机仰角的变化率需要是多少？

在下一个例子中，我们研究水从锥形漏斗中流出的问题，比较水位下降的速率与水体积减少的速率。

例 4.4

水从漏斗中流出

水以 $0.0 {3 ft}^{3} /sec .$ 的速率从锥形漏斗底部流出。漏斗高 2 英尺，顶部半径为 $1 ft .$ 。当水的高度为 $\frac{1}{2} ft ?$ 时，漏斗中水的高度变化率是多少？

解

步骤1. 绘制图形，引入变量。

图中显示了一个漏斗，其高度为 2，顶部半径为 1。漏斗中的水高为 h，此时水的半径为 r。

图 4.6 水从一个高 2 英尺、半径 1 英尺的漏斗中流出。水的高度和水的半径都随时间变化。我们分别用变量

h

和

r,

表示这些量。

设 $h$ 表示漏斗中水的高度， $r$ 表示水表面的半径， $V$ 表示水的体积。

步骤2. 我们需要在 $h = \frac{1}{2} ft .$ 时确定 $\frac{d h}{d t}$ 。我们知道 $\frac{d V}{d t} = −0.03 {ft}^{3} /sec .$ 。

步骤3. 锥体中水的体积为

V = \frac{1}{3} π r^{2} h .

从图中可以看出，大小两个锥体构成相似三角形，对应边成比例。因此， $\frac{r}{h} = \frac{1}{2}$ 或 $r = \frac{h}{2} .$ 。利用这一事实，体积方程可以简化为

V = \frac{1}{3} π {(\frac{h}{2})}^{2} h = \frac{π}{12} h^{3} .

步骤4. 对该方程两边关于时间 $t,$ 求导，并应用链式法则，可得

\frac{d V}{d t} = \frac{π}{4} h^{2} \frac{d h}{d t} .

步骤5. 我们想在 $h = \frac{1}{2} ft .$ 时求 $\frac{d h}{d t}$ 。由于水以 $0.0 {3 ft}^{3} /sec,$ 的速率流出，我们知道 $\frac{d V}{d t} = −0.03 {ft}^{3} /sec .$ 。于是，

−0.03 = \frac{π}{4} {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{d h}{d t},

这意味着

−0.03 = \frac{π}{16} \frac{d h}{d t} .

由此可得

\frac{d h}{d t} = - \frac{0.48}{π} = −0.153 ft/sec .

检验点 4.4

当水的高度为 $\frac{1}{4} ft ?$ 时，水的高度变化率是多少？

第4.1节练习

对于以下练习，根据给定方程求相关量。

如果 $\frac{d x}{d t} = 4 .$ ，求 $\frac{d y}{d t}$ 在 $x = 1$ 和 $y = x^{2} + 3$ 处的值。

如果 $\frac{d y}{d t} = −1 .$ ，求 $\frac{d x}{d t}$ 在 $x = −2$ 和 $y = 2 x^{2} + 1$ 处的值。

如果 $\frac{d x}{d t} = 4$ 且 $\frac{d y}{d t} = 3 .$ ，求 $\frac{d z}{d t}$ 在 $(x, y) = (1, 3)$ 和 $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ 处的值。

对于以下练习，如有必要请画出示意图，并利用相关变化率方法求解。

[T] 如果两个电阻并联，总电阻（以欧姆为单位，用希腊大写字母欧米伽 $Ω)$ 表示）由方程 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} .$ 给出。如果 $R_{1}$ 以 $0.5 Ω / min$ 的速率增加，且 $R_{2}$ 以 $1.1 Ω/min,$ 的速率减小，那么当 $R_{1} = 20 Ω$ 和 $R_{2} = 50 Ω$ 时，总电阻的变化率是多少？

一架 10 英尺长的梯子靠在墙上。如果梯子顶部以 2 英尺/秒的速度沿墙下滑，当梯子底部距墙 5 英尺时，底部沿地面移动的速度是多少？

一架 25 英尺长的梯子靠在墙上。如果我们以 1 英尺/秒的速度将梯子推向墙壁，且梯子底部最初距墙 $20 ft$ ，那么在我们开始推动 $5 sec$ 后，梯子沿墙壁上升的速度是多少？

两架飞机在相同高度飞行：飞机 A 以 250 英里/小时的速度向东飞行，飞机 B 以 $300 mi/h .$ 的速度向北飞行。如果它们都飞向同一个机场，该机场位于飞机 A 以东 30 英里、飞机 B 以北 40 英里处，那么两架飞机之间的距离变化率是多少？

两架飞机A和B垂直相向飞行，形成一个直角三角形。斜边是飞机A和B之间的距离。其他两边是每架飞机路径的延伸，直到它们相遇。

你和一位朋友骑自行车去一家餐馆，你认为餐馆在东边；你的朋友认为餐馆在北边。你们都从同一点出发，你以 16 英里/小时的速度向东骑行，你的朋友以 $12 mph$ 的速度向北骑行。在你骑行了 $4 mi,$ 后，你和朋友之间的距离变化率是多少？

两辆公共汽车沿着相距 $5 mi$ 的平行高速公路行驶，一辆向东，另一辆向西。假设每辆公共汽车都以恒定的 $55 mph,$ 速度行驶，当它们相距 $13 mi$ 并相向行驶时，两辆公共汽车之间距离的变化率是多少？

10.

一个 6 英尺高的人以 $3 ft/sec .$ 的恒定速率从一个 10 英尺高的路灯杆旁走开。当此人距路灯杆 $10 ft$ 时，影子的尖端远离路灯杆的速率是多少？

图中显示了一个10英尺高的路灯杆。在它的右边，有一个6英尺高的人。有一条线从路灯杆顶部延伸，经过人的头顶，然后继续延伸到地面。这条线的末端到路灯杆接触地面的距离是10 + x。路灯杆到地面上人的距离是10，人到这条线末端的距离是x。

11.

沿用上一题的条件，当此人距路灯杆 10 英尺时，影子的尖端远离此人的速率是多少？

12.

一个 5 英尺高的人以 2 英尺/秒的速度走向一堵墙。一个聚光灯位于距墙 40 英尺的地面上。当此人距墙 10 英尺时，此人在墙上的影子高度的变化速率是多少？

13.

沿用上一题的条件，如果此人以 2 英尺/秒的速度远离墙壁，当此人距墙 10 英尺时，影子的变化率是多少？

14.

一架直升机从地面垂直升空，速率为 25 英尺/秒。你从直升机正下方的位置开始在地面上奔跑，速率为 10 英尺/秒。求 5 秒后直升机与你之间距离的变化率。

15.

沿用上一题的条件，当直升机升至空中 60 英尺高时（假设初始时它在你上方 30 英尺），你与直升机之间距离的变化率是多少？

对于以下练习，请绘制并标注示意图以帮助解决相关变化率问题。

16.

一个立方体的边长以 $\frac{1}{2}$ 米/秒的速率增加。当边长为 4 米时，求体积的增加速率。

17.

一个立方体的体积以 10 米³/秒的速率减小。当边长为 2 米时，求边长的变化速率。

18.

一个圆的半径以 $2$ 米/秒的速率增加。当半径为 5 米时，求圆面积的增加速率。

19.

一个球体的半径以 $3$ 米/秒的速率减小。当半径为 10 米时，求表面积的减小速率。

20.

一个球体的半径以 $1$ 米/秒的速率增加。当半径为 $20$ 米时，求体积的增加速率。

21.

一个球体的半径以 9 厘米/秒的速率增加。当体积和半径的数值变化率相同时，求球体的半径。

22.

一个三角形的底边以 1 厘米/分钟的速率缩小，高度以 5 厘米/分钟的速率增加。当高度为 22 厘米、底边为 10 厘米时，求三角形面积的变化率。

23.

一个三角形有两条定长边，分别为 3 英尺和 5 英尺。这两条边之间的夹角以 0.1 弧度/秒的速率增加。当夹角为 $π / 6 .$ 时，求三角形面积的变化率。

24.

一个三角形的高度以 2 厘米/秒的速率增加，面积以 4 厘米²/秒的速率增加。当高度为 4 厘米、面积为 20 厘米²时，求三角形底边的变化率。

对于以下练习，考虑一个正在漏水的直圆锥体。该圆锥形水箱高 16 英尺，半径 5 英尺。

25.

如果圆锥体以 10 英尺³/分钟的速率漏水，当水深为 10 英尺时，水深的变化速率是多少？

26.

如果圆锥体以 10 英尺³/分钟的速率漏水，当水深为 10 英尺时，水表面积的变化速率是多少？

27.

如果当水深为 8 英尺时，水位以 3 英寸/分钟的速率下降，求水从圆锥体中漏出的速率。

28.

一个垂直圆柱体以 1 英尺³/秒的速率漏水。如果圆柱体高 10 英尺、半径 1 英尺，当水深为 6 英尺时，水位的变化速率是多少？

29.

一个垂直圆柱体正在漏水，但你无法确定漏水速率。该圆柱体高 2 米、半径 2 米。如果当水深为 1 米时，水位下降的速率为 10 厘米/分钟，求水从圆柱体中漏出的速率。

30.

一个水槽的两端呈等腰三角形，宽 3 米、高 4 米，水槽长 10 米。水以 $5 m^{3} /min .$ 的速率被泵入水槽。当水深为 1 米时，水位的变化速率是多少？

图中显示了一个两端呈等腰三角形的水槽。这些三角形的宽度为3，高度为4。水槽由长度为10的矩形组成。水槽内有一些水。

31.

一个水箱的形状为倒置的四棱锥，底边为 4 米 × 4 米，高 12 米（见下图）。如果水以 $\frac{2}{3}$ 米³/秒的速率泵入，当水深为 2 米时，水位的增加速率是多少？

图中显示了一个倒置的四棱锥，其方形底边长为4，高为12。形状内部有未指定量的水。

对于以下问题，考虑一个形状为半球体的游泳池，以 25 英尺³/分钟的速率注水。泳池半径为 10 英尺。部分球冠的体积公式为 $V = \frac{πh}{6} (3 r^{2} + h^{2})$ ，其中 $h$ 是水的高度， $r$ 是水的半径。

32.

当水深为 5 英尺时，求水深的变化速率。

33.

当水深为 1 英尺时，求水深的变化速率。

34.

如果当水深为 2 英尺时，水位以 1 英寸/分钟的速率上升，求水被泵入的速率。

35.

碎石正从卡车上卸下，以 10 英尺³/分钟的速率堆成圆锥形。圆锥底部的半径是高度的三倍。当碎石堆高 5 英尺时，求高度的变化速率。

36.

沿用上一题的条件，如果碎石堆高 5 英尺且高度以 4 英寸/分钟的速率增加，求碎石卸下的速率。

对于以下练习，请解决相关变化率问题。建议画出示意图来帮助理解每个问题。

37.

你站在地面上不动，看着一只鸟以 $10$ 米/秒的速率水平飞行。这只鸟在你头顶上方 40 米处。当你与鸟之间的水平距离为 9 米时，仰角的变化速率是多少？

38.

你站在距地面上一枚瓶装火箭 40 英尺处，看着它以 20 英尺/秒的速率垂直升空。当火箭升至 30 英尺高时，求仰角的变化速率。

39.

灯塔 L 位于一个岛上，距海滩上最近的点 P 为 4 英里（见下图）。如果灯塔的光线以 10 转/分钟的恒定速率顺时针旋转，那么当光束在距最近点 2 英里处扫过海滩时，其移动速度是多少？

一个直角三角形由灯塔L、岸上垂直于灯塔到岸边连线的点P以及P点右侧2英里处的点组成。P到L的距离是4英里。

40.

沿用上一题的条件，求光束在距海滩最近点 1 英里处扫过海滩的速率。

41.

你正走向一个直角街角处的公交车站。你以 2 米/秒的速度向北走，此时你在十字路口以南 20 米处。公交车以 10 米/秒的速度向西驶离十字路口——你错过了公交车！当你位于十字路口以南 20 米处、公交车位于十字路口以西 10 米处时，你与公交车之间的夹角变化率是多少？

对于以下练习，请参考棒球场的图示，其边长为 90 英尺。

显示了一个棒球场，垒包标记为本垒、一垒、二垒和三垒，构成一个边长为90英尺的正方形。

42.

[T] 击球手以 75 英尺/秒的速度将球击向三垒，并以 24 英尺/秒的速度跑向一垒。2 秒后，球与击球手之间的距离变化率是多少？

43.

[T] 击球手以 80 英尺/秒的速度将球击向二垒，并以 30 英尺/秒的速度跑向一垒。当跑垒员跑完到一垒距离的三分之一时，球与击球手之间的距离变化率是多少？（提示：回顾余弦定律。）

44.

[T] 击球手击球后以 22 英尺/秒的速度跑向一垒。当跑垒员跑了 30 英尺时，跑垒员与二垒之间的距离变化率是多少？

45.

[T] 跑垒员分别从一垒和二垒出发。当棒球被击中时，一垒跑垒员以 18 英尺/秒的速度跑向二垒，二垒跑垒员以 20 英尺/秒的速度跑向三垒。球被击中 1 秒后，两名跑垒员之间的距离变化率是多少？