涉及指数函数和对数函数的积分

5.6 涉及指数函数和对数函数的积分

学习目标

5.6.1 计算涉及指数函数的积分。
5.6.2 计算涉及对数函数的积分。

指数函数和对数函数用于模拟人口增长、细胞生长和金融增长，以及折旧、放射性衰变和资源消耗等应用。在本节中，我们将探讨涉及指数函数和对数函数的积分。

指数函数的积分

就微积分运算而言，指数函数也许是最简洁的函数。指数函数 $y = e^{x},$ 的导数和积分都是其自身。

法则: 指数函数的积分

指数函数的积分公式如下。

\begin{matrix} \int e^{x} d x & = & e^{x} + C \\ \int a^{x} d x & = & \frac{a^{x}}{ln a} + C \end{matrix}

(5.21)

例 5.37

求指数函数的原函数

求指数函数 e^−x 的原函数。

解

使用换元法，令 $u = − x,$ ，则 $d u = −1 d x .$ 。将 du 方程乘以 −1，可得 $− d u = d x .$ 。于是，

\begin{matrix} \int e^{− x} d x & = − \int e^{u} d u \\ = − e^{u} + C \\ = − e^{− x} + C . \end{matrix}

检验点 5.31

使用换元法求函数 $x^{2} e^{−2 x^{3}} .$ 的原函数。

处理指数表达式时，一个常见的错误是把 e 的指数当作多项式中的指数来处理。对 e 的指数不能使用幂法则。当同一个表达式中既有指数函数又有多项式时，尤其容易混淆，如前一个检验点所示。遇到这类情况时，务必仔细检查，确保对被积函数使用了正确的法则。

例 5.38

指数函数的平方根

求指数函数 $e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} .$ 的原函数。

解

首先使用有理指数重写问题：

\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x = \int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x .

使用换元法，选择 $u = 1 + e^{x} .$ 。则 $d u = e^{x} d x .$ 。可得 (图 5.37)

\int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x = \int u^{1 / 2} d u .

则

\int u^{1 / 2} d u = \frac{u^{3 / 2}}{3 / 2} + C = \frac{2}{3} u^{3 / 2} + C = \frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{3 / 2} + C .

函数 f(x) = e^x * sqrt(1 + e^x) 的图形，它在区间 [-3, 1] 上是一条递增的凹曲线。它从第二象限靠近 x 轴处开始，在 (0, sqrt(2)) 处穿过 y 轴，并继续快速增长。

图 5.37 该图显示了指数函数与指数函数平方根之乘积的图形。

检验点 5.32

求 $e^{x} {(3 e^{x} - 2)}^{2} .$ 的原函数。

例 5.39

指数函数中的换元法

使用换元法计算不定积分 $\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x .$ 。

解

这里我们选取 e 的指数部分作为 u。令 $u = 2 x^{3}$ ，则 $d u = 6 x^{2} d x .$ 。同样，du 与所需表达式相差一个常数倍：原被积函数中含有 3x² 而非 6x²。将等式两边乘以 $\frac{1}{2}$ ，使换元后的被积函数与原被积函数匹配。因此，

\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x = \frac{1}{2} \int e^{u} d u .

先对 u 的表达式积分，再将 u 替换回 x 的原始表达式：

\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{2 x^{3}} + C .

检验点 5.33

计算不定积分 $\int 2 x^{3} e^{x^{4}} d x .$ 。

如本节开头所述，指数函数在许多实际应用中都有用到。自然常数 e 通常与复利增长或加速增长相关，正如我们在前面关于导数的章节中看到的那样。导数表示变化率或增长率，而积分则表示总变化量或总增长量。下面来看一个用指数函数积分求解常见商业问题的例子。

价格-需求函数描述了产品需求量与价格之间的关系。一般来说，需求量增加时价格会降低。边际价格-需求函数是价格-需求函数的导数，表示价格在给定产量水平下的变化速率。这些函数在商业中用于确定需求弹性，帮助企业判断调整产量是否有利可图。

例 5.40

求价格-需求方程

求某超市连锁店某品牌牙膏的价格-需求方程，已知当需求量为每周 50 支，每支 2.35 美元时，边际价格-需求函数 $p^{'} (x),$ （其中 x 为每周牙膏支数）为

p' (x) = −0.015 e^{−0.01 x} .

如果该超市连锁店每周销售 100 支牙膏，它应该设定什么价格？

解

为了求得价格-需求方程，需对边际价格-需求函数进行积分。先求出原函数，再代入具体条件。因此，

\begin{matrix} p (x) & = \int −0.015 e^{−0.01 x} d x \\ = −0.015 \int e^{−0.01 x} d x . \end{matrix}

使用换元法，令 $u = −0.01 x$ ，则 $d u = −0.01 d x .$ 。然后将 du 等式两边除以 −0.01，可得

\begin{matrix} \frac{−0.015}{−0.01} \int e^{u} d u & = 1.5 \int e^{u} d u \\ = 1.5 e^{u} + C \\ = 1.5 e^{−0.01 x} + C . \end{matrix}

下一步是求 C 的值。已知每支牙膏售价 2.35 美元时，每周需求量为 50 支，即

\begin{matrix} p (50) & = 1.5 e^{−0.01 (50)} + C \\ = 2.35 . \end{matrix}

现在，只需解出 C：

\begin{matrix} C & = 2.35 - 1.5 e^{−0.5} \\ = 2.35 - 0.91 \\ = 1.44 . \end{matrix}

因此，

p (x) = 1.5 e^{−0.01 x} + 1.44 .

如果超市每周销售 100 支牙膏，价格将是

p (100) = 1.5 e^{−0.01 (100)} + 1.44 = 1.5 e^{−1} + 1.44 \approx 1.99 .

如果超市每周销售 100 支牙膏，每支应收取 1.99 美元。

例 5.41

计算涉及指数函数的定积分

计算定积分 $\int_{1}^{2} e^{1 - x} d x .$ 。

解

同样使用换元法。令 $u = 1 - x,$ ，则 $d u = −1 d x$ ，或 $− d u = d x .$ 。于是 $\int e^{1 - x} d x = − \int e^{u} d u .$ 。接下来，改变积分上下限。使用方程 $u = 1 - x,$ ，可得

\begin{matrix} u = 1 - (1) = 0 \\ u = 1 - (2) = −1 . \end{matrix}

积分变为

\begin{matrix} \int_{1}^{2} e^{1 - x} d x & = − \int_{0}^{−1} e^{u} d u \\ = \int_{−1}^{0} e^{u} d u \\ = {e^{u} |}_{−1}^{0} \\ = e^{0} - (e^{−1}) \\ = − e^{−1} + 1. \end{matrix}

参见图 5.38。

函数 f(x) = e^(1-x) 在区间 [0, 3] 上的图形。它在 (0, e) 处穿过 y 轴，是一条递减的凹曲线，当 x 趋于无穷大时渐近趋近于 0。

图 5.38 所示面积可通过换元法计算定积分求得。

检验点 5.34

计算 $\int_{0}^{2} e^{2 x} d x .$ 。

例 5.42

培养物中细菌的生长

假设培养皿中细菌的增长率由 $q (t) = 3^{t},$ 给出，其中 t 以小时为单位， $q (t)$ 以每小时数千个细菌为单位。如果培养物最初有 10,000 个细菌，求一个函数 $Q (t)$ ，它给出在任意时间 t 培养皿中的细菌数量。2 小时后培养皿中有多少细菌？

解

可得

Q (t) = \int 3^{t} d t = \frac{3^{t}}{ln 3} + C .

那么，当 $t = 0$ 时，我们有 $Q (0) = 10 = \frac{1}{ln 3} + C,$ ，所以 $C \approx 9.090$ ，可得

Q (t) = \frac{3^{t}}{ln 3} + 9.090 .

在时间 $t = 2,$ ，我们有

Q (2) = \frac{3^{2}}{ln 3} + 9.090

= 17.282 .

2 小时后，培养皿中有 17,282 个细菌。

检验点 5.35

根据例 5.42，假设细菌以 $q (t) = 2^{t} .$ 的速率生长。假设培养物仍然从 10,000 个细菌开始。求 $Q (t) .$ 。3 小时后培养皿中有多少细菌？

例 5.43

果蝇种群增长

假设果蝇种群以每天 $g (t) = 2 e^{0.02 t},$ 只的速度增长。如果果蝇的初始种群数量为 100 只，10 天后种群中有多少只果蝇？

解

设 $G (t)$ 表示在时间 t 种群中的果蝇数量。应用净变化定理，可得

\begin{matrix} G (10) & = G (0) + \int_{0}^{10} 2 e^{0.02 t} d t \\ = 100 + {[\frac{2}{0.02} e^{0.02 t}] |}_{0}^{10} \\ = 100 + {[100 e^{0.02 t}] |}_{0}^{10} \\ = 100 + 100 e^{0.2} - 100 \\ \approx 122 . \end{matrix}

10 天后，种群中有 122 只果蝇。

检验点 5.36

假设果蝇种群的增长率由 $g (t) = e^{0.01 t},$ 给出，初始果蝇种群数量为 100 只。15 天后种群中有多少只果蝇？

例 5.44

使用换元法计算定积分

使用换元法计算定积分： $\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x .$ 。

解

这道题先做适当改写，再应用相关性质。首先将 e 的指数写成 x 的幂的形式，然后利用负指数将分母中的 x² 移到分子。可得

\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x = \int_{1}^{2} e^{x^{−1}} x^{−2} d x .

令 $u = x^{−1},$ ，即 e 的指数部分。则

\begin{matrix} d u & = − x^{−2} d x \\ - d u & = x^{−2} d x . \end{matrix}

将负号移到积分号外面，积分变为

− \int e^{u} d u .

接下来，改变积分上下限：

\begin{array}{l} u = {(1)}^{−1} = 1 \\ u = {(2)}^{−1} = \frac{1}{2} . \end{array}

注意此时积分上限小于下限，因此需要乘以 −1 并交换上下限。于是，

\begin{array}{l} − \int_{1}^{1 / 2} e^{u} d u & = \int_{1 / 2}^{1} e^{u} d u \\ = e^{u} |_{1 / 2}^{1} \\ = e - e^{1 / 2} \\ = e - \sqrt{e} . \end{array}

检验点 5.37

使用换元法计算定积分： $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} e^{4 x^{−2}} d x .$ 。

涉及对数函数的积分

形如 $f (x) = x^{−1}$ 的函数，其积分结果涉及自然对数函数的绝对值，如下列法则所示。其他对数函数（例如 $f (x) = ln x$ 和 $f (x) = {log}_{a} x,$ ）的积分公式也包含在该法则中。

法则：涉及对数函数的积分公式

涉及对数函数的积分公式如下。

\begin{matrix} \int x^{−1} d x & = & ln | x | + C \\ \int ln x d x & = & x ln x - x + C = x (ln x - 1) + C \\ \int {log}_{a} x d x & = & \frac{x}{ln a} (ln x - 1) + C \end{matrix}

(5.22)

例 5.45

求涉及 $ln x$ 的原函数

求函数 $\frac{3}{x - 10} .$ 的原函数。

解

先将 3 提到积分号外，再使用 u⁻¹ 法则。于是，

\begin{array}{l} \int \frac{3}{x - 10} d x & = 3 \int \frac{1}{x - 10} d x \\ = 3 \int \frac{d u}{u} \\ = 3 ln | u | + C \\ = 3 ln | x - 10 | + C, x \neq 10 . \end{array}

参见图 5.39。

函数 f(x) = 3 / (x – 10) 的图形。在 x=10 处有一条渐近线。第一段是递减的凸曲线，当 x 趋于负无穷时趋于 0，当 x 趋于 10 时趋于负无穷。第二段是递减的凹曲线，当 x 趋于 10 时趋于无穷，当 x 趋于无穷时趋于 0。

图 5.39 此函数的定义域为

x \neq 10 .

。

检验点 5.38

求 $\frac{1}{x + 2} .$ 的原函数。

例 5.46

求有理函数的原函数

求有理函数 $\frac{2 x^{3} + 3 x}{x^{4} + 3 x^{2}} .$ 的原函数。

解

这可以改写为 $\int (2 x^{3} + 3 x) {(x^{4} + 3 x^{2})}^{−1} d x .$ 。使用换元法。设 $u = x^{4} + 3 x^{2},$ ，则 $d u = 4 x^{3} + 6 x .$ 。将 du 中的公因子 2 提出。因此，

\begin{matrix} d u & = & (4 x^{3} + 6 x) d x \\ = & 2 (2 x^{3} + 3 x) d x \\ \frac{1}{2} d u & = & (2 x^{3} + 3 x) d x . \end{matrix}

将被积函数用 u 表示：

\int (2 x^{3} + 3 x) {(x^{4} + 3 x^{2})}^{−1} d x = \frac{1}{2} \int u^{−1} d u .

可得

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \int u^{−1} d u & = \frac{1}{2} ln | u | + C \\ = \frac{1}{2} ln | x^{4} + 3 x^{2} | + C . \end{array}

例 5.47

求对数函数的原函数

求对数函数 ${log}_{2} x .$ 的原函数。

解

直接套用上述涉及对数函数的积分公式，可得

\int {log}_{2} x d x = \frac{x}{ln 2} (ln x - 1) + C .

检验点 5.39

求 ${log}_{3} x .$ 的原函数。

例 5.48 是一个涉及三角函数的定积分。对于三角函数的积分，我们通常需要先利用三角恒等式进行化简。将被积函数改写为合适的形式，往往是顺利完成积分的关键。

例 5.48

计算定积分

求 $\int_{0}^{π / 2} \frac{sin x}{1 + cos x} d x .$ 的定积分。

解

我们需要使用换元法来计算此问题。设 $u = 1 + cos x,$ ，则 $d u = − sin x d x .$ 。将积分改写为 u 的形式，并同时改变积分上下限。因此，

\begin{matrix} u = 1 + cos (0) = 2 \\ u = 1 + cos (\frac{π}{2}) = 1 . \end{matrix}

则

\begin{matrix} \int_{0}^{π / 2} \frac{sin x}{1 + cos x} & = − \int_{2}^{1} u^{−1} d u \\ = \int_{1}^{2} u^{−1} d u \\ = {ln | u | |}_{1}^{2} \\ = [ln 2 - ln 1] \\ = ln 2. \end{matrix}

第 5.6 节练习

在下列练习中，计算每个不定积分。

320.

$\int e^{2 x} d x$

321.

$\int e^{−3 x} d x$

322.

$\int 2^{x} d x$

323.

$\int 3^{− x} d x$

324.

$\int \frac{1}{2 x} d x$

325.

$\int \frac{2}{x} d x$

326.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x$

327.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

在下列练习中，使用适当的换元法求每个不定积分。

328.

$\int \frac{ln x}{x} d x$

329.

$\int \frac{d x}{x {(ln x)}^{2}}$

330.

$\int \frac{d x}{x ln x} (x > 1)$

331.

$\int \frac{d x}{x ln x ln (ln x)}$

332.

$\int tan θ d θ$

333.

$\int \frac{cos x - x sin x}{x cos x} d x$

334.

$\int \frac{ln (sin x)}{tan x} d x$

335.

$\int ln (cos x) tan x d x$

336.

$\int x e^{− x^{2}} d x$

337.

$\int x^{2} e^{− x^{3}} d x$

338.

$\int e^{sin x} cos x d x$

339.

$\int e^{tan x} {sec}^{2} x d x$

340.

$\int e^{ln x} \frac{d x}{x}$

341.

$\int \frac{e^{ln (1 - t)}}{1 - t} d t$

在下列练习中，先通过求导验证 $\int ln x d x = x (ln x - 1) + C,$ ，然后使用适当的换元法计算积分。

342.

$\int x ln x d x$ $(提示： \int x ln x d x = \frac{1}{2} \int x ln (x^{2}) d x)$

343.

$\int x^{2} ln(x^{2}) d x$

344.

$\int \frac{ln x}{x^{2}} d x$ $(提示：令 u = \frac{1}{x} .)$

345.

$\int \frac{ln x}{\sqrt{x}} d x$ $(提示：令 u = \sqrt{x} .)$

346.

写出一个积分来表示函数 $y = \frac{1}{t}$ 的图形在 $t = 1$ 到 e^x 之间的面积，并计算该积分。

347.

写出一个积分来表示函数 $y = e^{t}$ 的图形在 $t = 0$ 和 $t = ln x,$ 之间的面积，并计算该积分。

在下列练习中，使用适当的换元法将三角积分化为含对数函数的复合形式。

348.

$\int tan (2 x) d x$

349.

$\int \frac{sin (3 x) - cos (3 x)}{sin (3 x) + cos (3 x)} d x$

350.

$\int \frac{x sin (x^{2})}{cos (x^{2})} d x$

351.

$\int x csc (x^{2}) d x$

352.

$\int ln (cos x) tan x d x$

353.

$\int ln (csc x) cot x d x$

354.

$\int \frac{e^{x} - e^{− x}}{e^{x} + e^{− x}} d x$

在下列练习中，计算定积分。

355.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 2 x + x^{2}}{3 x + 3 x^{2} + x^{3}} d x$

356.

$\int_{0}^{π / 4} tan x d x$

357.

$\int_{0}^{π / 3} \frac{sin x - cos x}{sin x + cos x} d x$

358.

$\int_{π / 6}^{π / 2} csc x d x$

359.

$\int_{π / 4}^{π / 3} cot x d x$

在下列练习中，使用所示的换元法进行积分。

360.

$\int \frac{x}{x - 100} d x; u = x - 100$

361.

$\int \frac{y - 1}{y + 1} d y; u = y + 1$

362.

$\int \frac{1 - x^{2}}{3 x - x^{3}} d x; u = 3 x - x^{3}$

363.

$\int \frac{sin x + cos x}{sin x - cos x} d x; u = sin x - cos x$

364.

$\int e^{2 x} \sqrt{1 - e^{2 x}} d x; u = e^{2 x}$

365.

$\int ln (x) \frac{\sqrt{1 - {(ln x)}^{2}}}{x} d x; u = ln x$

在以下练习中，右端点近似是高估还是低估了精确面积？计算右端点估计值 R₅₀ 并求出精确面积。

366.

[T] $y = e^{x}$ 在 $[0, 1]$ 上

367.

[T] $y = e^{− x}$ 在 $[0, 1]$ 上

368.

[T] $y = ln (x)$ 在 $[1, 2]$ 上

369.

[T] $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 6}$ 在 $[0, 1]$ 上

370.

[T] $y = 2^{x}$ 在 $[−1, 0]$ 上

371.

[T] $y = − 2^{− x}$ 在 $[0, 1]$ 上

在以下练习中，当 $a \leq x \leq b$ 时 $f (x) \geq 0$ 。利用积分求 $f (x)$ 在给定的 a 与 b 之间图形下方的面积。

372.

$f (x) = \frac{{log}_{10} (x)}{x}; a = 10, b = 100$

373.

$f (x) = \frac{{log}_{2} (x)}{x}; a = 32, b = 64$

374.

$f (x) = 2^{− x}; a = 1, b = 2$

375.

$f (x) = 2^{− x}; a = 3, b = 4$

376.

计算函数 $f (x) = x e^{− x^{2}}$ 在 $x = 0$ 和 $x = 5 .$ 之间的图形下方的面积。

377.

计算 $f (x) = x e^{− x^{2}}$ 的积分，并求出最小的 N 值，使得函数 $f (x) = x e^{− x^{2}}$ 在 $x = N$ 和 $x = N + 1$ 之间的图形下方的面积至多为 0.01。

378.

求当 N 趋于无穷大时，函数 $f (x) = x e^{− x^{2}}$ 在 $x = 0$ 和 $x = N .$ 之间的图形下方的面积的极限。

379.

证明当 $0 < a \leq b .$ 时， $\int_{a}^{b} \frac{d t}{t} = \int_{1 / b}^{1 / a} \frac{d t}{t}$ 。

380.

假设对所有 x 都有 $f (x) > 0$ ，并且 f 和 g 都是可微的。使用恒等式 $f^{g} = e^{g ln f}$ 和链式法则求 $f^{g} .$ 的导数。

381.

利用上一道练习题求 $h (x) = x^{x} (1 + ln x)$ 的原函数并计算 $\int_{2}^{3} x^{x} (1 + ln x) d x .$ 。

382.

证明如果 $c > 0,$ ，那么 $1 / x$ 从 ac 到 bc 的积分 $(0 < a < b)$ 与 $1 / x$ 从 a 到 b 的积分相同。

以下练习旨在从定义 $ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t},$ 开始，利用定积分的性质，在不作进一步假设的情况下推导出自然对数的基本性质。

383.

使用恒等式 $ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ 推导恒等式 $ln (\frac{1}{x}) = − ln x .$ 。

384.

在积分 $\int_{1}^{x y} \frac{1}{t} d t$ 中使用换元法证明 $ln x y = ln x + ln y 对 x, y > 0 .$ 。

385.

使用恒等式 $ln x = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ 证明 $ln (x)$ 在 $[0, \infty),$ 上是 x 的递增函数，并利用前面的练习证明 $ln (x)$ 的值域是 $(− \infty, \infty) .$ 。在不作任何进一步假设的情况下，得出结论 $ln (x)$ 在 $(− \infty, \infty) .$ 上有一个反函数。

386.

暂时假设我们不知道 $e^{x}$ 是 $ln (x),$ 的反函数，但请记住 $ln (x)$ 在 $(− \infty, \infty) .$ 上有一个反函数。称之为 E。使用恒等式 $ln x y = ln x + ln y$ 推断出对任意实数 a, b，有 $E (a + b) = E (a) E (b)$ 。

387.

暂时假设我们不知道 $e^{x}$ 是 $ln x,$ 的反函数，但请记住 $ln x$ 在 $(− \infty, \infty) .$ 上有一个反函数。称之为 E。证明 $E' (t) = E (t) .$ 。

388.

正弦积分，定义为 $S (x) = \int_{0}^{x} \frac{sin t}{t} d t$ ，是工程学中一个重要的量。虽然它没有初等封闭形式的表达式，但可以估计其在 x 较大时的行为。证明对于 $k \geq 1, | S (2 π k) - S (2 π (k + 1)) | \leq \frac{1}{k (2 k + 1) π} .$ ，有 $(提示： sin (t + π) = − sin t)$ 。

389.

[T] 概率论中的正态分布由 $p (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{− {(x - μ)}^{2} / 2 σ^{2}},$ 给出，其中 σ 是标准差，μ 是平均值。概率论中的标准正态分布 $p_{s},$ 对应于 $μ = 0 和 σ = 1 .$ 。计算 $\int_{−1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{− \frac{x^{2}}{2}} d x .$ 的右端点估计值 $R_{10} 和 R_{100}$ 。

390.

[T] 计算 $\int_{−3}^{5} \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} e^{− {(x - 1)}^{2} / 8} .$ 的右端点估计值 $R_{50} 和 R_{100}$ 。