$\frac{1}{72\pi }\text{cm/sec},$ 或大约 0.0044 厘米/秒

$500\text{ft/sec}$

$\frac{1}{10}\text{rad/sec}$

$\mathrm{-0.61}\text{ft/sec}$

$L\left(x\right)=2+\frac{1}{12}\left(x-8\right);$ 2.00833

$L(x)=\text{−}x+\frac{\pi }{2}$

$L(x)=1+4x$

$dy=2x{e}^{x^2}dx$

$dy=1.6,$ $\text{Δ}y=1.64$

体积测量精确到 $21.6{\text{cm}}^3.$ 以内

7.6%

$x=-\frac{2}{3},$ $x=1$

绝对最大值为 $3$，出现在 $x=4.$ 处。绝对最小值为 $\mathrm{-1}$，出现在 $x=2.$ 处。

$c=2$

$\frac{5}{2\sqrt{2}}$ 秒

$f$ 在 $\mathrm{-2}$ 处有局部最小值，在 $3.$ 处有局部最大值。

$f$ 没有局部极值，因为 $f^{\prime }$ 在 $x=1.$ 处没有改变符号。

$f$ 在区间 $\left(\text{−}\infty ,\frac{1}{2}\right)$ 上是凹的，在区间 $\left(\frac{1}{2},\infty \right)$ 上是凸的。

$f$ 在 $\mathrm{-2}$ 处有局部最大值，在 $3.$ 处有局部最小值。

两个极限都是 $3.$。直线 $y=3$ 是一条水平渐近线。

设 $\epsilon >0.$。设 $N=\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}.$。因此，对所有 $x>N,$，我们有

$\left|3-\frac{1}{x^2}-3\right|=\frac{1}{x^2}<\frac{1}{N^2}=\epsilon$

因此，$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\left(3-1\text{/}{x}^2\right)=3.$。

设 $M>0.$。设 $N=\sqrt{\frac{M}{3}}.$。那么，对所有 $x>N,$，我们有

$3x^2>3N^2=3{\left(\sqrt{\frac{M}{3}}\right)}^2{}^2=\frac{3M}{3}=M$

$\text{−}\infty$

$\frac{3}{5}$

$\text{±}\sqrt{3}$

$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}f\left(x\right)=\frac{3}{5},$ $\underset{x\to \text{−}\infty }{\text{lim}}f\left(x\right)=\mathrm{-2}$

$y=\frac{3}{2}x$

函数 $f$ 在 $\left(0,5\right)$ 处有一个尖点。 $\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}{f}^{\prime }\left(x\right)=\infty ,$ $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}{f}^{\prime }\left(x\right)=\text{−}\infty .$ 对于端部行为，$\underset{x\to \text{±}\infty }{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty .$。

最大面积为 $5000{\text{ft}}^2.$。

$V\left(x\right)=x\left(20-2x\right)\left(30-2x\right).$ 定义域是 $\left[0,10\right].$。

$T\left(x\right)=\frac{x}{6}+\frac{\sqrt{{\left(15-x\right)}^2+1}}{2.5}$

该公司每天每辆车应收取 $\text{\$}75$。

$A\left(x\right)=4x\sqrt{1-x^2}.$ 考虑的定义域是 $\left[0,1\right].$。

$c\left(x\right)=\frac{259.2}{x}+0.2x^2$ 美元

$1$

$0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}\text{cos}x=1.$。因此，我们不能应用洛必达法则。商的极限是 $\infty$。

$1$

$0$

$e$

$1$

函数 $2^x$ 比 $x^{100}.$ 增长得快。

$x_1\approx 0.33333333,x_2\approx 0.347222222$

$x_1=2,x_2=1.75$

$x_1\approx -1.842105263,x_2\approx -1.772826920$

$x_1=6,x_2=8,x_3=\frac{26}{3},x_4=\frac{80}{9},x_5=\frac{242}{27};x*=9$

$\text{−}\text{cos}x+C$

$\frac{d}{dx}\left(x\text{sin}x+\text{cos}x+C\right)=\text{sin}x+x\text{cos}x-\text{sin}x=x\text{cos}x$

$x^4-\frac{5}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-7x+C$

$y=-\frac{3}{x}+5$

$2.93\text{sec},64.5\text{ft}$

$8$

$\pm \frac{13}{\sqrt{10}}$

$2\sqrt{3}$ ft/sec

距离以$390\text{mi/h}.$的速度减小

它们之间的距离以$\frac{1320}{13}\approx 101.5\text{mph}.$的速度缩小

$\frac{9}{2}$ ft/sec

它以$\frac{4}{9}$ ft/sec的速度增长

距离以$\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ ft/sec的速度增加

$-\frac{5}{6}$ m/sec

$240\pi$ m²/sec

$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm

面积以$\frac{\left(3\sqrt{3}\right)}{8}{\text{ft}}^2\text{/sec.}$的速度增加

水深以$\frac{128}{125\pi }$ ft/min的速度减小。

体积以$\frac{\left(25\pi \right)}{16}{\text{ft}}^3\text{/min}.$的速度减小

水以$\frac{\left(2\pi \right)}{5}{\text{m}}^3\text{/min.}$的速度流出

$\frac{3}{2}$ m/sec

$\frac{25}{19\pi }$ ft/min

$\frac{2}{45\pi }$ ft/min

角度以$\frac{400}{1681}\text{rad/sec}.$的速度减小

$100\pi \text{mi/min}$

角度以$\frac{11}{25}\text{rad/sec}.$的速度变化

距离以$62.50$ ft/sec的速度增加。

距离以$11.99$ ft/sec的速度减小。

$f^{\prime }\left(a\right)=0$

当$y=f(x)$是线性或常数时，线性近似是精确的。

$L(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)$

$L(x)=1$

$L(x)=0$

0.02

$1.9996875$

$0.001593$

$1;$ 误差，$\mathrm{~0.00005}$

$0.97;$ 误差，$\mathrm{~0.0006}$

$3-\frac{1}{600};$ 误差，$\mathrm{~4.632}\times {10}^{\mathrm{-7}}$

$dy=\left(\text{cos}x-x\text{sin}x\right)dx$

$dy=\left(\frac{x^2-2x-2}{{(x-1)}^2}\right)dx$

$dy=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx,$ $-\frac{1}{16}$

$dy=\frac{9x^2+12x-2}{2{\left(x+1\right)}^{3\text{/}2}}dx,$ $\mathrm{-0.1}$

$dy=\left(3x^2+2-\frac{1}{x^2}\right)dx,$ $0.2$

$12xdx$

$4\pi r^{2}dr$

$\mathrm{-1.2}\pi {\text{cm}}^3$

$\mathrm{-100}$ ft³

答案可能不同

答案可能不同

否；答案可能不同

由于绝对最大值是函数（输出）值而不是x值，所以答案是否定的；答案可能不同

当$a=0$

在 3 处有绝对最小值；在 −2.2 处有绝对最大值；在 −2, 1 处有局部最小值；在 −1, 2 处有局部最大值

在 −2, 2 处有绝对最小值；在 −2.5, 2.5 处有绝对最大值；在 –2, 0 和 2 处有最小值（注：–2 和 2 既是局部最小值也是绝对最小值）；在 −1, 1 处有局部最大值

答案可能不同。

答案可能不同。

$x=1$

无

$x=0\text{;}x=\pm 2$

无

$x=\mathrm{-1},1$

绝对最大值: $x=4,$ $y=\frac{33}{2};$ 绝对最小值: $x=1,$ $y=3$

绝对最小值: $x=\frac{1}{2},$ $y=4$

绝对最大值: $x=2\pi ,$ $y=2\pi ;$ 绝对最小值: $x=0,$ $y=0$

绝对最大值: $x=\mathrm{-3}$ 和 $y=6;;$ 绝对最小值: $\mathrm{-1}\le x\le 1,$ $y=2$

绝对最大值: $x=\frac{\pi }{4},$ $y=\sqrt{2};$ 绝对最小值: $x=\frac{5\pi }{4},$ $y=\text{−}\sqrt{2}$

绝对最小值: $x=\mathrm{-2},$ $y=1$

绝对最小值: $x=\mathrm{-3},$ $y=\mathrm{-135};$ 局部最大值: $x=0,$ $y=0;$ 局部最小值: $x=1,$ $y=\mathrm{-7}$

局部最大值: $x=1-2\sqrt{2},$ $y=3-4\sqrt{2};$ 局部最小值: $x=1+2\sqrt{2},$ $y=3+4\sqrt{2}$

绝对最大值: $x=\frac{\sqrt{2}}{2},$ $y=\frac{3}{2};$ 绝对最小值: $x=-\frac{\sqrt{2}}{2},$ $y=-\frac{3}{2}$

局部最大值: $x=\mathrm{-2},$ $y=59;$ 局部最小值: $x=1,$ $y=\mathrm{-130}$

绝对最大值: $x=0,$ $y=1;$ 绝对最小值: $x=\mathrm{-2},2,$ $y=0$

$h=\frac{9245}{49}\text{m,}$ $t=\frac{300}{49}\text{s}$

绝对最小值出现在1848年，当时没有黄金产出。

绝对最小值: $x=0,$ $x=2,$ $y=1;$ 局部最大值在 $x=1,$ $y=2$

如果 $a$ 为奇数，则没有最大值/最小值；如果 $a$ 为偶数，则最小值在 $x=1$

一个例子是 $f(x)=\left|x\right|+3,\mathrm{-2}\le x\le 2$

是的，但中值定理仍然不适用

$(\text{−}\infty ,0) \text{或} (0,\infty )$ 中的任何闭区间

$(\text{−}\infty ,\mathrm{-2}) \text{或} (2,\infty )$ 中的任何闭区间

2 个点

5 个点

$c=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$c=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}$

$c=1$

不可微

不可微

是

由于函数在 $x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4}.$ 处不连续，中值定理不适用

是

中值定理不适用；在 $x=0.$ 处不连续

是

中值定理不适用；在 $x=0.$ 处不可微

$b=\text{±}2\sqrt{c}$

$c=\text{±}\frac{1}{\pi }{\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right),$ $c=\text{±}0.1533$

中值定理不适用。

$\frac{1}{2\sqrt{c+1}}-\frac{2}{c^3}=\frac{521}{2880};$ $c=3.133,5.867$

是

设 $s_1\left(t\right)$ 表示汽车 1 在时间 $t$ 时距信号灯 1 的距离。设 $s_2\left(t\right)$ 表示汽车 2 在时间 $t$ 时距信号灯 1 的距离。则 $s_1\left(0\right)=0=s_2\left(0\right)$。设 $t=m$ 表示汽车到达信号灯 2 的时间。则 $s_1\left(m\right)=d=s_2\left(m\right)$，其中 $d$ 是信号灯之间的距离。

定义一个新函数 $f\left(t\right)=s_1\left(t\right)-s_2\left(t\right)$。则 $f\left(0\right)=0=f\left(m\right)$。根据中值定理，存在一个时间 $0<c<m$ 使得

在时间 c，

因此，在时间 c，汽车 1 和汽车 2 以相同的速度行驶。

这不是局部最大值/最小值，因为 $f^{\prime }$ 不改变符号

否

错误；例如，$y=\sqrt{x}.$

在 $\mathrm{-2}<x<\mathrm{-1}$ 和 $x>2;$ 上递增，在 $x<\mathrm{-2}$ 和 $\mathrm{-1}<x<2$ 上递减

在 $x<1,$ 上递减，在 $x>1$ 上递增

在 $\mathrm{-2}<x<\mathrm{-1}$ 和 $1<x<2;$ 上递减，在 $\mathrm{-1}<x<1$ 和 $x<\mathrm{-2}$ 和 $x>2$ 上递增

a. 在 $\mathrm{-2}<x<\mathrm{-1},0<x<1,x>2,$ 上递增，在 $x<\mathrm{-2},$ $\mathrm{-1}<x<0,1<x<2;$ 上递减 b. 最大值在 $x=\mathrm{-1}$ 和 $x=1,$，最小值在 $x=\mathrm{-2}$ 和 $x=0$ 和 $x=2$

a. 在 $x>0,$ 上递增的，在 $x<0;$ 上递减的 b. 在 $x=0$ 处有最小值

在所有 $x,$ 上凹的，无拐点

在所有 $x,$ 上凹的，无拐点

在 $x<0$ 和 $x>1,$ 上凹的，在 $0<x<1,$ 上凸的，拐点在 $x=0$ 和 $x=1$ 处

答案不唯一

答案不唯一

a. 在 $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2},$ 上递增的，在 $x<-\frac{\pi }{2},x>\frac{\pi }{2}$ 上递减的 b. 在 $x=\frac{\pi }{2};$ 处有局部最大值，在 $x=-\frac{\pi }{2}$ 处有局部最小值

a. 在 $x>\frac{4}{3},$ 上凹的，在 $x<\frac{4}{3}$ 上凸的 b. 拐点在 $x=\frac{4}{3}$ 处

a. 在 $x<0$ 和 $x>4,$ 上递增的，在 $0<x<4$ 上递减的 b. 在 $x=0,$ 处有最大值，在 $x=4$ 处有最小值 c. 在 $x>2,$ 上凹的，在 $x<2$ 上凸的 d. 拐点在 $x=2$ 处

a. 在 $x<0$ 和 $x>\frac{60}{11},$ 上递增的，在 $0<x<\frac{60}{11}$ 上递减的 b. 在 $x=\frac{60}{11}$ 处有最小值，在 x = 0 处有局部最大值 c. 在 $x<\frac{54}{11},$ 上凸的，在 $x>\frac{54}{11}$ 上凹的 d. 拐点在 $x=\frac{54}{11}$ 处

a. 在 $x>-\frac{1}{2},$ 上递增的，在 $x<-\frac{1}{2}$ 上递减的 b. 在 $x=-\frac{1}{2}$ 处有最小值 c. 在所有 $x$ 上凹的 d. 无拐点

a. 在 $-\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4},$ 上递增，在 $x>\frac{3}{4}$ 和 $x<-\frac{1}{4}$ 上递减 b. 在 $x=-\frac{1}{4},$ 处有最小值，在 $x=\frac{3}{4}$ 处有最大值 c. 在 $-\frac{3}{4}<x<\frac{1}{4},$ 上凹的，在 $x<-\frac{3}{4}$ 和 $x>\frac{1}{4}$ 上凸的 d. 拐点在 $x=-\frac{3}{4},x=\frac{1}{4}$ 处

a. 对所有 $x$ 递增 b. 无局部最小值或最大值 c. 在 $x>0,$ 上凹的，在 $x<0$ 上凸的 d. 拐点在 $x=0$ 处

a. 在所有定义域内的 $x$ 上递增 b. 无局部最小值或最大值 c. 在 $x<1;$ 上凹的，在 $x>1$ 上凸的 d. 定义域内无拐点

a. 在 $-\frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4},$ 上递增的，在 $x>\frac{3\pi }{4},x<-\frac{\pi }{4}$ 上递减的 b. 在 $x=-\frac{\pi }{4},$ 处有最小值，在 $x=\frac{3\pi }{4}$ 处有最大值 c. 在 $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2},$ 上凹的，在 $x<-\frac{\pi }{2},x>\frac{\pi }{2}$ 上凸的 d. 拐点在 $x=\text{±}\frac{\pi }{2}$ 处

a. 在 $x>4,$ 上递增的，在 $0<x<4$ 上递减的 b. 在 $x=4$ 处有最小值 c. 在 $0<x<8\sqrt[3]{2},$ 上凹的，在 $x>8\sqrt[3]{2}$ 上凸的 d. 拐点在 $x=8\sqrt[3]{2}$ 处

$f>0,f^{\prime }>0,f^{″}<0$

$f>0,f^{\prime }<0,f^{″}>0$

$f>0,f^{\prime }>0,f^{″}>0$

正确，根据中值定理

正确，检查导数

$x=1$

$x=\mathrm{-1},x=2$

$x=0$

是，存在一条垂直渐近线

是，存在垂直渐近线

$0$

$\infty$

$-\frac{1}{7}$

$\mathrm{-2}$

$\mathrm{-4}$

水平渐近线：无，垂直渐近线：$x=0$

水平渐近线：无，垂直渐近线：$x=\text{±}2$

水平渐近线：无，垂直渐近线：无

水平渐近线：$y=0,$ 垂直渐近线：$x=\text{±}1$

水平渐近线：$y=0,$ 垂直渐近线：$x=0$ 和 $x=\mathrm{-1}$

水平渐近线：$y=1,$ 垂直渐近线：$x=1$

水平渐近线：无，垂直渐近线：无

答案不唯一，例如：$y=\frac{2x}{x-1}$

答案不唯一，例如：$y=\frac{4x}{x+1}$

$y=0$

$\infty$

$y=3$

$P\left(0\right)\ne 0 \mathrm{and} Q\left(0\right)=0$

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\mathrm{-\infty }\text{且}\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}g\left(x\right)=\infty$

临界点可以是最小值点、最大值点，也可以两者都不是。

错误；$y=x^2$ 只有最小值

$h=\frac{62}{3}$ 英寸。

$1$

$100\text{英尺 ×}100\text{ft}$

$40\text{英尺 ×}40\text{ft}$