复习练习

判断对错。在以下练习中，用证明或反例论证你的答案。

208.

若 $lim_{x \to a} f (x)$ 存在，则函数在 $x = a$ 处必连续。

209.

可用商法则计算 $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} .$

210.

若函数 $f (x)$ 在 $x = a$ 处有垂直渐近线，则 f 在 $x = a$ 处无定义。

211.

若 $lim_{x \to a} f (x)$ 不存在，则 f 在 $x = a$ 处无定义。

212.

根据图形，求各极限，或说明极限不存在的原因。

$lim_{x \to −1} f (x)$
$lim_{x \to 1} f (x)$
$lim_{x \to 0^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 2} f (x)$

一个分段函数的图形，由几段组成。第一段是 x < -1 时的递减凹曲线，在 (-1, 1) 处以空心圆结束。第二段是从 (-1, -2) 到 (0, -1) 的递增线段。第三段是从 (0,0) 处的空心圆到 (1,1) 处的空心圆的递增凸曲线。第四段是 (1, -1) 处的实心圆。第五段是 x > 1 时的水平直线，从 (1,1) 处的空心圆开始。

在以下练习中，用代数方法求极限，或说明极限不存在的原因。

213.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2}$

214.

$lim_{x \to 0} 3 x^{2} - 2 x + 4$

215.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 1}{3 x - 2}$

216.

$lim_{x \to π / 2} \frac{cot x}{cos x}$

217.

$lim_{x \to −5} \frac{x^{2} + 25}{x + 5}$

218.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} - 4}$

219.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 1}$

220.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

221.

$lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2}$

222.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$

在以下练习中，用夹逼定理证明下列极限。

223.

$lim_{x \to 0} x^{2} cos (2 π x) = 0$

224.

$lim_{x \to 0} x^{3} sin (\frac{π}{x}) = 0$

225.

求函数 $f (x) = \sqrt{x - 2} + x e^{x}$ 的定义域，并说明其在该域上连续。

在以下练习中，求 c 的值使函数连续，并画出函数图形验证连续性。

226.

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, x > c \\ 2 x, x \leq c \end{cases}$

227.

$f (x) = {\begin{cases} \sqrt{x + 1}, x > − 1 \\ x^{2} + c, x \leq - 1 \end{cases}$

在以下练习中，用极限的精确定义证明下列极限。

228.

$lim_{x \to 1} (8 x + 16) = 24$

229.

$lim_{x \to 0} x^{3} = 0$

230.

将球抛向空中，竖直位置由 $x (t) = −4.9 t^{2} + 25 t + 5 .$ 给出。用介值定理证明球在第 5 秒到第 6 秒之间必落地。

231.

粒子沿直线运动，位移函数为 $x (t) = t^{2} - 2 t + 4,$ 其中 x 单位为米，t 单位为秒。求区间 $t = [0, 2] .$ 内的平均速度。

232.

承上题，通过计算 $t = 0.01 sec .$ 内的平均速度，估计在 $t = 2$ 处的瞬时速度。