三角函数的导数 - 微积分：第一卷

3.5 三角函数的导数

学习目标

3.5.1 求正弦函数和余弦函数的导数。
3.5.2 求标准三角函数的导数。
3.5.3 计算正弦和余弦函数的高阶导数。

物理学中最重要的运动类型之一是简谐运动，它与弹簧振子等系统密切相关。简谐运动可以用正弦或余弦函数来描述。在本节中，我们将导数公式推广到这些三角函数及其他三角函数。我们先讨论正弦函数和余弦函数的导数，再利用它们推导其余四个三角函数的导数公式。掌握正弦函数和余弦函数的求导方法后，我们就能求出简谐运动的速度和加速度。

正弦函数和余弦函数的导数

我们先利用导数的定义公式来合理推测正弦函数的导数。回顾一下，对于函数 $f (x),$

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .

因此，对于非常接近 0 的 $h$ 值， $f^{'} (x) \approx \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .$ 。取 $h = 0.01,$

\frac{d}{d x} (sin x) \approx \frac{sin (x + 0.01) - sin x}{0.01}

通过设置 $D (x) = \frac{sin (x + 0.01) - sin x}{0.01}$ 并使用绘图工具，我们可以得到 $sin x$ 的导数的近似图形（图 3.25）。

函数 D(x) = (sin(x + 0.01) − sin x)/0.01 的图形。它看起来很像余弦曲线。

图 3.25 函数

D (x)

的图形看起来很像余弦曲线。

经观察， $D (x)$ 的图形似乎与余弦函数的图形非常接近。事实上，我们将证明

\frac{d}{d x} (sin x) = cos x .

若按照同样的步骤来近似余弦函数的导数，可以发现

\frac{d}{d x} (cos x) = − sin x.

定理 3.8

sin x 和 cos x 的导数

正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数的相反数。

\frac{d}{d x} (sin x) = cos x

(3.11)

\frac{d}{d x} (cos x) = − sin x

(3.12)

证明

由于 $\frac{d}{d x} (sin x) = cos x$ 和 $\frac{d}{d x} (cos x) = − sin x$ 的证明方法类似，这里仅给出 $\frac{d}{d x} (sin x) = cos x .$ 的证明。在此之前，先回顾我们在《极限入门》中学过的两个重要极限：

lim_{h \to 0} \frac{sin h}{h} = 1 且 lim_{h \to 0} \frac{cos h - 1}{h} = 0 .

$y = \frac{(sin h)}{h}$ 和 $y = \frac{(cos h - 1)}{h}$ 的图形如图 3.26 所示。

函数 y = (sin h)/h 和 y = (cos h – 1)/h 的图形。两个函数在 y 轴处均不连续。

图 3.26 这些图形显示了建立正弦和余弦函数导数公式所需的两个重要极限。

还需要用到以下两角和的正弦公式：

sin (x + h) = sin x cos h + cos x sin h .

有了上述公式和恒等式，下面开始证明。

\begin{matrix} \frac{d}{d x} sin x & = lim_{h \to 0} \frac{sin (x + h) - sin x}{h} & 应用导数的定义。 \\ = lim_{h \to 0} \frac{sin x cos h + cos x sin h - sin x}{h} & 利用两角和的正弦恒等式。 \\ = lim_{h \to 0} (\frac{sin x cos h - sin x}{h} + \frac{cos x sin h}{h}) & 重新分组。 \\ = lim_{h \to 0} (sin x (\frac{cos h - 1}{h}) + cos x (\frac{sin h}{h})) & 提取公因子 sin x 和 cos x 。 \\ = sin x \cdot 0 + cos x \cdot 1 & 应用三角极限公式。 \\ = cos x & 化简。 \end{matrix}

□

图 3.27 展示了 $f (x) = sin x$ 与其导数 $f^{'} (x) = cos x .$ 的图形之间的关系。注意，在 $f (x) = sin x$ 有水平切线的点处，其导数 $f^{'} (x) = cos x$ 等于零。还可以看到，当 $f (x) = sin x$ 递增时， $f^{'} (x) = cos x > 0$ ；当 $f (x) = sin x$ 递减时， $f^{'} (x) = cos x < 0 .$ 。

函数 f(x) = sin x 和 f’(x) = cos x 的图形。可以看出，当 f(x) 取最大值或最小值时，f’(x) = 0。

图 3.27 在

f (x)

取最大值或最小值时，

f' (x) = 0

，即在

f (x)

有水平切线处，

f' (x) = 0

。图中用圆点标出了这些点。

例 3.39

对包含 sin x 的函数求导

求 $f (x) = 5 x^{3} sin x .$ 的导数。

解

利用乘法法则，可得

\begin{matrix} f' (x) & = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) \cdot sin x + \frac{d}{d x} (sin x) \cdot 5 x^{3} \\ = 15 x^{2} \cdot sin x + cos x \cdot 5 x^{3} . \end{matrix}

简化后，可得

f^{'} (x) = 15 x^{2} sin x + 5 x^{3} cos x .

检验点 3.25

求 $f (x) = sin x cos x .$ 的导数。

例 3.40

求包含 cos x 的函数的导数

求 $g (x) = \frac{cos x}{4 x^{2}} .$ 的导数。

解

通过应用商法则，可得

g^{'} (x) = \frac{(− sin x) 4 x^{2} - 8 x (cos x)}{{(4 x^{2})}^{2}} .

简化后，可得

\begin{matrix} g^{'} (x) & = \frac{−4 x^{2} sin x - 8 x cos x}{16 x^{4}} \\ = \frac{− x sin x - 2 cos x}{4 x^{3}} . \end{matrix}

检验点 3.26

求 $f (x) = \frac{x}{cos x} .$ 的导数。

例 3.41

速度的应用

一个质点沿坐标轴运动，其在时刻 $t$ 的位置为 $s (t) = 2 sin t - t$ ，其中 $0 \leq t \leq 2 π .$ 。质点何时静止？

解

要确定质点何时静止，令 $s^{'} (t) = v (t) = 0 .$ 。先求 $s^{'} (t) .$ 。可得

s^{'} (t) = 2 cos t - 1,

因此需求解

2 cos t - 1 = 0 当 0 \leq t \leq 2 π .

该方程的解是 $t = \frac{π}{3}$ 和 $t = \frac{5 π}{3} .$ 。因此，质点在时刻 $t = \frac{π}{3}$ 和 $t = \frac{5 π}{3} .$ 时静止。

检验点 3.27

一个质点沿坐标轴运动，其在时刻 $t$ 的位置为 $s (t) = \sqrt{3} t + 2 cos t$ ，其中 $0 \leq t \leq 2 π .$ 。质点何时静止？

其他三角函数的导数

其余四个三角函数都可以表示为正弦和余弦的商，因此可以利用商法则求出它们的导数公式。

例 3.42

正切函数的导数

求 $f (x) = tan x .$ 的导数。

解

先将 $tan x$ 写成 $sin x$ 与 $cos x :$ 的商：

f (x) = tan x = \frac{sin x}{cos x} .

现在应用商法则可得

f^{'} (x) = \frac{cos x cos x - (− sin x) sin x}{{(cos x)}^{2}} .

简化后，可得

f^{'} (x) = \frac{{cos}^{2} x + {sin}^{2} x}{{cos}^{2} x} .

由勾股恒等式 ${cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1,$ ，可得

f^{'} (x) = \frac{1}{{cos}^{2} x} .

最后，使用恒等式 $sec x = \frac{1}{cos x}$ 可得

f^{'} (x) = {sec}^{2} x .

检验点 3.28

求 $f (x) = cot x .$ 的导数。

用类似的方法可以求出其余三角函数的导数，结果汇总在下面的定理中。

定理 3.9

$tan x, cot x, sec x,$ 和 $csc x$ 的导数

其余三角函数的导数如下：

\frac{d}{d x} (tan x) = {sec}^{2} x

(3.13)

\frac{d}{d x} (cot x) = − {csc}^{2} x

(3.14)

\frac{d}{d x} (sec x) = sec x tan x

(3.15)

\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x.

(3.16)

例 3.43

求切线方程

求函数 $f (x) = cot x$ 在 $x = \frac{π}{4} .$ 处的切线方程。

解

求切线方程需要知道切点的坐标和斜率。先求切点坐标，计算

f (\frac{π}{4}) = cot \frac{π}{4} = 1 .

因此，切线经过点 $(\frac{π}{4}, 1) .$ 。接下来，通过求 $f (x) = cot x$ 的导数并在 $\frac{π}{4} :$ 处求值来求斜率。

f^{'} (x) = − {csc}^{2} x 且 f^{'} (\frac{π}{4}) = − {csc}^{2} (\frac{π}{4}) = −2 .

使用直线的点斜式方程，可得

y - 1 = −2 (x - \frac{π}{4})

或等价地，

y = −2 x + 1 + \frac{π}{2} .

例 3.44

求三角函数的导数

求 $f (x) = csc x + x tan x .$ 的导数。

解

求此导数需要同时用到和法则与乘法法则。先用和法则，可得

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (csc x) + \frac{d}{d x} (x tan x) .

在第一项中， $\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x,$ ，通过对第二项应用乘法法则，可得

\frac{d}{d x} (x tan x) = (1) (tan x) + ({sec}^{2} x) (x) .

因此可得

f^{'} (x) = − csc x cot x + tan x + x {sec}^{2} x .

检验点 3.29

求 $f (x) = 2 tan x - 3 cot x .$ 的导数。

检验点 3.30

求函数 $f (x) = tan x$ 在 $x = \frac{π}{6} .$ 处的切线斜率。

高阶导数

$sin x$ 和 $cos x$ 的高阶导数具有循环规律。利用这一规律，可以求出 $sin x$ 和 $cos x .$ 的任何高阶导数。

例 3.45

求 $y = sin x$ 的高阶导数

求 $y = sin x .$ 的前四阶导数。

解

逐阶求导，过程如下：

\begin{matrix} y & = & sin x \\ \frac{d y}{d x} & = & cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = & − sin x \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & = & − cos x \\ \frac{d^{4} y}{d x^{4}} & = & sin x . \end{matrix}

分析

一旦发现导数的循环规律，只需确定阶数在循环中的位置，即可求出任意高阶导数。例如，sin x 每求四次导数就回到 sin x，因此

\begin{array}{l} \frac{d^{4}}{d x^{4}} (sin x) = \frac{d^{8}}{d x^{8}} (sin x) = \frac{d^{12}}{d x^{12}} (sin x) = … = \frac{d^{4 n}}{d x^{4 n}} (sin x) = sin x \\ \frac{d^{5}}{d x^{5}} (sin x) = \frac{d^{9}}{d x^{9}} (sin x) = \frac{d^{13}}{d x^{13}} (sin x) = … = \frac{d^{4 n + 1}}{d x^{4 n + 1}} (sin x) = cos x . \end{array}

检验点 3.31

对于 $y = cos x,$ ，求 $\frac{d^{4} y}{d x^{4}} .$ 。

例 3.46

使用 $y = sin x$ 的高阶导数模式

求 $\frac{d^{74}}{d x^{74}} (sin x) .$ 。

解

由于 $74 = 4 (18) + 2,$ 可知 $sin x$ 的第 74 阶导数对应循环中的第 2 步，因此

\frac{d^{74}}{d x^{74}} (sin x) = \frac{d^{72 + 2}}{d x^{72 + 2}} (sin x) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} (sin x) = − sin x .

检验点 3.32

对于 $y = sin x,$ ，求 $\frac{d^{59}}{d x^{59}} (sin x) .$ 。

例 3.47

加速度的应用

一个质点沿坐标轴运动，其在时刻 $t$ 的位置为 $s (t) = 2 - sin t .$ 。求 $v (π / 4)$ 和 $a (π / 4) .$ 。比较这些值并判断质点是在加速还是减速。

解

先求 $v (t) = s^{'} (t) :$ 。

v (t) = s^{'} (t) = − cos t .

因此，

v (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} .

接下来，求 $a (t) = v^{'} (t) .$ 。因此， $a (t) = v^{'} (t) = sin t$ ，可得

a (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .

由于 $v (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ 和 $a (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0,$ ，可知速度和加速度方向相反，即加速度的方向与运动方向相反，因此质点正在减速。

检验点 3.33

一个连接在弹簧上的滑块沿竖直方向运动。其在时刻 $t$ 的位置为 $s (t) = 2 sin t .$ 。求 $v (\frac{5 π}{6})$ 和 $a (\frac{5 π}{6}) .$ 。比较这些值并判断滑块是在加速还是减速。

第 3.5 节练习

在以下练习中，求给定函数的 $\frac{d y}{d x}$ 。

175.

$y = x^{2} - sec x + 1$

176.

$y = 3 csc x + \frac{5}{x}$

177.

$y = x^{2} cot x$

178.

$y = x - x^{3} sin x$

179.

$y = \frac{sec x}{x}$

180.

$y = sin x tan x$

181.

$y = (x + cos x) (1 - sin x)$

182.

$y = \frac{tan x}{1 - sec x}$

183.

$y = \frac{1 - cot x}{1 + cot x}$

184.

$y = cos x (1 + csc x)$

在以下练习中，求给定函数在指定 $x .$ 值处的切线方程，然后用计算器同时绘制函数和切线的图形，验证切线方程是否正确。

185.

[T] $f (x) = − sin x, x = 0$

186.

[T] $f (x) = csc x, x = \frac{π}{2}$

187.

[T] $f (x) = 1 + cos x, x = \frac{3 π}{2}$

188.

[T] $f (x) = sec x, x = \frac{π}{4}$

189.

[T] $f (x) = x^{2} - tan x, x = 0$

190.

[T] $f (x) = 5 cot x, x = \frac{π}{4}$

在以下练习中，求给定函数的 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。

191.

$y = x sin x - cos x$

192.

$y = sin x cos x$

193.

$y = x - \frac{1}{2} sin x$

194.

$y = \frac{1}{x} + tan x$

195.

$y = 2 csc x$

196.

$y = {sec}^{2} x$

197.

求函数 $f (x) = −3 sin x cos x$ 图形上所有使切线水平的 $x$ 值。

198.

求函数 $f (x) = x - 2 cos x$ 在 $0 < x < 2 π$ 范围内所有使切线斜率为 2 的 $x$ 值。

199.

设 $f (x) = cot x .$ 。求函数 $f$ 在 $0 < x < 2 π$ 范围内，切线与直线 $y = −2 x .$ 平行的点。

200.

[T] 一个弹簧上的物块做简谐运动，其位移函数为 $s (t) = −6 cos t$ ，其中 $s$ 以英寸为单位， $t$ 以秒为单位。求弹簧在 $t = 5$ 秒时的振动速率。

201.

设一个单摆做简谐运动，其位置为 $s (t) = a cos t + b sin t$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是常数， $t$ 的单位为秒， $s$ 的单位为厘米。如果当 $t = 0$ 时位置为 0 厘米，速度为 3 厘米/秒，求 $a$ 和 $b$ 的值。

202.

跳水运动员离开跳板后，跳板边缘的位置为 $s (t) = −5 cos t$ （厘米），其中 $t$ 是起跳后的时间（秒）。

绘制位置函数 $t \geq 0 .$ 的一个周期。
求速度函数。
绘制速度函数 $t \geq 0 .$ 的一个周期。
确定在一个周期内速度为 0 的时间。
求加速度函数。
绘制加速度函数 $t \geq 0 .$ 的一个周期。

203.

加利福尼亚州帕萨迪纳市一家快餐店的汉堡销量为 $y = 10 + 5 sin x$ ，其中 $y$ 为售出的汉堡数量， $x$ 为餐厅上午 11 点营业起经过的小时数（营业至晚上 11 点）。求 $y'$ ，并确定汉堡销量递增的区间。

204.

[T] 亚利桑那州凤凰城的月降雨量可近似为 $y (t) = 0.5 + 0.3 cos t,$ 其中 $t$ 为从一月起算的月数。求 $y^{'}$ ，并用计算器确定降雨量递减的区间。

在以下练习中，利用商法则推导给定公式。

205.

$\frac{d}{d x} (cot x) = − {csc}^{2} x$

206.

$\frac{d}{d x} (sec x) = sec x tan x$

207.

$\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x$

208.

使用导数的定义和恒等式

$cos (x + h) = cos x cos h - sin x sin h$ 来证明 $\frac{d (cos x)}{d x} = − sin x .$ 。

在以下练习中，求给定函数的指定高阶导数。

209.

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ ， $y = 3 cos x$

210.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ， $y = 3 sin x + x^{2} cos x$

211.

$\frac{d^{4} y}{d x^{4}}$ ， $y = 5 cos x$

212.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ， $y = sec x + cot x$

213.

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ ， $y = x^{10} - sec x$

3.5 三角函数的导数

学习目标

正弦函数和余弦函数的导数

定理 3.8

sin x 和 cos x 的导数

证明

例 3.39

对包含 sin x 的函数求导

解

检验点 3.25

例 3.40

求包含 cos x 的函数的导数

解

检验点 3.26

例 3.41

速度的应用

解

检验点 3.27

其他三角函数的导数

例 3.42

正切函数的导数

解

检验点 3.28

定理 3.9

tanx,cotx,secx,tanx,cotx,secx, 和 cscxcscx 的导数

例 3.43

求切线方程

解

例 3.44

求三角函数的导数

解

检验点 3.29

检验点 3.30

高阶导数

例 3.45

求 y=sinxy=sinx 的高阶导数

解

分析

检验点 3.31

例 3.46

使用 y=sinxy=sinx 的高阶导数模式

解

检验点 3.32

例 3.47

加速度的应用

解

检验点 3.33

第 3.5 节练习

$tan x, cot x, sec x,$ 和 $csc x$ 的导数

求 $y = sin x$ 的高阶导数

使用 $y = sin x$ 的高阶导数模式