近似面积

5.1 近似面积

学习目标

5.1.1 使用求和（sigma）记号计算整数的和与幂。
5.1.2 使用矩形面积之和近似曲线下的面积。
5.1.3 使用黎曼和近似面积。

阿基米德对计算各种形状的面积——即形状所围成的空间大小——着迷。他使用了一种后来被称为穷竭法的方法：用面积可以精确计算的越来越小的形状填充不规则区域，从而逐步逼近总面积。在此过程中，曲线围成的区域被矩形、三角形等面积公式已知的形状所填充，再将这些面积相加，即可近似曲线区域的面积。

在本节中，我们将介绍如何近似计算由函数 $f (x),$ 所定义的曲线与闭区间 $[a, b] .$ 上的 x 轴之间面积的方法。像阿基米德一样，我们首先使用面积已知的形状（即矩形）来近似曲线下的面积。矩形越来越小，近似也越来越精确。取极限后，就能得到曲线下的精确面积。

我们首先引入一些记号来简化计算。然后考虑当 $f (x)$ 连续且非负的情形。本章后面将放宽其中一些限制，建立适用于更一般情形的方法。

求和（Sigma）记号

如前所述，我们将用面积已知的形状来近似曲线围成的不规则区域的面积。这个过程通常需要将一长串数相加。为了更方便地表达这些冗长的和式，我们这里介绍一种新记号，称为求和符号（也称为Sigma 记号）。希腊大写字母 $Σ,$ sigma，用于以紧凑形式表示很长的和式。例如，如果不使用求和符号而要将1到20的所有整数相加，就必须写成

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 .

我们也许可以省略中间几项，写成

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 19 + 20,

这更简洁一些，但仍然不够方便。使用求和符号，这个和可以写成

\sum_{i = 1}^{20} i,

这就紧凑多了。

一般地，求和符号的形式如下：

\sum_{i = 1}^{n} a_{i}

其中 $a_{i}$ 描述要相加的各项，i 称为指标。逐一计算每一项的值，再从 $i = 1$ 开始求和，到 $i = n .$ 结束。例如， $\sum_{i = 2}^{7} s_{i}$ 表示 $s_{2} + s_{3} + s_{4} + s_{5} + s_{6} + s_{7} .$ 。注意，指标仅用于跟踪所加各项，不影响求和结果本身。因此指标又称为哑变量。指标可以用任意字母表示，常用的有 i、j、k、m 和 n 等。

下面通过几个例子练习求和符号的用法。

例 5.1

使用求和符号

用求和符号表示并计算项 $3^{i}$ 在 $i = 1, 2, 3, 4, 5 .$ 时的和。
用求和符号表示以下和：

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} .$

解

写成

$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{5} 3^{i} & = 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} \\ = 363. \end{matrix}$
每个项的分母都是一个完全平方数。使用求和符号，这个和可以写成 $\sum_{i = 1}^{5} \frac{1}{i^{2}} .$ 。

检验点 5.1

用求和符号表示并计算项 2ⁱ 在 $i = 3, 4, 5, 6 .$ 时的和。

求和过程具有以下性质。

法则：求和符号的性质

设 $a_{1}, a_{2},…, a_{n}$ 和 $b_{1}, b_{2},…, b_{n}$ 表示两个项序列，并设 c 为常数。以下性质对所有正整数 n 和整数 m 成立，其中 $1 \leq m \leq n .$ 。

$\sum_{i = 1}^{n} c = n c$
(5.1)
$\sum_{i = 1}^{n} c a_{i} = c \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$
(5.2)
$\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$
(5.3)
$\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - b_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$
(5.4)
$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i} + \sum_{i = m + 1}^{n} a_{i}$
(5.5)

证明

这里证明性质 2 和性质 3，其他性质的证明留作练习。

2. 可得

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} c a_{i} & = c a_{1} + c a_{2} + c a_{3} + ⋯ + c a_{n} \\ = c (a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n}) \\ = c \sum_{i = 1}^{n} a_{i} . \end{matrix}

3. 可得

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) & = (a_{1} + b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) + (a_{3} + b_{3}) + ⋯ + (a_{n} + b_{n}) \\ = (a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n}) + (b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{n}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} . \end{matrix}

□

一些常用的求和公式可以进一步简化求和过程。以下法则给出了整数的和与幂的公式，我们将在接下来的例题中使用它们。

法则：整数的和与幂

n 个整数的和由下式给出：

$\sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + ⋯ + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$
连续整数的平方和由下式给出：

$\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + ⋯ + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$
连续整数的立方和由下式给出：

$\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = 1^{3} + 2^{3} + ⋯ + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} .$

例 5.2

使用求和符号进行求值

用求和符号表示并求值：

项 ${(i - 3)}^{2}$ 在 $i = 1, 2,…, 200 .$ 时的和。
项 $(i^{3} - i^{2})$ 在 $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 .$ 时的和。

解

将 ${(i - 3)}^{2},$ 展开，我们可以将表达式分解为三项。

$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{200} {(i - 3)}^{2} & = \sum_{i = 1}^{200} (i^{2} - 6 i + 9) \\ = \sum_{i = 1}^{200} i^{2} - \sum_{i = 1}^{200} 6 i + \sum_{i = 1}^{200} 9 \\ = \sum_{i = 1}^{200} i^{2} - 6 \sum_{i = 1}^{200} i + \sum_{i = 1}^{200} 9 \\ = \frac{200 (200 + 1) (400 + 1)}{6} - 6 [\frac{200 (200 + 1)}{2}] + 9 (200) \\ = 2,686,700 - 120,600 + 1800 \\ = 2,567,900 \end{matrix}$
使用求和符号性质 iv. 以及平方项和立方项求和的法则。

$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{6} (i^{3} - i^{2}) & = \sum_{i = 1}^{6} i^{3} - \sum_{i = 1}^{6} i^{2} \\ = \frac{6^{2} {(6 + 1)}^{2}}{4} - \frac{6 (6 + 1) (2 (6) + 1)}{6} \\ = \frac{1764}{4} - \frac{546}{6} \\ = 350 \end{matrix}$

检验点 5.2

求 $4 + 3 i$ 在 $i = 1, 2,…, 100 .$ 时的值之和。

例 5.3

求函数值的和

求函数 $f (x) = x^{3}$ 在整数 $1, 2, 3,…, 10 .$ 上的值之和。

解

使用公式，可得

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{10} i^{3} & = \frac{{(10)}^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4} \\ = \frac{100 (121)}{4} \\ = 3025. \end{matrix}

检验点 5.3

计算由记号 $\sum_{k = 1}^{20} (2 k + 1) .$ 表示的和。

有了必要的记号，我们回到当前的问题：近似计算曲线下的面积。设 $f (x)$ 是定义在闭区间 $[a, b] .$ 上的一个连续非负函数。我们希望近似计算由上方曲线 $f (x)$ 、下方 x 轴、左侧直线 $x = a$ 和右侧直线 $x = b$ 所围成的面积 A（图 5.2）。

第一象限中的图，显示由曲线 f(x) 上方、x 轴下方、左侧直线 x = a 和右侧直线 x = b 围成的区域。大约在中间位置，凹凸性从上凸变为上凹，且函数在直线 x = b 附近开始递增。

图 5.2 由上方曲线

f (x)

、下方 x 轴、左侧直线

x = a

和右侧直线

x = b

所围成的面积（阴影区域）。

如何近似计算这条曲线下的面积？方法是几何的：将区域分成许多面积公式已知的小形状，再将这些面积相加，即可得到真实面积的合理估计。我们首先将区间 $[a, b]$ 分成 n 个等宽的子区间，宽度为 $\frac{b - a}{n} .$ 。选取等距点 $x_{0}, x_{1}, x_{2},…, x_{n}$ ，其中 $x_{0} = a, x_{n} = b,$ ，并且

x_{i} - x_{i - 1} = \frac{b - a}{n}

对于 $i = 1, 2, 3,…, n .$ 。

我们用记号 Δx 表示每个子区间的宽度，因此 $Δ x = \frac{b - a}{n}$ ，并且

x_{i} = x_{0} + i Δ x

对于 $i = 1, 2, 3,…, n .$ 。这种在区间内选取点将区间 $[a, b]$ 分成子区间的做法在近似计算曲线下面积时经常用到，下面定义一些相关术语。

定义

一组点 $P = {x_{i}}$ （对于 $i = 0, 1, 2,…, n$ ），其中 $a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} = b,$ ，将区间 $[a, b]$ 分成 $[x_{0}, x_{1}], [x_{1}, x_{2}],…, [x_{n - 1}, x_{n}]$ 形式的子区间，这组点称为区间 $[a, b] .$ 的一个分割。如果所有子区间都具有相同的宽度，则这组点构成区间 $[a, b] .$ 的一个等分分割。

我们可以将等分分割作为估计曲线下面积的基础。接下来介绍两种方法：左端点近似和右端点近似。

法则：左端点近似

在每个子区间 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ （对于 $i = 1, 2, 3,…, n),$ ）上，构造一个宽度为 Δx、高度等于 $f (x_{i - 1}),$ 的矩形，其中 $f (x_{i - 1}),$ 是子区间左端点的函数值。那么这个矩形的面积是 $f (x_{i - 1}) Δ x .$ 。将所有这些矩形的面积相加，可得 A 的近似值（图 5.3）。我们使用记号 L_n 来表示这是使用 n 个子区间对 A 的左端点近似。

\begin{matrix} A \approx L_{n} & = f (x_{0}) Δ x + f (x_{1}) Δ x + ⋯ + f (x_{n - 1}) Δ x \\ = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x \end{matrix}

(5.6)

曲线下面积的左端点近似图。在顶点位于 y 轴上方的抛物线下方，于原点处的 a=x0 到 b=xn 之间绘制矩形。矩形端点为 a=x0, x1, x2…x(n-1) 和 b=xn，等间距排列。每个矩形的高度由函数在左端点处的值决定。

图 5.3 在曲线下面积的左端点近似中，每个矩形的高度由每个子区间左侧的函数值决定。

第二种近似方法是右端点近似。它与左端点近似几乎相同，但矩形的高度改由每个子区间右端点处的函数值决定。

法则：右端点近似

在每个子区间 $[x_{i - 1}, x_{i}],$ 上构造一个矩形，但这次矩形的高度由子区间右端点的函数值 $f (x_{i})$ 决定。那么，每个矩形的面积是 $f (x_{i}) Δ x$ ，并且 A 的近似值由下式给出：

\begin{matrix} A \approx R_{n} & = f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + ⋯ + f (x_{n}) Δ x \\ = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x . \end{matrix}

(5.7)

记号 $R_{n}$ 表示这是对 A 的右端点近似（图 5.4）。

曲线下面积的右端点近似图。在顶点位于 y 轴上方的抛物线下方，于原点处的 a=x0 到 b=xn 之间绘制矩形。矩形端点为 a=x0, x1, x2…x(n-1) 和 b=xn，等间距排列。每个矩形的高度由函数在右端点处的值决定。

图 5.4 在曲线下面积的右端点近似中，每个矩形的高度由每个子区间右侧的函数值决定。注意，右端点近似与图 5.3中的左端点近似不同。

图 5.5中的图形表示曲线 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} .$ 。在图 (a) 中，我们将区间 $[0, 3]$ 所表示的区域分成六个子区间，每个子区间的宽度为 0.5。因此， $Δ x = 0.5 .$ 。然后，通过在 $x_{i - 1},$ 的左端点作垂线，形成六个矩形。再计算 $f (x_{i - 1})$ 来确定每个矩形的高度，其中 $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 .$ 。这些区间是 $[0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2], [2, 2.5], [2.5, 3] .$ 。将高度乘以宽度即可得到每个矩形的面积。随后，矩形面积的总和近似于 $f (x)$ 与 x 轴之间的面积。当使用左端点计算高度时，可得到一个左端点近似。因此，

\begin{matrix} A \approx L_{6} & = \sum_{i = 1}^{6} f (x_{i - 1}) Δ x = f (x_{0}) Δ x + f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + f (x_{3}) Δ x + f (x_{4}) Δ x + f (x_{5}) Δ x \\ = f (0) 0.5 + f (0.5) 0.5 + f (1) 0.5 + f (1.5) 0.5 + f (2) 0.5 + f (2.5) 0.5 \\ = (0) 0.5 + (0.125) 0.5 + (0.5) 0.5 + (1.125) 0.5 + (2) 0.5 + (3.125) 0.5 \\ = 0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1 + 1.5625 \\ = 3.4375. \end{matrix}

左端点法与右端点法对比图。左图中，矩形以等间距（delta x）绘于曲线下方，高度取函数在左端点处的值；右图中高度取函数在右端点处的值。两图的端点从原点到 (3, 0) 等距分布，标记为 x0 到 x6。

图 5.5 使用 (a) 左端点和 (b) 右端点近似计算曲线下面积的方法。

在图 5.5(b) 中，我们绘制垂直于 $x_{i}$ 的垂线，使得 $x_{i}$ 是每个子区间的右端点，并计算 $f (x_{i})$ ，其中 $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 .$ 。我们将每个 $f (x_{i})$ 乘以 Δx 以找到矩形面积，然后将它们相加。这是曲线 $f (x) .$ 下面积的右端点近似。因此，

\begin{matrix} A \approx R_{6} & = \sum_{i = 1}^{6} f (x_{i}) Δ x = f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + f (x_{3}) Δ x + f (x_{4}) Δ x + f (x_{5}) Δ x + f (x_{6}) Δ x \\ = f (0.5) 0.5 + f (1) 0.5 + f (1.5) 0.5 + f (2) 0.5 + f (2.5) 0.5 + f (3) 0.5 \\ = (0.125) 0.5 + (0.5) 0.5 + (1.125) 0.5 + (2) 0.5 + (3.125) 0.5 + (4.5) 0.5 \\ = 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1 + 1.5625 + 2.25 \\ = 5.6875. \end{matrix}

例 5.4

近似计算曲线下的面积

使用左端点近似和右端点近似来近似计算曲线 $f (x) = x^{2}$ 在区间 $[0, 2];$ 上的面积，使用 $n = 4 .$ 。

解

首先，将区间 $[0, 2]$ 分成 n 个等长的子区间。使用 $n = 4, Δ x = \frac{(2 - 0)}{4} = 0.5 .$ 。这是每个矩形的宽度。区间 $[0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]$ 如图 5.6所示。使用左端点近似，高度为 $f (0) = 0, f (0.5) = 0.25, f (1) = 1, f (1.5) = 2.25 .$ 。那么，

\begin{matrix} L_{4} & = f (x_{0}) Δ x + f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + f (x_{3}) Δ x \\ = 0 (0.5) + 0.25 (0.5) + 1 (0.5) + 2.25 (0.5) \\ = 1.75. \end{matrix}

曲线 f(x) = x^2 在 0 到 2 之间面积的左端点近似图，端点间隔 0.5 个单位。矩形的高度由函数在其左端点处的值决定。

图 5.6 该图显示了

f (x) = x^{2}

在 0 到 2 之间面积的左端点近似。

右端点近似如图 5.7所示。区间相同，为 $Δ x = 0.5,$ ，但现在使用右端点来计算矩形的高度。我们有

\begin{matrix} R_{4} & = f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + f (x_{3}) Δ x + f (x_{4}) Δ x \\ = 0.25 (0.5) + 1 (0.5) + 2.25 (0.5) + 4 (0.5) \\ = 3.75. \end{matrix}

曲线 f(x) = x^2 在 0 到 2 之间面积的右端点近似方法图，端点间隔 0.5 个单位。矩形的高度由函数在其右端点处的值决定。

图 5.7 该图显示了

f (x) = x^{2}

在 0 到 2 之间面积的右端点近似。

左端点近似为 1.75；右端点近似为 3.75。

检验点 5.4

绘制 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在区间 $[1, 2];$ 上的左端点近似和右端点近似，使用 $n = 4 .$ 。使用两种方法近似计算面积。

观察图 5.5和例 5.4中的图形可以看到，当区间数较少时，左端点近似和右端点近似都不是很精确。但可以预期，增加分割点数后，对 A 的估计会更好——矩形数量更多，宽度更窄，从而更贴合曲线。

下面用一个例子说明区间越小，近似越好。我们先用左端点近似，分别取 4 个、8 个和 32 个矩形，然后对同一曲线和区间用右端点近似做同样的比较。图 5.8显示了曲线 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + 4$ 在区间 $[0, 2]$ 下的区域面积，使用左端点近似，其中 $n = 4 .$ 。每个矩形的宽度是

Δ x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2} .

面积由矩形面积之和近似，即

\begin{matrix} L_{4} & = f (0) (0.5) + f (0.5) (0.5) + f (1) (0.5) + f (1.5) 0.5 \\ = 7.5. \end{matrix}

给定曲线从 a = x0 到 b=x4 面积的左端点近似图。矩形的高度由函数在左端点处的值决定。

图 5.8 使用左端点近似并将从 a 到 b 的区域分成四个等长区间，曲线下的面积近似等于矩形面积之和。

图 5.9显示了相同的曲线被分成八个子区间。将图 5.8的四个矩形与这里的八个矩形对比，可以看到当 $n = 8 .$ 时，曲线下方的空白区域明显更少。这些空白部分正是近似未能覆盖的面积。矩形的面积是

\begin{matrix} L_{8} & = f (0) (0.25) + f (0.25) (0.25) + f (0.5) (0.25) + f (0.75) (0.25) \\ + f (1) (0.25) + f (1.25) (0.25) + f (1.5) (0.25) + f (1.75) (0.25) \\ = 7.75. \end{matrix}

给定曲线从 a=x0 到 b=x8 面积的左端点近似图。矩形高度由函数在左端点处的值决定。

图 5.9 曲线下的区域被分成

n = 8

个等宽的矩形区域，用于左端点近似。

图 5.10中的图形显示了同一函数，曲线下方内接了 32 个矩形，几乎不再有空白区域。矩形所占的面积为

\begin{matrix} L_{32} & = f (0) (0.0625) + f (0.0625) (0.0625) + f (0.125) (0.0625) + ⋯ + f (1.9375) (0.0625) \\ = 7.9375. \end{matrix}

给定曲线从 a = x0 到 b = x32 面积的左端点近似图。矩形的高度由函数在左端点处的值决定。

图 5.10 这里，曲线下方内接了 32 个矩形，用于左端点近似。

我们可以对右端点近似方法执行类似的过程。使用四个矩形对同一曲线进行右端点近似（图 5.11），得到的面积为

\begin{matrix} R_{4} & = f (0.5) (0.5) + f (1) (0.5) + f (1.5) (0.5) + f (2) (0.5) \\ = 8.5. \end{matrix}

给定曲线从 x0 到 x4 面积的右端点近似图。矩形的高度由函数在右端点处的值决定。

图 5.11 现在我们将曲线下的区域分成四个等长子区间，用于右端点近似。

将区间 $[0, 2]$ 上的区域分成八个矩形，结果为 $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25 .$ 。该图如图 5.12所示。面积为

\begin{matrix} R_{8} & = f (0.25) (0.25) + f (0.5) (0.25) + f (0.75) (0.25) + f (1) (0.25) \\ + f (1.25) (0.25) + f (1.5) (0.25) + f (1.75) (0.25) + f (2) (0.25) \\ = 8.25. \end{matrix}

给定曲线从 a=x0 到 b=x8 面积的右端点近似图。矩形的高度由函数在右端点处的值决定。

图 5.12 这里我们使用右端点近似，将区域分成八个等长子区间。

最后，使用 $n = 32$ 的右端点近似接近实际面积（图 5.13）。面积近似为

\begin{matrix} R_{32} & = f (0.0625) (0.0625) + f (0.125) (0.0625) + f (0.1875) (0.0625) + ⋯ + f (2) (0.0625) \\ = 8.0625. \end{matrix}

给定曲线从 a=x0 到 b=x32 面积的右端点近似图。矩形的高度由函数在右端点处的值决定。

图 5.13 该区域被分成 32 个等长子区间，用于右端点近似。

从图示和计算可以确认，n 越大，矩形对曲线下方的面积的近似越好。而且随着 n 的增加，左端点近似和右端点近似都趋近于 8 平方单位。表 5.1 显示了左端点法和右端点法的数值比较。n 越大、近似越精确这一思想非常重要，下面将更深入地讨论。

n 的值	近似面积 L_n	近似面积 R_n
$n = 4$	7.5	8.5
$n = 8$	7.75	8.25
$n = 32$	7.94	8.06

表 5.1 n 增大时左端点近似与右端点近似的收敛情况

形成黎曼和

到目前为止，我们一直用矩形来近似曲线下方的面积。矩形的高度是在子区间 $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ 的右端点或左端点处取函数值来确定的。实际上，函数值的取值点不必局限于这两个端点。我们可以在子区间 $[x_{i - 1}, x_{i}],$ 中的任意点 $x_{i}^{*}$ 处计算函数值，并使用 $f (x_{i}^{*})$ 作为矩形的高度。这为我们提供了以下形式的面积估计值：

A \approx \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x .

这种形式的和称为黎曼和，以19世纪数学家伯恩哈德·黎曼命名。

定义

设 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有定义，并设 P 是 $[a, b] .$ 的一个等分分割。令 Δx 为每个子区间 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 的宽度，对于每个 i，令 $x_{i}^{*}$ 为 $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ 中的任意一点。对于 $f (x)$ ，黎曼和定义为

\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x .

前面已经看到，当 n 越来越大时，左端点和右端点近似的估计值越来越好。黎曼和也是如此：n 越大，近似越精确。现在可以用黎曼和来定义曲线下方的面积。

定义

设 $f (x)$ 是在区间 $[a, b],$ 上的一个连续非负函数，并设 $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$ 是 $f (x) .$ 的一个黎曼和。那么，曲线 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的曲线下方的面积由下式给出：

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x .

媒体

参见黎曼和构造的图形演示。

这里有几个细节值得讨论。首先，对和取极限与对函数 $f (x)$ 在 x 趋于无穷时取极限有所不同。和的极限将在数列和级数一章中详细讨论；目前我们只需知道，计算函数极限的方法同样适用于计算和的极限。

其次，需要考虑如果表达式对于 ${x_{i}^{*}} .$ 的不同选择而收敛到不同的极限怎么办。幸运的是这不会发生。虽然证明超出了本书的范围，但可以证明，如果 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b],$ 上是连续的，那么 $lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$ 存在且唯一（换句话说，它不依赖于 ${x_{i}^{*}}).$ 的选择）。

我们很快会看例子。但在此之前，先来讨论 ${x_{i}^{*}} .$ 的一些具体选择。尽管 ${x_{i}^{*}}$ 的任何选择都能给出曲线下方面积的估计值，但我们不一定知道这个估计值偏高（高估）还是偏低（低估）。若需要判断估计值的偏差方向，可以选择 ${x_{i}^{*}}$ 使之保证某一方向的偏差。

例如，如果我们想要一个高估值，我们可以选择 ${x_{i}^{*}}$ ，使得对于所有 $x \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ ，都有 $i = 1, 2, 3,…, n, f (x_{i}^{*}) \geq f (x)$ 。换句话说，我们选择 ${x_{i}^{*}}$ ，使得 $i = 1, 2, 3,…, n, f (x_{i}^{*})$ 是区间 $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ 上的最大函数值。如果以这种方式选择 ${x_{i}^{*}}$ ，那么黎曼和 $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$ 称为上和。类似地，如果我们想要一个低估值，我们可以选择 ${x_{i}^{*}}$ ，使得 $i = 1, 2, 3,…, n, f (x_{i}^{*})$ 是区间 $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ 上的最小函数值。在这种情况下，相关的黎曼和称为下和。注意，如果 $f (x)$ 在整个区间 $[a, b],$ 上是递增或递减的，那么函数的最大值和最小值出现在子区间的端点处，上和与下和就分别等于左端点近似和右端点近似。

例 5.5

求下和与上和

求函数 $f (x) = 10 - x^{2}$ 在 $[1, 2];$ 上的下和，设 $n = 4$ 个子区间。

解

对于区间 $[1, 2], Δ x = \frac{1}{4} .$ 上的 $n = 4$ ，我们可以将区间列为 $[1, 1.25], [1.25, 1.5], [1.5, 1.75], [1.75, 2] .$ 。由于函数在区间 $[1, 2],$ 上是递减的，图 5.14 显示使用右端点可得到下和。

函数 f(x) = 10 − x^2 在 0 到 2 上的图形。它被设置为在 [1, 2] 上曲线和 x 轴所围区域的右端点近似，标记为 a=x0 到 x4。它显示了一个下和。

图 5.14 函数

f (x) = 10 - x^{2}

的图形被设置为在

[1, 2],

上曲线和 x 轴所围区域的右端点近似，它显示了一个下和。

黎曼和为

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{4} (10 - {x_{k}}^{2}) (0.25) & = 0.25 [10 - {(1.25)}^{2} + 10 - {(1.5)}^{2} + 10 - {(1.75)}^{2} + 10 - {(2)}^{2}] \\ = 0.25 [8.4375 + 7.75 + 6.9375 + 6] \\ = 7.28. \end{matrix}

面积 7.28 是一个下和，也是一个低估值。

检验点 5.5

求函数 $f (x) = 10 - x^{2}$ 在 $[1, 2];$ 上的上和，设 $n = 4 .$ 。
画出近似图。

例 5.6

求 $f (x) = sin x$ 的下和与上和

求函数 $f (x) = sin x$ 在区间 $[a, b] = [0, \frac{π}{2}];$ 上的下和，设 $n = 6 .$ 。

解

先看图 5.15，了解所求区域的形状。

函数 y = sin(x) 从 0 到 pi 的图形。它被设置为从 0 到 pi/2 的左端点近似，n=6。它是一个下和。

图 5.15 函数

y = sin x

的图形被分成六个区域：

Δ x = \frac{π / 2}{6} = \frac{π}{12} .

区间是 $[0, \frac{π}{12}], [\frac{π}{12}, \frac{π}{6}], [\frac{π}{6}, \frac{π}{4}], [\frac{π}{4}, \frac{π}{3}], [\frac{π}{3}, \frac{5 π}{12}],$ 和 $[\frac{5 π}{12}, \frac{π}{2}] .$ 。注意， $f (x) = sin x$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}],$ 上是递增的，因此左端点近似给我们提供了下和。左端点近似是黎曼和 $\sum_{i = 0}^{5} sin x_{i} (\frac{π}{12}) .$ 。我们有

\begin{matrix} A & \approx sin (0) (\frac{π}{12}) + sin (\frac{π}{12}) (\frac{π}{12}) + sin (\frac{π}{6}) (\frac{π}{12}) + sin (\frac{π}{4}) (\frac{π}{12}) + sin (\frac{π}{3}) (\frac{π}{12}) + sin (\frac{5 π}{12}) (\frac{π}{12}) \\ = 0.863. \end{matrix}

检验点 5.6

对于区间 $[0, \frac{π}{2}],$ 上的函数 $f (x) = sin x$ ，求一个上和；设 $n = 6 .$ 。

第5.1节练习

判断下列各组和是否相等。

$\sum_{i = 1}^{10} i$ 和 $\sum_{k = 1}^{10} k$
$\sum_{i = 1}^{10} i$ 和 $\sum_{i = 6}^{15} (i - 5)$
$\sum_{i = 1}^{10} i (i - 1)$ 和 $\sum_{j = 0}^{9} (j + 1) j$
$\sum_{i = 1}^{10} i (i - 1)$ 和 $\sum_{k = 1}^{10} (k^{2} - k)$

在以下练习中，利用整数的和与幂的公式计算各和。

$\sum_{i = 5}^{10} i$

$\sum_{i = 5}^{10} i^{2}$

假设 $\sum_{i = 1}^{100} a_{i} = 15$ 和 $\sum_{i = 1}^{100} b_{i} = −12 .$ 。在以下练习中，计算这些和。

$\sum_{i = 1}^{100} (a_{i} + b_{i})$

$\sum_{i = 1}^{100} (a_{i} - b_{i})$

$\sum_{i = 1}^{100} (3 a_{i} - 4 b_{i})$

$\sum_{i = 1}^{100} (5 a_{i} + 4 b_{i})$

在以下练习中，使用求和性质和公式重写并计算这些和。

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

$\sum_{j = 1}^{50} (j^{2} - 2 j)$

10.

$\sum_{j = 11}^{20} (j^{2} - 10 j)$

11.

$\sum_{k = 1}^{25} [{(2 k)}^{2} - 100 k]$

设 $L_{n}$ 表示使用 n 个子区间的左端点和，设 $R_{n}$ 表示相应的右端点和。在以下练习中，计算给定函数在指定区间上的左端点和与右端点和。

12.

L₄ 对于 $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ 在 $[2, 3]$

13.

R₄ 对于 $g (x) = cos (π x)$ 在 $[0, 1]$

14.

L₆ 对于 $f (x) = \frac{1}{x (x - 1)}$ 在 $[2, 5]$

15.

R₆ 对于 $f (x) = \frac{1}{x (x - 1)}$ 在 $[2, 5]$

16.

R₄ 对于 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 在 $[−2, 2]$

17.

L₄ 对于 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 在 $[−2, 2]$

18.

R₈ 对于 $x^{2} - 2 x + 1$ 在 $[0, 2]$

19.

L₈ 对于 $x^{2} - 2 x + 1$ 在 $[0, 2]$

20.

计算函数 $f (x) = (2 - | x |)$ 在 $[−2, 2] .$ 上的左黎曼和 L₄ 和右黎曼和 R₄。计算它们的平均值，并将其与函数 f 的图形下方的面积进行比较。

21.

计算函数 $f (x) = (3 - | 3 - x |)$ 在 $[0, 6] .$ 上的左黎曼和 L₆ 和右黎曼和 R₆，计算它们的平均值，并将其与函数 f 的图形下方的面积进行比较。

22.

计算函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ 在 $[−2, 2]$ 上的左黎曼和 L₄ 和右黎曼和 R₄，并比较它们的值。

23.

计算函数 $f (x) = \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ 在 $[0, 6]$ 上的左黎曼和 L₆ 和右黎曼和 R₆，并比较它们的值。

用求和符号表示以下端点求和，但不需要计算其值。

24.

L₃₀ 对于 $f (x) = x^{2}$ 在 $[1, 2]$

25.

L₁₀ 对于 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ 在 $[−2, 2]$

26.

R₂₀ 对于 $f (x) = sin x$ 在 $[0, π]$

27.

R₁₀₀ 对于 $ln x$ 在 $[1, e]$

在以下练习中，绘制函数图形，然后使用计算器或计算机程序计算左端点求和与右端点求和。若两者一致，则回答”均非”。

28.

[T] L₁₀₀ 和 R₁₀₀ 对于 $y = x^{2} - x + 3$ 在区间 $[−1, 1]$

29.

[T] L₁₀₀ 和 R₁₀₀ 对于 $y = x^{2}$ 在区间 $[0, 1]$

30.

[T] L₅₀ 和 R₅₀ 对于 $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ 在区间 $[2, 4]$

31.

[T] L₁₀₀ 和 R₁₀₀ 对于 $y = x^{3} + 2$ 在区间 $[−1, 1]$

32.

[T] L₅₀ 和 R₅₀ 对于 $y = tan (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$

33.

[T] L₁₀₀ 和 R₁₀₀ 对于 $y = e^{2 x}$ 在区间 $[−1, 1]$

34.

设 t_j 表示 Tejay van Garteren 在2014年环法自行车赛中骑行第 j 赛段所花费的时间。如果总共有21个赛段，解释 $\sum_{j = 1}^{21} t_{j} .$ 的含义。

35.

设 $r_{j}$ 表示2009年波特兰在一年中第 j 天的总降雨量。解释 $\sum_{j = 1}^{31} r_{j} .$ 的含义。

36.

设 $d_{j}$ 表示日照时数， $δ_{j}$ 表示北达科他州法戈市一年中从第 $j - 1$ 天到第 j 天日照时数的增加量。解释 $d_{1} + \sum_{j = 2}^{365} δ_{j} .$ 的含义。

37.

为了保持身材，乔买了一双新的跑鞋。如果乔在第一周每天跑1英里，并且每周在他的日常跑步中增加 $\frac{1}{10}$ 英里，那么25周后乔的跑鞋总里程是多少？

38.

下表给出了自1960年以来，每十年大气中二氧化碳 (CO₂) 平均年增长率的近似值，单位为百万分之几 (ppm)。估算1964年至2013年间大气中CO₂的总增加量。

十年	ppm/年
1964–1973	1.07
1974–1983	1.34
1984–1993	1.40
1994–2003	1.87
2004–2013	2.07

表 5.2 1964-2013年大气CO₂平均年增长量来源: http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/.

39.

下表给出了从给定年份开始，20年内海平面近似增加的英寸数。估算1870年至2010年间平均海平面的净变化量。

起始年份	20年变化量
1870	0.3
1890	1.5
1910	0.2
1930	2.8
1950	0.7
1970	1.1
1990	1.5

表 5.3 1870-1990年20年海平面近似增加量来源: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10712-011-9119-1

40.

下表给出了自1950年以来，每十年汽油平均价格近似增加的美元数。如果2010年每加仑汽油的平均价格是2.60美元，那么1950年每加仑汽油的平均价格是多少？

起始年份	10年变化量
1950	0.03
1960	0.05
1970	0.86
1980	−0.03
1990	0.29
2000	1.12

表 5.4 1950-2000年10年汽油价格近似增加量来源: http://epb.lbl.gov/homepages/Rick_Diamond/docs/lbnl55011-trends.pdf.

41.

下表给出了从所示年份的7月开始的美国人口增长百分比。如果美国人口在2000年7月为281,421,906，请估计2010年7月的美国人口。

年份	年变化百分比
2000	1.12
2001	0.99
2002	0.93
2003	0.86
2004	0.93
2005	0.93
2006	0.97
2007	0.96
2008	0.95
2009	0.88

表 5.5 2000-2009年美国人口年增长百分比来源: http://www.census.gov/popest/data.

（提示: 要获得2001年7月的人口，请将2000年7月的人口乘以1.0112，得到284,573,831。）

在以下练习中，计算左黎曼和 L₈ 来估计曲线下的面积。

42.

一个函数图，从(0,1)到(3,4)以斜率1线性递增。它从(3,4)到(5,4)弯曲，在(4,5)处从递增变为递减。最后，它从(5,4)到(8,1)以斜率1线性递减。

43.

一条平滑曲线的图形，穿过点(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,2)、(4,3)、(5,4)、(6,5)、(7,4)和(8,3)。

44.

一条平滑曲线的图形，穿过点(0,0)、(1,1)、(2,2)、(3,1)、(4,3)、(5,2)、(6,4)、(7,5)和(8,7)。

45.

一条平滑曲线的图形，穿过点(0, 3)、(1, 5)、(2, 7)、(3, 6)、(4, 8)、(5, 6)、(6, 5)、(7, 4)和(8, 6)。

46.

[T] 使用计算机代数系统计算黎曼和 $L_{N},$ ，其中 $N = 10, 30, 50$ ，在 $[−1, 1] .$ 上 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ 。

47.

[T] 使用计算机代数系统计算黎曼和 L_N，其中 $N = 10, 30, 50$ ，在 $[−1, 1] .$ 上 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

48.

[T] 使用计算机代数系统计算黎曼和 L_N，其中 $N = 10, 30, 50$ ，在 $[0, 2 π] .$ 上 $f (x) = {sin}^{2} x$ 。将这些估计值与 π 进行比较。

在以下练习中，使用计算器或计算机程序计算当 $N = 1,10,100$ 时的端点求和 R_N 和 L_N。这些估计值与通过几何方法得到的精确答案相比如何？

49.

[T] $y = cos (π x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上。

50.

[T] $y = 3 x + 2$ 在区间 $[3, 5]$ 上。

在以下练习中，使用计算器或计算机程序计算当 $N = 1,10,100$ 时的端点求和 R_N 和 L_N。

51.

[T] $y = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ 在区间 $[−2, 2],$ 上，其精确面积为 $\frac{32}{15}$ 。

52.

[T] $y = ln x$ 在区间 $[1, 2],$ 上，其精确面积为 $2 ln (2) - 1$ 。

53.

解释为什么如果 $f (a) \geq 0$ 且 f 在 $[a, b],$ 上是递增的，则左端点估计值是函数 f 在 $[a, b] .$ 的图形下方区域的下界。

54.

解释为什么如果 $f (b) \geq 0$ 且 f 在 $[a, b],$ 上是递减的，则左端点估计值是函数 f 在 $[a, b] .$ 的图形下方区域的上界。

55.

证明，一般而言， $R_{N} - L_{N} = (b - a) \times \frac{f (b) - f (a)}{N} .$ 。

56.

解释为什么如果 f 在 $[a, b],$ 上是递增的，则 L_N 或 R_N 与函数 f 的图形下方区域 A 之间的误差至多为 $(b - a) \frac{f (b) - f (a)}{N} .$ 。

57.

对于以下三个图形中的每一个：

将完全包围曲线的方块面积相加，得到曲线所围区域的下界 $L (A)$ 。
将部分包围曲线的方块面积 $B (A)$ 加到 $L (A)$ 上，得到区域的上界 $U (A)$ 。

58.

在上一题的基础上，解释为什么将正方形细分为四个面积相等的小方块时， $L (A)$ 不会变小，而 $U (A)$ 不会变大。

59.

将一个单位圆分成 n 个楔形，每个楔形与图中所示的楔形相同。内部三角形底边长为 1，其高为 $sin (\frac{2 π}{n}) .$ 。外部三角形底边长为 $B = cos (\frac{π}{n}) + sin (\frac{π}{n}) tan (\frac{π}{n})$ ，高为 $H = B sin (\frac{2 π}{n}) .$ 。利用这些信息论证单位圆的面积等于 π。

以锐角 theta = 2pi/n 切割的圆形楔形图。线段 A 连接两条半径的端点构成三角形，线段 B 平行于 A，连接半径上距端点若干单位处。同心弧 C 连接 B 的两端并与 A 在中点附近相切。弧 C 与圆弧之间为粉色区域，楔形其余部分为紫色。