核心概念
2.1
微积分概述
- 微分学源于求曲线某点切线斜率的问题。切线斜率即函数的变化率，亦称导数。求导数需用极限。
- 积分学源于求函数图形与x轴之间区域面积的问题。将该区域划分为薄矩形并对其面积求和，即可近似总面积。此求和过程引出积分的概念。积分亦通过极限计算，且与导数密切相关。
- 多元微积分可用于解决三维空间中的问题，如描述空间运动及求立体体积。
2.2
函数的极限
- 可借助数值表或图形估计极限。
- 即使函数在某点的极限不存在，该点的左极限和右极限仍可能存在。
- 若函数的左极限与右极限存在且相等，则极限即为该公共值。
- 极限可用于描述函数在某点处的无穷行为。
2.3
极限法则
- 利用极限法则可直接计算函数的极限，无需每次逐步求解。
- 对于多项式和有理函数，
- 可通过因式分解并约分、乘以共轭表达式或化简繁分数等方法求极限。
- 若某函数始终夹在两个极限已知的函数之间，则可由夹逼定理求其极限。
2.4
连续性
- 函数在某点连续须满足三个条件：函数在该点有定义，该点处极限存在，且函数值等于极限值。
- 间断点可分为可去间断点、跳跃间断点或无穷间断点。
- 函数在开区间内每一点连续，则称其在该开区间上连续。若在闭区间内部每一点连续且在端点处亦连续，则称其在该闭区间上连续。
- 复合函数定理：若在L处连续，且，则。
- 介值定理：若函数在闭区间上连续，则必取到其端点函数值之间的所有值。
2.5
极限的精确定义
- 极限的直观概念可严格化为数学定义，即极限的ε-δ定义。
- ε-δ定义可用于证明有关极限的命题。
- 将ε-δ定义适当修改，即可定义单侧极限。