复习练习

判断正误。 请用证明或反例来论证你的答案。假设所有函数 $f$ 和 $g$ 在其定义域上都是连续的。

439.

如果对所有 $x,$ ，有 $f (x) > 0, f^{'} (x) > 0$ ，那么右端点法则会低估积分 $\int_{a}^{b} f (x) .$ 。请用图形来论证你的答案。

440.

$\int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \int_{a}^{b} f (x) d x$

441.

如果对所有 $x \in [a, b],$ ，有 $f (x) \leq g (x)$ ，那么 $\int_{a}^{b} f (x) \leq \int_{a}^{b} g (x) .$ 。

442.

所有连续的函数都有一个原函数。

计算下列函数在指定区间上的黎曼和 $L_{4} 和 R_{4}$ 。如果可能，将你的答案与精确解进行比较，或者使用计算器确定答案。

443.

$y = 3 x^{2} - 2 x + 1$ 在 $[−1, 1]$ 上

444.

$y = ln (x^{2} + 1)$ 在 $[0, e]$ 上

445.

$y = x^{2} sin x$ 在 $[0, π]$ 上

446.

$y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ 在 $[1, 4]$ 上

计算下列积分。

447.

$\int_{−1}^{1} (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x) d x$

448.

$\int_{0}^{4} \frac{3 t}{\sqrt{1 + 6 t^{2}}} d t$

449.

$\int_{π / 3}^{π / 2} 2 sec (2 θ) tan (2 θ) d θ$

450.

$\int_{0}^{π / 4} e^{{cos}^{2} x} sin x cos x d x$

求原函数。

451.

$\int \frac{d x}{{(x + 4)}^{3}}$

452.

$\int x ln (x^{2}) d x$

453.

$\int \frac{4 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{6}}} d x$

454.

$\int \frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} d x$

求导数。

455.

$\frac{d}{d t} \int_{0}^{t} \frac{sin x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

456.

$\frac{d}{d x} \int_{1}^{x^{3}} \sqrt{4 - t^{2}} d t$

457.

$\frac{d}{d x} \int_{1}^{ln (x)} (4 t + e^{t}) d t$

458.

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{cos x} e^{t^{2}} d t$

以下问题涉及每千兆字节计算机内存（RAM）的历史平均成本。

年份	5年变化量 ($)
1980	0
1985	−5,468,750
1990	−755,495
1995	−73,005
2000	−29,768
2005	−918
2010	−177

459.

如果2010年每千兆字节内存的平均成本为12美元，求1980年每千兆字节内存的平均成本。

460.

每千兆字节内存的平均成本可以用函数 $C (t) = 8, 500, 000 {(0.65)}^{t},$ 来近似，其中 $t$ 是自1980年以来的年数， $C$ 是以美元计的成本。求1980年至2010年每千兆字节内存的平均成本。

461.

求2005年至2010年1GB内存的平均成本。

462.

步枪子弹的速度可以用 $v (t) = 6400 t^{2} - 6505 t + 2686,$ 来近似，其中 $t$ 是射击后的秒数， $v$ 是以英尺/秒为单位的速度。此方程仅模拟射击后前半秒的速度： $0 \leq t \leq 0.5 .$ 。子弹在0.5秒内飞行的总距离是多少？

463.

子弹在前半秒的平均速度是多少？