线性近似与微分 - 微积分：第一卷

4.2 线性近似与微分

学习目标

4.2.1 描述函数在一点处的线性近似。
4.2.2 写出给定函数的线性化。
4.2.3 绘制图示，说明如何使用微分来近似量的变化。
4.2.4 计算使用微分近似时的相对误差和百分比误差。

前面我们已经了解到导数可以用来比较随时间变化的量。在本节中，我们将探讨导数的另一个应用：用线性函数对函数进行局部近似。线性函数是最容易处理的函数，因此它们为近似函数值提供了一个有用的工具。此外，本节中提出的思想将在本书后面研究用高次多项式近似函数时得到推广幂级数与函数简介。

函数在一点处的线性近似

设函数 $f$ 在点 $x = a$ 处可微。回忆一下， $f$ 在 $a$ 处的图形的切线方程为

y = f (a) + f' (a) (x - a) .

例如，考虑函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，取 $a = 2 .$ 。由于 $f$ 在 $x = 2$ 处可微，且 $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}},$ ，我们有 $f' (2) = - \frac{1}{4} .$ 。因此，函数 $f$ 在 $a = 2$ 处的图形的切线方程为

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (x - 2) .

图 4.7(a) 显示了 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的图形以及 $f$ 在 $x = 2 .$ 处的切线。注意，当 $x$ 接近 2 时，切线的图形与 $f .$ 的图形很接近。因此，当 $x$ 接近 2 时，我们可以用切线方程来近似 $f (x)$ 。例如，如果 $x = 2.1,$ ，则切线上对应点的 $y$ 值为

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (2.1 - 2) = 0.475 .

$f (2.1)$ 的实际值由下式给出

f (2.1) = \frac{1}{2.1} \approx 0.47619 .

因此，切线为我们提供了 $f (2.1)$ 的一个相当好的近似值（图 4.7(b)）。但需要注意，当 $x$ 远离 2 时，切线方程的近似效果就不好了。例如，如果 $x = 10,$ ，则切线上对应点的 $y$ 值为

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (10 - 2) = \frac{1}{2} - 2 = −1.5,

而函数在 $x = 10$ 处的值为 $f (10) = 0.1 .$ 。

此图包含两部分 a 和 b。图 a 显示了函数 f(x) = 1/x 及其在 x = 2 处的切线。图 b 放大显示了切点附近的区域，以展示切线在 x = 2 附近近似的良好程度。

图 4.7 (a)

f (x) = 1 / x

在

x = 2

处的切线为

f

在

x

接近 2 时提供了一个很好的近似值。(b) 在

x = 2.1,

处，

f (x) = 1 / x

的切线上

y

的值为 0.475。

f (2.1)

的实际值为

1 / 2.1,

，约为 0.47619。

一般地，对于可微函数 $f,$ ，当 $x$ 接近 $a$ 时，可以用 $f$ 在 $x = a$ 处的切线方程来近似 $f (x) .$ 。因此，我们可以写出

f (x) \approx f (a) + f' (a) (x - a) 当 x 接近 a 时 .

我们称线性函数

L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)

(4.1)

为 $f$ 在 $x = a .$ 处的线性近似，或切线近似。函数 $L$ 也被称为 $f$ 在 $x = a .$ 处的线性化。

为了说明线性近似的实用性，下面来求 $f (x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 9 .$ 处的线性近似。

例 4.5

$\sqrt{x}$ 的线性近似

求 $f (x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 9$ 处的线性近似，并用该近似值估计 $\sqrt{9.1} .$ 。

解

要求 $x = 9$ 处的线性近似，根据公式 4.1，我们知道线性近似由下式给出

L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9) .

我们需要找到 $f (9)$ 和 $f' (9) .$ 。

\begin{matrix} f (x) = \sqrt{x} & \Rightarrow & f (9) = \sqrt{9} = 3 \\ f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} & \Rightarrow & f' (9) = \frac{1}{2 \sqrt{9}} = \frac{1}{6} \end{matrix}

于是，线性近似由图 4.8 给出。

L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)

利用线性近似，可以估计 $\sqrt{9.1}$

\sqrt{9.1} = f (9.1) \approx L (9.1) = 3 + \frac{1}{6} (9.1 - 9) \approx 3.0167 .

函数 f(x) = x 的平方根及其在 (9, 3) 处的切线。切线在 x = 6 到 x = 12 之间似乎是一个非常好的近似。

图 4.8

f (x) = \sqrt{x}

在

x = 9

处的局部线性近似为

f

在

x

接近 9 时提供了一个近似值。

分析

用计算器可知 $\sqrt{9.1}$ 精确到四位小数为 3.0166。线性近似给出的值 3.0167 与之非常接近。因此，至少当 $x$ 接近 $9$ 时，线性近似是估计 $\sqrt{x}$ 的一个好方法。也许有人会问，既然按几个按钮就能算出 $\sqrt{9.1},$ 为什么还要用线性近似呢？其实，计算器本身就是在使用近似方法！事实上，计算器和计算机始终在用近似方法来计算数学表达式，只不过它们使用的是更高阶的近似。

检验点 4.5

求 $f (x) = \sqrt[3]{x}$ 在 $x = 8 .$ 处的局部线性近似。用它来近似 $\sqrt[3]{8.1}$ ，精确到五位小数。

例 4.6

$sin x$ 的线性近似

求 $f (x) = sin x$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 处的线性近似，并用它来近似 $sin (62 °) .$ 。

解

首先注意到 $\frac{π}{3}$ 弧度等于 $60 °,$ ，因此在 $x = π / 3$ 处使用线性近似是合理的。线性近似由下式给出

L (x) = f (\frac{π}{3}) + f' (\frac{π}{3}) (x - \frac{π}{3}) .

我们有

\begin{matrix} f (x) = sin x & \Rightarrow & f (\frac{π}{3}) = sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ f' (x) = cos x & \Rightarrow & f' (\frac{π}{3}) = cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \end{matrix}

所以， $f$ 在 $x = π / 3$ 处的线性近似由图 4.9 给出。

L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})

为了使用 $L,$ 估计 $sin (62 °)$ ，我们必须首先将 $62 °$ 转换为弧度。我们有 $62 ° = \frac{62 π}{180}$ 弧度，因此 $sin (62 °)$ 的估计值由下式给出

sin (62 °) = f (\frac{62 π}{180}) \approx L (\frac{62 π}{180}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (\frac{62 π}{180} - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{180}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{180} \approx 0.88348 .

函数 f(x) = sin x 及其在 (π/3, 根号3 / 2) 处的切线。切线在 x 接近 π / 3 时似乎是一个非常好的近似。

图 4.9

f (x) = sin x

在

x = π / 3

处的线性近似为

sin x

在

x

接近

π / 3 .

时提供了一个近似值。

检验点 4.6

求 $f (x) = cos x$ 在 $x = \frac{π}{2} .$ 处的线性近似。

线性近似可用于估计根和幂。在下一个例题中，我们将求 $f (x) = {(1 + x)}^{n}$ 在 $x = 0,$ 处的线性近似，该近似可用于估计接近 1 的实数的根和幂。同样的方法可推广到 $f (x) = {(m + x)}^{n}$ 形式的函数，以估计接近另一个数 $m .$ 的根和幂。

例 4.7

近似根和幂

求 $f (x) = {(1 + x)}^{n}$ 在 $x = 0 .$ 处的线性近似。用此近似值估计 ${(1.01)}^{3} .$ 。

解

$x = 0$ 处的线性近似由下式给出

L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0) .

因为

\begin{matrix} f (x) = {(1 + x)}^{n} & \Rightarrow & f (0) = 1 \\ f' (x) = n {(1 + x)}^{n - 1} & \Rightarrow & f' (0) = n, \end{matrix}

线性近似由图 4.10(a) 给出。

L (x) = 1 + n (x - 0) = 1 + n x

取 $n = 3,$ 计算 $L (0.01)$ 即可近似 ${(1.01)}^{3} .$ 。于是

{(1.01)}^{3} = f (1.01) \approx L (0.01) = 1 + 3 (0.01) = 1.03 .

此图包含两部分 a 和 b。图 a 显示了函数 f(x) = (1 + x)3 及其在 (0, 1) 处的切线。图 b 放大显示了切点附近的区域，以展示切线在 (0, 1) 附近近似的良好程度。

图 4.10 (a)

f (x)

在

x = 0

处的线性近似为

L (x) .

。(b)

{1.01}^{3}

的实际值为 1.030301。

f (x)

在

x = 0

处的线性近似估计

{1.01}^{3}

为 1.03。

检验点 4.7

不借助前面例题的结果，求 $f (x) = {(1 + x)}^{4}$ 在 $x = 0$ 处的线性近似。

微分

如前所述，线性近似既可以用来估计函数值，也可以用来估计输入量微小变化所引起的函数值变化量。为了更严格地讨论这个问题，下面引入一个相关概念：微分。微分为我们提供了一种估计函数值随输入量变化而变化的方法。

在初次研究导数时，我们使用了莱布尼茨记号 $d y / d x$ 来表示 $y$ 关于 $x .$ 的导数。虽然该记号中出现了 dy 和 dx，但它们本身此前并没有独立的含义。下面我们赋予 dy 和 dx 明确的定义。假设 $y = f (x)$ 是一个可微函数。令 dx 为任意非零实数，定义 $d y$ 为

d y = f' (x) d x .

(4.2)

注意， $d y$ 是 $x$ 和 $d x .$ 的函数。表达式 dy 和 dx 称为微分。我们将方程 4.2 两边同除以 $d x,$ ，可得

\frac{d y}{d x} = f' (x) .

(4.3)

这正是我们熟悉的导数表达式。方程 4.2 被称为方程 4.3 的微分形式。

例 4.8

计算微分

对于下列各函数，求 dy 并在 $x = 3$ 和 $d x = 0.1 .$ 时计算其值。

$y = x^{2} + 2 x$
$y = cos x$

解

关键在于求导数。一旦求得导数，就可以直接算出 dy。

由于 $f (x) = x^{2} + 2 x,$ ，我们知道 $f' (x) = 2 x + 2,$ ，因此

$d y = (2 x + 2) d x .$

当 $x = 3$ 和 $d x = 0.1,$ 时，

$d y = (2 \cdot 3 + 2) (0.1) = 0.8 .$
由于 $f (x) = cos x,$ ，可得 $f' (x) = − sin (x) .$ 。这给出

$d y = − sin x d x .$

当 $x = 3$ 和 $d x = 0.1,$ 时，

$d y = − sin (3) (0.1) = −0.1 sin (3) .$

检验点 4.8

对于 $y = e^{x^{2}},$ ，求 $d y .$ 。

现在将微分与线性近似联系起来。微分可用于估计输入量微小变化所引起的函数值变化。 $f$ 在点 $a$ 处可微。假设输入 $x$ 发生了微小变化，我们关心的是输出 $y$ 如何变化。如果 $x$ 从 $a$ 变化到 $a + d x,$ ，那么 $x$ 的变化量是 $d x$ （也记作 $Δ x),$ ），并且 $y$ 的变化量由下式给出

Δ y = f (a + d x) - f (a) .

不过，精确计算 $y$ 的变化量往往很复杂，通常更方便的做法是用线性近似来估计。当 $x$ 在 $a$ 附近时， $f (x)$ 可以用线性近似来近似

L (x) = f (a) + f' (a) (x - a) .

于是，如果 $d x$ 很小，

f (a + d x) \approx L (a + d x) = f (a) + f' (a) (a + d x - a) .

即，

f (a + d x) - f (a) \approx L (a + d x) - f (a) = f' (a) d x .

也就是说，当 $x$ 从 $a$ 变化到 $a + d x$ 时， $f$ 的实际变化量近似等于 $L (a + d x)$ 与 $f (a)$ 之差，即 $f' (a) d x .$ 。综上，

Δ y = f (a + d x) - f (a) \approx L (a + d x) - f (a) = f' (a) d x = d y .

因此，当 $x$ 从 $x = a$ 变化到 $x = a + d x$ 时，可以用微分 $d y = f' (a) d x$ 来近似 $y$ 的变化量。如下图所示。

显示了函数 y = f(x) 及其在 (a, f(a)) 处的切线。切线记作 L(x)。x 轴上标有 a 和 a + dx，虚线表示 a 和 a + dx 之间的距离为 dx。点 (a + dx, f(a + dx)) 和 (a + dx, L(a + dx)) 分别标记在曲线 y = f(x) 和 y = L(x) 上。f(a) 和 L(a + dx) 之间的距离标记为 dy = f’(a) dx，f(a) 和 f(a + dx) 之间的距离标记为 Δy = f(a + dx) – f(a)。

图 4.11 微分

d y = f' (a) d x

用于近似

y

的实际变化量，如果

x

从

a

增加到

a + d x .

。

下面来看如何用微分近似输入值微小变化所引起的函数值变化。注意用微分计算远比求精确值简单，而且结果与精确值非常接近。

例 4.9

用微分近似变化量

设 $y = x^{2} + 2 x .$ 。计算 $Δ y$ 和 dy 在 $x = 3$ 处的值，如果 $d x = 0.1 .$ 。

解

如果 $x$ 从 $x = 3$ 变化到 $x = 3.1$ ， $y$ 的实际变化量由下式给出

Δ y = f (3.1) - f (3) = [{(3.1)}^{2} + 2 (3.1)] - [3^{2} + 2 (3)] = 0.81 .

$y$ 的近似变化量由 $d y = f' (3) d x .$ 给出。由于 $f' (x) = 2 x + 2,$ ，我们有

d y = f' (3) d x = (2 (3) + 2) (0.1) = 0.8 .

检验点 4.9

对于 $y = x^{2} + 2 x,$ ，求 $Δ y$ 和 $d y$ 在 $x = 3$ 处的值，如果 $d x = 0.2 .$ 。

误差量的计算

任何测量都不可避免地存在误差。在许多应用中，需要根据测量值来计算某些量。例如，圆的面积是通过测量半径来计算的，半径测量中的误差会导致面积计算值的误差。本节研究这类误差，并讨论如何用微分来估计误差。

设函数 $f$ 的输入量是一个测量值。假设该量的精确值为 $a,$ ，但测量值为 $a + d x .$ 。我们称测量误差为 dx（或 $Δ x) .$ ）。这样，计算得到的 $f (x)$ 也会产生误差。这种误差称为传播误差，由下式给出

Δ y = f (a + d x) - f (a) .

由于测量总会有误差，我们无法知道精确值，因而也无法精确计算传播误差。不过，给定测量精度的估计，可以用微分来近似传播误差 $Δ y .$ 。具体来说，如果 $f$ 在 $a,$ 处是可微函数，则传播误差为

Δ y \approx d y = f' (a) d x .

然而，由于我们不知道精确值 $a .$ 。然而，我们可以使用测量值 $a + d x,$ 并估计

Δ y \approx d y \approx f' (a + d x) d x .

在下一个例子中，将说明如何在边长测量具有一定精度的前提下，用微分估计计算立方体体积时的误差。

例 4.10

立方体的体积

假设一个立方体的边长测量值为 5 厘米，精度为 0.1 厘米。

使用微分估计立方体计算体积中的误差。
计算边长为 (i) 4.9 厘米和 5.1 厘米时立方体的体积，以比较估计误差与实际潜在误差。

解

边长的测量精度在 $± 0.1$ 厘米之内。因此，

$−0.1 \leq d x \leq 0.1 .$

立方体的体积由 $V = x^{3},$ 给出，由此可得

$d V = 3 x^{2} d x .$

使用测量的边长 5 厘米，我们可以估计

$−3 {(5)}^{2} (0.1) \leq d V \leq 3 {(5)}^{2} (0.1) .$

因此，

$−7.5 \leq d V \leq 7.5 .$
如果边长实际为 4.9 厘米，那么立方体的体积是

$V (4.9) = {(4.9)}^{3} = 117.649 {cm}^{3} .$

如果边长实际为 5.1 厘米，那么立方体的体积是

$V (5.1) = {(5.1)}^{3} = 132.651 {cm}^{3} .$

于是，立方体的实际体积在 117.649 到 132.651 之间。由于边长测量值为 5 厘米，计算出的体积是 $V (5) = 5^{3} = 125 .$ 。因此，计算体积中的误差是

$117.649 - 125 \leq Δ V \leq 132.651 - 125 .$

即，

$−7.351 \leq Δ V \leq 7.651 .$

可以看出估计误差 $d V$ 与计算体积中的实际潜在误差相对接近。

检验点 4.10

如果立方体的边长测量值为 6 厘米，精度为 0.2 厘米，估计计算体积中的误差。

测量误差 dx $(=Δ x)$ 和传播误差 $Δ y$ 都是绝对误差。通常我们更关心误差相对于被测量或计算量本身的大小。给定某个量的绝对误差 $Δ q$ ，我们将相对误差定义为 $\frac{Δ q}{q},$ ，其中 $q$ 是该量的实际值。百分比误差是以百分比表示的相对误差。例如，如果我们测量梯子的高度为 63 英寸，而实际高度为 62 英寸，则绝对误差为 1 英寸，但相对误差为 $\frac{1}{62} = 0.016,$ 或 $1.6 % .$ 。相比之下，如果我们测量一块纸板的宽度为 8.25 英寸，而实际宽度为 8 英寸，我们的绝对误差为 $\frac{1}{4}$ 英寸，而相对误差为 $\frac{0.25}{8} = \frac{1}{32},$ 或 $3.1 % .$ 。因此，纸板测量中的百分比误差更大，尽管 0.25 英寸小于 1 英寸。

例 4.11

相对误差和百分比误差

一名宇航员使用相机测量地球半径为 4000 英里，误差为 $± 80$ 英里。假设地球为完美球体，用微分估计以此半径测量值计算地球体积时的相对误差和百分比误差。

解

如果半径测量精度在 $± 80$ 英里之内，则

−80 \leq d r \leq 80 .

由于球体的体积由 $V = (\frac{4}{3}) π r^{3},$ 给出，我们有

d V = 4 π r^{2} d r .

使用测量的半径 4000 英里，我们可以估计

−4 π {(4000)}^{2} (80) \leq d V \leq 4 π {(4000)}^{2} (80) .

为估计相对误差，需要计算 $\frac{d V}{V} .$ 。由于体积 $V$ 的精确值未知，用测量半径 $r = 4000 mi$ 来估计，得 $V \approx (\frac{4}{3}) π {(4000)}^{3} .$ 。于是，相对误差满足

\frac{−4 π {(4000)}^{2} (80)}{4 π {(4000)}^{3} / 3} \leq \frac{d V}{V} \leq \frac{4 π {(4000)}^{2} (80)}{4 π {(4000)}^{3} / 3},

简化为

−0.06 \leq \frac{d V}{V} \leq 0.06 .

相对误差为 0.06，百分比误差为 $6 % .$ 。

检验点 4.11

如果地球半径测量值为 3950 英里，误差为 $± 100$ 英里，求百分比误差。

第4.2节练习

46.

对于任意一般的线性函数 $y = m x + b ?$ ，其线性近似是什么？

47.

确定使线性近似函数为常数的必要条件，并用图形验证你的结果。

48.

解释为什么当 $x$ 和 $a .$ 之间的距离增加时，线性近似的精度会降低。用图形验证你的论述。

49.

在什么情况下线性近似是精确的？

对于以下练习，求函数 $y = f (x)$ 在 $x = a$ 附近的线性近似 $L (x)$ 。

50.

$f (x) = x + x^{4}, a = 0$

51.

$f (x) = \frac{1}{x}, a = 2$

52.

$f (x) = tan x, a = \frac{π}{4}$

53.

$f (x) = sin x, a = \frac{π}{2}$

54.

$f (x) = x sin x, a = 2 π$

55.

$f (x) = {sin}^{2} x, a = 0$

对于以下练习，通过确定合适的 $f (x)$ 和 $a,$ 并计算 $L (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) .$ ，求出给定值在 0.01 范围内的近似值。用计算器验证你的答案。

56.

[T] ${(2.001)}^{6}$

57.

[T] $sin (0.02)$

58.

[T] $cos (0.03)$

59.

[T] ${(15.99)}^{1 / 4}$

60.

[T] $\frac{1}{0.98}$

61.

[T] $sin (3.14)$

对于以下练习，确定合适的 $f (x)$ 和 $a,$ ，并计算 $L (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) .$ 。计算后续线性近似中的数值误差。

62.

[T] ${(1.01)}^{3}$

63.

[T] $cos (0.01)$

64.

[T] ${(sin (0.01))}^{2}$

65.

[T] ${(1.01)}^{−3}$

66.

[T] ${(1 + \frac{1}{10})}^{10}$

67.

[T] $\sqrt{8.99}$

对于以下练习，求函数的微分。

68.

$y = 3 x^{4} + x^{2} - 2 x + 1$

69.

$y = x cos x$

70.

$y = \sqrt{1 + x}$

71.

$y = \frac{x^{2} + 2}{x - 1}$

对于以下练习，求微分并计算给定 $x$ 和 $d x .$ 的值。

72.

$y = 3 x^{2} - x + 6,$ $x = 2,$ $d x = 0.1$

73.

$y = \frac{1}{x + 1},$ $x = 1,$ $d x = 0.25$

74.

$y = tan x,$ $x = 0,$ $d x = \frac{π}{10}$

75.

$y = \frac{3 x^{2} + 2}{\sqrt{x + 1}},$ $x = 0,$ $d x = 0.1$

76.

$y = \frac{sin (2 x)}{x},$ $x = π,$ $d x = 0.25$

77.

$y = x^{3} + 2 x + \frac{1}{x},$ $x = 1,$ $d x = 0.05$

对于以下练习，求体积的变化量 $d V$ 或表面积的变化量 $d A .$ 。

78.

$d V$ 如果立方体的边长从 10 变为 10.1。

79.

$d A$ 如果立方体的边长从 $x$ 变为 $x + d x .$ 。

80.

$d A$ 如果球体的半径从 $r$ 变化 $d r .$ 。

81.

$d V$ 如果球体的半径从 $r$ 变化 $d r .$ 。

82.

$d V$ 如果一个圆柱体的 $r = 2$ ，其高从 3 厘米变为 $3.05 cm .$ 。

83.

$d V$ 如果一个高为 3 的圆柱体从 $r = 2$ 变为 $r = 1.9 cm .$ 。

84.

一个球形高尔夫球的半径测量值为 $5 mm,$ ，可能的测量误差为 $0.1 mm .$ 。其体积的可能变化量是多少？

85.

一个游泳池的矩形底面为 10 英尺 × 20 英尺，深度为 6 英尺。如果只将其注水至 5.5 英尺深，体积的变化量是多少？

86.

一个冰淇淋甜筒的高为 4 英寸，半径为 1 英寸。如果甜筒壁厚为 0.1 英寸，那么包含筒壁的甜筒体积与筒壁内部可容纳的冰淇淋体积之间的差值是多少？

对于以下练习，通过使用 $x = 0 .$ 处的线性近似来验证这些近似值。

87.

$\sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{1}{2} x$

88.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \approx 1$

89.

$\sqrt{c^{2} + x^{2}} \approx c$