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核心概念

核心概念

1.1 函数回顾

  • 函数 (function) 是从一组输入到一组输出的映射，其中每个输入恰好对应一个输出。
  • 如果没有指定函数 y=f(x),y=f(x), 的定义域 (domain)，则默认其定义域为使函数有意义的所有实数 xx 的集合。
  • 在函数 f,f, 的图形 (graph of a function) 上，任意一条垂直线最多与图形相交一次。
  • 函数可以有任意多个零点 (zeros of a function)，但最多只有一个 y 轴截距。
  • 要定义复合函数 (composite function) g∘f,g∘f, ff 的值域 (range) 必须包含在 g.g. 的定义域中。
  • 偶函数 (even function) 关于 yy 轴对称，而奇函数 (odd function) 关于原点 (origin) 对称。

1.2 函数的基本类型

  • 幂函数 (power function) f(x)=xnf(x)=xn 在 nn 为偶数且 n≠0,n≠0, 时是偶函数，在 nn 为奇数时是奇函数。
  • 根式函数 (root function) f(x)=x1/nf(x)=x1/n 当 nn 为偶数时定义域为 [0,∞)[0,∞)，当 nn 为奇数时定义域为 (−∞,∞)(−∞,∞)。当 nn 为奇数时，f(x)=x1/nf(x)=x1/n 是奇函数。
  • 设 p(x)p(x) 和 q(x)q(x) 为多项式函数 (polynomial function)，则有理函数 (rational function) f(x)=p(x)/q(x),f(x)=p(x)/q(x), 的定义域为使 q(x)≠0.q(x)≠0. 的所有 xx 的集合。
  • 由加、减、乘、除和乘方等基本运算构成的函数称为代数函数 (algebraic function)。其余函数均为超越函数 (transcendental function)。三角函数 (trigonometric function)、指数函数 (exponential function) 和对数函数 (logarithmic function) 都是超越函数的例子。
  • 次数 (degree) 为 n≥1n≥1 的多项式函数 ff，当 x→±∞.x→±∞. 时有 f(x)→±∞f(x)→±∞。当 x→∞x→∞ 时，函数值的正负号仅取决于首项系数的符号以及 nn 是偶数还是奇数。
  • 垂直和水平平移、垂直和水平缩放以及关于 xx 轴和 yy 轴的反射都是函数变换 (transformation of a function) 的例子。

1.3 三角函数

  • 弧度 (radians) 制的定义：在单位圆上，弧长为 1 的弧所对应的圆心角为 1 弧度。180°180° 的角等于 ππ 弧度。
  • 对于锐角 θ,θ,，三角函数 (trigonometric function) 的值定义为该锐角所在直角三角形中两条边的比值，其中一个锐角为 θ.θ.。
  • 对于一般角 θ,θ,，设 (x,y)(x,y) 是半径为 rr 的圆上对应于该角 θ.θ. 的一个点。三角函数可以表示为 x,y,x,y, 和 r.r. 的比值。
  • 三角函数是周期函数 (periodic function)。正弦 (sine)、余弦 (cosine)、正割 (secant) 和余割 (cosecant) 函数的周期为 2π.2π.。正切 (tangent) 和余切 (cotangent) 函数的周期为 π.π.。

1.4 反函数

  • 函数存在反函数 (inverse function) 的前提是它必须是一一对应函数 (one-to-one function)。利用函数的图形，可以通过水平线检验 (horizontal line test) 判断函数是否为一一对应函数。
  • 如果函数不是一一对应函数，可以将定义域限制到一个较小的范围，使函数在该范围内是一一对应的，然后在此限制定义域 (restricted domain) 上定义反函数。
  • 对于函数 ff 及其反函数 f−1,f(f−1(x))=xf−1,f(f−1(x))=x，对 f−1f−1 定义域中的所有 xx 均成立；同时对 f.f. 定义域中的所有 xx，有 f−1(f(x))=xf−1(f(x))=x。
  • 由于三角函数具有周期性，需要限制其定义域才能定义反三角函数 (inverse trigonometric function)。
  • 函数 ff 与其反函数 f−1f−1 的图形关于直线 y=x.y=x. 对称。

1.5 指数函数和对数函数

  • 指数函数 (exponential function) y=bxy=bx 在 b>1b>1 时是递增的 (increasing)，在 0<b<1.0<b<1. 时是递减的 (decreasing)。它的定义域是 (−∞,∞)(−∞,∞)，值域是 (0,∞).(0,∞).。
  • 对数函数 (logarithmic function) y=logb(x)y=logb(x) 是 y=bx.y=bx. 的反函数。它的定义域是 (0,∞)(0,∞)，值域是 (−∞,∞).(−∞,∞).。
  • 自然指数函数 (natural exponential function) 是 y=exy=ex，自然对数 (natural logarithm) 函数是 y=lnx=logex.y=lnx=logex.。
  • 对于以 a,a, 为底数 (base) 的指数函数或对数函数，可以利用换底公式 (change of base) 将其转换为任意底数 b>0,b≠1.b>0,b≠1.。通常转换为以 e.e. 为底数。
  • 双曲函数 (hyperbolic function) 由指数函数 exex 和 e−x.e−x. 组合而成，因此反双曲函数 (inverse hyperbolic function) 的表达式中包含自然对数。