导数的定义 - 微积分：第一卷

3.1 导数的定义

学习目标

3.1.1 理解曲线上某一点处切线的含义。
3.1.2 计算切线的斜率。
3.1.3 将导数识别为差商的极限。
3.1.4 计算给定函数在某一点处的导数。
3.1.5 将速度描述为变化率。
3.1.6 解释平均速度和瞬时速度之间的区别。
3.1.7 根据数值表估计导数。

现在我们已经从概念上理解了极限，也掌握了计算极限的方法，这就为学习微积分——研究导数与积分的数学分支——奠定了基础。大多数数学家和历史学家都认为，微积分是由英国人艾萨克·牛顿 $(1643–1727)$ 和德国人戈特弗里德·莱布尼茨 $(1646–1716),$ 独立发展的，他们的画像如图 3.2 所示。所谓牛顿和莱布尼茨创立了微积分，其实是说他们率先认识到了导数与积分之间的联系。两人都受益于巴罗、费马和卡瓦列里等前辈的工作。起初二人的关系似乎是友好的；然而后来却爆发了一场关于谁的成果在先的激烈争议。虽然牛顿很可能确实最先形成了微积分的思想，但我们今天通用的记号则要归功于莱布尼茨。

图 3.2 牛顿和莱布尼茨被认为是独立发展微积分的。

切线

我们从回顾割线和切线的概念入手，开始学习微积分。回顾之前的内容，我们曾用函数在点 $(a, f (a))$ 处的割线斜率来估计变化率，也就是一个变量相对于另一个变量的变化快慢。要求割线的斜率，可以选取 $a$ 附近的一个 $x$ 值，过点 $(a, f (a))$ 和 $(x, f (x)),$ 作一条直线，即可得到割线的斜率，如图 3.3 所示。该直线的斜率由如下差商给出：

m_{sec} = \frac{f (x) - f (a)}{x - a} .

我们也可以在上述方程中，将 $x$ 替换为 $a + h,$ （这里 $h$ 是接近 0 的值），来计算函数在 a 处的割线斜率，即计算过点 $(a, f (a))$ 和 $(a + h, f (a + h)) .$ 的直线的斜率。此时，割线的斜率由以下增量为 $h :$ 的差商给出：

m_{sec} = \frac{f (a + h) - f (a)}{a + h - a} = \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

定义

设 $f$ 是定义在包含 $a .$ 的区间 $I$ 上的函数。如果 $x \neq a$ 在 $I,$ 中，则

Q = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

(3.1)

是一个差商。

此外，如果选择 $h \neq 0$ 使得 $a + h$ 在 $I,$ 中，则

Q = \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

(3.2)

是一个增量为 $h .$ 的差商。

媒体

通过此小程序了解导数概念的推导过程。

上述两种计算割线斜率的表达式如图 3.3 所示。我们将会看到，这两种方法各有用处。根据具体情况可选用其中之一，选择时主要考虑计算的简便性。

此图包含两个图，分别标记为 a 和 b。图 a 显示了笛卡尔坐标平面，x 轴上依次标记有 0、a 和 x。有一条标记为 y = f(x) 的曲线，上面标记有 (a, f(a)) 和 (x, f(x)) 两点。还有一条穿过这两点 (a, f(a)) 和 (x, f(x)) 的直线。图的底部给出了方程 msec = (f(x) - f(a))/(x - a)。图 b 显示了一个类似的图，但这次 x 轴上标记的是 a + h 而不是 x。因此，标记为 y = f(x) 的曲线穿过 (a, f(a)) 和 (a + h, f(a + h))，直线也同样穿过。图的底部给出了方程 msec = (f(a + h) - f(a))/h。

图 3.3 我们可以通过两种方式计算割线的斜率。

在图 3.4(a) 中可以看到，当 $x$ 的值趋近于 $a,$ 时，割线斜率对函数在 $a .$ 处变化率的估计越精确。而且，割线本身也趋近于函数在 $a,$ 处的切线——切线正是割线的极限位置。类似地，图 3.4(b) 显示，当 $h$ 的值越来越接近 $0,$ 时，割线也趋近于切线。切线在 $a$ 处的斜率是函数在 $a,$ 处的变化率，如图 3.4(c) 所示。

此图包含三个图，分别标记为 a、b 和 c。图 a 显示了笛卡尔坐标平面，x 轴上依次标记有 0、a、x2 和 x1。有一条标记为 y = f(x) 的曲线，上面标记有 (a, f(a))、(x2, f(x2)) 和 (x1, f(x1)) 三点。有三条直线：第一条穿过 (a, f(a)) 和 (x1, f(x1))；第二条穿过 (a, f(a)) 和 (x2, f(x2))；第三条只接触 (a, f(a))，使其成为切线。图的底部给出了方程 mtan = limx → a (f(x) - f(a))/(x - a)。图 b 显示了一个类似的图，但这次 x 轴上标记的是 a + h2 和 a + h1 而不是 x2 和 x1。因此，标记为 y = f(x) 的曲线穿过 (a, f(a))、(a + h2, f(a + h2)) 和 (a + h1, f(a + h1))，直线也同样穿过。图的底部给出了方程 mtan = limh → 0 (f(a + h) - f(a))/h。图 c 只显示了标记为 y = f(x) 的曲线及其在点 (a, f(a)) 处的切线。

图 3.4 当第二个点趋近于第一个点时，割线趋近于切线（绿色所示）。

媒体

可以使用此网站来观察各种函数图形，看它们在某一点处是否存在切线。

在图 3.5 中，我们画出了 $f (x) = \sqrt{x}$ 的图形及其在 $(1, 1)$ 处的切线，围绕 $x = 1 .$ 逐步缩小观察区间。随着区间越来越窄，函数图形与切线几乎重合，使得切线上的值对于接近 $1 .$ 的 $x$ 而言，是函数值的良好近似。事实上， $f (x)$ 的图形在 $x = 1 .$ 附近看起来几乎是一条直线，即呈局部线性。

此图包含四个图，分别标记为 a、b 和 c。图 a 显示了 x 的平方根和方程 y = (x + 1)/2 的图形，x 轴从 0 到 4，y 轴从 0 到 2.5。这两个函数的图形在 1 附近看起来非常接近；有一个框围绕着这些图形看起来接近的区域。图 b 显示了图 a 中框区域的这两个相同函数的放大图，具体来说，x 从 0 到 2，y 从 0 到 1.4。图 c 与图 b 相同，但此图在 x 坐标上有一个从 0 到 1.1 的框，在 y 坐标上有一个从 0.8 到 1 的框。有一个箭头指示这在图 d 中被放大。图 d 显示了图 c 中框的非常近的图片，两个函数在几乎整个图形长度上似乎都接触在一起。

图 3.5 对于接近

1,

的

x

值，

f (x) = \sqrt{x}

的图形及其切线似乎重合。

下面给出函数图形切线的严格定义。

定义

设 $f (x)$ 是定义在包含 $a .$ 的开区间上的函数。函数 $f (x)$ 在 $a$ 处的切线是过点 $(a, f (a))$ 且斜率为

m_{tan} = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

(3.3)

的直线，前提是此极限存在。

等价地，我们可以将函数 $f (x)$ 在 $a$ 处的切线定义为过点 $(a, f (a))$ 且斜率为

m_{tan} = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

(3.4)

的直线，前提是此极限存在。

与定义割线斜率时一样，切线斜率也有两种等价的定义形式。本书中两种形式都会用到，选择哪种取决于具体问题。有了函数在一点处切线的严格定义之后，我们就可以用它来求切线方程了。

例 3.1

求切线

求函数 $f (x) = x^{2}$ 在 $x = 3 .$ 处的切线方程。

解

先求切线的斜率。在本例中，使用公式 3.3。

\begin{matrix} m_{tan} & = lim_{x \to 3} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} & 应用定义。 \\ = lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} & 代入 f (x) = x^{2} 和 f (3) = 9 . \\ = lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3} = lim_{x \to 3} (x + 3) = 6 & 分解分子以求极限。 \end{matrix}

接下来确定切线经过的一个点。由于该线是函数 $f (x)$ 在 $x = 3,$ 处的切线，因此它通过点 $(3, f (3)) .$ 。我们有 $f (3) = 9,$ ，因此切线通过点 $(3, 9) .$ 。

使用斜率 $m = 6$ 和点 $(3, 9),$ 代入点斜式方程，得到 $y - 9 = 6 (x - 3) .$ ，化简得 $y = 6 x - 9 .$ 。函数 $f (x) = x^{2}$ 的图形及其在 $3$ 处的切线如图 3.6 所示。

此图包含函数 f(x) = x 平方和 y = 6x - 9 的图形。这些函数的图形在 x = 3 处似乎相切。

图 3.6 函数

f (x)

在

x = 3 .

处的切线

例 3.2

切线斜率的再探

使用公式 3.4 求函数 $f (x) = x^{2}$ 在 $x = 3 .$ 处的切线斜率。

解

步骤与例 3.1 非常相似。定义见公式 3.4。

\begin{matrix} m_{tan} & = lim_{h \to 0} \frac{f (3 + h) - f (3)}{h} & 应用定义。 \\ = lim_{h \to 0} \frac{{(3 + h)}^{2} - 9}{h} & 代入 f (3 + h) = {(3 + h)}^{2} 和 f (3) = 9 . \\ = lim_{h \to 0} \frac{9 + 6 h + h^{2} - 9}{h} & 展开并化简以求极限。 \\ = lim_{h \to 0} \frac{h (6 + h)}{h} = lim_{h \to 0} (6 + h) = 6 \end{matrix}

用另一种定义同样求得了切线斜率，说明两种公式可以互换使用。

例 3.3

求切线方程

求函数 $f (x) = 1 / x$ 在 $x = 2 .$ 处的切线方程。

解

虽然可以使用公式 3.3，但如前所述，使用公式 3.4 也能得到相同结果。

\begin{matrix} m_{tan} & = lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} & 应用定义。 \\ = lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x - 2} & 代入 f (x) = \frac{1}{x} 和 f (2) = \frac{1}{2} . \\ = lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x - 2} \cdot \frac{2 x}{2 x} & \begin{matrix} 分子分母同乘以 2 x 以 \\ 化简分数。 \end{matrix} \\ = lim_{x \to 2} \frac{(2 - x)}{(x - 2) (2 x)} & 化简。 \\ = lim_{x \to 2} \frac{−1}{2 x} & 利用 \frac{2 - x}{x - 2} = −1, 当 x \neq 2 . \\ = - \frac{1}{4} & 求极限。 \end{matrix}

我们现在知道切线的斜率为 $- \frac{1}{4} .$ 。要写出切线方程，还需要线上的一个点。因为 $f (2) = \frac{1}{2} .$ 。由于切线通过点 $(2, \frac{1}{2})$ ，代入点斜式方程可得切线方程为 $y = - \frac{1}{4} x + 1 .$ 。函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 和 $y = - \frac{1}{4} x + 1$ 的图形如图 3.7 所示。

此图包含函数 f(x) = 1/x 和 y = -x/4 + 1 的图形。函数 f(x) = 1/x 在第一象限的部分似乎在 x = 2 处与另一个函数的图形相切。

图 3.7 该线是函数

f (x)

在

x = 2 .

处的切线

检验点 3.1

求函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 4 .$ 处的切线斜率。

函数在一点处的导数

为求函数在一点处的切线斜率而计算的这类极限，在各学科中有着广泛的应用，如物理学中的速度和加速度、经济学中的边际利润函数以及生物学中的增长率等。由于这种极限出现得极为频繁，我们赋予它一个专门的名称：导数。求导数的过程称为求导。

定义

设 $f (x)$ 是在包含 $a .$ 的开区间上定义的函数。函数 $f (x)$ 在 $a,$ 处的导数，记作 $f^{'} (a),$ ，定义为

f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

(3.5)

前提是此极限存在。

另外，我们也可以将 $f (x)$ 在 $a$ 处的导数定义为

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

(3.6)

例 3.4

估计导数

对于 $f (x) = x^{2},$ ，使用表格估计 $f^{'} (3)$ ，利用公式 3.5。

解

列表计算，取略小于 $3$ 和略大于 $3 .$ 的 $x$ 值。

$x$	$\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$
$2.9$	$5.9$
$2.99$	$5.99$
$2.999$	$5.999$
$3.001$	$6.001$
$3.01$	$6.01$
$3.1$	$6.1$

由表中数据可以估计 $f^{'} (3) = 6.$ 。

检验点 3.2

对于 $f (x) = x^{2},$ ，使用表格估计 $f^{'} (3)$ ，利用公式 3.6。

例 3.5

求导数

对于 $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1,$ ，利用公式 3.5求 $f^{'} (2)$ 。

解

将给定的函数和值直接代入公式。

\begin{matrix} f^{'} (2) & = lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} & 应用定义。 \\ = lim_{x \to 2} \frac{(3 x^{2} - 4 x + 1) - 5}{x - 2} & 代入 f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 和 f (2) = 5 . \\ = lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (3 x + 2)}{x - 2} & 化简并分解分子。 \\ = lim_{x \to 2} (3 x + 2) & 消去公因子。 \\ = 8 & 求极限。 \end{matrix}

例 3.6

重新审视导数

对于 $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1,$ ，利用公式 3.6求 $f^{'} (2)$ 。

解

将函数值代入此公式，应当得到与例 3.5相同的结果。

\begin{matrix} f^{'} (2) & = lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} & 应用定义。 \\ = lim_{h \to 0} \frac{(3 {(2 + h)}^{2} - 4 (2 + h) + 1) - 5}{h} & \begin{matrix} 代入 f (2) = 5 和 \\ f (2 + h) = 3 {(2 + h)}^{2} - 4 (2 + h) + 1 . \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 8 h}{h} & 化简分子。 \\ = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h + 8)}{h} & 分解分子。 \\ = lim_{h \to 0} (3 h + 8) & 消去公因子。 \\ = 8 & 求极限。 \end{matrix}

无论我们使用公式 3.5还是公式 3.6，结果都是相同的。

检验点 3.3

对于 $f (x) = x^{2} + 3 x + 2,$ ，求 $f^{'} (1) .$ 。

速度和变化率

掌握了导数的计算方法后，我们就可以将其应用于速度问题。回顾一下，如果 $s (t)$ 是沿坐标轴运动的物体的位置，那么该物体在时间区间 $[a, t]$ 上的平均速度，如果 $t > a$ 或 $[t, a]$ 如果 $t < a$ ，由差商给出

v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .

(3.7)

当 $t$ 的值趋近于 $a,$ 时， $v_{ave}$ 的值趋近于我们所说的物体在 $a .$ 处的瞬时速度的值。也就是说，在 $a,$ 处的瞬时速度，记作 $v (a),$ ，由下式给出

v (a) = s^{'} (a) = lim_{t \to a} \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .

(3.8)

为了更好地理解平均速度和瞬时速度之间的关系，请参见图 3.8。在此图中，切线（红色所示）的斜率是物体在时间 $t = a$ 处的瞬时速度，其中物体在时间 $t$ 处的位置由函数 $s (t) .$ 给出。割线（绿色所示）的斜率是物体在时间区间 $[a, t] .$ 上的平均速度。

此图由笛卡尔坐标平面组成，t轴上标有0、a和t1。函数y = s(t)在第一象限绘制，并标有两条线：切线和割线。切线只在一点(a, s(a))处与y = s(t)相切。割线在两点(a, s(a))和(t1, s(t1))处与y = s(t)相交。

图 3.8 割线的斜率是区间

[a, t] .

上的平均速度。切线的斜率是瞬时速度。

我们可以使用公式 3.5计算瞬时速度，也可以用数值表来估计运动物体的速度，再利用公式 3.7加以验证。

例 3.7

估计速度

弹簧上的铅锤正在上下振动。它在时间 $t$ 相对于固定水平线的位置由 $s (t) = sin t$ 给出（图 3.9）。使用数值表估计 $v (0) .$ 。再用公式 3.5验证该估计值。

图 3.9 悬挂在弹簧上的铅锤做垂直振动。

解

我们可以列出平均速度表来估计 $t = 0$ 处的瞬时速度，表中取趋近于 $0,$ 的 $t$ 值，如表 3.1所示。

$t$	$\frac{sin t - sin 0}{t - 0} = \frac{sin t}{t}$
$−0.1$	$0.998334166$
$−0.01$	$0.9999833333$
$−0.001$	$0.999999833$
$0.001$	$0.999999833$
$0.01$	$0.9999833333$
$0.1$	$0.998334166$

表 3.1 使用趋近于 0 的 t 值计算的平均速度

从表中可见，时间区间 $[−0.1, 0]$ 上的平均速度是 $0.998334166,$ ，时间区间 $[−0.01, 0]$ 上的平均速度是 $0.9999833333,$ ，以此类推。由表中数据可以估计 $v (0) = 1 .$ 。

由公式 3.5可得

v (0) = s^{'} (0) = lim_{t \to 0} \frac{sin t - sin 0}{t - 0} = lim_{t \to 0} \frac{sin t}{t} = 1 .

由此可得 $v (0) = 1 .$ 。

检验点 3.4

一块石头从 $64$ 英尺高处落下。它在 $t$ 秒后离地面的高度由 $s (t) = −16 t^{2} + 64, 0 \leq t \leq 2 .$ 给出。使用公式 3.5，求它落下 $1$ 秒后的瞬时速度。

本节所述表明，切线的斜率与瞬时速度是密切相关的概念。它们都是通过计算导数求得的，都刻画了函数的瞬时变化率，即函数在曲线上任意一点处的变化率。

定义

函数 $f (x)$ 在值 $a$ 处的瞬时变化率是它的导数 $f^{'} (a) .$ 。

例 3.8

章首：估计速度变化率

图 3.10 (来源：根据 Codex41 的 Flickr 作品改编)

Hennessey Venom GT 的最高时速达到 $270.49$ 英里/小时，是世界上最快的汽车之一。在测试中，它在 $3.05$ 秒内从 $0$ 加速到 $60$ 英里/小时，在 $5.88$ 秒内达到 $0 至 100$ 英里/小时，在 $14.51$ 秒内达到 $0 至 200$ 英里/小时，在 $19.96$ 秒内达到 $0 至 229.9$ 英里/小时。根据这些数据，分析汽车速度趋近 $229.9$ 英里/小时时速度的变化率（即加速度）的变化趋势。加速度在增大、减小还是保持不变？

解

先将速度单位换算： $60$ 英里/小时 = $88$ 英尺/秒， $100$ 英里/小时 $\approx 146.67$ 英尺/秒， $200$ 英里/小时 $\approx 293.33$ 英尺/秒，以及 $229.9$ 英里/小时 $\approx 337.19$ 英尺/秒。将这些数据整理成下表。

$t$	$v (t)$
$0$	$0$
$3.05$	$88$
$5.88$	$146.67$
$14.51$	$293.33$
$19.96$	$337.19$

表 3.2 t 的不同值下的

v (t)

接下来计算汽车在 $[t, 19.96]$ 形式的区间上的平均加速度（单位：英尺/秒平方），其中 $t$ 趋近于 $19.96,$ ，结果如下表。

$t$	$\frac{v (t) - v (19.96)}{t - 19.96} = \frac{v (t) - 337.19}{t - 19.96}$
$0.0$	$16.89$
$3.05$	$14.74$
$5.88$	$13.53$
$14.51$	$8.05$

表 3.3 平均加速度

随着汽车的速度接近 $229.9$ 英里/小时（ $(337.19$ 英尺/秒），加速度在逐渐减小。

例 3.9

温度变化率

某户主将恒温器设定为：房屋温度从晚上 $9$ 的 $70 ° F$ 开始下降，夜间达到最低点 $60 °$ ，并在第二天早上 $7$ 前回升到 $70 °$ 。假设房屋温度由 $T (t) = 0.4 t^{2} - 4 t + 70$ 给出，其中 $0 \leq t \leq 10,$ ， $t$ 是晚上 $9$ 之后的小时数。求午夜时温度的瞬时变化率。

解

由于午夜是晚上 $9$ 之后 $3$ 小时，需要计算 $T^{'} (3) .$ 。参考公式 3.5。

\begin{matrix} T^{'} (3) & = lim_{t \to 3} \frac{T (t) - T (3)}{t - 3} & 应用定义。 \\ = lim_{t \to 3} \frac{0.4 t^{2} - 4 t + 70 - 61.6}{t - 3} & \begin{matrix} 代入 T (t) = 0.4 t^{2} - 4 t + 70 和 \\ T (3) = 61.6 . \end{matrix} \\ = lim_{t \to 3} \frac{0.4 t^{2} - 4 t + 8.4}{t - 3} & 化简。 \\ = lim_{t \to 3} \frac{0.4 (t - 3) (t - 7)}{t - 3} & = lim_{t \to 3} \frac{0.4 (t - 3) (t - 7)}{t - 3} \\ = lim_{t \to 3} 0.4 (t - 7) & 消去。 \\ = −1.6 & 求极限。 \end{matrix}

午夜时温度的瞬时变化率为每小时 $−1.6 ° F$ 。

例 3.10

利润变化率

一家玩具公司可以以每套游戏系统 $p = −0.01 x + 400$ 美元的价格出售 $x$ 套电子游戏系统。制造 $x$ 套系统的成本由 $C (x) = 100 x + 10,000$ 美元给出。当生产 $10,000$ 套游戏时，求利润的变化率。玩具公司应该增加还是减少产量？

解

生产 $x$ 套游戏系统所获得的利润 $P (x)$ 为 $R (x) - C (x),$ ，其中 $R (x)$ 是出售 $x$ 套游戏所获得的收入。由于公司可以以每套 $p = −0.01 x + 400$ 的价格出售 $x$ 套游戏，

R (x) = x p = x (−0.01 x + 400) = −0.01 x^{2} + 400 x .

因此，

P (x) = −0.01 x^{2} + 300 x - 10,000 .

于是，利润的变化率为

\begin{matrix} P^{'} (10000) & = lim_{x \to 10000} \frac{P (x) - P (10000)}{x - 10000} \\ = lim_{x \to 10000} \frac{−0.01 x^{2} + 300 x - 10000 - 1990000}{x - 10000} \\ = lim_{x \to 10000} \frac{−0.01 x^{2} + 300 x - 2000000}{x - 10000} \\ = 100 . \end{matrix}

由于利润变化率 $P^{'} (10,000) > 0$ 且 $P (10,000) > 0,$ ，公司应增加产量。

检验点 3.5

某咖啡店测算出，每个司康饼定价为 $s$ 美元时的每日利润为 $P (s) = −20 s^{2} + 150 s - 10 .$ 。目前每个司康饼售价 $$ 3.25$ 。求当价格为 $$ 3.25$ 时利润的变化率 $P^{'} (3.25),$ ，并据此判断咖啡店应提高还是降低司康饼的价格。

第3.1节练习

对于以下练习，使用公式 3.1 求函数 $y = f (x) .$ ，在值 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间的割线的斜率。

$f (x) = 4 x + 7; x_{1} = 2, x_{2} = 5$

$f (x) = 8 x - 3; x_{1} = −1, x_{2} = 3$

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1; x_{1} = 3, x_{2} = 3.5$

$f (x) = − x^{2} + x + 2; x_{1} = 0.5, x_{2} = 1.5$

$f (x) = \frac{4}{3 x - 1}; x_{1} = 1, x_{2} = 3$

$f (x) = \frac{x - 7}{2 x + 1}; x_{1} = 0, x_{2} = 2$

$f (x) = \sqrt{x}; x_{1} = 1, x_{2} = 16$

$f (x) = \sqrt{x - 9}; x_{1} = 10, x_{2} = 13$

$f (x) = x^{1 / 3} + 1; x_{1} = 0, x_{2} = 8$

10.

$f (x) = 6 x^{2 / 3} + 2 x^{1 / 3}; x_{1} = 1, x_{2} = 27$

对于以下函数，

使用公式 3.4 求切线的斜率 $m_{tan} = f^{'} (a),$ ，并且
求函数 $f$ 在 $x = a .$ 处的切线方程

11.

$f (x) = 3 - 4 x, a = 2$

12.

$f (x) = \frac{x}{5} + 6, a = −1$

13.

$f (x) = x^{2} + x, a = 1$

14.

$f (x) = 1 - x - x^{2}, a = 0$

15.

$f (x) = \frac{7}{x}, a = 3$

16.

$f (x) = \sqrt{x + 8}, a = 1$

17.

$f (x) = 2 - 3 x^{2}, a = −2$

18.

$f (x) = \frac{−3}{x - 1}, a = 4$

19.

$f (x) = \frac{2}{x + 3}, a = −4$

20.

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}, a = 3$

对于以下函数 $y = f (x),$ ，使用公式 3.5 求 $f^{'} (a)$ 。

21.

$f (x) = 5 x + 4, a = −1$

22.

$f (x) = −7 x + 1, a = 3$

23.

$f (x) = x^{2} + 9 x, a = 2$

24.

$f (x) = 3 x^{2} - x + 2, a = 1$

25.

$f (x) = \sqrt{x}, a = 4$

26.

$f (x) = \sqrt{x - 2}, a = 6$

27.

$f (x) = \frac{1}{x}, a = 2$

28.

$f (x) = \frac{1}{x - 3}, a = −1$

29.

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}, a = 1$

30.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, a = 4$

对于以下练习，给定函数 $y = f (x),$

求表中给定 $x$ 值的每个点 $Q (x, f (x))$ 处的割线 $P Q$ 的斜率。
根据 a. 的答案估计 $P .$ 处切线斜率的值。
根据 b. 的答案求函数 $f$ 在点 $P .$ 处的切线方程。

31.

[T] $f (x) = x^{2} + 3 x + 4, P (1, 8)$ （四舍五入到 $6$ 位小数。）

x	斜率 $m_{P Q}$	x	斜率 $m_{P Q}$
1.1	(i)	0.9	(vii)
1.01	(ii)	0.99	(viii)
1.001	(iii)	0.999	(ix)
1.0001	(iv)	0.9999	(x)
1.00001	(v)	0.99999	(xi)
1.000001	(vi)	0.999999	(xii)

32.

[T] $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 1}, P (0, −1)$

x	斜率 $m_{P Q}$	x	斜率 $m_{P Q}$
0.1	(i)	$−0.1$	(vii)
0.01	(ii)	$−0.01$	(viii)
0.001	(iii)	$−0.001$	(ix)
0.0001	(iv)	$−0.0001$	(x)
0.00001	(v)	$−0.00001$	(xi)
0.000001	(vi)	$−0.000001$	(xii)

33.

[T] $f (x) = 10 e^{0.5 x}, P (0, 10)$ （四舍五入到 $4$ 位小数。）

x	斜率 $m_{P Q}$
$−0.1$	(i)
$−0.01$	(ii)
$−0.001$	(iii)
$−0.0001$	(iv)
$−0.00001$	(v)
−0.000001	(vi)

34.

[T] $f (x) = tan (x), P (π, 0)$

x	斜率 $m_{P Q}$
3.1	(i)
3.14	(ii)
3.141	(iii)
3.1415	(iv)
3.14159	(v)
3.141592	(vi)

[T] 对于以下位置函数 $y = s (t),$ ，有一物体沿直线运动，其中 $t$ 的单位是秒， $s$ 的单位是米。求

从 $t = 2$ 到 $t = 2 + h;$ 的平均速度的简化表达式
在 $t = 2$ 和 $t = 2 + h,$ 之间的平均速度，其中 $(i) h = 0.1,$ $(ii) h = 0.01,$ $(iii) h = 0.001,$ 和 $(iv) h = 0.0001;$ ，并且
根据 a. 的答案估计 $t = 2$ 秒时的瞬时速度。

35.

$s (t) = \frac{1}{3} t + 5$

36.

$s (t) = t^{2} - 2 t$

37.

$s (t) = 2 t^{3} + 3$

38.

$s (t) = \frac{16}{t^{2}} - \frac{4}{t}$

39.

根据下图求 a. $f^{'} (1)$ 和 b. $f^{'} (6) .$

此图显示了两条连接的线段：一条从 (1, 0) 到 (4, 6) 和另一条从 (4, 6) 到 (8, 8)。

40.

根据下图求 a. $f^{'} (−3)$ 和 b. $f^{'} (1.5) .$

此图显示了两条连接的线段：一条从 (−4, 3) 到 (1, 3) 和另一条从 (1, 3) 到 (1.5, 4)。

对于以下练习，利用导数的极限定义证明每个给定函数在 $x = a$ 处的导数不存在。

41.

$f (x) = x^{1 / 3}, x = 0$

42.

$f (x) = x^{2 / 3}, x = 0$

43.

$f (x) = {\begin{matrix} 1, x < 1 \\ x, x \geq 1 \end{matrix}, x = 1$

44.

$f (x) = \frac{| x |}{x}, x = 0$

45.

[T] 一辆赛车沿直线赛道行驶 $t$ 秒后的位置（单位为英尺）由函数 $s (t) = 8 t^{2} - \frac{1}{16} t^{3} .$ 建模。

求车辆在以下时间间隔内的平均速度，精确到四位小数：
1. [4, 4.1]
2. [4, 4.01]
3. [4, 4.001]
4. [4, 4.0001]
根据 a. 的结果，推断车辆在 $t = 4$ 秒时的瞬时速度。

46.

[T] 一个球沿斜坡滚下的距离（单位：英尺）由函数 $s (t) = 14 t^{2},$ 建模，其中 t 是球开始滚动后的秒数。

求球在以下时间区间内的平均速度：
1. [5, 5.1]
2. [5, 5.01]
3. [5, 5.001]
4. [5, 5.0001]
根据a的答案，推断球在 $t = 5$ 秒时的瞬时速度。

47.

两辆车沿同一条直线并排出发。它们的位移函数如下图形所示，分别为 $s = f (t)$ 和 $s = g (t),$ 给出，其中 $s$ 以英尺为单位， $t$ 以秒为单位。

函数 s = g(t) 和 s = f(t) 的图形。第一个函数 s = g(t) 从 (0, 0) 开始，向上弯曲，大致经过 (2, 1) 到 (4, 4)。第二个函数 s = f(t) 是一条直线，经过 (0, 0) 和 (4, 4)。

在 $t = 2$ 秒时，哪辆车行驶得更远？
在 $t = 3$ 秒时，每辆车的近似速度是多少？
在 $t = 4$ 秒时，哪辆车行驶得更快？
在 $t = 4$ 秒时，两辆车的位置有什么特点？

48.

[T] 生产 $x$ 千罐蛋黄酱的总成本 $C (x),$ （单位：百美元）由 $C (x) = 0.000003 x^{3} + 4 x + 300 .$ 给出。

计算在以下区间内每罐的平均成本：
1. [100, 100.1]
2. [100, 100.01]
3. [100, 100.001]
4. [100, 100.0001]
根据a的答案，估计生产 $100,000$ 罐蛋黄酱的平均成本。

49.

[T] 对于函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12,$ ，完成以下任务。

用图形计算器在合适的窗口中画出 f 的图形。
利用计算器的ZOOM功能，近似求满足 $m_{tan} = f^{'} (a) = 0 .$ 的 $x = a$ 的两个值。

50.

[T] 对于函数 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}},$ ，完成以下任务。

用图形计算器在合适的窗口中画出 $f$ 的图形。
利用计算器的ZOOM功能，近似求满足 $m_{tan} = f^{'} (a) = 0 .$ 的 $x = a$ 的值。

51.

假设 $N (x)$ 表示一辆车行驶 $x$ 英里所消耗的汽油加仑数。假设该车的油耗为 $30$ 英里/加仑。

求 $N (x) .$ 的数学表达式。
$N (100)?$ 是什么？解释其物理意义。
$N^{'} (100) ?$ 是什么？解释其物理意义。

52.

[T] 对于函数 $f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4,$ ，完成以下任务。

用图形计算器在合适的窗口中画出 $f$ 的图形。
使用图形计算器上的 $nDeriv$ 函数（用于数值求导数），估计 $f^{'} (−2), f^{'} (−0.5), f^{'} (1.7),$ 和 $f^{'} (2.718) .$ 。

53.

[T] 对于函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1},$ ，完成以下任务。

用图形计算器在合适的窗口中画出 $f$ 的图形。
使用图形计算器上的 $nDeriv$ 函数，求 $f^{'} (−4), f^{'} (−2), f^{'} (2),$ 和 $f^{'} (4) .$ 。