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无穷远处的极限与渐近线

4.6 无穷远处的极限与渐近线

学习目标

  • 4.6.1 计算当 x x 无限增大或减小时函数的极限。
  • 4.6.2 识别函数图形上的水平渐近线。
  • 4.6.3 估计当 x x 无限增大或减小时函数的端部行为。
  • 4.6.4 识别函数图形上的斜渐近线。
  • 4.6.5 综合分析函数及其导数来绘制函数图形。

前面已经介绍了如何利用一阶导数和二阶导数来描述图形的形状。为了绘制定义在无界定义域上的函数 ff 的图形，我们还需要了解当 x→±∞.x→±∞. 时 ff 的行为。本节定义无穷远处的极限，并讨论它对函数图形的影响。本节最后将给出绘制任意函数 f.f. 图形的一种策略。

无穷远处的极限

我们首先探讨函数在无穷远处具有有限极限的含义。然后，我们研究函数在无穷远处具有无穷极限的概念。回顾函数和图形导论，我们讨论了垂直渐近线；在本节中，我们将讨论水平渐近线和斜渐近线。

无穷远处的极限与水平渐近线

回想一下，limx→af(x)=Llimx→af(x)=L 意味着只要 xx 足够接近 a.a.，f(x)f(x) 就会任意接近 LL。我们可以将这个概念扩展到无穷远处的极限。例如，考虑函数 f(x)=2+1x.f(x)=2+1x.。正如在图 4.40中以图形方式和在表 4.2中以数值方式所见，当 xx 的值变大时，f(x)f(x) 的值趋近于 2.2.。我们说当 xx 趋近于 ∞∞ 时，f(x)f(x) 的极限是 22，并记作 limx→∞f(x)=2.limx→∞f(x)=2.。类似地，对于 x<0,x<0,，当 |x||x| 的值变大时，f(x)f(x) 的值趋近于 2.2.。我们说当 xx 趋近于 −∞−∞ 时，f(x)f(x) 的极限是 22，并记作 limx→-∞f(x)=2.limx→-∞f(x)=2.。

函数 f(x) = 2 + 1/x 的图形。该函数在 y = 2 附近开始为负，但在 x = 0 附近减小到 −∞。然后，该函数从 x = 0 附近的 ∞ 减小，并随着 x 的增大而接近 y = 2。有一条水平线表示渐近线 y = 2。
图 4.40 当 xx 趋近于 ±∞.±∞. 时，函数趋近于渐近线 y=2y=2。
xx 1010 100100 1,0001,000 10,00010,000
2+1x2+1x 2.12.1 2.012.01 2.0012.001 2.00012.0001
xx −10−10 −100−100 −1000−1000 −10,000−10,000
2+1x2+1x 1.91.9 1.991.99 1.9991.999 1.99991.9999
表 4.2 函数 f f 当 x → ± ∞ x → ± ∞ 时的值

更一般地，对于任意函数 f,f,，如果只要 xx 足够大，f(x)f(x) 就任意接近 LL，我们说当 x→∞x→∞ 时 f(x)f(x) 的极限是 LL。这时，我们记作 limx→∞f(x)=L.limx→∞f(x)=L.。类似地，如果只要 x<0x<0 且 |x||x| 足够大，f(x)f(x) 就任意接近 LL，我们说当 x→−∞x→−∞ 时 f(x)f(x) 的极限是 LL。此时，我们记作 limx→−∞f(x)=L.limx→−∞f(x)=L.。现在来看函数在无穷远处具有极限的定义。

定义

（非正式定义）如果当 xx 变得足够大时，f(x)f(x) 的值任意接近 LL，我们说函数 ff 具有无穷远处的极限，并记作

limx→∞f(x)=L.limx→∞f(x)=L.

如果当 |x||x| 变得足够大时，f(x)f(x) 的值对于 x<0x<0 任意接近 LL，我们说函数 ff 具有负无穷远处的极限，并记作

limx→–∞f(x)=L.limx→–∞f(x)=L.

如果当 x→∞x→∞ 或 x→−∞,x→−∞, 时，f(x)f(x) 的值任意接近某个有限值 LL，则函数 ff 的图形趋近于直线 y=L.y=L.。这时，直线 y=Ly=L 是 ff 的水平渐近线（图 4.41）。例如，对于函数 f(x)=1x,f(x)=1x,，由于 limx→∞f(x)=0,limx→∞f(x)=0,，直线 y=0y=0 是 f(x)=1x.f(x)=1x. 的水平渐近线。

定义

如果 limx→∞f(x)=Llimx→∞f(x)=L 或 limx→−∞f(x)=L,limx→−∞f(x)=L,，我们说直线 y=Ly=L 是 f.f. 的水平渐近线。

该图分为两个子图，标记为 a 和 b。图 a 显示函数 f(x) 从上方趋近但不接触水平虚线 L。图 b 显示函数 f(x) 从下方趋近但不接触水平虚线 M。
图 4.41 (a) 当 x→∞,x→∞, 时，ff 的值任意接近 L.L.。直线 y=Ly=L 是 f.f. 的水平渐近线。(b) 当 x→−∞,x→−∞, 时，ff 的值任意接近 M.M.。直线 y=My=M 是 f.f. 的水平渐近线。

函数不能穿过垂直渐近线，因为当 xx 趋近于垂直渐近线时，图形必须至少从一个方向趋近于无穷大（或 −∞)−∞)）。然而，函数可以穿过水平渐近线。事实上，函数可以无限次地穿过水平渐近线。例如，图 4.42中所示的函数 f(x)=(cosx)x+1f(x)=(cosx)x+1 在其围绕渐近线振荡且振幅不断减小时，与水平渐近线 y=1y=1 相交无限次。

函数 f(x) =/x + 1 的图形。它从 (0, ∞) 递减，然后围绕 y = 1 振荡，振幅不断减小。
图 4.42 f(x)=(cosx)/x+1f(x)=(cosx)/x+1 的图形无限次地穿过其水平渐近线 y=1y=1。

我们在极限导论中介绍的极限的代数法则和夹逼定理也适用于无穷远处的极限。我们将演示如何使用这些法则来计算几个无穷远处的极限。

例 4.21

计算无穷远处的极限

对于以下每个函数 f,f,，计算 limx→∞f(x)limx→∞f(x) 和 limx→−∞f(x).limx→−∞f(x).。确定 f.f. 的水平渐近线。

  1. f(x)=5−2x2f(x)=5−2x2
  2. f(x)=sinxxf(x)=sinxx
  3. f(x)=tan−1(x)f(x)=tan−1(x)

解

  1. 使用极限的代数法则，我们有 limx→∞(5−2x2)=limx→∞5−2(limx→∞1x).(limx→∞1x)=5−2·0=5.limx→∞(5−2x2)=limx→∞5−2(limx→∞1x).(limx→∞1x)=5−2·0=5.
     类似地，limx→-∞f(x)=5.limx→-∞f(x)=5.。因此，f(x)=5−2x2f(x)=5−2x2 有一条水平渐近线 y=5y=5，并且 ff 当 x→±∞x→±∞ 时趋近于这条水平渐近线，如下图所示。
    函数 f(x) = 5 – 2/x2 的图形。当 x 趋近于 ±∞ 时，函数趋近于水平渐近线 y = 5。
    图 4.43 当 x→±∞.x→±∞. 时，此函数趋近于一条水平渐近线。
  2. 由于对所有 x,x, 都有 −1≤sinx≤1−1≤sinx≤1，我们有
    −1x≤sinxx≤1x−1x≤sinxx≤1x

     对所有 x≠0.x≠0. 成立。此外，由于
    limx→∞−1x=0=limx→∞1x,limx→∞−1x=0=limx→∞1x,

     我们可以应用夹逼定理得出结论
    limx→∞sinxx=0.limx→∞sinxx=0.

     类似地，
    limx→−∞sinxx=0.limx→−∞sinxx=0.

     因此，f(x)=sinxxf(x)=sinxx 有一条水平渐近线 y=0y=0，并且 f(x)f(x) 当 x→±∞x→±∞ 时趋近于这条水平渐近线，如下图所示。
    函数 f(x) =/x 的图形。它在 (0, 1) 处有一个全局最大值，然后围绕 y = 0 振荡，振幅不断减小。
    图 4.44 此函数多次穿过其水平渐近线。
  3. 为了计算 limx→∞tan−1(x)limx→∞tan−1(x) 和 limx→−∞tan−1(x),limx→−∞tan−1(x),，我们首先考虑函数 y=tan(x)y=tan(x) 在区间 (−π/2,π/2)(−π/2,π/2) 上的图形，如下图所示。
    函数 f(x) = tan x 的图形。它从 (−π/2, −∞) 递增，穿过原点，然后向 (π/2, ∞) 递增。有垂直虚线标记 x = ±π/2。
    图 4.45 tanxtanx 的图形在 x=±π2x=±π2 处有垂直渐近线。

由于

lim x → ( π / 2 ) − tan x = ∞ , lim x → ( π / 2 ) − tan x = ∞ ,

所以

lim x → ∞ tan −1 ( x ) = π 2 . lim x → ∞ tan −1 ( x ) = π 2 .

类似地，由于

lim x → ( –π / 2 ) + tan x = − ∞ , lim x → ( –π / 2 ) + tan x = − ∞ ,

因此

lim x → − ∞ tan −1 ( x ) = − π 2 . lim x → − ∞ tan −1 ( x ) = − π 2 .

结果，y=π2y=π2 和 y=−π2y=−π2 是 f(x)=tan−1(x)f(x)=tan−1(x) 的水平渐近线，如下图所示。

函数 f(x) = tan−1 x 的图形。它从 (−∞, −π/2) 递增，穿过原点，然后向 (∞, π/2) 递增。有水平虚线标记 y = ±π/2。
图 4.46 此函数有两条水平渐近线。

检验点 4.20

计算 limx→−∞(3+4x)limx→−∞(3+4x) 和 limx→∞(3+4x).limx→∞(3+4x).。确定 f(x)=3+4x,f(x)=3+4x, 的水平渐近线（如果有）。

无穷远处的无穷极限

有时，当 x→∞x→∞（或当 x→−∞).x→−∞).）时，函数 ff 的值会任意增大。此时，我们记作 limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞（或 limx→−∞f(x)=∞).limx→−∞f(x)=∞).）。另一方面，如果 ff 的值为负，但当 x→∞x→∞（或当 x→−∞),x→−∞),）时，其绝对值任意增大，我们记作 limx→∞f(x)=−∞limx→∞f(x)=−∞（或 limx→−∞f(x)=−∞).limx→−∞f(x)=−∞).）。

例如，考虑函数 f(x)=x3.f(x)=x3.。如表 4.3和图 4.47所示，当 x→∞x→∞ 时，f(x)f(x) 的值任意增大。因此，limx→∞x3=∞.limx→∞x3=∞.。另一方面，当 x→−∞,x→−∞, 时，f(x)=x3f(x)=x3 的值为负，但其绝对值任意增大。于是，limx→−∞x3=−∞.limx→−∞x3=−∞.。

xx 1010 2020 5050 100100 10001000
x3x3 10001000 80008000 125,000125,000 1,000,0001,000,000 1,000,000,0001,000,000,000
xx −10−10 −20−20 −50−50 −100−100 −1000−1000
x3x3 −1000−1000 −8000−8000 −125,000−125,000 −1,000,000−1,000,000 −1,000,000,000−1,000,000,000
表 4.3 幂函数当 x → ± ∞ x → ± ∞ 时的值
函数 f(x) = x3 的图形。显然，当 x 趋近于无穷大时，此函数迅速趋近于无穷大。
图 4.47 对于此函数，当 x→±∞.x→±∞. 时，函数值趋近于无穷大。

定义

（非正式定义）如果当 xx 足够大时，f(x)f(x) 任意增大，我们说函数 ff 具有无穷远处的无穷极限，并记作

limx→∞f(x)=∞.limx→∞f(x)=∞.

如果当 xx 足够大时，f(x)f(x) 任意增大。我们说函数具有负无穷远处的无穷极限，并记作

limx→∞f(x)=−∞.limx→∞f(x)=−∞.

如果当 xx 足够大时，f(x)<0f(x)<0 且 |f(x)||f(x)| 任意增大。类似地，我们可以定义当 x→−∞.x→−∞. 时的无穷极限。

形式化定义

前面，我们用任意接近、任意大和足够大等术语非正式地定义了无穷远处的极限。尽管这些术语准确描述了无穷远处的极限，但它们在数学上不够精确。下面是无穷远处的极限更形式化的定义。然后，我们将探讨如何使用这些定义来证明涉及无穷远处的极限的结果。

定义

（形式化）我们称函数ff具有无穷远处的极限，如果存在一个实数LL，使得对所有ε>0,ε>0,，都存在N>0N>0，使得

|f(x)−L|<ε|f(x)−L|<ε

对所有x>N.x>N.都成立。这时，我们记作

limx→∞f(x)=Llimx→∞f(x)=L

（参见图 4.48）。

我们称函数ff具有负无穷远处的极限，如果存在一个实数LL，使得对所有ε>0,ε>0,，都存在N<0N<0，使得

|f(x)−L|<ε|f(x)−L|<ε

对所有x<N.x<N.都成立。此时，我们记作

limx→−∞f(x)=L.limx→−∞f(x)=L.
函数f(x)的图形，它在L处有一条水平渐近线。L在y轴上标出，L + ॉ和L – ॉ也标出。在x轴上，N被标记为x的值，使得f(x) = L + ॉ。
图 4.48 对于具有无穷远处的极限的函数，对所有x>N,x>N,，|f(x)−L|<ε.|f(x)−L|<ε.

在本节前面，我们使用图 4.40中的图形证据和表 4.2中的数值证据得出结论：limx→∞(2+1x)=2.limx→∞(2+1x)=2.。这里我们使用无穷远处的极限的形式化定义来严格证明这个结果。

例 4.22

无穷远处的有限极限示例

使用无穷远处的极限的形式化定义来证明limx→∞(2+1x)=2.limx→∞(2+1x)=2.。

解

设ε>0.ε>0.。设N=1ε.N=1ε.。因此，对所有x>N,x>N,，我们有

| 2 + 1 x − 2 | = | 1 x | = 1 x < 1 N = ε . | 2 + 1 x − 2 | = | 1 x | = 1 x < 1 N = ε .

检验点 4.21

使用无穷远处的极限的形式化定义来证明limx→∞(3−1x2)=3.limx→∞(3−1x2)=3.。

现在转向无穷远处的无穷极限的更精确定义。

定义

（形式化）我们称函数ff具有无穷远处的无穷极限，并记作

limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞

如果对所有M>0,M>0,，都存在N>0N>0，使得

f(x)>Mf(x)>M

对所有x>Nx>N都成立（参见图 4.49）。

我们称函数具有无穷远处的负无穷极限，并记作

limx→∞f(x)=−∞limx→∞f(x)=−∞

如果对所有M<0,M<0,，都存在N>0N>0，使得

f(x)<Mf(x)<M

对所有x>N.x>N.都成立。

类似地，我们可以定义x→−∞.x→−∞.时的极限。

函数f(x)的图形。在x = N之后，它继续快速增加，且f(N) = M。
图 4.49 对于具有无穷远处的无穷极限的函数，对所有x>N,x>N,，f(x)>M.f(x)>M.

前面，我们使用图形证据（图 4.47）和数值证据（表 4.3）得出结论：limx→∞x3=∞.limx→∞x3=∞.。这里我们使用无穷远处的无穷极限的形式化定义来证明这个结果。

例 4.23

无穷远处的无穷极限

使用无穷远处的无穷极限的形式化定义来证明limx→∞x3=∞.limx→∞x3=∞.。

解

设M>0.M>0.。设N=M3.N=M3.。那么，对所有x>N,x>N,，我们有

x 3 > N 3 = ( M 3 ) 3 = M . x 3 > N 3 = ( M 3 ) 3 = M .

因此，limx→∞x3=∞.limx→∞x3=∞.。

检验点 4.22

使用无穷远处的无穷极限的形式化定义来证明limx→∞3x2=∞.limx→∞3x2=∞.。

端部行为

函数当x→±∞x→±∞时的行为称为函数的端部行为。在函数的每个端点处，函数可能表现出以下几种行为：

  1. 函数f(x)f(x)趋近于一条水平渐近线y=L.y=L.。
  2. 函数f(x)→∞f(x)→∞或f(x)→−∞.f(x)→−∞.。
  3. 函数不趋近于有限极限，也不趋近于∞∞或−∞.−∞.。这时，函数可能具有某种振荡行为。

我们在这里考虑几类函数，并考察这些函数的不同类型的端部行为。

多项式函数的端部行为

考虑幂函数f(x)=xnf(x)=xn，其中nn是一个正整数。从图 4.50和图 4.51中可以看出，

limx→∞xn=∞;n=1,2,3,…limx→∞xn=∞;n=1,2,3,…

以及

limx→−∞xn={∞;n=2,4,6,…−∞;n=1,3,5,….limx→−∞xn={∞;n=2,4,6,…−∞;n=1,3,5,….
函数x2、x4和x6的图形，很明显，随着指数的增长，函数增加得更快。
图 4.50 对于偶数指数的幂函数n,n,，limx→∞xn=∞=limx→−∞xn.limx→∞xn=∞=limx→−∞xn.
函数x、x3和x5的图形，很明显，随着指数的增长，函数增加得更快。
图 4.51 对于奇数指数的幂函数n,n,，limx→∞xn=∞limx→∞xn=∞和limx→−∞xn=−∞.limx→−∞xn=−∞.

利用这些事实，不难计算limx→∞cxnlimx→∞cxn和limx→−∞cxn,limx→−∞cxn,，其中cc是任意常数，nn是正整数。如果c>0,c>0,，则y=cxny=cxn的图形是y=xn,y=xn,的垂直拉伸或压缩，所以

limx→∞cxn=limx→∞xn且limx→−∞cxn=limx→−∞xn若c>0.limx→∞cxn=limx→∞xn且limx→−∞cxn=limx→−∞xn若c>0.

如果c<0,c<0,，则y=cxny=cxn的图形是垂直拉伸或压缩与关于xx轴的反射的组合，因此

limx→∞cxn=−limx→∞xn且limx→−∞cxn=−limx→−∞xn若c<0.limx→∞cxn=−limx→∞xn且limx→−∞cxn=−limx→−∞xn若c<0.

如果c=0,y=cxn=0,c=0,y=cxn=0,，此时limx→∞cxn=0=limx→−∞cxn.limx→∞cxn=0=limx→−∞cxn.。

例 4.24

幂函数的无穷远处的极限

对于每个函数f,f,，计算limx→∞f(x)limx→∞f(x)和limx→−∞f(x).limx→−∞f(x).。

  1. f(x)=−5x3f(x)=−5x3
  2. f(x)=2x4f(x)=2x4

解

  1. 由于x3x3的系数是−5,−5,，因此f(x)=−5x3f(x)=−5x3的图形涉及y=x3y=x3的图形的垂直拉伸和关于xx轴的反射。于是，limx→∞(−5x3)=−∞limx→∞(−5x3)=−∞和limx→−∞(−5x3)=∞.limx→−∞(−5x3)=∞.。
  2. 由于x4x4的系数是2,2,，因此f(x)=2x4f(x)=2x4的图形是y=x4.y=x4.的图形的垂直拉伸。因此，limx→∞2x4=∞limx→∞2x4=∞和limx→−∞2x4=∞.limx→−∞2x4=∞.。

检验点 4.23

设f(x)=−3x4.f(x)=−3x4.。求limx→∞f(x).limx→∞f(x).。

现在来看看如何利用幂函数的无穷远处的极限来确定任意多项式函数f.f.的limx→±∞f(x)limx→±∞f(x)。考虑一个多项式函数

f(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0f(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0

其次数为n≥1n≥1，使得an≠0.an≠0.。因式分解后，可以看出

f(x)=anxn(1+an−1an1x+…+a1an1xn−1+a0an1xn).f(x)=anxn(1+an−1an1x+…+a1an1xn−1+a0an1xn).

当x→±∞,x→±∞,时，括号内的所有项都趋近于零，除了第一项。可见

limx→±∞f(x)=limx→±∞anxn.limx→±∞f(x)=limx→±∞anxn.

例如，函数f(x)=5x3−3x2+4f(x)=5x3−3x2+4当x→±∞x→±∞时，其行为类似于g(x)=5x3g(x)=5x3，如图 4.52和表 4.4所示。

函数f(x) = 5x3 – 3x2 + 4和g(x) = 5x3都被绘制出来。它们在大的正数和大的负数时的行为趋于一致。
图 4.52 多项式的端部行为由具有最大指数的项决定。
xx 1010 100100 10001000
f(x)=5x3−3x2+4f(x)=5x3−3x2+4 47044704 4,970,0044,970,004 4,997,000,0044,997,000,004
g(x)=5x3g(x)=5x3 50005000 5,000,0005,000,000 5,000,000,0005,000,000,000
xx −10−10 −100−100 −1000−1000
f(x)=5x3−3x2+4f(x)=5x3−3x2+4 −5296−5296 −5,029,996−5,029,996 −5,002,999,996−5,002,999,996
g(x)=5x3g(x)=5x3 −5000−5000 −5,000,000−5,000,000 −5,000,000,000−5,000,000,000
表 4.4 多项式的端部行为由具有最大指数的项决定。

代数函数的端部行为

有理函数和涉及根式的函数的端部行为比多项式函数略微复杂。在例 4.25中，我们展示了有理函数f(x)=p(x)q(x)f(x)=p(x)q(x)在无穷远处的极限取决于分子次数和分母次数之间的关系。为了计算有理函数在无穷远处的极限，我们将分子和分母同除以分母中出现的xx的最高次幂。这决定了在x.x.取大值时，整个表达式中哪个项主导函数的行为。

例 4.25

确定有理函数的端部行为

对于以下每个函数，确定当x→∞x→∞和x→−∞.x→−∞.时的极限。然后，利用这些信息描述函数的端部行为。

  1. f(x)=3x−12x+5f(x)=3x−12x+5 （注意：分子和分母的次数相同。）
  2. f(x)=3x2+2x4x3−5x+7f(x)=3x2+2x4x3−5x+7 （注意：分子次数小于分母次数。）
  3. f(x)=3x2+4xx+2f(x)=3x2+4xx+2 （注意：分子次数大于分母次数。）

解

  1. 分母中xx的最高次幂是x.x.。所以，将分子和分母同除以xx并应用代数极限法则，可得
    limx→±∞3x−12x+5=limx→±∞3−1/x2+5/x=limx→±∞(3−1/x)limx→±∞(2+5/x)=limx→±∞3−limx→±∞1/xlimx→±∞2+limx→±∞5/x=3−02+0=32.limx→±∞3x−12x+5=limx→±∞3−1/x2+5/x=limx→±∞(3−1/x)limx→±∞(2+5/x)=limx→±∞3−limx→±∞1/xlimx→±∞2+limx→±∞5/x=3−02+0=32.

     由于limx→±∞f(x)=32,limx→±∞f(x)=32,，我们知道y=32y=32是该函数的水平渐近线，如下图所示。
    函数 f(x) = (3x - 1)/(2x + 5) 及其水平渐近线 y = 3/2 的图形。
    图 4.53 当x→±∞.x→±∞.时，此有理函数的图形趋近于一条水平渐近线。
  2. 由于分母中xx的最高次幂是x3,x3,，将分子和分母同除以x3.x3.。这样做并应用代数极限法则后，可得
    limx→±∞3x2+2x4x3−5x+7=limx→±∞3/x+2/x24−5/x2+7/x3=3(0)+2(0)4−5(0)+7(0)=0.limx→±∞3x2+2x4x3−5x+7=limx→±∞3/x+2/x24−5/x2+7/x3=3(0)+2(0)4−5(0)+7(0)=0.

     因此，ff有一条水平渐近线y=0y=0，如下图所示。
    函数 f(x) = (3x2 + 2x)/(4x2 – 5x + 7) 及其水平渐近线 y = 0 的图形。
    图 4.54 当x→±∞.x→±∞.时，此有理函数的图形趋近于水平渐近线y=0y=0。
  3. 将分子和分母同除以x,x,，可得
    limx→±∞3x2+4xx+2=limx→±∞3x+41+2/x.limx→±∞3x2+4xx+2=limx→±∞3x+41+2/x.

     当x→±∞,x→±∞,时，分母趋近于1.1.。当x→∞,x→∞,时，分子趋近于+∞.+∞.。当x→−∞,x→−∞,时，分子趋近于−∞.−∞.。因此，limx→∞f(x)=∞,limx→∞f(x)=∞,，而limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞，如下图所示。
    函数 f(x) = (3x2 + 4x)/(x + 2) 的图形。它似乎有一条斜渐近线以及在 x = −2 处有一条垂直渐近线。
    图 4.55 当x→∞,x→∞,时，f(x)→∞.f(x)→∞.。当x→−∞,x→−∞,时，f(x)→−∞.f(x)→−∞.。

检验点 4.24

计算limx→±∞3x2+2x−15x2−4x+7limx→±∞3x2+2x−15x2−4x+7并利用这些极限确定f(x)=3x2+2x−15x2−4x+7.f(x)=3x2+2x−15x2−4x+7.的端部行为。

在继续之前，考虑图 4.56中所示的f(x)=(3x2+4x)(x+2)f(x)=(3x2+4x)(x+2)的图形。当x→∞x→∞和x→−∞,x→−∞,时，ff的图形看起来几乎是线性的。尽管ff当然不是一个线性函数，但我们现在研究为什么ff的图形似乎趋近于一个线性函数。首先，使用多项式长除法，我们可以写成

f(x)=3x2+4xx+2=3x−2+4x+2.f(x)=3x2+4xx+2=3x−2+4x+2.

由于当x→±∞,x→±∞,时4(x+2)→04(x+2)→0，于是

limx→±∞(f(x)−(3x−2))=limx→±∞4x+2=0.limx→±∞(f(x)−(3x−2))=limx→±∞4x+2=0.

于是，当x→±∞.x→±∞.时，ff的图形趋近于直线y=3x−2y=3x−2。这条直线被称为ff的斜渐近线（图 4.56）。

函数 f(x) = (3x2 + 4x)/(x + 2) 及其斜渐近线 y = 3x – 2 的图形。
图 4.56 有理函数f(x)=(3x2+4x)/(x+2)f(x)=(3x2+4x)/(x+2)当x→±∞x→±∞时，其图形趋近于斜渐近线y=3x−2.y=3x−2.。

我们可以总结例 4.25的结果，对有理函数的端部行为得出以下结论。考虑一个有理函数

f(x)=p(x)q(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0bmxm+bm−1xm−1+…+b1x+b0,f(x)=p(x)q(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0bmxm+bm−1xm−1+…+b1x+b0,

其中an≠0且bm≠0.an≠0且bm≠0.。

  1. 如果分子次数与分母次数相同（(n=m),(n=m),），那么当x→±∞.x→±∞.时，ff有一条水平渐近线y=an/bmy=an/bm。
  2. 如果分子次数小于分母次数（(n<m),(n<m),），那么当x→±∞.x→±∞.时，ff有一条水平渐近线y=0y=0。
  3. 如果分子次数大于分母次数（(n>m),(n>m),），那么ff没有水平渐近线。无穷远处的极限是正无穷大或负无穷大，这取决于首项的符号。此外，使用长除法，函数可以改写为
    f(x)=p(x)q(x)=g(x)+r(x)q(x),f(x)=p(x)q(x)=g(x)+r(x)q(x),

     其中r(x)r(x)的次数小于q(x).q(x).的次数。因此，limx→±∞r(x)/q(x)=0.limx→±∞r(x)/q(x)=0.。所以，当x→±∞.x→±∞.时，[f(x)−g(x)][f(x)−g(x)]的值趋近于零。如果p(x)p(x)的次数恰好比q(x)q(x)的次数大1（(n=m+1),(n=m+1),），则函数g(x)g(x)是一个线性函数。这时，我们称g(x)g(x)为斜渐近线。
     现在来考虑涉及根式的函数的端部行为。

例 4.26

确定涉及根式函数的端部行为

求函数f(x)=3x−24x2+5f(x)=3x−24x2+5当x→∞x→∞和x→−∞x→−∞时的极限，并描述f.f.的端部行为。

解

我们采用与有理函数相同的策略：分子和分母同除以x.x.的幂。为了确定x,x,的合适幂，考虑分母中的表达式4x2+54x2+5。由于

4 x 2 + 5 ≈ 4 x 2 = 2 | x | 4 x 2 + 5 ≈ 4 x 2 = 2 | x |

对于xx的大值，xx实际上只以一次幂出现在分母中。因此，我们将分子和分母同除以|x|.|x|.。然后，利用事实：当x>0,x>0,时|x|=x|x|=x，当x<0,x<0,时|x|=−x|x|=−x，以及对所有x,x,都有|x|=x2|x|=x2，我们计算极限如下：

lim x → ∞ 3 x − 2 4 x 2 + 5 = lim x → ∞ ( 1 / | x | ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / | x | ) 4 x 2 + 5 = lim x → ∞ ( 1 / x ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / x 2 ) ( 4 x 2 + 5 ) = lim x → ∞ 3 − 2 / x 4 + 5 / x 2 = 3 4 = 3 2 lim x → − ∞ 3 x − 2 4 x 2 + 5 = lim x → − ∞ ( 1 / | x | ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / | x | ) 4 x 2 + 5 = lim x → − ∞ ( −1 / x ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / x 2 ) ( 4 x 2 + 5 ) = lim x → − ∞ −3 + 2 / x 4 + 5 / x 2 = −3 4 = −3 2 . lim x → ∞ 3 x − 2 4 x 2 + 5 = lim x → ∞ ( 1 / | x | ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / | x | ) 4 x 2 + 5 = lim x → ∞ ( 1 / x ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / x 2 ) ( 4 x 2 + 5 ) = lim x → ∞ 3 − 2 / x 4 + 5 / x 2 = 3 4 = 3 2 lim x → − ∞ 3 x − 2 4 x 2 + 5 = lim x → − ∞ ( 1 / | x | ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / | x | ) 4 x 2 + 5 = lim x → − ∞ ( −1 / x ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / x 2 ) ( 4 x 2 + 5 ) = lim x → − ∞ −3 + 2 / x 4 + 5 / x 2 = −3 4 = −3 2 .

所以，当x→∞x→∞时，f(x)f(x)趋近于水平渐近线y=32y=32；当x→−∞x→−∞时，趋近于水平渐近线y=−32y=−32，如下图所示。

函数 f(x) = (3x − 2)/√(4x2 + 5) 的图形。它有两条水平渐近线 y = ±3/2，并且在从下方收敛于 y = −3/2 之前穿过该线。
图 4.57 此函数有两条水平渐近线，并穿过其中一条渐近线。

检验点 4.25

计算limx→∞3x2+4x+6.limx→∞3x2+4x+6.。

确定超越函数的端部行为

六个基本三角函数是周期性的，当x→±∞.x→±∞.时，它们不趋近于有限极限。例如，sinxsinx在1且−11且−1之间振荡（图 4.58）。正切函数xx当x→±∞;x→±∞;时有无穷多条垂直渐近线；因此，当x→±∞x→±∞时，它不趋近于有限极限，也不趋近于±∞±∞，如图 4.59所示。

函数 f(x) = sin x 的图形。
图 4.58 当x→±∞x→±∞时，函数f(x)=sinxf(x)=sinx在1且−11且−1之间振荡。
函数 f(x) = tan x 的图形。
图 4.59 当x→±∞x→±∞时，函数f(x)=tanxf(x)=tanx不趋近于极限，也不趋近于±∞±∞。

回想一下，对于任意底数b>0,b≠1,b>0,b≠1,，函数y=bxy=bx是一个指数函数，其定义域为(−∞,∞)(−∞,∞)，值域为(0,∞).(0,∞).。如果b>1,y=bxb>1,y=bx，则y=bxy=bx在`(−∞,∞).`(−∞,∞).上递增。如果0<b<1,0<b<1,，则y=bxy=bx在(−∞,∞).(−∞,∞).上递减。对于自然指数函数f(x)=ex,f(x)=ex,，e≈2.718>1.e≈2.718>1.。因此，f(x)=exf(x)=ex在`(−∞,∞)`(−∞,∞)上递增，值域为`(0,∞).`(0,∞).。指数函数f(x)=exf(x)=ex当x→∞x→∞时趋近于∞∞，当x→−∞x→−∞时趋近于00，如表 4.5和图 4.60所示。

xx −5−5 −2−2 00 22 55
exex 0.006740.00674 0.1350.135 11 7.3897.389 148.413148.413
表 4.5 自然指数函数的端部行为
函数 f(x) = ex 的图形。
图 4.60 当x→−∞x→−∞时，指数函数趋近于零；当x→∞.x→∞.时，趋近于∞∞。

回想一下，自然对数函数f(x)=ln(x)f(x)=ln(x)是自然指数函数y=ex.y=ex.的反函数。于是，f(x)=ln(x)f(x)=ln(x)的定义域是(0,∞)(0,∞)，值域是(−∞,∞).(−∞,∞).。f(x)=ln(x)f(x)=ln(x)的图形是y=exy=ex的图形关于直线y=x.y=x.的反射。因此，当x→0+x→0+时ln(x)→−∞ln(x)→−∞，当x→∞x→∞时ln(x)→∞ln(x)→∞，如图 4.61和表 4.6所示。

xx 0.010.01 0.10.1 11 1010 100100
ln(x)ln(x) −4.605−4.605 −2.303−2.303 00 2.3032.303 4.6054.605
表 4.6 自然对数函数的端部行为
函数 f(x) = ln(x) 的图形。
图 4.61 当x→∞.x→∞.时，自然对数函数趋近于∞∞。

例 4.27

确定超越函数的端部行为

求函数f(x)=(2+3ex)(7−5ex)f(x)=(2+3ex)(7−5ex)当x→∞x→∞和x→−∞x→−∞时的极限，并描述f.f.的端部行为。

解

为了求当x→∞,x→∞,时的极限，将分子和分母同除以ex:ex:。

lim x → ∞ f ( x ) = lim x → ∞ 2 + 3 e x 7 − 5 e x = lim x → ∞ ( 2 / e x ) + 3 ( 7 / e x ) − 5 . lim x → ∞ f ( x ) = lim x → ∞ 2 + 3 e x 7 − 5 e x = lim x → ∞ ( 2 / e x ) + 3 ( 7 / e x ) − 5 .

如图 4.60所示，当x→∞.x→∞.时ex→∞ex→∞。因此，

lim x → ∞ 2 e x = 0 = lim x → ∞ 7 e x . lim x → ∞ 2 e x = 0 = lim x → ∞ 7 e x .

由此可得limx→∞f(x)=−35,limx→∞f(x)=−35,，并且当x→∞.x→∞.时，ff的图形趋近于水平渐近线y=−35y=−35。为了求当x→−∞,x→−∞,时的极限，利用事实：当x→−∞x→−∞时ex→0ex→0，得出结论limx→∞f(x)=27,limx→∞f(x)=27,，所以当x→−∞.x→−∞.时，图形趋近于水平渐近线y=27y=27。

检验点 4.26

求函数f(x)=(3ex−4)(5ex+2).f(x)=(3ex−4)(5ex+2).当x→∞x→∞和x→−∞x→−∞时的极限。

绘制函数图形的指导方针

至此，我们已掌握了足够的分析工具，可以绘制各类代数函数和超越函数的图形。在具体作图之前，先介绍绘制函数图形的一般策略。

解题策略

绘制函数图形

给定函数 f,f,，使用以下步骤绘制 f:f: 的图形：

  1. 确定函数的定义域。
  2. 找到 xx-截距和 yy-截距。
  3. 计算 limx→∞f(x)limx→∞f(x) 和 limx→−∞f(x)limx→−∞f(x) 以确定端部行为。如果这些极限中的任何一个是有限数 L,L,，则 y=Ly=L 是水平渐近线。如果这些极限中的任何一个是 ∞∞ 或 −∞,−∞,，则确定 ff 是否有斜渐近线。如果 ff 是一个有理函数，使得 f(x)=p(x)q(x),f(x)=p(x)q(x),，其中分子的次数大于分母的次数，则 ff 可以写成
    f(x)=p(x)q(x)=g(x)+r(x)q(x),f(x)=p(x)q(x)=g(x)+r(x)q(x),

     其中 r(x)r(x) 的次数小于 q(x).q(x). 的次数。当 x→±∞.x→±∞. 时，f(x)f(x) 的值趋近于 g(x)g(x) 的值。如果 g(x)g(x) 是一个线性函数，它被称为斜渐近线。
  4. 确定 ff 是否有任何垂直渐近线。
  5. 计算 f′.f′.。找到所有临界点并确定 ff 递增和 ff 递减的区间。确定 ff 是否有任何局部极值。
  6. 计算 f″.f″.。确定 ff 的凹区间和凸区间。利用这些信息确定 ff 是否有拐点。二阶导数也可以用来确定或验证 ff 在临界点处是否有局部极值。

下面运用上述策略来绘制几种不同函数的图形，先从一个多项式函数开始。

例 4.28

绘制多项式函数的图形

绘制 f(x)=(x−1)2(x+2).f(x)=(x−1)2(x+2). 的图形。

解

步骤 1. 由于 ff 是一个多项式，其定义域是所有实数的集合。

步骤 2. 当 x=0x=0 时，f(x)=2.f(x)=2.。因此，yy-截距是 (0,2).(0,2).。为了找到 xx-截距，我们需要解方程 (x−1)2(x+2)=0,(x−1)2(x+2)=0,，这给出了 xx-截距 (1,0)(1,0) 和 (−2,0)(−2,0)。

步骤 3. 我们需要分析 f.f. 的端部行为。当 x→∞,x→∞, 时，(x−1)2→∞(x−1)2→∞ 和 (x+2)→∞.(x+2)→∞.。因此，limx→∞f(x)=∞.limx→∞f(x)=∞.。当 x→−∞,x→−∞, 时，(x−1)2→∞(x−1)2→∞ 和 (x+2)→−∞.(x+2)→−∞.。于是，limx→−∞f(x)=−∞.limx→−∞f(x)=−∞.。为了获得关于 f,f, 端部行为的更多信息，我们可以将 f.f. 的因子相乘。这样做时，可以看出

f ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( x + 2 ) = x 3 − 3 x + 2 . f ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( x + 2 ) = x 3 − 3 x + 2 .

由于 ff 的首项是 x3,x3,，由此可得，当 x→±∞.x→±∞. 时，ff 的行为类似于 y=x3y=x3。

步骤 4. 由于 ff 是一个多项式函数，它没有任何垂直渐近线。

步骤 5. ff 的一阶导数是

f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 . f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 .

因此，ff 有两个临界点：x=1,−1.x=1,−1.。将区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 分成三个较小的区间：(−∞,−1),(−∞,−1),、(−1,1),(−1,1), 和 (1,∞).(1,∞).。然后，从这些区间中选择检验点 x=−2,x=−2,、x=0,x=0, 和 x=2x=2，并评估 f′(x)f′(x) 在每个检验点处的符号，如下表所示。

区间 检验点 导数 f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1) 的符号 结论
(−∞,−1)(−∞,−1) x=−2x=−2 (+)(−)(−)=+(+)(−)(−)=+ ff 递增。
(−1,1)(−1,1) x=0x=0 (+)(−)(+)=−(+)(−)(+)=− ff 递减。
(1,∞)(1,∞) x=2x=2 (+)(+)(+)=+(+)(+)(+)=+ ff 递增。

从表中可以看出，ff 在 x=−1x=−1 处有局部最大值，在 x=1.x=1. 处有局部最小值。在这些点处评估 f(x)f(x)，我们发现局部最大值为 f(−1)=4f(−1)=4，局部最小值为 f(1)=0.f(1)=0.。

步骤 6. ff 的二阶导数是

f ″ ( x ) = 6 x . f ″ ( x ) = 6 x .

二阶导数在 x=0.x=0. 处为零。因此，为了确定 f,f, 的凹凸性，将区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 分成较小的区间 (−∞,0)(−∞,0) 和 (0,∞),(0,∞),，并选择检验点 x=−1x=−1 和 x=1x=1 来确定 ff 在这些较小区间上的凹凸性，如下表所示。

区间 检验点 f″(x)=6xf″(x)=6x 的符号 结论
(−∞,0)(−∞,0) x=−1x=−1 −− ff 凸的。
(0,∞)(0,∞) x=1x=1 ++ ff 凹的。

我们注意到，上表中的信息证实了在步骤 5,5, 中发现的事实，即 ff 在 x=−1x=−1 处有局部最大值，在 x=1.x=1. 处有局部最小值。此外，步骤 55 中发现的信息——即 ff 在 x=−1x=−1 处有局部最大值，在 x=1,x=1, 处有局部最小值，并且 f′(x)=0f′(x)=0 在这些点处——结合 f″f″ 仅在 x=0x=0 处改变符号的事实，证实了步骤 66 中关于 f.f. 凹凸性的结果。

综合这些信息，可得 f(x)=(x−1)2(x+2)f(x)=(x−1)2(x+2) 的图形，如下图所示。

函数 f(x) = (x −1)2 (x + 2) 的图形。它在 x = −2 处穿过 x 轴，在 x = 1 处与 x 轴相切。

检验点 4.27

绘制 f(x)=(x−1)3(x+2).f(x)=(x−1)3(x+2). 的图形。

例 4.29

绘制有理函数图形

绘制 f(x)=x2(1−x2).f(x)=x2(1−x2). 的图形。

解

步骤 1. 函数 ff 的定义域是所有实数 xx 的集合，除了 x=±1.x=±1.。

步骤 2. 找到截距。如果 x=0,x=0,，那么 f(x)=0,f(x)=0,，所以 00 是一个截距。如果 y=0,y=0,，那么 x2(1−x2)=0,x2(1−x2)=0,，这意味着 x=0.x=0.。所以，(0,0)(0,0) 是唯一的截距。

步骤 3. 评估无穷远处的极限。由于 ff 是一个有理函数，将分子和分母除以分母中的最高次幂：x2.x2.。可得

lim x → ± ∞ x 2 1 − x 2 = lim x → ± ∞ 1 1 x 2 − 1 = −1 . lim x → ± ∞ x 2 1 − x 2 = lim x → ± ∞ 1 1 x 2 − 1 = −1 .

因此，当 x→∞x→∞ 和 x→−∞.x→−∞. 时，ff 有一条水平渐近线 y=−1y=−1。

步骤 4. 为了确定 ff 是否有任何垂直渐近线，首先检查分母是否有零点。我们发现当 x=±1.x=±1. 时分母为零。为了确定直线 x=1x=1 或 x=−1x=−1 是否是 f,f, 的垂直渐近线，计算 limx→1f(x)limx→1f(x) 和 limx→−1f(x).limx→−1f(x).。通过观察当 x→1,x→1, 时的每个单侧极限，可以看出

lim x → 1 + x 2 1 − x 2 = − ∞ 且 lim x → 1 − x 2 1 − x 2 = ∞ . lim x → 1 + x 2 1 − x 2 = − ∞ 且 lim x → 1 − x 2 1 − x 2 = ∞ .

此外，通过观察当 x→−1,x→−1, 时的每个单侧极限，我们发现

lim x → − 1 + x 2 1 − x 2 = ∞ 且 lim x → − 1 − x 2 1 − x 2 = − ∞ . lim x → − 1 + x 2 1 − x 2 = ∞ 且 lim x → − 1 − x 2 1 − x 2 = − ∞ .

步骤 5. 计算一阶导数：

f ′ ( x ) = ( 1 − x 2 ) ( 2 x ) − x 2 ( −2 x ) ( 1 − x 2 ) 2 = 2 x ( 1 − x 2 ) 2 . f ′ ( x ) = ( 1 − x 2 ) ( 2 x ) − x 2 ( −2 x ) ( 1 − x 2 ) 2 = 2 x ( 1 − x 2 ) 2 .

临界点出现在 xx 处，其中 f′(x)=0f′(x)=0 或 f′(x)f′(x) 未定义。可以看出当 x=0.x=0. 时 f′(x)=0f′(x)=0。导数 f′f′ 在 f.f. 的定义域中的任何点处都没有未定义。不过，x=±1x=±1 不在 f.f. 的定义域中。因此，为了确定 ff 递增和 ff 递减的区间，将区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 分成四个较小的区间：(−∞,−1),(−∞,−1),、(−1,0),(−1,0),、(0,1),(0,1), 和 (1,∞),(1,∞),，并在每个区间中选择一个检验点来确定 f′(x)f′(x) 在这些区间中的符号。值 x=−2,x=−2,、x=−12,x=−12,、x=12,x=12, 和 x=2x=2 是很好的检验点选择，如下表所示。

区间 检验点 f′(x)=2x(1−x2)2f′(x)=2x(1−x2)2 的符号 结论
(−∞,−1)(−∞,−1) x=−2x=−2 −/+=−−/+=− ff 递减。
(−1,0)(−1,0) x=−1/2x=−1/2 −/+=−−/+=− ff 递减。
(0,1)(0,1) x=1/2x=1/2 +/+=++/+=+ ff 递增。
(1,∞)(1,∞) x=2x=2 +/+=++/+=+ ff 递增。

于是，ff 在 x=0x=0 处有局部最小值，但没有局部最大值。

步骤 6. 计算二阶导数：

f ″ ( x ) = ( 1 − x 2 ) 2 ( 2 ) − 2 x ( 2 ( 1 − x 2 ) ( −2 x ) ) ( 1 − x 2 ) 4 = ( 1 − x 2 ) [ 2 ( 1 − x 2 ) + 8 x 2 ] ( 1 − x 2 ) 4 = 2 ( 1 − x 2 ) + 8 x 2 ( 1 − x 2 ) 3 = 6 x 2 + 2 ( 1 − x 2 ) 3 . f ″ ( x ) = ( 1 − x 2 ) 2 ( 2 ) − 2 x ( 2 ( 1 − x 2 ) ( −2 x ) ) ( 1 − x 2 ) 4 = ( 1 − x 2 ) [ 2 ( 1 − x 2 ) + 8 x 2 ] ( 1 − x 2 ) 4 = 2 ( 1 − x 2 ) + 8 x 2 ( 1 − x 2 ) 3 = 6 x 2 + 2 ( 1 − x 2 ) 3 .

为了确定 ff 凹的和 ff 凸的区间，我们首先需要找到所有 xx 点，其中 f″(x)=0f″(x)=0 或 f″(x)f″(x) 未定义。由于分子 6x2+2≠06x2+2≠0 对于任何 x,x,，f″(x)f″(x) 从不为零。此外，f″f″ 对于 f.f. 定义域中的任何 xx 都没有未定义。然而，如前所述，x=±1x=±1 不在 f.f. 的定义域中。于是，为了确定 f,f, 的凹凸性，我们将区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 分成三个较小的区间 (−∞,−1),(−∞,−1),、(−1,−1),(−1,−1), 和 (1,∞),(1,∞),，并在每个区间中选择一个检验点来评估 f″(x).f″(x). 在这些区间中的符号。值 x=−2,x=−2,、x=0,x=0, 和 x=2x=2 是可能的检验点，如下表所示。

区间 检验点 f″(x)=6x2+2(1−x2)3f″(x)=6x2+2(1−x2)3 的符号 结论
(−∞,−1)(−∞,−1) x=−2x=−2 +/−=−+/−=− ff 凸的。
(−1,−1)(−1,−1) x=0x=0 +/+=++/+=+ ff 凹的。
(1,∞)(1,∞) x=2x=2 +/−=−+/−=− ff 凸的。

综合所有这些信息，可得 ff 的图形，如下图所示。注意，尽管 ff 在 x=−1x=−1 和 x=1,x=1, 处改变了凹凸性，但这些地方都没有拐点，因为 ff 在 x=−1x=−1 或 x=1.x=1. 处不连续。

函数 f(x) = x2/(1 − x2) 的图形。它有渐近线 y = −1、x = −1 和 x = 1。

检验点 4.28

绘制 f(x)=(3x+5)(8+4x).f(x)=(3x+5)(8+4x). 的图形。

例 4.30

绘制带斜渐近线的有理函数图形

绘制 f(x)=x2(x−1)f(x)=x2(x−1) 的图形。

解

步骤 1. ff 的定义域是所有实数 xx 的集合，除了 x=1.x=1.。

步骤 2. 找到截距。我们可以看到，当 x=0,x=0, 时，f(x)=0,f(x)=0,，所以 (0,0)(0,0) 是唯一的截距。

步骤 3. 评估无穷远处的极限。由于分子的次数比分母的次数高一次，ff 必须有一条斜渐近线。为了找到斜渐近线，使用多项式长除法写出

f ( x ) = x 2 x − 1 = x + 1 + 1 x − 1 . f ( x ) = x 2 x − 1 = x + 1 + 1 x − 1 .

由于当 x→±∞,x→±∞, 时 1/(x−1)→01/(x−1)→0，所以当 x→±∞.x→±∞. 时，f(x)f(x) 趋近于直线 y=x+1y=x+1。直线 y=x+1y=x+1 是 f.f. 的斜渐近线。

步骤 4. 为了检查垂直渐近线，查看分母为零的位置。这里分母在 x=1.x=1. 处为零。观察当 x→1,x→1, 时的两个单侧极限，我们发现

lim x → 1 + x 2 x − 1 = ∞ 且 lim x → 1 − x 2 x − 1 = − ∞ . lim x → 1 + x 2 x − 1 = ∞ 且 lim x → 1 − x 2 x − 1 = − ∞ .

因此，x=1x=1 是一条垂直渐近线，我们已经确定了当 xx 从右侧和左侧趋近于 11 时 ff 的行为。

步骤 5. 计算一阶导数：

f ′ ( x ) = ( x − 1 ) ( 2 x ) − x 2 ( 1 ) ( x − 1 ) 2 = x 2 − 2 x ( x − 1 ) 2 . f ′ ( x ) = ( x − 1 ) ( 2 x ) − x 2 ( 1 ) ( x − 1 ) 2 = x 2 − 2 x ( x − 1 ) 2 .

当 x2−2x=x(x−2)=0.x2−2x=x(x−2)=0. 时，我们有 f′(x)=0f′(x)=0。因此，x=0x=0 和 x=2x=2 是临界点。由于 ff 在 x=1,x=1, 处未定义，我们需要将区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 分成较小的区间 (−∞,0),(−∞,0),、(0,1),(0,1),、(1,2),(1,2), 和 (2,∞),(2,∞),，并从每个区间中选择一个检验点来评估 f′(x)f′(x) 在这些较小区间中的符号。例如，让 x=−1,x=−1,、x=12,x=12,、x=32,x=32, 和 x=3x=3 作为检验点，如下表所示。

区间 检验点 f′(x)=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2f′(x)=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2 的符号 结论
(−∞,0)(−∞,0) x=−1x=−1 (−)(−)/+=+(−)(−)/+=+ ff 递增。
(0,1)(0,1) x=1/2x=1/2 (+)(−)/+=−(+)(−)/+=− ff 递减。
(1,2)(1,2) x=3/2x=3/2 (+)(−)/+=−(+)(−)/+=− ff 递减。
(2,∞)(2,∞) x=3x=3 (+)(+)/+=+(+)(+)/+=+ ff 递增。

从这个表中可以看出，ff 在 x=0x=0 处有局部最大值，在 x=2.x=2. 处有局部最小值。ff 在局部最大值处的值是 f(0)=0f(0)=0，ff 在局部最小值处的值是 f(2)=4.f(2)=4.。所以，(0,0)(0,0) 和 (2,4)(2,4) 是图形上的重要点。

步骤 6. 计算二阶导数：

f ″ ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( 2 x − 2 ) − ( x 2 − 2 x ) ( 2 ( x − 1 ) ) ( x − 1 ) 4 = ( x − 1 ) [ ( x − 1 ) ( 2 x − 2 ) − 2 ( x 2 − 2 x ) ] ( x − 1 ) 4 = ( x − 1 ) ( 2 x − 2 ) − 2 ( x 2 − 2 x ) ( x − 1 ) 3 = 2 x 2 − 4 x + 2 − ( 2 x 2 − 4 x ) ( x − 1 ) 3 = 2 ( x − 1 ) 3 . f ″ ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( 2 x − 2 ) − ( x 2 − 2 x ) ( 2 ( x − 1 ) ) ( x − 1 ) 4 = ( x − 1 ) [ ( x − 1 ) ( 2 x − 2 ) − 2 ( x 2 − 2 x ) ] ( x − 1 ) 4 = ( x − 1 ) ( 2 x − 2 ) − 2 ( x 2 − 2 x ) ( x − 1 ) 3 = 2 x 2 − 4 x + 2 − ( 2 x 2 − 4 x ) ( x − 1 ) 3 = 2 ( x − 1 ) 3 .

可以看出，对于 f.f. 的定义域中的 xx，f″(x)f″(x) 从不为零或无定义。由于 ff 在 x=1,x=1, 处无定义，为了检查凹凸性，我们只需将区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 分成两个更小的区间 (−∞,1)(−∞,1) 和 (1,∞),(1,∞),，并从每个区间中选择一个检验点来评估 f″(x)f″(x) 在这些区间中的符号。x=0x=0 和 x=2x=2 是可能的检验点，如下表所示。

区间 检验点 f″(x)=2(x−1)3f″(x)=2(x−1)3 的符号 结论
(−∞,1)(−∞,1) x=0x=0 +/−=−+/−=− ff 是凸的。
(1,∞)(1,∞) x=2x=2 +/+=++/+=+ ff 是凹的。

根据收集到的信息，可得 f.f. 的图形如下。

函数 f(x) = x2/(x − 1) 的图形。它有渐近线 y = x + 1 和 x = 1。

检验点 4.29

求 f(x)=(3x3−2x+1)(2x2−4).f(x)=(3x3−2x+1)(2x2−4). 的斜渐近线。

例 4.31

绘制带有尖点的函数图形

绘制 f(x)=(x−1)2/3.f(x)=(x−1)2/3. 的图形。

解

步骤 1. 由于立方根函数对所有实数 xx 和 (x−1)2/3=(x−13)2,(x−1)2/3=(x−13)2, 都有定义，因此 ff 的定义域是所有实数。

步骤 2：为了找到 yy 截距，计算 f(0).f(0).。由于 f(0)=1,f(0)=1,，yy 截距是 (0,1).(0,1).。为了找到 xx 截距，解 (x−1)2/3=0.(x−1)2/3=0.。这个方程的解是 x=1,x=1,，所以 xx 截距是 (1,0).(1,0).。

步骤 3：由于 limx→±∞(x−1)2/3=∞,limx→±∞(x−1)2/3=∞,，当 x→∞x→∞ 和 x→−∞.x→−∞. 时，函数继续无界增长。

步骤 4：函数没有垂直渐近线。

步骤 5：为了确定 ff 在何处递增或递减，计算 f′.f′.。可得

f ′ ( x ) = 2 3 ( x − 1 ) −1 / 3 = 2 3 ( x − 1 ) 1 / 3 . f ′ ( x ) = 2 3 ( x − 1 ) −1 / 3 = 2 3 ( x − 1 ) 1 / 3 .

此函数在任何地方都不为零，但在 x=1.x=1. 时无定义。因此，唯一的临界点是 x=1.x=1.。将区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 分成更小的区间 (−∞,1)(−∞,1) 和 (1,∞),(1,∞),，并从每个区间中选择检验点来确定 f′(x)f′(x) 在这些更小区间中的符号。令 x=0x=0 和 x=2x=2 为检验点，如下表所示。

区间 检验点 f′(x)=23(x−1)1/3f′(x)=23(x−1)1/3 的符号 结论
(−∞,1)(−∞,1) x=0x=0 +/−=−+/−=− ff 是递减的。
(1,∞)(1,∞) x=2x=2 +/+=++/+=+ ff 是递增的。

故，ff 在 x=1.x=1. 处有一个局部最小值。计算 ff 在 x=1,x=1, 处的值，我们发现 ff 在局部最小值处的值为零。注意 f′(1)f′(1) 是无定义的，于是为了确定函数在此临界点处的行为，我们需要检查 limx→1f′(x).limx→1f′(x).。考察单侧极限，我们有

lim x → 1 + 2 3 ( x − 1 ) 1 / 3 = ∞ 且 lim x → 1 − 2 3 ( x − 1 ) 1 / 3 = − ∞ . lim x → 1 + 2 3 ( x − 1 ) 1 / 3 = ∞ 且 lim x → 1 − 2 3 ( x − 1 ) 1 / 3 = − ∞ .

因此，ff 在 x=1.x=1. 处有一个尖点。

步骤 6：为了确定凹凸性，我们计算 f:f: 的二阶导数。

f ″ ( x ) = − 2 9 ( x − 1 ) −4 / 3 = −2 9 ( x − 1 ) 4 / 3 . f ″ ( x ) = − 2 9 ( x − 1 ) −4 / 3 = −2 9 ( x − 1 ) 4 / 3 .

我们发现 f″(x)f″(x) 对所有 x,x, 都有定义，但在 x=1.x=1. 时无定义。因此，将区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 分成更小的区间 (−∞,1)(−∞,1) 和 (1,∞),(1,∞),，并选择检验点来评估 f″(x)f″(x) 在这些区间中的符号。如前所述，令 x=0x=0 和 x=2x=2 为检验点，如下表所示。

区间 检验点 f″(x)=−29(x−1)4/3f″(x)=−29(x−1)4/3 的符号 结论
(−∞,1)(−∞,1) x=0x=0 −/+=−−/+=− ff 是凸的。
(1,∞)(1,∞) x=2x=2 −/+=−−/+=− ff 是凸的。

从这张表，由此可知，ff 处处是凸的。综合所有这些信息，可得 f.f. 的图形如下。

函数 f(x) = (x − 1)2/3 的图形。它在 x = 1 处与 x 轴相切，在该点形成一个尖锐的点，然后向两侧展开。

检验点 4.30

考虑函数 f(x)=5−x2/3.f(x)=5−x2/3.。确定图形上尖点的位置。确定 f.f. 的端部行为。

第4.6节练习

对于以下练习，检查图形。确定垂直渐近线的位置。

251.
所绘制的函数在从左侧趋近 x = 1 时迅速递减，而在 x = 1 的另一侧，它似乎从无穷大附近开始，然后迅速递减。
252.
所绘制的函数在从左侧趋近 x = −3 时迅速递增，而在 x = −3 的另一侧，它似乎从负无穷大附近开始，然后迅速递增，形成一个向下开口的U形，U形的另一侧在 x = 2 处。在 x = 2 的另一侧，图形似乎从无穷大附近开始，然后迅速递减。
253.
所绘制的函数在从左侧趋近 x = −1 时迅速递减，而在 x = −1 的另一侧，它似乎从负无穷大附近开始，然后迅速递增，形成一个向下开口的U形，U形的另一侧在 x = 2 处。在 x = 2 的另一侧，图形似乎从无穷大附近开始，然后迅速递减。
254.
所绘制的函数在从左侧趋近 x = 0 时迅速递减，而在 x = 0 的另一侧，它似乎从无穷大附近开始，然后迅速递减，形成一个向上开口的U形，U形的另一侧在 x = 1 处。在 x = 1 的另一侧，有一个向下开口的U形，其另一侧在 x = 2 处。在 x = 2 的另一侧，图形似乎从负无穷大附近开始，然后迅速递增。
255.
所绘制的函数在从左侧趋近 x = 0 时迅速递减，而在 x = 0 的另一侧，它似乎从无穷大附近开始，然后迅速递减，形成一个向上开口的U形，其另一侧是一个正常的函数，看起来将占据 x 轴的所有值。

对于以下函数 f(x),f(x),，确定在 x=a.x=a. 处是否存在渐近线。在不使用计算器绘图的情况下证明你的答案。

256.

f ( x ) = x + 1 x 2 + 5 x + 4 , a = −1 f ( x ) = x + 1 x 2 + 5 x + 4 , a = −1

257.

f ( x ) = x x − 2 , a = 2 f ( x ) = x x − 2 , a = 2

258.

f ( x ) = ( x + 2 ) 3 / 2 , a = −2 f ( x ) = ( x + 2 ) 3 / 2 , a = −2

259.

f ( x ) = ( x − 1 ) −1 / 3 , a = 1 f ( x ) = ( x − 1 ) −1 / 3 , a = 1

260.

f ( x ) = 1 + x −2 / 5 , a = 1 f ( x ) = 1 + x −2 / 5 , a = 1

对于以下练习，计算极限。

261.

lim x → ∞ 1 3 x + 6 lim x → ∞ 1 3 x + 6

262.

lim x → ∞ 2 x − 5 4 x lim x → ∞ 2 x − 5 4 x

263.

lim x → ∞ x 2 − 2 x + 5 x + 2 lim x → ∞ x 2 − 2 x + 5 x + 2

264.

lim x → − ∞ 3 x 3 − 2 x x 2 + 2 x + 8 lim x → − ∞ 3 x 3 − 2 x x 2 + 2 x + 8

265.

lim x → − ∞ x 4 − 4 x 3 + 1 2 − 2 x 2 − 7 x 4 lim x → − ∞ x 4 − 4 x 3 + 1 2 − 2 x 2 − 7 x 4

266.

lim x → ∞ 3 x x 2 + 1 lim x → ∞ 3 x x 2 + 1

267.

lim x → − ∞ 4 x 2 − 1 x + 2 lim x → − ∞ 4 x 2 − 1 x + 2

268.

lim x → ∞ 4 x x 2 − 1 lim x → ∞ 4 x x 2 − 1

269.

lim x → − ∞ 4 x x 2 − 1 lim x → − ∞ 4 x x 2 − 1

270.

lim x → ∞ 2 x x − x + 1 lim x → ∞ 2 x x − x + 1

对于以下练习，求水平渐近线和垂直渐近线。

271.

f ( x ) = x − 9 x f ( x ) = x − 9 x

272.

f ( x ) = 1 1 − x 2 f ( x ) = 1 1 − x 2

273.

f ( x ) = x 3 4 − x 2 f ( x ) = x 3 4 − x 2

274.

f ( x ) = x 2 + 3 x 2 + 1 f ( x ) = x 2 + 3 x 2 + 1

275.

f ( x ) = sin ( x ) sin ( 2 x ) f ( x ) = sin ( x ) sin ( 2 x )

276.

f ( x ) = cos x + cos ( 3 x ) + cos ( 5 x ) f ( x ) = cos x + cos ( 3 x ) + cos ( 5 x )

277.

f ( x ) = x sin ( x ) x 2 − 1 f ( x ) = x sin ( x ) x 2 − 1

278.

f ( x ) = x sin ( x ) f ( x ) = x sin ( x )

279.

f ( x ) = 1 x 3 + x 2 f ( x ) = 1 x 3 + x 2

280.

f ( x ) = 1 x − 1 − 2 x f ( x ) = 1 x − 1 − 2 x

281.

f ( x ) = x 3 + 1 x 3 − 1 f ( x ) = x 3 + 1 x 3 − 1

282.

f ( x ) = sin x + cos x sin x − cos x f ( x ) = sin x + cos x sin x − cos x

283.

f ( x ) = x − sin x f ( x ) = x − sin x

284.

f ( x ) = 1 x − x f ( x ) = 1 x − x

对于以下练习，构造一个函数 f(x)f(x)，使其具有给定的渐近线。

285.

x=1x=1 和 y=2y=2

286.

x=1x=1 和 y=0y=0

287.

y=4,y=4, x=−1x=−1

288.

x = 0 x = 0

对于以下练习，在图形计算器上绘制函数的图形，窗口为x=[−5,5]x=[−5,5]，并估计水平渐近线或极限。然后，计算实际的水平渐近线或极限。

289.

[T] f(x)=1x+10f(x)=1x+10

290.

[T] f(x)=x+1x2+7x+6f(x)=x+1x2+7x+6

291.

[T] limx→−∞x2+10x+25limx→−∞x2+10x+25

292.

[T] limx→−∞x+2x2+7x+6limx→−∞x+2x2+7x+6

293.

[T] limx→∞3x+2x+5limx→∞3x+2x+5

对于以下练习，不使用计算器绘制函数的图形。务必注意图形的所有重要特征：局部最大值和最小值、拐点以及渐近行为。

294.

y = 3 x 2 + 2 x + 4 y = 3 x 2 + 2 x + 4

295.

y = x 3 − 3 x 2 + 4 y = x 3 − 3 x 2 + 4

296.

y = 2 x + 1 x 2 + 6 x + 5 y = 2 x + 1 x 2 + 6 x + 5

297.

y = x 3 + 4 x 2 + 3 x 3 x + 9 y = x 3 + 4 x 2 + 3 x 3 x + 9

298.

y = x 2 + x − 2 x 2 − 3 x − 4 y = x 2 + x − 2 x 2 − 3 x − 4

299.

y = x 2 − 5 x + 4 y = x 2 − 5 x + 4

300.

y = 2 x 16 − x 2 y = 2 x 16 − x 2

301.

y=cosxx,y=cosxx, 在 x=[−2π,2π]x=[−2π,2π]

302.

y = x 2 + 2 x + 1 y = x 2 + 2 x + 1

303.

y = x tan x , x = [ − π , π ] y = x tan x , x = [ − π , π ]

304.

y = x ln ( x ) , x > 0 y = x ln ( x ) , x > 0

305.

y = x 2 sin ( x ) , x = [ −2 π , 2 π ] y = x 2 sin ( x ) , x = [ −2 π , 2 π ]

306.

为了使 f(x)=P(x)Q(x)f(x)=P(x)Q(x) 在 y=2y=2 处有渐近线，那么多项式 P(x)P(x) 和 Q(x)Q(x) 必须有什么关系？

307.

为了使 f(x)=P(x)Q(x)f(x)=P(x)Q(x) 在 x=0,x=0, 处有渐近线，那么多项式 P(x)P(x) 和 Q(x).Q(x). 必须有什么关系？

308.

如果 f′(x)f′(x) 在 y=3y=3 和 x=1,x=1, 处有渐近线，那么 f(x)f(x) 有什么渐近线？

309.

f(x)=1(x−1)f(x)=1(x−1) 和 g(x)=1(x−1)2g(x)=1(x−1)2 都在 x=1x=1 和 y=0.y=0. 处有渐近线。这两个函数之间最明显的区别是什么？

310.

判断正误：每个多项式之比都有垂直渐近线。