曲线之间的面积 - 微积分：第一卷

6.1 曲线之间的面积

学习目标

6.1.1 通过对自变量积分求两条曲线之间区域的面积。
6.1.2 求复合区域的面积。
6.1.3 通过对因变量积分求两条曲线之间区域的面积。

在积分入门中，我们建立了定积分的概念，用于计算给定区间上曲线下方的面积。在本节中，我们将这一思想推广到计算更复杂区域的面积。我们从一个函数值始终大于另一个函数值的简单情况入手，求以 $x$ 为自变量的两条曲线之间的面积。然后，我们考察函数图形相交的情况。最后，我们考虑如何计算以 $y$ 为自变量的两条曲线之间的面积。

两条曲线之间区域的面积

设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，且在 $[a, b] .$ 上有 $f (x) \geq g (x)$ 。我们希望求出函数图形之间的面积，如下图所示。

此图为第一象限中的一个图形。图中有两条曲线。上方曲线标记为“f(x)”，下方曲线标记为“g(x)”。x轴上有两个边界，标记为a和b。两条曲线之间有阴影区域，由x=a和x=b处的直线限定。

图 6.2 函数

f (x)

和

g (x),

在区间

[a, b] .

上的图形之间的面积

如前所述，我们将在 $x 轴$ 上对区间进行分割，并用矩形近似函数图形之间的面积。因此，对于 $i = 0, 1, 2,…, n,$ ，设 $P = {x_{i}}$ 是 $[a, b] .$ 的一个等分分割。然后，对于 $i = 1, 2,…, n,$ ，选择一个点 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}],$ ，并在每个区间 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 上构造一个从 $g (x_{i}^{*})$ 垂直延伸到 $f (x_{i}^{*}) .$ 的矩形。图 6.3(a) 显示了当 $x_{i}^{*}$ 被选为区间的左端点时以及 $n = 10 .$ 时的矩形。图 6.3(b) 详细显示了一个代表性矩形。

媒体资源

使用此计算器了解更多关于两条曲线之间面积的信息。

此图包含三个图形。第一个图形有两条曲线，一条在另一条上方。曲线之间有一个矩形。矩形的顶部在上方曲线“f(x*)”上，底部在下方曲线“g(x*)”上。第二个图形，标记为“(a)”，图中有两条曲线。上方曲线标记为“f(x)”，下方曲线标记为“g(x)”。x轴上有两个边界，标记为a和b。两条曲线之间有阴影区域，由x=a和x=b处的直线限定。第三个图形，标记为“(b)”，有两条曲线，一条在另一条上方。第一条曲线标记为“f(x*)”和下方曲线标记为“g(x*)”。两条曲线之间有一个阴影矩形。矩形的宽度标记为“delta x”。

图 6.3 (a) 我们可以用矩形近似函数

f (x)

和

g (x),

的图形之间的面积。(b) 一个典型矩形的面积从一条曲线延伸到另一条曲线。

每个矩形的高为 $f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})$ ，宽为 $Δ x .$ 。将所有矩形的面积相加，可得曲线之间面积的近似值：

A \approx \sum_{i = 1}^{n} [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x .

这是一个黎曼和，因此我们取 $n \to \infty$ 时的极限，得到

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .

以上结果归纳为如下定理。

定理 6.1

求两条曲线之间的面积

设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是连续函数，使得在区间 $[a, b] .$ 上有 $f (x) \geq g (x)$ 。设 $R$ 表示由函数 $f (x),$ 的图形上方、函数 $g (x),$ 的图形下方以及直线 $x = a$ 和 $x = b,$ 分别在左右两侧所围成的区域。则 $R$ 的面积由下式给出

A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .

(6.1)

下面用例题应用此定理。

例 6.1

求两条曲线之间区域的面积 1

如果 R 是由函数 $f (x) = x + 4$ 的图形上方和函数 $g (x) = 3 - \frac{x}{2}$ 的图形下方在区间 $[1, 4],$ 上围成的区域，求区域 $R .$ 的面积。

解

该区域如下图所示。

此图为第一象限中的两个线性图形。它们是函数 f(x) = x+4 和 g(x)= 3-x/2。这些直线之间有一个阴影区域，上方由 f(x) 限制，下方由 g(x) 限制。阴影区域位于 x=1 和 x=4 之间。

图 6.4 显示了两条曲线之间的一个区域，其中一条曲线始终在另一条曲线之上。

可得

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{1}^{4} [(x + 4) - (3 - \frac{x}{2})] d x = \int_{1}^{4} [\frac{3 x}{2} + 1] d x \\ = {[\frac{3 x^{2}}{4} + x] |}_{1}^{4} = (16 - \frac{7}{4}) = \frac{57}{4} . \end{matrix}

该区域的面积为 $\frac{57}{4} {单位}^{2} .$ 。

检验点 6.1

如果 $R$ 是由函数 $f (x) = \frac{x}{2} + 5$ 和 $g (x) = x + \frac{1}{2}$ 的图形在区间 $[1, 5],$ 上围成的区域，求区域 $R .$ 的面积。

在例 6.1 中，积分区间已在题目中直接给出。但更常见的情况是，我们需要根据两个函数图形的交点来确定积分区间。下面的例题说明了这一点。

例 6.2

求两条曲线之间区域的面积 2

如果 $R$ 是由函数 $f (x) = 9 - {(x / 2)}^{2}$ 的图形上方和函数 $g (x) = 6 - x,$ 的图形下方围成的区域，求区域 $R .$ 的面积。

解

该区域如下图所示。

此图为第一象限中的两个图形。它们是函数 f(x) = 9-(x/2)^2 和 g(x)= 6-x。这些图形之间，一个倒抛物线和一条直线之间，有一个阴影区域，上方由 f(x) 限制，下方由 g(x) 限制。

图 6.5 此图显示了在

f (x)

的图形下方和

g (x) .

的图形上方的区域。

我们首先需要计算函数图形的交点。令 $f (x) = g (x),$ ，可得

\begin{matrix} f (x) & = & g (x) \\ 9 - {(\frac{x}{2})}^{2} & = & 6 - x \\ 9 - \frac{x^{2}}{4} & = & 6 - x \\ 36 - x^{2} & = & 24 - 4 x \\ x^{2} - 4 x - 12 & = & 0 \\ (x - 6) (x + 2) & = & 0. \end{matrix}

函数图形在 $x = 6$ 或 $x = −2,$ 时相交，所以积分区间取 $−2$ 到 $6 .$ 。由于对于 $−2 \leq x \leq 6,$ 有 $f (x) \geq g (x)$ ，可得

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{−2}^{6} [9 - {(\frac{x}{2})}^{2} - (6 - x)] d x = \int_{−2}^{6} [3 - \frac{x^{2}}{4} + x] d x \\ = {[3 x - \frac{x^{3}}{12} + \frac{x^{2}}{2}] |}_{−2}^{6} = \frac{64}{3} . \end{matrix}

该区域的面积为 $64 / 3$ 平方单位。

检验点 6.2

如果 R 是由函数 $f (x) = x$ 的图形上方和函数 $g (x) = x^{4},$ 的图形下方围成的区域，求区域 $R .$ 的面积。

复合区域的面积

到目前为止，我们要求在整个感兴趣的区间上 $f (x) \geq g (x)$ ，但是如果我们想考察由相互交叉的函数图形所围成的区域呢？此时，我们用绝对值函数来调整刚才建立的过程。

定理 6.2

求相交曲线之间区域的面积

设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是区间 $[a, b] .$ 上的连续函数。设 $R$ 表示函数 $f (x)$ 和 $g (x),$ 的图形之间的区域，并分别由直线 $x = a$ 和 $x = b,$ 在左右两侧围成。则 $R$ 的面积由下式给出

A = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x .

在实践中，应用此定理需要我们将区间 $[a, b]$ 分成几部分，并根据在区间的给定部分上哪个函数值更大来计算几个积分。我们在下面的例题中研究这个过程。

例 6.3

求由相交函数围成的区域的面积

如果 R 是由函数 $f (x) = sin x$ 和 $g (x) = cos x$ 的图形在区间 $[0, π],$ 上围成的区域，求区域 $R .$ 的面积。

解

该区域如下图所示。

此图有两个图形。它们是函数 f(x) = sinx 和 g(x)= cosx。它们都是类似波浪的周期函数。图形之间有两个阴影区域。第一个阴影区域标记为“R1”，其中 g(x) 在 f(x) 上方。该区域从 y 轴开始，在曲线相交处停止。第二个区域标记为“R2”，从 f(x) 在 g(x) 上方的交点开始。阴影区域在 x=pi 处停止。

图 6.6 两条曲线之间的区域可以分成两个子区域。

函数图形在 $x = π / 4 .$ 处相交。对于 $x \in [0, π / 4],$ ，有 $cos x \geq sin x,$ ，所以

| f (x) - g (x) | = | sin x - cos x | = cos x - sin x .

另一方面，对于 $x \in [π / 4, π],$ ，有 $sin x \geq cos x,$ ，因此

| f (x) - g (x) | = | sin x - cos x | = sin x - cos x .

则

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x \\ = \int_{0}^{π} | sin x - cos x | d x = \int_{0}^{π / 4} (cos x - sin x) d x + \int_{π / 4}^{π} (sin x - cos x) d x \\ = {[sin x + cos x] |}_{0}^{π / 4} + {[− cos x - sin x] |}_{π / 4}^{π} \\ = (\sqrt{2} - 1) + (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} . \end{matrix}

该区域的面积为 $2 \sqrt{2}$ 平方单位。

检验点 6.3

如果 R 是由函数 $f (x) = sin x$ 和 $g (x) = cos x$ 的图形在区间 $[π / 2, 2 π],$ 上围成的区域，求区域 $R .$ 的面积。

例 6.4

求复杂区域的面积

考虑图 6.7 所示的区域。求 $R .$ 的面积。

此图为第一象限中的两个图形。它们是函数 f(x) = x^2 和 g(x)= 2-x。这些图形之间有一个阴影区域，左侧由 f(x) 限制，右侧由 g(x) 限制。所有这些都在 x 轴上方。该区域标记为 R。阴影区域位于 x=0 和 x=2 之间。

图 6.7 计算该区域的面积需要两个积分。

解

与例 6.3 一样，我们需要将区间分成两部分。函数图形在 $x = 1$ 处相交（令 $f (x) = g (x)$ 并解出 x），于是我们计算两个独立的积分：一个在区间 $[0, 1]$ 上，另一个在区间 $[1, 2] .$ 上。

在区间 $[0, 1],$ 上，该区域上方由 $f (x) = x^{2}$ 限制，下方由 x 轴限制，因此我们有

A_{1} = \int_{0}^{1} x^{2} d x = {\frac{x^{3}}{3} |}_{0}^{1} = \frac{1}{3} .

在区间 $[1, 2],$ 上，该区域上方由 $g (x) = 2 - x$ 限制，下方由 $x 轴，$ 限制，于是我们有

A_{2} = \int_{1}^{2} (2 - x) d x = {[2 x - \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{1}{2} .

将这些面积相加，可得

A = A_{1} + A_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} .

该区域的面积为 $5 / 6$ 平方单位。

检验点 6.4

考虑下图所示的区域。求 $R .$ 的面积。

此图为第一象限中的两个图形。它们是函数 f(x) = x 的平方根和 g(x)= 3/2 – x/2。这些图形之间有一个阴影区域，左侧由 f(x) 限制，右侧由 g(x) 限制。所有这些都在 x 轴上方。阴影区域位于 x=0 和 x=3 之间。

关于 y 定义的区域

在例 6.4 中，我们必须计算两个独立的积分来求区域的面积。不过，还有另一种方法只需要一个积分。如果我们把曲线看作 $y$ 的函数而不是 $x$ 的函数，会怎么样呢？回顾图 6.7。注意，左侧的红色图形由函数 $y = f (x) = x^{2} .$ 表示。容易解出 $x$ ，并将曲线表示为函数 $x = v (y) = \sqrt{y} .$ 。（注意， $x = − \sqrt{y}$ 也是函数 $y = f (x) = x^{2}$ 作为 $y$ 的函数的有效表示。但由图形可知，这里取正平方根。）类似地，右侧图形由函数 $y = g (x) = 2 - x,$ 表示，也可以方便地写成 $x = u (y) = 2 - y .$ 。当图形表示为 $y$ 的函数时，可以看到区域左侧由一条图形界定，右侧由另一条图形界定。由此可见，若关于 $y$ 进行积分，则只需计算一个积分即可。下面推导这类积分的公式。

设 $u (y)$ 和 $v (y)$ 是在区间 $[c, d]$ 上的连续函数，使得对所有 $y \in [c, d] .$ 都有 $u (y) \geq v (y)$ 。我们想求这些函数图形之间的面积，如下图所示。

此图在第一象限中有两个图形。它们是函数 v(y) 和 u(y)。这些图形之间是一个阴影区域，左侧由 v(y) 界定，右侧由 u(y) 界定。该区域标记为 R。阴影区域位于 y=c 和 y=d 的水平边界之间。

图 6.8 我们可以找到两个函数

u (y)

和

v (y) .

的图形之间的面积。

这次，我们将在 $y 轴$ 上对区间进行分割，并使用水平矩形近似函数之间的面积。因此，对于 $i = 0, 1, 2,…, n,$ ，设 $Q = {y_{i}}$ 是 $[c, d] .$ 的一个等分分割。然后，对于 $i = 1, 2,…, n,$ ，选择一个点 $y_{i}^{*} \in [y_{i - 1}, y_{i}],$ ，然后在每个区间 $[y_{i - 1}, y_{i}]$ 上构造一个从 $v (y_{i}^{*})$ 到 $u (y_{i}^{*}) .$ 水平延伸的矩形。图 6.9(a) 显示了当 $y_{i}^{*}$ 被选为区间的下端点时以及 $n = 10 .$ 时的矩形。图 6.9(b) 详细显示了一个代表性矩形。

此图有三个图形。第一个图形有两条曲线，它们是函数 v(y*) 和 u(y*)。这些曲线之间是一个水平矩形。第二个图形标记为“(a)”，是一个阴影区域，左侧由 v(y) 界定，右侧由 u(y) 界定。阴影区域位于 y=c 和 y=d 的水平边界之间。这个阴影区域被分解成曲线之间的矩形。第三个图形标记为“(b)”，是两条曲线 v(y*) 和 u(y*)。曲线之间是一个宽度为 delta y 的水平矩形。

图 6.9 (a) 用矩形近似两个函数

u (y)

和

v (y),

的图形之间的面积。(b) 典型矩形的面积。

每个矩形的高度是 $Δ y$ ，宽度是 $u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*}) .$ 。因此，曲线之间的面积近似为

A \approx \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y .

这是一个黎曼和，所以我们取 $n \to \infty,$ 时的极限，得到

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y .

以上结果归纳为如下定理。

定理 6.3

求两条曲线之间的面积，沿 y 轴积分

设 $u (y)$ 和 $v (y)$ 是连续函数，使得对所有 $y \in [c, d] .$ 都有 $u (y) \geq v (y)$ 。设 $R$ 表示右侧由 $u (y),$ 的图形界定，左侧由 $v (y),$ 的图形界定，上方和下方分别由直线 $y = d$ 和 $y = c,$ 界定的区域。那么， $R$ 的面积由下式给出

A = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y .

(6.2)

例 6.5

关于 y 积分

重新来看例 6.4，但这次关于 $y$ 进行积分。设 $R$ 是图 6.10 中所示的区域。对 $y$ 积分，求 $R$ 的面积。

此图在第一象限中有两个图形。它们是函数 f(x) = x^2 和 g(x)= 2-x。这些图形之间是一个阴影区域，左侧由 f(x) 界定，右侧由 g(x) 界定。所有这些都在 x 轴上方。该区域标记为 R。阴影区域位于 x=0 和 x=2 之间。

图 6.10 当曲线被视为

y

的函数时，区域

R

的面积只需一个积分即可计算。

解

我们必须首先将图形表示为 $y$ 的函数。正如本节开头所见，左侧曲线可以由函数 $x = v (y) = \sqrt{y},$ 表示，右侧曲线可以由函数 $x = u (y) = 2 - y .$ 表示。

现在我们必须确定积分上下限。该区域下方由 x 轴界定，所以积分下限为 $y = 0 .$ 。积分上限由两个图形的交点决定，该点是 $(1, 1),$ ，所以积分上限为 $y = 1 .$ 。因此，我们有 $[c, d] = [0, 1] .$ 。

计算该区域的面积，可得

\begin{matrix} A & = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y \\ = \int_{0}^{1} [(2 - y) - \sqrt{y}] d y = {[2 y - \frac{y^{2}}{2} - \frac{2}{3} y^{3 / 2}] |}_{0}^{1} \\ = \frac{5}{6} . \end{matrix}

该区域的面积为 $5 / 6$ 平方单位。

检验点 6.5

重新来看与例 6.4 相关的检验点，但这次关于 $y$ 进行积分。设 $R$ 是下图中所示的区域。对 $y$ 积分，求 $R$ 的面积。

此图在第一象限中有两个图形。它们是函数 f(x) = x 的平方根和 g(x)= 3/2 – x/2。这些图形之间是一个阴影区域，左侧由 f(x) 界定，右侧由 g(x) 界定。所有这些都在 x 轴上方。阴影区域位于 x=0 和 x=3 之间。

第6.1节练习

对于以下练习，对给定图中两条曲线之间的区域关于 $x$ 积分，求其面积。

$y = x^{2} - 3 和 y = 1$

此图包含两个函数图形。它们是函数 f(x) = x^2-3 和 g(x)=1。在这些图形之间是一个阴影区域，上方由 g(x) 边界，下方由 f(x) 边界。阴影区域在 x=-2 和 x=2 之间。

$y = x^{2} 和 y = 3 x + 4$

此图包含两个函数图形。它们是函数 f(x) = x^2 和 g(x)= 3x+4。在这些图形之间是一个阴影区域，上方由 g(x) 边界，下方由 g(x) 边界。

对于以下练习，将两条曲线之间的区域分成两个较小的区域，然后关于 $x$ 积分求面积。注意，你将需要计算两个积分。

$y = x^{3}$ 和 $y = x^{2} + x$

此图包含两个函数图形。它们是函数 f(x) = x^3 和 g(x)= x^2+x。这些图形相交两次。交点之间的区域被阴影表示。第一个区域上方由 f(x) 边界，下方由 g(x) 边界。第二个区域上方由 g(x) 边界，下方由 f(x) 边界。

$y = cos θ$ 和 $y = 0.5,$ 对于 $0 \leq θ \leq π$

此图包含两个函数图形。它们是函数 f(theta) = cos(theta) 和 g(theta)= 0.5。这些图形相交两次。交点之间的区域被阴影表示。第一个区域上方由 f(theta) 边界，下方由 g(theta) 边界。第二个区域上方由 g(theta) 边界，下方由 f(theta) 边界。

对于以下练习，关于 $y$ 积分，求两条曲线之间区域的面积。

$x = y^{2} 和 x = 9$

$y = x 和 x = y^{2}$

对于以下练习，绘制方程图形并用阴影表示曲线之间的区域。关于 $x$ 积分，求其面积。

$y = x^{2} 和 y = − x^{2} + 18 x$

$y = \frac{1}{x}, y = \frac{1}{x^{2}}, 和 x = 3$

$y = cos x$ 和 $y = {cos}^{2} x$ 在 $x = [− π, π]$

10.

$y = e^{x}, y = e^{2 x - 1}, 和 x = 0$

11.

$y = e^{x}, y = e^{− x}, x = −1 和 x = 1$

12.

$y = e, y = e^{x}, 和 y = e^{− x}$

13.

$y = | x | 和 y = x^{2}$

对于以下练习，绘制方程图形并用阴影表示曲线之间的区域。如有必要，将区域划分为子区域以确定其总面积。

14.

$y = sin (π x), y = 2 x, 和 x > 0$

15.

$y = 12 - x, y = \sqrt{x}, 和 y = 1$

16.

$y = sin x$ 和 $y = cos x$ 在 $x = [− π, π]$

17.

$y = x^{3} 和 y = x^{2} - 2 x$ 在 $x = [−1, 1]$

18.

$y = x^{2} + 9 和 y = 10 + 2 x$ 在 $x = [−1, 3]$

19.

$y = x^{3} + 3 x$ 和 $y = 4 x$

对于以下练习，绘制方程图形并用阴影表示曲线之间的区域。关于 $y$ 积分，求其面积。

20.

$x = y^{3} 和 x = 3 y - 2$

21.

$x = 2 y 和 x = y^{3} - y$

22.

$x = −3 + y^{2} 和 x = y - y^{2}$

23.

$y^{2} = x 和 x = y + 2$

24.

$x = | y | 和 2 x = − y^{2} + 2$

25.

$x = sin y, x = cos (2 y), y = π / 2, 和 y = − π / 2$

对于以下练习，绘制方程图形并用阴影表示曲线之间的区域。对 x 或 y 积分，求其面积，并选择更方便的积分变量。

26.

$x = y^{4} 和 x = y^{5}$

27.

$y = x e^{x}, y = e^{x}, x = 0, 和 x = 1$

28.

$y = x^{6} 和 y = x^{4}$

29.

$x = y^{3} + 2 y^{2} + 1 和 x = − y^{2} + 1$

30.

$y = | x | 和 y = x^{2} - 1$

31.

$y = 4 - 3 x 和 y = \frac{1}{x}$

32.

$y = sin x, x = − π / 6, x = π / 6, 和 y = {cos}^{3} x$

33.

$y = x^{2} - 3 x + 2 和 y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$

34.

$y = 2 {cos}^{3} (3 x), y = −1, x = \frac{π}{4}, 和 x = - \frac{π}{4}$

35.

$y + y^{3} = x 和 2 y = x$

36.

$y = \sqrt{1 - x^{2}} 和 y = x^{2} - 1$

37.

$y = {cos}^{−1} x, y = {sin}^{−1} x, x = −1, 和 x = 1$

对于以下练习，如果可能，求出由给定方程围成的区域的精确面积。如果无法解析地确定交点，请使用计算器将交点近似到三位小数，并确定区域的近似面积。

38.

[T] $x = e^{y} 和 y = x - 2$

39.

[T] $y = x^{2} 和 y = \sqrt{1 - x^{2}}$

40.

[T] $y = 3 x^{2} + 8 x + 9 和 3 y = x + 24$

41.

[T] $x = \sqrt{4 - y^{2}} 和 y^{2} = 1 + x^{2}$

42.

[T] $x^{2} = y^{3} 和 x = 3 y$

43.

[T] $y = {sin}^{3} x + 2, y = tan x, x = −1.5, 和 x = 1.5$

44.

[T] $y = \sqrt{1 - x^{2}} 和 y^{2} = x^{2}$

45.

[T] $y = \sqrt{1 - x^{2}} 和 y = x^{2} + 2 x + 1$

46.

[T] $x = 4 - y^{2} 和 x = 1 + 3 y + y^{2}$

47.

[T] $y = cos x, y = e^{x}, x = − π, 和 x = 0$

48.

底边在 $x 轴$ 上的最大三角形，它位于单位圆 $y^{2} + x^{2} = 1$ 的上半部分内部，由 $y = 1 + x$ 和 $y = 1 - x .$ 给出。参见下图。半圆内部但在三角形外部的面积是多少？

此图显示了一个以原点为中心、半径为 1 的圆的图形。其中有一个内接三角形，其底边在 x 轴上从 -1 到 1，第三个顶点在 y=1 处。

49.

一家销售手机的工厂的边际成本函数为 $C (x) = 0.01 x^{2} - 3 x + 229,$ ，其中 $x$ 表示手机的数量， $C$ 是销售 $x$ 部手机的边际成本，单位为美元，并且边际收入函数由 $R (x) = 429 - 2 x$ 给出，其中 $R$ 是销售 $x$ 部手机所获得的收入，单位为美元。求这些曲线和 $x = 0 .$ 的图形之间的面积。这个面积代表什么？

50.

某游乐园的边际成本函数为 $C (x) = 1000 e^{− x} + 5,$ ，其中 $x$ 表示售出票数；其边际收入函数为 $R (x) = 60 - 0.1 x .$ 。求售出 $550$ 张票时产生的总利润。如有必要，使用计算器确定交点，精确到两位小数。

51.

龟兔赛跑：兔子的速率由正弦函数 $H (t) = 1 - cos ((π t) / 2)$ 给出，而乌龟的速率为 $T (t) = 0.1032 t$ ，其中 $t$ 的单位为小时，速率的单位为英里每小时。求从 $t = 0$ 到一小时后乌龟和兔子首次速率相同时，两条曲线之间的面积。该面积代表什么？如有必要，使用计算器确定交点，精确到三位小数。

52.

龟兔赛跑：兔子的速率由正弦函数 $H (t) = (1 / 2) - (1 / 2) cos (2 π t)$ 给出，而乌龟的速率为 $T (t) = \sqrt{t},$ ，其中 $t$ 的单位为小时，速率的单位为公里每小时。如果比赛在 $1$ 小时内结束，谁赢得了比赛，赢了多少？如有必要，使用计算器确定交点，精确到三位小数。

对于以下练习，分别关于 $x$ 和 $y$ 积分来求曲线之间的面积。哪种方法更容易？你得到的结果是否相同？

53.

$y = x^{2} + 2 x + 1 和 y = − x^{2} - 3 x + 4$

54.

$y = x^{4} 和 x = y^{5}$

55.

$x = y^{2} - 2 和 x = 2 y$

对于以下练习，请使用微积分求解，然后用几何方法验证你的答案。

56.

确定与单位圆四边相切的正方形各边的方程，如下图所示。求该正方形与单位圆之间的面积。是否有其他不使用微积分的方法来解决这个问题？

57.

求单位圆与由 $y = 2 x + 1, y = 1 - 2 x$ 和 $y = - \frac{3}{5},$ 形成的三角形之间的面积，如下图所示。是否有不使用微积分的方法来解决这个问题？

此图显示了一个以原点为中心、半径为1的圆的图形。有三条线与圆相交。这些线在圆上相交于三点，形成一个圆内三角形。

6.1 曲线之间的面积

学习目标

两条曲线之间区域的面积

媒体资源

定理 6.1

求两条曲线之间的面积

例 6.1

求两条曲线之间区域的面积 1

解

检验点 6.1

例 6.2

求两条曲线之间区域的面积 2

解

检验点 6.2

复合区域的面积

定理 6.2

求相交曲线之间区域的面积

例 6.3

求由相交函数围成的区域的面积

解

检验点 6.3

例 6.4

求复杂区域的面积

解

检验点 6.4

关于 y 定义的区域

定理 6.3

求两条曲线之间的面积，沿 y 轴积分

例 6.5

关于 y 积分

解

检验点 6.5

第6.1节 练习

第6.1节练习