连续性 - 微积分：第一卷

2.4 连续性

学习目标

2.4.1 解释函数在一点处连续的三个条件。
2.4.2 描述三种间断点。
2.4.3 给出区间上连续性的定义。
2.4.4 叙述复合函数的极限定理。
2.4.5 提供介值定理的例子。

许多函数的图形可以一笔画出而不中断，这类函数称为连续的。另一些函数在某些点处图形会断开，但在定义域的某些区间上仍可连续描绘。这些区间上函数是连续的，断开之处称为间断点。

本节先探讨函数在一点处连续的含义。直观地说，若函数在某点处图形没有断裂，则称其在该点连续。

在一点处连续

在给出正式定义之前，先考察几个在直观意义上不连续的函数，再归纳出排除这些情况的条件。

先看图 2.32所示的函数。可见 $f (x)$ 的图形在a处有一个空洞，即 $f (a)$ 无定义。故 $f (x)$ 在a处连续至少需要以下条件：

i. f (a) 有定义。

递增线性函数f(x)的图形，它从第三象限穿过x轴到第二象限，并从第二象限穿过y轴到第一象限。x轴上标记了一个大于零的点a。函数f(x)在a点上方的点是一个空心圆；函数在a处没有定义。

图 2.32 函数

f (x)

在a处不连续，因为

f (a)

无定义。

然而，如图 2.33所示，仅此条件不足以保证在a处连续。虽然 $f (a)$ 有定义，但图形在a处仍有断裂，原因是 $lim_{x \to a} f (x)$ 不存在。故还需添加一个条件：

ii. lim_{x \to a} f (x) 存在。

分段函数f(x)的图形，由两部分组成。第一部分是一个递增的线性函数，从第三象限穿过原点到第一象限。x轴上标记了一个大于零的点a。在该线段上，f(a)处有一个实心圆。另一部分也是一个递增的线性函数。它存在于x大于a的第一象限。当x=a时，该线段有一个空心圆。

图 2.33 函数

f (x)

在a处不连续，因为

lim_{x \to a} f (x)

不存在。

然而，如图 2.34所示，这两个条件仍不够。该图中的函数满足前两个条件，却在a处不连续。故须添加第三个条件：

iii. lim_{x \to a} f (x) = f (a) .

分段函数的图形，由两部分组成。第一部分是一个递增的线性函数，它从第三象限穿过x轴到第二象限，并从第二象限穿过y轴到第一象限。x轴上标记了一个大于零的点a。在该点处，线性函数上有一个空心圆。第二部分是x=a处线上方的一个点。

图 2.34 函数

f (x)

在a处不连续，因为

lim_{x \to a} f (x) \neq f (a) .

综合以上三个条件，得到函数在一点处连续的正式定义。

定义

函数 $f (x)$ 在一点处连续当且仅当满足以下三个条件：

$f (a)$ 有定义
$lim_{x \to a} f (x)$ 存在
$lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

若函数在a处不满足上述条件之一，则称其在该点不连续。

据此定义，可按下列步骤判断函数在一点处的连续性。

解题策略

判断函数在一点处的连续性

检查 $f (a)$ 是否有定义。如果 $f (a)$ 无定义，则无需进一步判断。函数在a处不连续。如果 $f (a)$ 有定义，则继续步骤2。
计算 $lim_{x \to a} f (x) .$ 。有时需要先分别计算 $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ 和 $lim_{x \to a^{+}} f (x) .$ 。如果 $lim_{x \to a} f (x)$ 不存在（即不是一个实数），则函数在a处不连续，判断结束。若 $lim_{x \to a} f (x)$ 存在，则继续步骤3。
比较 $f (a)$ 和 $lim_{x \to a} f (x) .$ 。如果 $lim_{x \to a} f (x) \neq f (a),$ ，则函数在a处不连续。如果 $lim_{x \to a} f (x) = f (a),$ ，则函数在a处连续。

下面三个例题展示如何应用此定义判断函数在给定点的连续性，分别对应各条件不满足的情形。

例 2.26

判断函数在一点处的连续性，条件1

使用定义，判断函数 $f (x) = (x^{2} - 4) / (x - 2)$ 在 $x = 2 .$ 处是否连续。说明结论。

解

先计算 $f (2)$ 。由于 $f (2) = 0 / 0,$ 无定义，故 $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 在2处不连续。其图形如图 2.35所示。

给定函数的图形。有一条线从第三象限穿过x轴到第二象限，并从第二象限穿过y轴到第一象限。在第一象限的一个点处，有一个空心圆，表示函数在该点没有定义。

图 2.35 函数

f (x)

在2处不连续，因为

f (2)

无定义。

例 2.27

判断函数在一点处的连续性，条件2

使用定义，判断函数 $f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 4 & 若 x \leq 3 \\ 4 x - 8 & 若 x > 3 \end{cases}$ 在 $x = 3 .$ 处是否连续。说明结论。

解

先计算 $f (3) .$ 。

f (3) = - (3^{2}) + 4 = −5 .

故 $f (3)$ 有定义。接下来计算 $lim_{x \to 3} f (x) .$ 。为此须分别计算 $lim_{x \to 3^{-}} f (x)$ 和 $lim_{x \to 3^{+}} f (x) :$ 。

lim_{x \to 3^{-}} f (x) = - (3^{2}) + 4 = −5

和

lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 4 (3) - 8 = 4 .

故 $lim_{x \to 3} f (x)$ 不存在， $f (x)$ 在3处不连续。其图形如图 2.36所示。

给定分段函数的图形，由两部分组成。第一部分是开口向下的抛物线，关于y轴对称。其顶点在y轴上，大于零。在抛物线上x=3处有一个实心圆。第二部分是第一象限中一个递增的线性函数，存在于x > 3的值。在该线的末端，x为3处有一个空心圆。

图 2.36 函数

f (x)

在3处不连续，因为

lim_{x \to 3} f (x)

不存在。

例 2.28

判断函数在一点处的连续性，条件3

使用定义，判断函数 $f (x) = {\begin{cases} \frac{sin x}{x} & 若 x \neq 0 \\ 1 & 若 x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0 .$ 处是否连续。

解

首先，注意到

f (0) = 1 .

其次，

lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1 .

最后，比较 $f (0)$ 和 $lim_{x \to 0} f (x) .$ 。我们有

f (0) = 1 = lim_{x \to 0} f (x) .

三个条件均满足，故 $f (x)$ 在 $x = 0 .$ 处连续。

检验点 2.21

使用定义，判断函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 x + 1 & 若 x < 1 \\ 2 & 若 x = 1 \\ - x + 4 & 若 x > 1 \end{matrix}$ 在 $x = 1 .$ 处是否连续。若不连续，请指出哪个条件不成立。

由连续性定义及前述极限运算定理，可得以下结论。

定理 2.8

多项式函数和有理函数的连续性

多项式函数和有理函数在其定义域上处处连续。

证明

前面已证明，若 $p (x)$ 和 $q (x)$ 都是多项式函数，则对任意多项式函数 $p (x)$ ，有 $lim_{x \to a} p (x) = p (a)$ ；并且只要 $q (a) \neq 0 .$ ，就有 $lim_{x \to a} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)}$ 。故多项式函数和有理函数在其定义域上连续。

□

下面应用多项式函数和有理函数的连续性来确定给定有理函数连续的点。

例 2.29

有理函数的连续性

对于x的哪些值， $f (x) = \frac{x + 1}{x - 5}$ 是连续的？

解

有理函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x - 5}$ 除 $x = 5 .$ 外，对所有x值均连续。

检验点 2.22

对于x的哪些值， $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{2}$ 是连续的？

间断点的类型

如例 2.26 和例 2.27 所示，间断点有多种表现形式。可将其分为三类：可去间断点——图形上出现一个”空洞”；跳跃间断点——函数左右两段不相连且不趋于无穷；无穷间断点——位于垂直渐近线处。图 2.37 展示了这三类间断点的区别。尽管这些术语便于描述常见间断点，但并非所有间断点都能严格归入其中。

三张图，每张图都显示了不同的间断点。第一张是可去间断点。这里，给定的函数是一条正斜率的直线。在点 x=a 处（其中 a>0），直线上有一个空心圆，在直线上方几单位处有一个实心圆。第二张是跳跃间断点。这里有两条正斜率的直线。第一条直线存在于 x<=a，第二条直线存在于 x>a（其中 a>0）。第一条直线在 x=a 处的实心圆结束，第二条直线在 x=a 处的空心圆开始，向上延伸几单位。第三种间断点类型是无穷间断点。这里，函数由渐近线 x=a 分成两部分。第一部分是一条曲线，当 x 趋于负无穷时，沿 x 轴趋于 0；当 x 趋于 0 时，沿 y 轴趋于无穷。第二部分是一条曲线，当 x 趋于 0 时，沿 y 轴趋于负无穷；当 x 趋于无穷时，沿 x 轴趋于 0。

图 2.37 间断点分为 (a) 可去间断点，(b) 跳跃间断点，或 (c) 无穷间断点。

三类间断点的正式定义如下：

定义

若 $f (x)$ 在 a 处不连续，则

$f$ 在 a 处有可去间断点，若 $lim_{x \to a} f (x)$ 存在。（注：此处所谓 $lim_{x \to a} f (x)$ "存在"，是指 $lim_{x \to a} f (x) = L,$ ，其中 L 为实数。）
$f$ 在 a 处有跳跃间断点，若 $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ 和 $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ 都存在，但 $lim_{x \to a^{-}} f (x) \neq lim_{x \to a^{+}} f (x) .$ 。（注：此处所谓 $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ 和 $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ "都存在"，是指二者均为有限实数值，即均不取 ±∞。）
$f$ 在 a 处有无穷间断点，若 $lim_{x \to a^{-}} f (x) = ± \infty$ 和/或 $lim_{x \to a^{+}} f (x) = ± \infty .$ 。

例 2.30

间断点的分类

在例 2.26 中已证 $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 在 $x = 2 .$ 处不连续。将此间断点分类为可去间断点、跳跃间断点或无穷间断点。

解

为对 2 处的间断点分类，需计算 $lim_{x \to 2} f (x) :$ 。

\begin{matrix} lim_{x \to 2} f (x) & = lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} \\ = lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} \\ = lim_{x \to 2} (x + 2) \\ = 4 . \end{matrix}

因 f 在 2 处不连续而 $lim_{x \to 2} f (x)$ 存在，故 f 在 $x = 2 .$ 处有可去间断点。

例 2.31

间断点的分类

在例 2.27 中已证 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 4 & 若 x \leq 3 \\ 4 x - 8 & 若 x > 3 \end{matrix}$ 在 $x = 3 .$ 处不连续。将此间断点分类为可去间断点、跳跃间断点或无穷间断点。

解

前面已证 f 在 3 处不连续，因为 $lim_{x \to 3} f (x)$ 不存在。然而，由于 $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = −5$ 和 $lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 4$ 均存在，故该函数在 3 处有跳跃间断点。

例 2.32

间断点的分类

判断 $f (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ 在 −1 处是否连续。如果函数在 −1 处不连续，请将该间断点分类为可去间断点、跳跃间断点或无穷间断点。

解

$f (−1)$ 无定义，故函数在 −1 处不连续。为确定间断点类型，求 −1 处的极限。可见 $lim_{x \to {−1}^{-}} \frac{x + 2}{x + 1} = − \infty$ 和 $lim_{x \to {−1}^{+}} \frac{x + 2}{x + 1} = + \infty .$ 。故该函数在 −1 处有无穷间断点。

检验点 2.23

对于 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} & 若 x \neq 1 \\ 3 & 若 x = 1 \end{matrix},$ ，判断 f 在 1 处是否连续。如果 f 在 1 处不连续，请将该间断点分类为可去间断点、跳跃间断点或无穷间断点。

区间上的连续性

讨论了一点处连续之后，将此概念推广到在区间上连续。直观地说，若可用铅笔沿区间内的函数图形从一端画到另一端而不抬笔，则函数在该区间上连续。给出区间上连续的定义之前，先定义右连续和左连续。

右连续和左连续

称函数 $f (x)$ 在 a 处右连续，若 $lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a) .$ 。

称函数 $f (x)$ 在 a 处左连续，若 $lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) .$ 。

若函数在开区间内每一点都连续，则称其在该开区间上连续。函数 $f (x)$ 在形如 $[a, b]$ 的闭区间上连续，若其在 $(a, b)$ 上处处连续，且在 a 处右连续、在 b 处左连续。类似地，函数 $f (x)$ 在形如 $(a, b]$ 的区间上连续，若其在 $(a, b)$ 上连续且在 b 处左连续。其他类型区间上的连续性可类似定义。

要求 $lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$ 和 $lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$ 保证了可从点 $(a, f (a))$ 到点 $(b, f (b))$ 不间断地描绘函数图形。例如，若 $lim_{x \to a^{+}} f (x) \neq f (a),$ ，则必须抬笔，从 $f (a)$ 跳到函数图形在 $(a, b] .$ 上的其余部分。

例 2.33

区间上的连续性

说明函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x}$ 连续的区间。

解

由于 $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x}$ 为有理函数，在其定义域上处处连续。 $f (x)$ 的定义域为 $(− \infty, −2) \cup (−2, 0) \cup (0, + \infty) .$ 。因此， $f (x)$ 在区间 $(− \infty, −2), (−2, 0),$ 和 $(0, + \infty) .$ 上均连续。

例 2.34

区间上的连续性

说明函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ 连续的区间。

解

由极限法则可知，对 $(−2, 2) .$ 中任意 a，均有 $lim_{x \to a} \sqrt[]{4 - x^{2}} = \sqrt{4 - a^{2}}$ 。又知 $lim_{x \to {−2}^{+}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$ 存在且 $lim_{x \to 2^{-}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$ 存在。因此， $f (x)$ 在区间 $[−2, 2] .$ 上连续。

检验点 2.24

说明函数 $f (x) = \sqrt{x + 3}$ 连续的区间。

复合函数定理拓展了极限的计算能力，还可用于证明三角函数在其定义域上连续。

定理 2.9

复合函数定理

若 $f (x)$ 在 L 处连续且 $lim_{x \to a} g (x) = L,$ ，则

lim_{x \to a} f (g (x)) = f (lim_{x \to a} g (x)) = f (L) .

进入例 2.35之前，回顾极限法则一节中已证的结论： $lim_{x \to 0} cos x = 1 = cos (0) .$ 。由此可知 $f (x) = cos x$ 在 0 处连续。例 2.35将展示如何将此结论与复合函数定理结合使用。

例 2.35

复合余弦函数的极限

计算 $lim_{x \to π / 2} cos (x - \frac{π}{2}) .$ 。

解

此函数是 $cos x$ 和 $x - \frac{π}{2} .$ 的复合函数。由于 $lim_{x \to π / 2} (x - \frac{π}{2}) = 0$ 且 $cos x$ 在 0 处连续，可应用复合函数定理。故

lim_{x \to π / 2} cos (x - \frac{π}{2}) = cos (lim_{x \to π / 2} (x - \frac{π}{2})) = cos (0) = 1 .

检验点 2.25

计算 $lim_{x \to π} sin (x - π) .$ 。

下面定理的证明利用复合函数定理及 $f (x) = sin x$ 和 $g (x) = cos x$ 在 0 处的连续性。

定理 2.10

三角函数的连续性

三角函数在各自的定义域上连续。

证明

先证 $cos x$ 在每个实数处连续。为此需证对所有 a 值， $lim_{x \to a} cos x = cos a$ 。

$\begin{matrix} lim_{x \to a} cos x & = lim_{x \to a} cos ((x - a) + a) & 改写 x = x - a + a \\ = lim_{x \to a} (cos (x - a) cos a - sin (x - a) sin a) & 应用两角和的余弦公式 \\ = cos (lim_{x \to a} (x - a)) cos a - sin (lim_{x \to a} (x - a)) sin a & lim_{x \to a} (x - a) = 0, 且 sin x 且 cos x 在 0 处连续 \\ = cos (0) cos a - sin (0) sin a & 计算 cos(0) 和 sin(0) 并化简 \\ = 1 \cdot cos a - 0 \cdot sin a = cos a . \end{matrix}$

类似可证 $sin x$ 在每个实数处连续。其余三角函数均可用 $sin x$ 和 $cos x,$ 表示，故其连续性可由商的极限法则得出。

□

可见复合函数定理在证明三角函数连续性方面起着关键作用。后续微积分学习中将多次用到此定理。

介值定理

在形如 $[a, b],$ 的闭区间上连续的函数（其中 a、b 为实数）具有许多重要性质。微积分学习中将多次用到这些性质。其中第一个是介值定理。

定理 2.11

介值定理

设 f 在闭有界区间 $[a, b] .$ 上连续。若 z 是 $f (a)$ 和 $f (b),$ 之间的任意实数，则 $[a, b]$ 中必存在 c 使得 $f (c) = z$ ，如图 2.38 所示。

图 2.38 存在一个数

c \in [a, b]

满足

f (c) = z .

。

例 2.36

介值定理的应用

证明 $f (x) = x - cos x$ 至少有一个零点。

解

由于 $f (x) = x - cos x$ 在 $(− \infty, + \infty),$ 上连续，它在形如 $[a, b] .$ 的任何闭区间上都连续。若能找到区间 $[a, b]$ ，使得 $f (a)$ 和 $f (b)$ 异号，则由介值定理可知 $(a, b)$ 中存在 c 使 $f (c) = 0 .$ 。注意

f (0) = 0 - cos (0) = −1 < 0

且

f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - cos \frac{π}{2} = \frac{π}{2} > 0 .

由介值定理可知，在 $[0, π / 2]$ 中存在 c 使 $f (c) = 0 .$ 。因此， $f (x) = x - cos x$ 至少有一个零点。

例 2.37

何时可以应用介值定理？

如果 $f (x)$ 在 $[0, 2], f (0) > 0$ 上连续且 $f (2) > 0,$ ，能否由介值定理得出 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]?$ 中没有零点？请解释。

解

不能。介值定理只能保证在 $f (0)$ 和 $f (2);$ 之间可取到某值，但不能排除其他值的存在。为进一步说明，考虑函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} .$ 。它满足 $f (0) = 1 > 0, f (2) = 1 > 0,$ 和 $f (1) = 0 .$ 。

例 2.38

何时可以应用介值定理？

对于 $f (x) = 1 / x, f (−1) = −1 < 0$ 和 $f (1) = 1 > 0 .$ ，能否得出 $f (x)$ 在区间 $[−1, 1] ?$ 中有一个零点？

解

不能。函数在 $[−1, 1] .$ 上不连续，介值定理不适用。

检验点 2.26

证明 $f (x) = x^{3} - x^{2} - 3 x + 1$ 在区间 $[0, 1] .$ 上有一个零点。

第2.4节练习

以下各题，确定函数的间断点（若有），并将其分类为跳跃间断点、可去间断点、无穷间断点或其他类型。

131.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

132.

$f (x) = \frac{2}{x^{2} + 1}$

133.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x}$

134.

$g (t) = t^{−1} + 1$

135.

$f (x) = \frac{5}{e^{x} - 2}$

136.

$f (x) = \frac{| x - 2 |}{x - 2}$

137.

$H (x) = tan 2 x$

138.

$f (t) = \frac{t + 3}{t^{2} + 5 t + 6}$

以下各题，判断函数在给定点是否连续。若不连续，属于哪种类型的间断点？

139.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处

140.

$h (θ) = \frac{sin θ - cos θ}{tan θ}$ 在 $θ = π$ 处

141.

$g (u) = {\begin{cases} \frac{6 u^{2} + u - 2}{2 u - 1} & 若 u \neq \frac{1}{2} \\ \frac{7}{2} & 若 u = \frac{1}{2} \end{cases},$ 在 $u = \frac{1}{2}$ 处

142.

$f (y) = \frac{sin (π y)}{tan (π y)},$ 在 $y = 1$ 处

143.

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} - e^{x} & 若 x < 0 \\ x - 1 & 若 x \geq 0 \end{cases},$ 在 $x = 0$ 处

144.

$f (x) = {\begin{cases} x sin (x) 若 x \leq π \\ x tan (x) 若 x > π \end{cases},$ 在 $x = π$ 处

以下各题，求使函数在给定区间上连续的 k 值。

145.

$f (x) = {\begin{matrix} 3 x + 2, & x < k \\ 2 x - 3, & k \leq x \leq 8 \end{matrix}$

146.

$f (θ) = {\begin{cases} sin θ, & 0 \leq θ < \frac{π}{2} \\ cos (θ + k), & \frac{π}{2} \leq θ \leq π \end{cases}$

147.

$f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 2}, & x \neq - 2 \\ k, & x = −2 \end{matrix}$

148.

$f (x) = {\begin{matrix} e^{k x}, & 0 \leq x < 4 \\ x + 3, & 4 \leq x \leq 8 \end{matrix}$

149.

$f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{k x}, & 0 \leq x \leq 3 \\ x + 1, & 3 < x \leq 10 \end{matrix}$

以下各题，应用介值定理。

150.

设 $h (x) = {\begin{cases} 3 x^{2} - 4, & x \leq 2 \\ 5 + 4 x, & x > 2 \end{cases}$ 。在区间 $[0, 4],$ 上，不存在 x 的值使得 $h (x) = 10,$ ，尽管 $h (0) < 10$ 和 $h (4) > 10 .$ 。解释为什么这不与介值定理矛盾。

151.

一个沿直线运动的粒子在每个时刻 t 都有一个连续的位置函数 $s (t),$ 。假设 $s (2) = 5$ 和 $s (5) = 2 .$ 。另一个粒子运动的位置由 $h (t) = s (t) - t .$ 给出。解释为什么在 $2 < c < 5$ 处一定存在一个值 c 使得 $h (c) = 0 .$ 。

152.

[T] 使用语句“t 的余弦等于 t 的立方。”

写出该语句的数学方程。
证明a部分中的方程至少有一个实数解。
使用计算器找到一个包含解的长度为0.01的区间。

153.

应用介值定理确定 $2^{x} = x^{3}$ 在区间 $[1.25, 1.375]$ 或 $[1.375, 1.5] .$ 中是否有解。简要解释你对每个区间的回答。

154.

考虑函数 $y = f (x)$ 的图形，如下图所示。

一个说明介值定理的图示。在区间 [a,b] 上显示了一个一般的连续曲线函数。标记了点 fa. 和 fb.，并从 a, b, fa. 和 fb. 到点 (a, fa.) 和 (b, fb.) 绘制了虚线。在 a 和 b 之间绘制了第三个点 c。由于函数是连续的，沿曲线存在一个 fc. 的值，并从 c 到 (c, fc.) 绘制了一条线，再从 (c, fc.) 到 fc.，在 y 轴上标记为 z。

找出函数不连续的所有值。
对于a部分中的每个值，说明为什么连续性的形式定义不适用。
将每个间断点分类为跳跃间断点、可去间断点或无穷间断点。

155.

设 $f (x) = {\begin{matrix} 3 x, x > 1 \\ x^{3}, x < 1 \end{matrix} .$

绘制 f 的图形。
是否可能找到一个值 k 使得 $f (1) = k,$ ，从而使 $f (x)$ 在所有实数上连续？简要解释。

156.

设 $f (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}$ ，对于 $x \neq - 1, 1 .$ 。

绘制 f 的图形。
是否可能找到值 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 使得 $f (−1) = k_{1}$ 和 $f (1) = k_{2},$ ，并且使 $f (x)$ 在所有实数上连续？简要解释。

157.

绘制满足性质 i. 到 vi. 的函数 $y = f (x)$ 的图形。

f 的定义域是 $(− \infty, + \infty) .$
f 在 $x = −6 .$ 处有一个无穷间断点。
$f (−6) = 3$
$lim_{x \to {−3}^{-}} f (x) = lim_{x \to {−3}^{+}} f (x) = 2$
$f (−3) = 3$
f 在 $x = 3 .$ 处左连续但不右连续。

158.

绘制满足性质 i. 到 iv. 的函数 $y = f (x)$ 的图形。

f 的定义域是 $[0, 5] .$
$lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ 和 $lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ 存在且相等。
$f (x)$ 在 $x = 2,$ 处左连续但不连续，在 $x = 3 .$ 处右连续但不连续。
$f (x)$ 在 $x = 1,$ 处有一个可去间断点，在 $x = 2,$ 处有一个跳跃间断点，并且满足以下极限： $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = − \infty$ 和 $lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 2 .$ 。

以下各题，假设 $y = f (x)$ 对所有 x 有定义。根据每个描述，绘制满足所示性质的图形。

159.

在 $x = 1$ 处不连续，且 $lim_{x \to −1} f (x) = −1$ 和 $lim_{x \to 2} f (x) = 4$ 。

160.

在 $x = 2$ 处不连续，但在其他地方连续，且 $lim_{x \to 0} f (x) = \frac{1}{2}$ 。

判断以下各命题是否为真，并给出解释或反例。

161.

$f (t) = \frac{2}{e^{t} - e^{- t}}$ 在处处连续。

162.

如果 $f (x)$ 当 $x \to a$ 时的左极限和右极限存在且相等，那么 f 在 $x = a .$ 处不可能不连续。

163.

若函数在某点不连续，则其在该点无定义。

164.

根据介值定理， $cos x - sin x - x = 2$ 在区间 $[−1, 1] .$ 上有解。

165.

如果 $f (x)$ 连续，使得 $f (a)$ 和 $f (b)$ 符号相反，那么 $f (x) = 0$ 在 $[a, b] .$ 中恰好有一个解。

166.

函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 1}$ 在区间 $[0, 3] .$ 上连续。

167.

如果 $f (x)$ 处处连续且 $f (a), f (b) > 0,$ ，那么在区间 $[a, b] .$ 中没有 $f (x)$ 的根。

[T] 以下问题考虑库仑定律的标量形式，它描述了两个点电荷（例如电子）之间的静电力。它由方程 $F (r) = k_{e} \frac{| q_{1} q_{2} |}{r^{2}},$ 给出，其中 $k_{e}$ 是库仑常数， $q_{i}$ 是两个粒子的电荷大小，r 是两个粒子之间的距离。

168.

为简化含有大量相互作用粒子的模型计算，在某阈值 $r = R,$ 之后，将 F 近似为零。

解释这一假设背后的物理原因。
力方程是什么？
使用库仑定律和我们的近似值计算力 F，假设两个质子的电荷大小为 $1.6022 \times 10^{−19} coulombs (C),$ ，库仑常数为 $k_{e} = 8.988 \times 10^{9} {Nm}^{2} / C^{2}$ ，它们相距 1 米。此外，假设 $R < 1 m .$ 。我们的近似值会产生多少误差？我们的近似值合理吗？
是否存在任何有限的 R 值，使得该系统在 R 处保持连续？

169.

我们不将 R 处的力设为 0，而是将 $r \geq R .$ 时的力设为 10⁻²⁰。假设两个质子的电荷大小为 $1.6022 \times 10^{−19} C,$ ，库仑常数为 $k_{e} = 8.988 \times 10^{9} {Nm}^{2} / C^{2} .$ 。是否存在一个 R 值可以使该系统连续？如果存在，请找出它。

回顾章节开头关于航天器的讨论。以下问题考虑从地球表面发射火箭。火箭所受的重力由 $F (d) = - m k / d^{2},$ 给出，其中 m 是火箭的质量，d 是火箭到地心的距离，k 是一个常数。

170.

[T] 假设火箭质量为 300 万千克，确定 k 的值和单位。（提示：从地心到地表的距离是 6378 公里。）

171.

[T] 经过一定距离 D 后，地球的引力效应变得相当微不足道，因此我们可以用 $F (d) = {\begin{cases} - \frac{m k}{d^{2}} & 若 d < D \\ 10,000 & 若 d \geq D \end{cases} .$ 来近似力函数。使用上一个练习中找到的 k 值，找出使力函数保持连续的必要条件 D。

172.

当火箭远离地球表面时，在某个距离 D 处，火箭会抛弃一部分质量，因为它不再需要多余的燃料储存。我们可以将这个函数写成 $F (d) = {\begin{cases} - \frac{m_{1} k}{d^{2}} 若 d < D \\ - \frac{m_{2} k}{d^{2}} 若 d \geq D \end{cases} .$ 。假设 $m_{1} \neq m_{2} ?$ ，是否存在一个 D 值使得这个函数连续？

证明以下函数处处连续

173.

$f (θ) = sin θ$

174.

$g (x) = | x |$

175.

$f (x) = {\begin{cases} 0 若 x 是无理数 \\ 1 若 x 是有理数 \end{cases}$ 在哪里是连续的？

2.4 连续性

学习目标

在一点处连续

定义

解题策略

判断函数在一点处的连续性

例 2.26

判断函数在一点处的连续性，条件1

解

例 2.27

判断函数在一点处的连续性，条件2

解

例 2.28

判断函数在一点处的连续性，条件3

解

检验点 2.21

定理 2.8

多项式函数和有理函数的连续性

证明

例 2.29

有理函数的连续性

解

检验点 2.22

间断点的类型

定义

例 2.30

间断点的分类

解

例 2.31

间断点的分类

解

例 2.32

间断点的分类

解

检验点 2.23

区间上的连续性

右连续和左连续

例 2.33

区间上的连续性

解

例 2.34

区间上的连续性

解

检验点 2.24

定理 2.9

复合函数定理

例 2.35

复合余弦函数的极限

解

检验点 2.25

定理 2.10

三角函数的连续性

证明

介值定理

定理 2.11

介值定理

例 2.36

介值定理的应用

解

例 2.37

何时可以应用介值定理？

解

例 2.38

何时可以应用介值定理？

解

检验点 2.26

第2.4节 练习

第2.4节练习