求导法则 - 微积分：第一卷

求导法则

3.3 求导法则

学习目标

3.3.1 阐述常数法则、常数倍法则和幂法则。
3.3.2 应用和法则与差法则组合导数。
3.3.3 使用乘法法则求函数乘积的导数。
3.3.4 使用商法则求函数商的导数。
3.3.5 将幂法则推广到具有负指数的函数。
3.3.6 结合求导法则求多项式函数或有理函数的导数。

用导数的定义来求函数的导数，过程往往冗长，某些函数更是颇为棘手。例如，之前我们先将表达式乘以共轭项再取极限，由此求得 $\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 。使用定义计算 $\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})$ 的过程虽类似，却更为复杂。本节将建立一系列求导法则，使我们无需每次都回到定义。先从最基本的法则开始。

基本法则

函数 $f (x) = c$ 和 $g (x) = x^{n}$ （其中 $n$ 是正整数）是构成所有多项式函数和有理函数的基本单元。要高效地对多项式函数和有理函数求导，而不必每次都回到极限定义，须先推导出这些基本函数的求导公式。

常数法则

先用导数的极限定义求常数函数 $f (x) = c .$ 的导数。对于这个函数， $f (x) = c$ 和 $f (x + h) = c,$ 都成立，故有

\begin{matrix} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\ = lim_{h \to 0} 0 = 0. \end{matrix}

对常数函数求导的法则称为常数法则。此法则表明常数函数的导数为零——因为常数函数的图形是水平线，其斜率（即变化率）为 $0 .$ 。下面的定理给出此法则的正式表述。

定理 3.2

常数法则

设 $c$ 为常数。

如果 $f (x) = c,$ ，那么 $f^{'} (x) = 0 .$ 。

亦可表示为

\frac{d}{d x} (c) = 0.

例 3.17

应用常数法则

求 $f (x) = 8 .$ 的导数。

解

直接应用法则即可：

f^{'} (x) = 0.

检验点 3.11

求 $g (x) = −3 .$ 的导数。

幂法则

前面已证明

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x 且 \frac{d}{d x} (x^{1 / 2}) = \frac{1}{2} x^{− 1 / 2} .

至此，你或许已注意到形如 $\frac{d}{d x} (x^{n}) .$ 的导数呈现出某种规律。下面通过对形如 $f (x) = x^{n}$ 的幂函数求导来进一步探索导数公式，其中 $n$ 是正整数。推导分阶段进行，从正整数幂开始。在阐述和证明一般法则之前，先看一个具体情况，即 $\frac{d}{d x} (x^{3}) .$ 。推导过程中请留意：本例所用方法与一般情况的证明本质上一致。

例 3.18

对 $x^{3}$ 求导

求 $\frac{d}{d x} (x^{3}) .$ 。

解

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{3}) & = lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{3}}{h} & \begin{matrix} 注意 \\ {(x + h)}^{3} 的展开式中，第一项为 x^{3} ，第二项为 3 x^{2} h . 所有其他项含 h 的二次或更高次幂。 \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} \frac{3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}}{h} & 在此步骤中， x^{3} 项已消去，仅余含 h 的项。 \\ = lim_{h \to 0} \frac{h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{h} & 提取公因子 h . \\ = lim_{h \to 0} (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}) & 消去公因子 h 后，不含 h 的唯一项为 3 x^{2} 。 \\ = 3 x^{2} & 令 h 趋于 0。 \end{matrix}

检验点 3.12

求 $\frac{d}{d x} (x^{4}) .$ 。

可以看到，求一般形式 $f (x) = x^{n}$ 的导数的过程非常相似。虽然由个别例子归纳一般结论并不严谨，但可以注意到，对 $f (x) = x^{3},$ 求导时， $x$ 的指数变成了导数中 $x^{2}$ 的系数，同时导数中 $x$ 的指数降低 1。下面的定理指出，幂法则对 $x .$ 的所有正整数幂都成立。此结果最终将推广到负整数幂。稍后还会看到，此法则可先推广到 $x$ 的有理幂，再推广到 $x .$ 的任意实数幂。但须注意，此法则不适用于底数为常数而指数为变量的函数，例如 $f (x) = 3^{x} .$ 。

定理 3.3

幂法则

设 $n$ 为正整数。如果 $f (x) = x^{n},$ ，那么

f^{'} (x) = n x^{n - 1} .

亦可表示为

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1} .

证明

对于 $f (x) = x^{n}$ （其中 $n$ 是正整数），我们有

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} .

由于 {(x + h)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{3} + … + n x h^{n - 1} + h^{n},

于是

{(x + h)}^{n} - x^{n} = n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{3} + … + n x h^{n - 1} + h^{n} .

接下来，将两边除以 h：

\frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} = \frac{n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{3} + … + n x h^{n - 1} + h^{n}}{h} .

因此，

\frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} = n x^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{2} + … + n x h^{n - 2} + h^{n - 1} .

最后，

\begin{matrix} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} (n x^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{2} + … + n x h^{n - 2} + h^{n - 1}) \\ = n x^{n - 1} . \end{matrix}

□

例 3.19

应用幂法则

应用幂法则求函数 $f (x) = x^{10}$ 的导数。

解

由幂法则，取 $n = 10,$ ，得

f' (x) = 10 x^{10 - 1} = 10 x^{9} .

检验点 3.13

求 $f (x) = x^{7} .$ 的导数。

和法则、差法则和常数倍法则

接下来考察函数的和、差及常数倍的导数，从中推导新的求导法则。函数经加、减或乘以常数后的导数同样有简便法则可循，总结在下面的定理中。

定理 3.4

和法则、差法则和常数倍法则

设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 为可微函数， $k$ 为常数。则以下每个方程都成立。

和法则。函数 $f$ 与函数 $g$ 之和的导数等于 $f$ 的导数与 $g .$ 的导数之和。

\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = \frac{d}{d x} (f (x)) + \frac{d}{d x} (g (x));

即，

对 j (x) = f (x) + g (x), j^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x) .

差法则。函数 f 与函数 g 之差的导数等于 f 的导数与 $g :$ 的导数之差。

\frac{d}{d x} (f (x) - g (x)) = \frac{d}{d x} (f (x)) - \frac{d}{d x} (g (x));

即，

对 j (x) = f (x) - g (x), j^{'} (x) = f^{'} (x) - g^{'} (x) .

常数倍法则。函数 f 乘以常数 k 后的导数等于常数乘以 f 的导数：

\frac{d}{d x} (k f (x)) = k \frac{d}{d x} (f (x));

即，

对 j (x) = k f (x), j^{'} (x) = k f^{'} (x) .

证明

此处仅证和法则，其余可类推。

设可微函数 $f (x)$ 和 $g (x),$ ，令 $j (x) = f (x) + g (x) .$ 。由导数的极限定义，

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{j (x + h) - j (x)}{h} .

代入 $j (x + h) = f (x + h) + g (x + h)$ 和 $j (x) = f (x) + g (x),$ ，得

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{(f (x + h) + g (x + h)) - (f (x) + g (x))}{h} .

重新整理并合并同类项，得

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h} + \frac{g (x + h) - g (x)}{h}) .

再由极限的和法则及导数的定义，即得

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h}) + lim_{h \to 0} (\frac{g (x + h) - g (x)}{h}) = f^{'} (x) + g^{'} (x) .

□

例 3.20

应用常数倍法则

求 $g (x) = 3 x^{2}$ 的导数，并将其与 $f (x) = x^{2} .$ 的导数进行比较。

解

直接应用幂法则：

g^{'} (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) = 3 (2 x) = 6 x .

由于 $f (x) = x^{2}$ 的导数为 $f^{'} (x) = 2 x,$ ，可见 $g (x)$ 的导数是 $f (x) .$ 的导数的 3 倍。这种关系如图 3.18 所示。

显示了两张图。第一张图显示了 g(x) = 3x2 和 f(x) = x 平方。第二张图显示了 g’(x) = 6x 和 f’(x) = 2x。在第一张图中，g(x) 的增长速度是 f(x) 的三倍。在第二张图中，g’(x) 的增长速度是 f’(x) 的三倍。

图 3.18

g (x)

的导数是

f (x) .

的导数的 3 倍。

例 3.21

应用基本求导法则

求 $f (x) = 2 x^{5} + 7 .$ 的导数。

解

依次应用和法则、常数倍法则和幂法则。为清楚展示各法则的应用顺序，全程使用莱布尼茨记号：

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (2 x^{5} + 7) \\ = \frac{d}{d x} (2 x^{5}) + \frac{d}{d x} (7) & 应用和法则。 \\ = 2 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (7) & 应用常数倍法则。 \\ = 2 (5 x^{4}) + 0 & 应用幂法则和常数法则。 \\ = 10 x^{4} . & 化简。 \end{matrix}

检验点 3.14

求 $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 3 .$ 的导数。

例 3.22

求切线方程

求函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$ 的图形在 $x = 1 .$ 处的切线方程。

解

求切线方程需要一个切点和斜率。先求切点，计算

f (1) = 1^{2} - 4 (1) + 6 = 3 .

由此得到切点 $(1, 3) .$ 。切线在 1 处的斜率为 $f^{'} (1),$ ，故须先求 $f^{'} (x) .$ 。由求导法则得

f^{'} (x) = 2 x - 4

故切线斜率为 $f^{'} (1) = −2 .$ 。由点斜式方程，切线方程为

y - 3 = −2 (x - 1) .

化为斜截式，得

y = −2 x + 5 .

检验点 3.15

求函数 $f (x) = 3 x^{2} - 11$ 的图形在 $x = 2 .$ 处的切线方程。使用点斜式。

乘法法则

掌握了基本法则后，接下来探讨更高级的法则。先考察两个函数乘积的导数。与和法则、差法则不同，乘积的导数并非导数的乘积——乘法法则并非如此简单。为理解这一点，考虑函数 $f (x) = x^{2},$ ，其导数为 $f^{'} (x) = 2 x$ 而不是 $\frac{d}{d x} (x) \cdot \frac{d}{d x} (x) = 1 \cdot 1 = 1 .$

定理 3.5

乘法法则

设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是可微函数。则

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = \frac{d}{d x} (f (x)) \cdot g (x) + \frac{d}{d x} (g (x)) \cdot f (x) .

即，

若 j (x) = f (x) g (x), 则 j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x) .

即：两个函数乘积的导数 = 前者之导乘后者 + 后者之导乘前者。

证明

设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 为可微函数。证明的关键在于利用以下事实：因为 $g (x)$ 可微，故连续。具体而言，利用 $g (x)$ 的连续性，即 $lim_{h \to 0} g (x + h) = g (x) .$ 。

对 $j (x) = f (x) g (x),$ 应用导数的极限定义，得

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)}{h} .

在分子中加减 $f (x) g (x + h)$ ，得

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x + h) + f (x) g (x + h) - f (x) g (x)}{h} .

拆分分式并应用极限的和法则，导数化为

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x + h)}{h}) + lim_{h \to 0} (\frac{f (x) g (x + h) - f (x) g (x)}{h}) .

整理后得

j^{'} (x) = lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h} \cdot g (x + h)) + lim_{h \to 0} (\frac{g (x + h) - g (x)}{h} \cdot f (x)) .

利用 $g (x),$ 的连续性， $f (x)$ 和 $g (x),$ 的导数定义及极限法则，即得乘法法则：

j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x) .

□

例 3.23

在一点处对函数应用乘法法则

对于 $j (x) = f (x) g (x),$ ，如果 $f (2) = 3, f^{'} (2) = −4, g (2) = 1,$ 和 $g^{'} (2) = 6 .$ ，使用乘法法则求 $j^{'} (2)$ 。

解

由于 $j (x) = f (x) g (x), j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x),$ ，因此

j^{'} (2) = f^{'} (2) g (2) + g^{'} (2) f (2) = (−4) (1) + (6) (3) = 14 .

例 3.24

对二项式应用乘法法则

对于 $j (x) = (x^{2} + 2) (3 x^{3} - 5 x),$ ，通过应用乘法法则求 $j^{'} (x)$ 。先求出乘积，然后求导，以验证结果。

解

如果我们设 $f (x) = x^{2} + 2$ 和 $g (x) = 3 x^{3} - 5 x,$ ，则 $f^{'} (x) = 2 x$ 和 $g^{'} (x) = 9 x^{2} - 5 .$ 。因此，

j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x) = (2 x) (3 x^{3} - 5 x) + (9 x^{2} - 5) (x^{2} + 2) .

化简得

j^{'} (x) = 15 x^{4} + 3 x^{2} - 10 .

验证：由 $j (x) = 3 x^{5} + x^{3} - 10 x$ ，因此 $j^{'} (x) = 15 x^{4} + 3 x^{2} - 10 .$ 。

检验点 3.16

使用乘法法则求 $j (x) = 2 x^{5} (4 x^{2} + x) .$ 的导数。

商法则

接下来考虑函数商的求导。商的导数并非导数的商，而是：分子之导乘分母，减去分母之导乘分子，再除以分母的平方。为说明不能简单取导数之商，回忆

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x, 而非 \frac{\frac{d}{d x} (x^{3})}{\frac{d}{d x} (x)} = \frac{3 x^{2}}{1} = 3 x^{2} .

定理 3.6

商法则

设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是可微函数。则

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{\frac{d}{d x} (f (x)) \cdot g (x) - \frac{d}{d x} (g (x)) \cdot f (x)}{{(g (x))}^{2}} .

即，

若 j (x) = \frac{f (x)}{g (x)}, 则 j^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) g (x) - g^{'} (x) f (x)}{{(g (x))}^{2}} .

商法则的证明与乘法法则类似，此处从略，直接在下一个例题中应用此法则。

例 3.25

应用商法则

使用商法则求 $k (x) = \frac{5 x^{2}}{4 x + 3} .$ 的导数。

解

设 $f (x) = 5 x^{2}$ 和 $g (x) = 4 x + 3 .$ 。因此， $f^{'} (x) = 10 x$ 和 $g^{'} (x) = 4 .$ 。代入商法则，可得

k^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) g (x) - g^{'} (x) f (x)}{{(g (x))}^{2}} = \frac{10 x (4 x + 3) - 4 (5 x^{2})}{{(4 x + 3)}^{2}} .

化简得

k^{'} (x) = \frac{20 x^{2} + 30 x}{{(4 x + 3)}^{2}} .

检验点 3.17

求 $h (x) = \frac{3 x + 1}{4 x - 3} .$ 的导数。

利用商法则，可将幂法则推广到形如 $x^{k}$ 的函数，其中 $k$ 是负整数。

定理 3.7

推广的幂法则

如果 $k$ 是负整数，则

\frac{d}{d x} (x^{k}) = k x^{k - 1} .

证明

如果 $k$ 是负整数，令 $n = − k,$ ，则 n 为正整数，且 $k = − n .$ 。由于对于每个正整数 $n, x^{− n} = \frac{1}{x^{n}},$ ，取 $f (x) = 1$ 和 $g (x) = x^{n} .$ ，应用商法则。此时 $f^{'} (x) = 0$ 和 $g^{'} (x) = n x^{n - 1} .$ 。故

\frac{d}{d x} (x^{− n}) = \frac{0 (x^{n}) - 1 (n x^{n - 1})}{{(x^{n})}^{2}} .

化简后得

\frac{d}{d x} (x^{− n}) = \frac{− n x^{n - 1}}{x^{2 n}} = − n x^{(n - 1) - 2 n} = − n x^{− n - 1} .

最后，由于 $k = − n,$ ，代入即得

\frac{d}{d x} (x^{k}) = k x^{k - 1} .

□

例 3.26

使用推广的幂法则

求 $\frac{d}{d x} (x^{−4}) .$ 。

解

对 $k = −4,$ 应用推广的幂法则，得

\frac{d}{d x} (x^{−4}) = −4 x^{−4 - 1} = −4 x^{−5} .

例 3.27

使用推广的幂法则和常数倍法则

使用推广的幂法则和常数倍法则求 $f (x) = \frac{6}{x^{2}} .$ 的导数。

解

使用商法则来求这个导数可能看起来很诱人，这样做当然也没有错。然而，通过首先将其改写为 $f (x) = 6 x^{−2} .$ 来对这个函数求导要容易得多。

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (\frac{6}{x^{2}}) = \frac{d}{d x} (6 x^{−2}) & 改写 \frac{6}{x^{2}} 为 6 x^{−2} . \\ = 6 \frac{d}{d x} (x^{−2}) & 应用常数倍法则。 \\ = 6 (−2 x^{−3}) & 利用扩展幂法则对 x^{−2} 求导。 \\ = −12 x^{−3} & 化简。 \end{matrix}

检验点 3.18

使用推广的幂法则求 $g (x) = \frac{1}{x^{7}}$ 的导数。

组合求导法则

正如前面各例所示，求给定函数的导数时，很少只用到一条法则。组合多条求导法则，可以求出任何多项式或有理函数的导数。稍后还会遇到更复杂的组合。一个实用的经验是：按照计算函数值时运算顺序的逆序，依次应用相应法则。

例 3.28

组合求导法则

对于 $k (x) = 3 h (x) + x^{2} g (x),$ ，求 $k^{'} (x) .$ 。

解

求此导数需要和法则、常数倍法则和乘法法则。

\begin{matrix} k^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (3 h (x) + x^{2} g (x)) = \frac{d}{d x} (3 h (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} g (x)) & 应用和法则。 \\ = 3 \frac{d}{d x} (h (x)) + (\frac{d}{d x} (x^{2}) g (x) + \frac{d}{d x} (g (x)) x^{2}) & 应用常数倍法则对 3 h (x) 求导，应用乘法法则对 x^{2} g (x) 求导。 \end{matrix} = 3 h^{'} (x) + 2 x g (x) + x^{2} g^{'} (x)

例 3.29

推广乘法法则

对于 $k (x) = f (x) g (x) h (x),$ ，用 $f (x), g (x), h (x),$ 及其导数表示 $k^{'} (x)$ 。

解

我们可以将函数 $k (x)$ 视为函数 $f (x) g (x)$ 和函数 $h (x) .$ 的乘积。即， $k (x) = (f (x) g (x)) \cdot h (x) .$ 。因此，

\begin{matrix} k^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (f (x) g (x)) \cdot h (x) + \frac{d}{d x} (h (x)) \cdot (f (x) g (x)) & 对 f (x) g (x) 与 h (x) 的乘积应用乘法法则。 \\ = (f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x)) h (x) + h^{'} (x) f (x) g (x) & 对 f (x) g (x) 应用乘法法则。 \\ = f^{'} (x) g (x) h (x) + f (x) g^{'} (x) h (x) + f (x) g (x) h^{'} (x). & 化简。 \end{matrix}

例 3.30

组合商法则和乘法法则

对于 $h (x) = \frac{2 x^{3} k (x)}{3 x + 2},$ ，求 $h^{'} (x) .$ 。

解

这是求有理函数导数的典型做法。

\begin{aligned} h^{'} (x) & = \frac{\frac{d}{d x} (2 x^{3} k (x)) \cdot (3 x + 2) - \frac{d}{d x} (3 x + 2) \cdot (2 x^{3} k (x))}{{(3 x + 2)}^{2}} & 应用商法则。 \\ = \frac{(6 x^{2} k (x) + k^{'} (x) \cdot 2 x^{3}) (3 x + 2) - 3 (2 x^{3} k (x))}{{(3 x + 2)}^{2}} & \begin{array}{l} 应用乘法法则求 \\ \frac{d}{d x} (2 x^{3} k (x)) . 利用 \frac{d}{d x} (3 x + 2) = 3 . \end{array} \\ = \frac{−6 x^{3} k (x) + 18 x^{3} k (x) + 12 x^{2} k (x) + 6 x^{4} k^{'} (x) + 4 x^{3} k^{'} (x)}{{(3 x + 2)}^{2}} & 化简。 \\ = \frac{12 k (x) (x^{3} + x^{2}) + 2 k' (x) (3 x^{4} + 2 x^{3})}{{(3 x + 2)}^{2}} \end{aligned}

检验点 3.19

求 $\frac{d}{d x} (3 f (x) - 2 g (x)) .$ 。

例 3.31

确定函数何时具有水平切线

确定使 $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 1$ 具有水平切线的 $x$ 值。

解

要找到使 $f (x)$ 具有水平切线的 $x$ 值，须解 $f^{'} (x) = 0 .$ 。由于

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 14 x + 8 = (3 x - 2) (x - 4),

我们必须解 $(3 x - 2) (x - 4) = 0 .$ 。解得该函数在 $x = \frac{2}{3}$ 和 $x = 4$ 处有水平切线，如下图所示。

该图显示了 f(x) = x3 – 7x2 + 8x + 1 的图形，切线显示为 x = 2/3 和 x = 4。

图 3.19 此函数在 x = 2/3 和 x = 4 处有水平切线。

例 3.32

求速度

一个沿坐标轴运动的物体在时刻 $t$ 的位置由 $s (t) = \frac{t}{t^{2} + 1} .$ 给出。求该物体的初速度。

解

初速度为 $v (0) = s^{'} (0),$ ，先用商法则求 $s^{'} (t)$ ：

s^{'} (t) = \frac{1 (t^{2} + 1) - 2 t (t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = \frac{1 - t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}} .

代入得 $v (0) = 1 .$ 。

检验点 3.20

求使 $f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 2$ 的图形上切线与直线 $y = 2 x + 3 .$ 平行的 $x$ 值。

学生项目

一级方程式赛车看台

一级方程式赛车比赛极具观赏性，吸引大量观众。赛道设计师须确保赛道周围有足够的看台容纳观众。然而赛车运动存在危险，安全至关重要。看台必须设置在驾驶员失控时观众不会处于险境的位置（图 3.20）。

图 3.20 加泰罗尼亚赛道直道旁的看台，位于观众不会处于危险之中的位置。

**********

弯道处安全问题尤为突出。若驾驶员入弯前未充分减速，赛车可能滑出赛道。通常这仅使转弯半径变大，从而迫使驾驶员减速。但若完全失控，赛车可能沿赛道曲线的切线方向飞出赛道。

假设你正在设计一条新赛道。其中一段可用函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x$ 来建模（图 3.21）。目前计划在第一段直道和第一个弯道的一部分周围建造看台，看台前角位于点 $(−1.9, 2.8) .$ 。需要判断：若驾驶员失控，此位置的观众是否会处于险境。

此图包含标有 a 和 b 的两部分。图 a 显示了 f(x) = x3 + 3x2 + x 的图形。图 b 显示了相同的图形，但这次上面有两个方框。第一个方框出现在图形的左侧，大致平行于 f(x) 并横跨 x 轴。第二个方框出现在稍高一点的位置，也大致平行于 f(x)，其前角位于 (−1.9, 2.8)。请注意，这个角大致与赛道开始转弯前的直接路径对齐。

图 3.21 (a) 赛道的一个部分可以用函数

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x .

建模。(b) 看台的前角位于

(−1.9, 2.8) .

。

物理学家已经确定，驾驶员最有可能在进入弯道时失控，即切线斜率为 1 的点。求弯道附近此点的 $(x, y)$ 坐标。
求曲线上此点的切线方程。
为了确定在这种情况下观众是否处于危险之中，求切线与直线 $y = 2.8 .$ 相交点的 x 坐标。这个点是否安全地位于看台的右侧？或者观众是否处于危险之中？
如果驾驶员比物理学家预测的更早失控会怎样？假设驾驶员在点 $(−2.5, 0.625) .$ 失控。此时切线的斜率是多少？
如果驾驶员如第 4 部分所述失控，观众是否安全？
应该继续当前的看台设计，还是应该移动看台？

第3.3节练习

对于以下练习，求每个函数的 $f^{'} (x)$ 。

106.

$f (x) = x^{7} + 10$

107.

$f (x) = 5 x^{3} - x + 1$

108.

$f (x) = 4 x^{2} - 7 x$

109.

$f (x) = 8 x^{4} + 9 x^{2} - 1$

110.

$f (x) = x^{4} + \frac{2}{x}$

111.

$f (x) = 3 x (18 x^{4} + \frac{13}{x + 1})$

112.

$f (x) = (x + 2) (2 x^{2} - 3)$

113.

$f (x) = x^{2} (\frac{2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}})$

114.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{3}$

115.

$f (x) = \frac{4 x^{3} - 2 x + 1}{x^{2}}$

116.

$f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4}$

117.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 7 x + 1}$

对于以下练习，在指定点处求给定函数的切线方程 $T (x)$ 。使用图形计算器绘制函数和切线。

118.

[T] 在 $(0, 1)$ 处求 $y = 3 x^{2} + 4 x + 1$

119.

[T] 在 $(1, 3)$ 处求 $y = \frac{2}{x^{2}} + 1$

120.

[T] 在 $(−1, 1)$ 处求 $y = \frac{2 x}{x - 1}$

121.

[T] 在 $(1, −1)$ 处求 $y = \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}$

对于以下练习，假设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 对所有 $x .$ 都是可微函数。求每个函数 $h (x) .$ 的导数。

122.

$h (x) = 4 f (x) + \frac{g (x)}{7}$

123.

$h (x) = x^{3} f (x)$

124.

$h (x) = \frac{f (x) g (x)}{2}$

125.

$h (x) = \frac{3 f (x)}{g (x) + 2}$

对于以下练习，假设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是可微函数，其值如下表所示。使用下表计算以下导数。

126.

如果 $h (x) = x f (x) + 4 g (x) .$ ，求 $h^{'} (1)$ 。

127.

如果 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)} .$ ，求 $h^{'} (2)$ 。

128.

如果 $h (x) = 2 x + f (x) g (x) .$ ，求 $h^{'} (3)$ 。

129.

如果 $h (x) = \frac{1}{x} + \frac{g (x)}{f (x)} .$ ，求 $h^{'} (4)$ 。

对于以下练习，利用下图求所求的导数（若存在）。

绘制了两个函数：f(x) 和 g(x)。函数 f(x) 从 (−1, 5) 开始，线性递减到 (3, 1)，然后线性递增到 (5, 3)。函数 g(x) 从原点开始，线性递增到 (2.5, 2.5)，然后保持常数 y = 2.5。

130.

设 $h (x) = f (x) + g (x) .$ 。求

$h^{'} (1),$
$h^{'} (3),$ 和
$h^{'} (4) .$

131.

设 $h (x) = f (x) g (x) .$ 。求

$h^{'} (1),$
$h^{'} (3),$ 和
$h^{'} (4) .$

132.

设 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)} .$ 。求

$h^{'} (1),$
$h^{'} (3),$ 和
$h^{'} (4) .$

对于以下练习，

计算 $f^{'} (a),$ ；
绘制函数 $f (x)$ 和在 $x = a .$ 处的切线。

133.

[T] $f (x) = 2 x^{3} + 3 x - x^{2}, a = 2$

134.

[T] $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}, a = 1$

135.

[T] $f (x) = x^{2} - x^{12} + 3 x + 2, a = 0$

136.

[T] $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}, a = −1$

137.

求函数 $f (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x - 3$ 在 $x = −1 .$ 处的切线方程。

138.

求函数 $f (x) = x^{2} + \frac{4}{x} - 10$ 在 $x = 8 .$ 处的切线方程。

139.

求函数 $f (x) = (3 x - x^{2}) (3 - x - x^{2})$ 在 $x = 1 .$ 处的切线方程。

140.

在函数 $f (x) = x^{3}$ 的图形上找到一点，使得在该点的切线 $x$ 截距为 6。

141.

求过点 $P (3, 3)$ 且与函数 $f (x) = \frac{6}{x - 1} .$ 的图形相切的直线方程。

142.

确定函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ 图形上所有满足以下条件的点：

切线是水平的
切线的斜率为 $−1 .$

143.

求一个二次多项式，使得 $f (1) = 5, f^{'} (1) = 3$ 和 $f^{″} (1) = −6 .$ 。

144.

一辆在高速公路上行驶的汽车在 $t$ 秒内行驶了 $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ 米。

确定汽车速度为 0 时的秒数。
确定汽车速度为 0 时的加速度。

145.

[T] 一条沿直线游动的鲱鱼在 $t$ 秒内游动了 $s (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 2}$ 英尺。

确定鲱鱼游动 3 秒时的速度。

146.

大西洋北极鲽鱼的数量（以百万计）由函数 $P (t) = \frac{8 t + 3}{0.2 t^{2} + 1},$ 建模，其中 $t$ 以年为单位。

确定最初的鲽鱼数量。
确定 $P^{'} (10)$ 并简要解释结果。

147.

[T] 注射后 $t$ 小时血液中抗生素的浓度由函数 $C (t) = \frac{2 t^{2} + t}{t^{3} + 50},$ 给出，其中 $C$ 以毫克/升血液为单位。

求 $C (t) .$ 的变化率。
确定 $t = 8, 12, 24,$ 和 $36.$ 的变化率。
简要描述随着小时数增加似乎发生的情况。

148.

一家图书出版商的成本函数为 $C (x) = \frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2}},$ ，其中 x 是图书的千册数，C 是每本书的成本，以美元计。计算 $C^{'} (2)$ 并解释其含义。

149.

[T] 根据牛顿万有引力定律，两个恒定质量为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的物体之间的力 $F$ 由公式 $F = \frac{G m_{1} m_{2}}{d^{2}},$ 给出，其中 $G$ 是引力常数， $d$ 是物体之间的距离。

假设 $G, m_{1}, 且 m_{2}$ 是常数。求力 $F$ 相对于距离 $d .$ 的变化率。
求引力常数 $G = 6.67 \times 10^{−11}$ ${Nm}^{2} / {kg}^{2},$ 作用在相距 10 米、每个质量为 1000 千克的两个物体上的力 $F$ 的变化率。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$3$	$5$	$−2$	$0$
$g (x)$	$2$	$3$	$−4$	$6$
$f^{'} (x)$	$−1$	$7$	$8$	$−3$
$g^{'} (x)$	$4$	$1$	$2$	$9$

3.3 求导法则

学习目标

基本法则

常数法则

定理 3.2

常数法则

例 3.17

应用常数法则

解

检验点 3.11

幂法则

例 3.18

对 x3x3 求导

解

检验点 3.12

定理 3.3

幂法则

证明

例 3.19

应用幂法则

解

检验点 3.13

和法则、差法则和常数倍法则

定理 3.4

和法则、差法则和常数倍法则

证明

例 3.20

应用常数倍法则

解

例 3.21

应用基本求导法则

解

检验点 3.14

例 3.22

求切线方程

解

检验点 3.15

乘法法则

定理 3.5

乘法法则

证明

例 3.23

在一点处对函数应用乘法法则

解

例 3.24

对二项式应用乘法法则

解

检验点 3.16

商法则

定理 3.6

商法则

例 3.25

应用商法则

解

检验点 3.17

定理 3.7

推广的幂法则

证明

例 3.26

使用推广的幂法则

解

例 3.27

使用推广的幂法则和常数倍法则

解

检验点 3.18

组合求导法则

例 3.28

组合求导法则

解

例 3.29

推广乘法法则

解

例 3.30

组合商法则和乘法法则

解

检验点 3.19

例 3.31

确定函数何时具有水平切线

解

例 3.32

对 $x^{3}$ 求导