关键术语
- 函数的平均值
- (或 fave) 函数在某个区间上的平均值 (average value of a function)可通过计算该函数的定积分 (definite integral)并除以区间长度得到
- 换元法
- 用一个变量（例如 u）替换被积函数 (integrand)中的表达式的方法
- 定积分
- 微积分 (calculus)的一个基本运算；曲线与 x 轴在给定区间上的面积 (area)即为定积分
- 微积分基本定理
- 微积分整个发展过程中的核心定理 (theorem)，它建立了微分 (differentiation)与积分 (integration)之间的关系
- 微积分基本定理第一部分
- 利用定积分来定义函数的原函数 (antiderivative)
- 微积分基本定理第二部分
- (也称作求值定理) 可通过计算被积函数在区间 (interval)端点处的原函数值之差来求定积分
- 可积函数
- 若定义积分的极限 (limit)存在，即黎曼和 (Riemann sum)在 n 趋于无穷大 (infinity)时的极限存在，则称该函数可积
- 被积函数
- 积分号右侧的函数；被积函数包含被积分的函数
- 换元积分法
- 一种积分 (integration)技术，用于对由链式法则 (chain rule)求导所得的函数进行积分
- 左端点近似
- 取每个子区间的左端点作为矩形高度，以近似曲线下方面积的方法
- 积分上下限
- 标注在积分号上方和下方的值，用于确定函数的积分区间
- 下和
- 取 在每个子区间上的最小值所得到的和
- 积分中值定理
- 保证存在一个点 c，使得 等于函数的平均值
- 净变化定理
- 若已知某个量的变化率 (rate of change)，则该量的未来值等于初始值加上变化率的积分 (integration)
- 净有向面积
- 函数与 x 轴之间的面积，其中 x 轴下方的面积从 x 轴上方的面积中减去；其值与函数的定积分相同
- 分割
- 将一个区间划分为若干子区间的点集
- 等分分割
- 各子区间宽度均相同的分割
- 黎曼和
- 对曲线下方面积的近似估计，其形式为
- 右端点近似
- 取每个子区间的右端点作为矩形高度，以近似曲线下方面积的方法
- 求和符号
- (也称作求和记号) 用希腊字母西格玛 (Σ) 表示求和运算；Σ 上方和下方的索引 (index)值分别表示求和 (summation)的起始和终止位置
- 总面积
- 函数与 x 轴之间的总面积 (total area)由将 x 轴上方的面积与 x 轴下方的面积相加得到；结果与函数绝对值 (absolute value)的定积分相同
- 上和
- 取 在每个子区间上的最大值所得到的和
- 积分变量
- 表示对哪个变量进行积分；若积分变量为 x，则被积函数后紧跟 dx