函数的极限 - 微积分：第一卷

2.2 函数的极限

学习目标

2.2.1 使用正确的记号描述函数的极限。
2.2.2 使用数值表估计函数的极限，或判断极限是否存在。
2.2.3 使用图形估计函数的极限，或判断极限是否存在。
2.2.4 定义单侧极限并给出例子。
2.2.5 解释单侧极限和双侧极限之间的关系。
2.2.6 使用正确的记号描述无穷极限。
2.2.7 定义垂直渐近线。

极限的概念对理解微积分至关重要，其历史可追溯数千年。早期数学家已利用极限过程逐步逼近圆的面积，但极限的严格定义直到19世纪末才出现。因此，我们效仿先驱，先从直观角度认识极限。待本章末建立起概念性理解后，再讨论其严格定义。

我们先观察以下函数的图形

f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}, g (x) = \frac{| x - 2 |}{x - 2}, 且 h (x) = \frac{1}{{(x - 2)}^{2}},

如图 2.12所示。特别地，让我们关注每个图形在 $x = 2 .$ 处及其附近的表现。

三个函数图形。第一个是f(s) = (x^2 – 4) / (x-2)，它是一条斜线，x轴截距为(-2,0)，在(2,4)处有一个空心圆。第二个是g(x) = |x – 2 | / (x-2)，它包含两条线：当x>2时x=1，当x<2时x=-1。在两个端点(2,1)和(-2,1)处都有空心圆。第三个是h(x) = 1 / (x-2)^2，其中函数在第一和第二象限渐近趋向y=0和x=2。

图 2.12 这三个图形分别展示了三个函数在

x = 2 .

附近的行为。

这三个函数在 $x = 2,$ 处均无定义，但仅此一点不足以刻画各函数在 $x = 2 .$ 附近的行为。为更完整地描述它们在2附近的变化趋势，需要引入极限的概念。

极限的直观定义

首先仔细观察函数 $f (x) = (x^{2} - 4) / (x - 2)$ 在图 2.12中 $x = 2$ 附近的行为。当x的值从2的两侧趋近于2时， $y = f (x)$ 的值趋近于4。在数学上，我们说当x趋近于2时， $f (x)$ 的极限是4。用符号表示为

lim_{x \to 2} f (x) = 4 .

由此出发，我们来建立极限的直观定义。函数在a处的极限，即当x趋近于a时函数值所趋近的实数L（若此L存在）。更严谨地说：

定义

设 $f (x)$ 在某个包含a的开区间内（a本身可除外）有定义，L为实数。若当 $x (\neq a)$ 趋近于a时， $f (x)$ 的所有值都趋近于L，则称当x趋近于a时 $f (x)$ 的极限为L。（简言之，x越接近a， $f (x)$ 就越接近且保持接近L。）用符号表示为

lim_{x \to a} f (x) = L .

(2.3)

可通过列函数值表或观察图形来估计极限，具体方法见下述解题策略。

解题策略

利用函数值表求极限

为了求

lim_{x \to a} f (x),

，先列函数值表，选取两组x值：一组从左侧（小于a）趋近a，另一组从右侧（大于a）趋近a。表 2.1给出了表格的基本形式。

x	$f (x)$	x	$f (x)$
$a - 0.1$	$f (a - 0.1)$	$a + 0.1$	$f (a + 0.1)$
$a - 0.01$	$f (a - 0.01)$	$a + 0.01$	$f (a + 0.01)$
$a - 0.001$	$f (a - 0.001)$	$a + 0.001$	$f (a + 0.001)$
$a - 0.0001$	$f (a - 0.0001)$	$a + 0.0001$	$f (a + 0.0001)$
根据需要使用更多值。		根据需要使用更多值。

表 2.1

lim_{x \to a} f (x)

的函数值表

然后观察每列 $f (x)$ 的值，判断逐行向下时是否趋向同一个数。具体地，观察序列 $f (a - 0.1), f (a - 0.01), f (a - 0.001) ., f (a - 0.0001),$ 等等，以及 $f (a + 0.1), f (a + 0.01), f (a + 0.001), f (a + 0.0001),$ 等等。（注意：尽管我们选择了x值 $a \pm 0.1, a \pm 0.01, a \pm 0.001, a \pm 0.0001,$ 等等，这些取值在绝大多数情况下适用，但偶尔可能需要调整。）
如果两列都趋向同一个y值L，则 $lim_{x \to a} f (x) = L .$ 。亦可用以下方法验证表格结论，或作为估计极限的另一途径。
借助图形计算器或绘图软件绘制 $f (x),$ 的图形，确保a附近的函数值在显示窗口内。利用追踪功能沿图形移动，观察x从两侧趋近a时y值的变化。若两侧的y值均趋向L，则 $lim_{x \to a} f (x) = L .$ 。可能需要反复放大图形加以验证。

下面在例 2.4中应用此策略求极限。

例 2.4

利用函数值表求极限 1

利用函数值表求 $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}$ 。

解

对表 2.2中列出的各x值，已计算出 $f (x) = (sin x) / x$ 的值。

x	$\frac{sin x}{x}$	x	$\frac{sin x}{x}$
−0.1	0.998334166468	0.1	0.998334166468
−0.01	0.999983333417	0.01	0.999983333417
−0.001	0.999999833333	0.001	0.999999833333
−0.0001	0.999999998333	0.0001	0.999999998333

表 2.2

lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}

的函数值表

注意：表中数值由计算器计算得出，保留了计算器输出的全部位数。

逐行查看两列 $\frac{(sin x)}{x}$ 的值，可见均趋近于 1，故可合理推断： $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1 .$ 。用计算器或计算机绘制的 $f (x) = \frac{(sin x)}{x}$ 图形如图 2.13所示，验证了我们的估计。

函数f(x) = sin(x)/x在区间[-6, 6]上的图形。这条曲线函数在x=0处有y轴截距，在y=pi和y=-pi处有x轴截距。

图 2.13

f (x) = (sin x) / x

的图形证实了表 2.2中的估计。

例 2.5

利用函数值表求极限 2

利用函数值表求 $lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ 。

解

同样利用表格（表 2.3）列出各x值对应的函数值。

x	$\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$	x	$\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$
3.9	0.251582341869	4.1	0.248456731317
3.99	0.25015644562	4.01	0.24984394501
3.999	0.250015627	4.001	0.249984377
3.9999	0.250001563	4.0001	0.249998438
3.99999	0.25000016	4.00001	0.24999984

表 2.3

lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}

的函数值表

由表可见，左侧函数值从上方递减趋向0.25，右侧则从下方递增趋向0.25。故 $lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = 0.25 .$ 。我们使用图 2.14所示的 $f (x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ 图形来验证这一估计。

函数f(x) = (sqrt(x) – 2 ) / (x-4)在区间[0,8]上的图形。在x=4处函数上有一个空心圆。函数在第一象限渐近趋向x轴和y轴。

图 2.14

f (x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}

的图形证实了表 2.3中的估计。

检验点 2.4

利用函数值表估计 $lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{x - 1}$ 。并用图形验证你的估计。

由例 2.4和例 2.5可见，图形法估计极限与列表法同样方便，且往往更直观。例 2.6完全借助图形求极限。

例 2.6

利用图形求极限

对于图 2.15中所示的 $g (x)$ ，求 $lim_{x \to −1} g (x) .$ 。

一个通用曲线函数g(x)的图形。在第二象限，函数在(-1,3)处有一个空心圆，在(-1,4)处有一个实心圆，比空心圆高一个单位。

图 2.15

g (x)

的图形有一个偏离平滑曲线的孤立点。

解

尽管 $g (−1) = 4,$ ，但当x值从两侧趋近于−1时， $g (x)$ 值趋近于3。因此， $lim_{x \to −1} g (x) = 3 .$ 。注意，即使不知道解析式，也能由图形确定此极限。

由例 2.6可见：函数在某点的极限可能存在，函数在该点也有定义，但二者的值未必相等。

检验点 2.5

利用图 2.16中 $h (x)$ 的图形求 $lim_{x \to 2} h (x),$ 。

函数h(x)的图形，它是一个在区间[-2.5, 5]上绘制的抛物线。在顶点应在的点(2,-1)处有一个空心圆。

图 2.16

函数值表和图形有助于估计极限，但这些方法终究依赖直觉。我们需要更系统的代数方法，将在下一节详细讨论。在此之前，先介绍两个基本极限，它们是后续方法的基础。

定理 2.1

两个重要极限

设a为实数，c为常数。

$lim_{x \to a} x = a$
(2.4)
$lim_{x \to a} c = c$
(2.5)

对此二式作如下说明。

对于第一个极限，观察到当x趋近于a时， $f (x),$ 也趋近于a，因为 $f (x) = x .$ 。因此， $lim_{x \to a} x = a .$ 。
对于第二个极限，考虑表 2.4。

x	$f (x) = c$	x	$f (x) = c$
$a - 0.1$	c	$a + 0.1$	c
$a - 0.01$	c	$a + 0.01$	c
$a - 0.001$	c	$a + 0.001$	c
$a - 0.0001$	c	$a + 0.0001$	c

表 2.4

lim_{x \to a} c = c

的函数值表

无论x取何值， $f (x)$ 恒为c，故 $lim_{x \to a} c = c .$ 。

极限的存在性

研究下面的例题时请牢记：极限存在要求函数值趋向唯一的实数；若不趋向唯一值，则极限不存在。

例 2.7

极限不存在的情形

利用数值表求 $lim_{x \to 0} sin (1 / x)$ 。

解

表 2.5 列出了函数 $sin (1 / x)$ 在给定 x 值时的函数值。

x	$sin (\frac{1}{x})$	x	$sin (\frac{1}{x})$
−0.1	0.544021110889	0.1	−0.544021110889
−0.01	0.50636564111	0.01	−0.50636564111
−0.001	−0.8268795405312	0.001	0.826879540532
−0.0001	0.305614388888	0.0001	−0.305614388888
−0.00001	−0.035748797987	0.00001	0.035748797987
−0.000001	0.349993504187	0.000001	−0.349993504187

表 2.5

lim_{x \to 0} sin (\frac{1}{x})

的函数值表

由表可见，y 值似乎不趋向任何单一数值。在下此结论之前，再用更系统的方法分析。考虑如下趋近于 0 的 x 值序列：

\frac{2}{π}, \frac{2}{3 π}, \frac{2}{5 π}, \frac{2}{7 π}, \frac{2}{9 π}, \frac{2}{11 π},….

对应的 y 值为

1, −1, 1, −1, 1, −1,….

至此可以确定， $lim_{x \to 0} sin (1 / x)$ 不存在（英文文献中常缩写为 DNE）。 $f (x) = sin (1 / x)$ 的图形如图 2.17 所示，更清楚地展示了当 x 趋近于 0 时 $sin (1 / x)$ 的行为。可见，当 x 趋近于 0 时， $sin (1 / x)$ 在 −1 和 1 之间的振荡越来越剧烈。

函数 f(x) = sin(1/x) 的图形，当 x 趋近于 0 时，它在 -1 和 1 之间快速振荡。当函数在 x 轴上远离 0 时，振荡频率降低。

图 2.17 当 x 趋近于 0 时，

f (x) = sin (1 / x)

的图形在 −1 和 1 之间快速振荡。

检验点 2.6

利用函数值表求 $lim_{x \to 2} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2},$ 。

单侧极限

有时仅说极限不存在，尚不足以描述函数在该点附近的行为。为说明此点，回顾本节开头的函数 $g (x) = | x - 2 | / (x - 2)$ （参见图 2.12(b)）。取接近 2 的 x 值时， $g (x)$ 不趋向单一值，故 $lim_{x \to 2} g (x)$ 不存在。但仅此一句不能完整刻画 x = 2 附近的行为，为此引入单侧极限的概念。对于所有小于 2 的 x（即 2 的左侧）， $g (x) = −1 .$ 。故当 x 从左侧趋近于 2 时， $g (x)$ 趋近于 −1，即左极限为 −1。用符号表示为

lim_{x \to 2^{-}} g (x) = −1 .

类似地，当 x 从右侧（即正侧）趋近于 2 时， $g (x)$ 趋近于 1。用符号表示为

lim_{x \to 2^{+}} g (x) = 1 .

下面给出单侧极限的直观定义。

定义

我们定义两种类型的单侧极限。

左极限： 设 $f (x)$ 在开区间 (c, a) 上有定义，L 为实数。若当 x（ $x < a)$ ）趋近于 a 时， $f (x)$ 趋近于 L，则称 L 为 x 从左侧趋近于 a 时 $f (x)$ 的极限。记作

lim_{x \to a^{-}} f (x) = L .

(2.6)

右极限： 设 $f (x)$ 在开区间 $(a, c),$ 上有定义，L 为实数。若当 x（ $x > a)$ ）趋近于 a 时， $f (x)$ 趋近于 L，则称 L 为 x 从右侧趋近于 a 时 $f (x)$ 的极限。记作

lim_{x \to a^{+}} f (x) = L .

(2.7)

例 2.8

求单侧极限

对于函数 $f (x) = {\begin{cases} x + 1 & 若 x < 2 \\ x^{2} - 4 & 若 x \geq 2 \end{cases},$ ，计算以下每个极限。

$lim_{x \to 2^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 2^{+}} f (x)$

解

同样利用函数值表（表 2.6）。注意，当 x < 2 时，使用 $f (x) = x + 1$ ；当 x > 2 时，使用 $f (x) = x^{2} - 4 .$ 。

x	$f (x) = x + 1$	x	$f (x) = x^{2} −4$
1.9	2.9	2.1	0.41
1.99	2.99	2.01	0.0401
1.999	2.999	2.001	0.004001
1.9999	2.9999	2.0001	0.00040001
1.99999	2.99999	2.00001	0.0000400001

表 2.6

f (x) = {\begin{cases} x + 1 若 x < 2 \\ x^{2} - 4 若 x \geq 2 \end{cases}

的函数值表

由此表可得：a. $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 3$ 和 b. $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 0 .$ 。因此， $f (x)$ 的（双侧）极限在 $x = 2 .$ 处不存在。图 2.18 给出了 $f (x)$ 的图形，进一步验证了上述结论。

给定分段函数的图形。第一段是 f(x) = x+1，如果 x < 2。第二段是 x^2 – 4，如果 x >= 2。第一段是一条直线，x 截距在 (-1, 0)，y 截距在 (0,1)。在 (2,3) 处有一个空心圆，那是端点。第二段是向上开口的抛物线的右半部分。顶点在 (2,0) 处是一个实心圆。

图 2.18

f (x) = {\begin{matrix} x + 1 若 x < 2 \\ x^{2} - 4 若 x \geq 2 \end{matrix}

的图形在

x = 2 .

处有一个断裂。

检验点 2.7

利用函数值表估计以下极限（若可能）。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2}$
$lim_{x \to 2^{+}} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2}$

现在考虑极限与左、右极限的关系。显然，若左极限与右极限相等，其公共值即为极限；若二者不等，则极限不存在。此结论总结于单侧极限与双侧极限的关系中。

定理 2.2

单侧极限与双侧极限的关系

设 $f (x)$ 在包含 a 的开区间（a 本身可除外）上有定义，L 为实数。则

lim_{x \to a} f (x) = L 当且仅当 lim_{x \to a^{-}} f (x) = L 且 lim_{x \to a^{+}} f (x) = L .

无穷极限

求极限或单侧极限有助于刻画函数在给定值附近的行为。即使函数没有有限极限，其行为也可以加以描述。

现在来看本节开头介绍的第三个函数 $h (x) = 1 / {(x - 2)}^{2},$ （参见图 2.12(c)）。由图可见，当 x 趋近于 2 时， $h (x) = 1 / {(x - 2)}^{2}$ 无界增大。即 $h (x)$ 的极限为正无穷大，记作

lim_{x \to 2} h (x) = + \infty .

更一般地，我们定义无穷极限如下：

定义

我们定义三种类型的无穷极限。

左侧无穷极限：设 $f (x)$ 在开区间 $(b, a) .$ 上有定义。

若当 x（ $x < a)$ ）趋近于 a 时 $f (x)$ 无界增加，则称左极限为正无穷大，记作

$lim_{x \to a^{-}} f (x) = + \infty .$
(2.8)
若当 x（ $x < a)$ ）趋近于 a 时 $f (x)$ 无界减小，则称左极限为负无穷大，记作

$lim_{x \to a^{-}} f (x) = − \infty .$
(2.9)

右侧无穷极限：设 $f (x)$ 在开区间 $(a, c) .$ 上有定义。

若当 x（ $x > a)$ ）趋近于 a 时 $f (x)$ 无界增加，则称右极限为正无穷大，记作

$lim_{x \to a^{+}} f (x) = + \infty .$
(2.10)
若当 x（ $x > a)$ ）趋近于 a 时 $f (x)$ 无界减小，则称右极限为负无穷大，记作

$lim_{x \to a^{+}} f (x) = − \infty .$
(2.11)

双侧无穷极限：设 $f (x)$ 在包含 a 的某开区间内对所有 $x \neq a$ 有定义。

若当 x（ $x \neq a)$ ）趋近于 a 时 $f (x)$ 无界增加，则称极限为正无穷大，记作

$lim_{x \to a} f (x) = + \infty .$
(2.12)
若当 x（ $x \neq a)$ ）趋近于 a 时 $f (x)$ 无界减小，则称极限为负无穷大，记作

$lim_{x \to a} f (x) = − \infty .$
(2.13)

须注意， $lim_{x \to a} f (x) = + \infty$ 或 $lim_{x \to a} f (x) = − \infty$ 是对函数行为的描述，并非断言极限存在。极限存在要求 $f (x)$ 趋向某个实数 L。故若 $lim_{x \to a} f (x) = + \infty,$ ，应写 $lim_{x \to a} f (x) = + \infty$ ，而非 $lim_{x \to a} f (x)$ 不存在。

例 2.9

判断无穷极限

求下列各极限（若存在）。利用函数值表和 $f (x) = 1 / x$ 的图形验证你的结论。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}$
$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}$
$lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$

解

先列出函数值表。

x	$\frac{1}{x}$	x	$\frac{1}{x}$
−0.1	−10	0.1	10
−0.01	−100	0.01	100
−0.001	−1000	0.001	1000
−0.0001	−10,000	0.0001	10,000
−0.00001	−100,000	0.00001	100,000
−0.000001	−1,000,000	0.000001	1,000,000

表 2.7

f (x) = \frac{1}{x}

的函数值表

当 x 从左侧趋近于 0 时， $1 / x$ 的值无界减小，故

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = − \infty .$
当 x 从右侧趋近于 0 时， $1 / x$ 的值无界增加，故

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty .$
由于 $lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = − \infty$ 和 $lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$ 不相等，故

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} 不存在。$

在图 2.19中 $f (x) = 1 / x$ 的图形证实了这些结论。

函数 f(x) = 1/x 的图形。该函数在第一和第三象限渐近地趋向于 x=0 和 y=0。

图 2.19

f (x) = 1 / x

的图形证实了当 x 趋近于 0 时极限不存在。

检验点 2.8

求下列各极限（若存在）。利用函数值表和 $f (x) = 1 / x^{2}$ 的图形验证你的结论。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^{2}}$
$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{2}}$
$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}}$

注意，形如 $f (x) = 1 / {(x - a)}^{n},$ 的函数（n 为正整数），当 x 从任一侧趋近 a 时均有无穷极限（图 2.20）。这些极限总结在正整数的无穷极限中。

并排的两个函数 f(x) = 1 / (x-a)^n 的图形。第一个图形显示了 n 为正奇数的情况，第二个图形显示了 n 为正偶数的情况。在第一个图形中，曲线有两段。每段曲线都渐近地趋向于 x 轴（即 y=0）和 x=a。x=a 左侧的线段在 x 轴下方，x=a 右侧的线段在 x 轴上方。在第二个图形中，两条线段都在 x 轴上方。

图 2.20 函数

f (x) = 1 / {(x - a)}^{n}

在 a 处有无穷极限。

定理 2.3

正整数的无穷极限

如果 n 是正偶数，则

lim_{x \to a} \frac{1}{{(x - a)}^{n}} = + \infty .

如果 n 是正奇数，则

lim_{x \to a^{+}} \frac{1}{{(x - a)}^{n}} = + \infty

且

lim_{x \to a^{-}} \frac{1}{{(x - a)}^{n}} = − \infty .

还应注意， $f (x) = 1 / {(x - a)}^{n},$ 的图形上，x 越接近 a，图形越靠近直线 $x = a .$ 。换言之，当 x 趋近于 a 时，图形无限逼近 $x = a .$ 。直线 $x = a$ 称为该函数的垂直渐近线，定义如下：

定义

设 $f (x)$ 为函数。若满足以下任一条件，则直线 $x = a$ 是 $f (x) .$ 的垂直渐近线：

\begin{matrix} lim_{x \to a^{-}} f (x) & = & + \infty 或 −∞ \\ lim_{x \to a^{+}} f (x) & = & + \infty 或 −∞ \\ 或 \\ lim_{x \to a} f (x) & = & + \infty 或 −∞ \end{matrix}

例 2.10

确定垂直渐近线

利用正整数的无穷极限求下列各极限，并确定函数 $f (x) = 1 / {(x + 3)}^{4} .$ 的所有垂直渐近线。

$lim_{x \to {−3}^{-}} \frac{1}{{(x + 3)}^{4}}$
$lim_{x \to {−3}^{+}} \frac{1}{{(x + 3)}^{4}}$
$lim_{x \to −3} \frac{1}{{(x + 3)}^{4}}$

解

直接应用正整数的无穷极限。

$lim_{x \to {−3}^{-}} \frac{1}{{(x + 3)}^{4}} = + \infty$
$lim_{x \to {−3}^{+}} \frac{1}{{(x + 3)}^{4}} = + \infty$
$lim_{x \to −3} \frac{1}{{(x + 3)}^{4}} = + \infty$

函数 $f (x) = 1 / {(x + 3)}^{4}$ 有一条垂直渐近线 $x = −3 .$ 。

检验点 2.9

求下列各极限，并确定函数 $f (x) = \frac{1}{{(x - 2)}^{3}} .$ 的所有垂直渐近线。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$
$lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$
$lim_{x \to 2} \frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$

下面综合运用各类极限分析函数在多个不同点处的行为。

例 2.11

分析函数在各点的行为

使用图 2.21中 $f (x)$ 的图形来确定下列每个值：

$lim_{x \to {−4}^{-}} f (x); lim_{x \to {−4}^{+}} f (x); lim_{x \to −4} f (x); f (−4)$
$lim_{x \to {−2}^{-}} f (x); lim_{x \to {−2}^{+}} f (x); lim_{x \to −2} f (x); f (−2)$
$lim_{x \to 1^{-}} f (x); lim_{x \to 1^{+}} f (x); lim_{x \to 1} f (x); f (1)$
$lim_{x \to 3^{-}} f (x); lim_{x \to 3^{+}} f (x); lim_{x \to 3} f (x); f (3)$

函数 f(x) 的图形，由上述极限和值描述。在 x=-2 以下的值处有一条平滑曲线；在 (-2, 3) 处有一个空心圆。在 (-2, 1] 之间有一条平滑曲线，在 (1,6) 处有一个实心圆。在 (1,3) 处有一个空心圆，从那里开始有一条平滑曲线沿 x=3 渐近地延伸到负无穷大。函数在 x=3 的另一侧也渐近地延伸到负无穷大。然后函数在第一象限 y=4.5 附近改变凹凸性并继续向上。

图 2.21 该图形显示了

f (x) .

解

利用正整数的无穷极限并参考图形，得：

$lim_{x \to {−4}^{-}} f (x) = 0; lim_{x \to {−4}^{+}} f (x) = 0; lim_{x \to −4} f (x) = 0; f (−4) = 0$
$lim_{x \to {−2}^{-}} f (x) = 3 .; lim_{x \to {−2}^{+}} f (x) = 3; lim_{x \to −2} f (x) = 3; f (−2)$ 未定义
$lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 6; lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 3; lim_{x \to 1} f (x)$ 不存在； $f (1) = 6$
$lim_{x \to 3^{-}} f (x) = − \infty; lim_{x \to 3^{+}} f (x) = − \infty; lim_{x \to 3} f (x) = − \infty; f (3)$ 未定义

检验点 2.10

计算此处所示 $f (x)$ 的 $lim_{x \to 1} f (x)$ ：

分段函数的图形。第一段曲线从第三象限到第一象限，穿过第二象限。第一象限的端点处是一个空心圆。第二段曲线从空心圆下方几个单位的一个实心圆开始。它从第一象限向下弯曲到第四象限。

例 2.12

章首：爱因斯坦方程

图 2.22 (图片来源：NASA)

本章开头曾提到爱因斯坦证明了物体运动速度存在上限。根据其运动物体质量方程，这个极限速度是多少？

解

出发点为爱因斯坦的运动物体质量方程：

m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}},

其中 $m_{0}$ 是物体的静止质量，v 是其速度，c 是光速。为观察高速运动时质量的变化，绘制质量比 $m / m_{0}$ 作为速度比 $v / c$ 的函数图形（图 2.23）。

显示爱因斯坦运动物体质量方程中质量比作为速度比函数的图形。x 轴是速度比 v/c。y 轴是质量比 m/m0。函数方程为 m = m0 / sqrt(1 – v2 / c2)。图形仅在第一象限。它从 (0,1) 开始，缓慢向上弯曲，直到大约 0.8 处，然后呈指数级增长；在 v/c（或 x）= 1 处有一条垂直渐近线。

图 2.23 此图形显示了爱因斯坦运动物体质量方程中质量比作为速度比的函数。

由图可见，当速度比趋近于 1（即速度趋近光速）时，质量比无界增大，即函数在 $v / c = 1 .$ 处有垂直渐近线。取几个速度比的值加以验证。

$\frac{v}{c}$	$\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$	$\frac{m}{m_{0}}$
0.99	0.1411	7.089
0.999	0.0447	22.37
0.9999	0.0141	70.71

表 2.8 运动物体质量与速度之比

由表 2.8可知，静止质量 100 kg 的物体以 0.9999c 运动时质量将达 7071 kg。因为质量不可能无限大，故任何物体都无法达到或超过光速。

第2.2节练习

以下练习考虑函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{| x - 1 |} .$

30.

[T] 完成下面的函数值表，结果四舍五入到四位小数。

x	$f (x)$	x	$f (x)$
0.9	a.	1.1	e.
0.99	b.	1.01	f.
0.999	c.	1.001	g.
0.9999	d.	1.0001	h.

31.

根据上题结果，双侧极限 $lim_{x \to 1} f (x) ?$ 。说明理由。

以下练习考虑函数 $f (x) = {(1 + x)}^{1 / x} .$

32.

[T] 列表计算 f 在 $x = −0.01, −0.001, −0.0001, −0.00001$ 和 $x = 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001 .$ 的值。处的值，结果四舍五入到五位小数。

x	$f (x)$	x	$f (x)$
−0.01	a.	0.01	e.
−0.001	b.	0.001	f.
−0.0001	c.	0.0001	g.
−0.00001	d.	0.00001	h.

33.

上题的数值表表明 $f (x) = {(1 + x)}^{1 / x} ?$ 什么？

34.

上题中的极限趋近于哪个数学常数？

以下练习中，利用给定值列表求极限，结果四舍五入到八位小数。

35.

[T] $lim_{x \to 0} \frac{sin 2 x}{x}; ±0.1, ±0.01, ±0.001, ±.0001$

x	$\frac{sin 2 x}{x}$	x	$\frac{sin 2 x}{x}$
−0.1	a.	0.1	e.
−0.01	b.	0.01	f.
−0.001	c.	0.001	g.
−0.0001	d.	0.0001	h.

36.

[T] $lim_{x \to 0} \frac{sin 3 x}{x}$ ±0.1, ±0.01, ±0.001, ±0.0001

X	$\frac{sin 3 x}{x}$	x	$\frac{sin 3 x}{x}$
−0.1	a.	0.1	e.
−0.01	b.	0.01	f.
−0.001	c.	0.001	g.
−0.0001	d.	0.0001	h.

37.

使用前两个练习来推测以下极限的值： $lim_{x \to 0} \frac{sin a x}{x}$ 对于 a，一个正实数。

[T] 以下练习中，列数值表求所示极限，四舍五入到八位数字。

38.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x - 6}$

x	$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x - 6}$	x	$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x - 6}$
1.9	a.	2.1	e.
1.99	b.	2.01	f.
1.999	c.	2.001	g.
1.9999	d.	2.0001	h.

39.

$lim_{x \to 1} (1 - 2 x)$

x	$1 - 2 x$	x	$1 - 2 x$
0.9	a.	1.1	e.
0.99	b.	1.01	f.
0.999	c.	1.001	g.
0.9999	d.	1.0001	h.

40.

$lim_{x \to 0} \frac{5}{1 - e^{1 / x}}$

x	$\frac{5}{1 - e^{1 / x}}$	x	$\frac{5}{1 - e^{1 / x}}$
−0.1	a.	0.1	e.
−0.01	b.	0.01	f.
−0.001	c.	0.001	g.
−0.0001	d.	0.0001	h.

41.

$lim_{z \to 0} \frac{z - 1}{z^{2} (z + 3)}$

z	$\frac{z - 1}{z^{2} (z + 3)}$	z	$\frac{z - 1}{z^{2} (z + 3)}$
−0.1	a.	0.1	e.
−0.01	b.	0.01	f.
−0.001	c.	0.001	g.
−0.0001	d.	0.0001	h.

42.

$lim_{t \to 0^{+}} \frac{cos t}{t}$

t	$\frac{cos t}{t}$
0.1	a.
0.01	b.
0.001	c.
0.0001	d.

43.

$lim_{x \to 2} \frac{1 - \frac{2}{x}}{x^{2} - 4}$

x	$\frac{1 - \frac{2}{x}}{x^{2} - 4}$	x	$\frac{1 - \frac{2}{x}}{x^{2} - 4}$
1.9	a.	2.1	e.
1.99	b.	2.01	f.
1.999	c.	2.001	g.
1.9999	d.	2.0001	h.

[T] 以下练习中，列数值表（四舍五入到八位有效数字），据此猜测极限值。再用计算器绘图确定极限。你的猜想正确吗？若不正确，为什么表格法会失效？

44.

$lim_{θ \to 0} sin (\frac{π}{θ})$

θ	$sin (\frac{π}{θ})$	θ	$sin (\frac{π}{θ})$
−0.1	a.	0.1	e.
−0.01	b.	0.01	f.
−0.001	c.	0.001	g.
−0.0001	d.	0.0001	h.

45.

$lim_{α \to 0^{+}} \frac{1}{α} cos (\frac{π}{α})$

$α$	$\frac{1}{α} cos (\frac{π}{α})$
0.1	a.
0.01	b.
0.001	c.
0.0001	d.

以下练习参考此处所示 $y = f (x)$ 的图形。判断关于 $y = f (x)$ 的各陈述真假，并说明假陈述的理由。

一个分段函数的图形，包含三段和一个点。第一段是向上开口的曲线，顶点在 (-8, -6)。此顶点是一个空心圆，而在 (-8, -3) 处有一个实心圆。该段在 (-2,3) 处结束，此处有一个实心圆。第二段沿 x=-2 渐近地延伸至无穷大，在大约 (0,1.25) 处变为递增，递增至大约 (2.25, 3)，然后递减至 (6,2)，此处有一个空心圆。最后一段从 (6,5) 开始，略微递增，然后递减进入第四象限，在 (10,0) 处穿过 x 轴。所有方向变化都是平滑曲线。

46.

$lim_{x \to 10} f (x) = 0$

47.

$lim_{x \to {−2}^{+}} f (x) = 3$

48.

$lim_{x \to −8} f (x) = f (−8)$

49.

$lim_{x \to 6} f (x) = 5$

在以下练习中，使用函数 $y = f (x)$ 的以下图形求下列各值（若存在），必要时估计。

一个分段函数的图形，包含两段。第一段存在于 x <= 1，第二段存在于 x > 1。第一段是斜率为 1 的线性函数，并穿过原点。其端点是 (1,1) 处的实心圆。第二段也是斜率为 -1 的线性函数。它从 (1,2) 处的空心圆开始。

50.

$lim_{x \to 1^{-}} f (x)$

51.

$lim_{x \to 1^{+}} f (x)$

52.

$lim_{x \to 1} f (x)$

53.

$lim_{x \to 2} f (x)$

54.

$f (1)$

在以下练习中，使用此处所示函数 $y = f (x)$ 的图形求下列各值（若存在），必要时估计。

一个分段函数的图形，包含两段。第一段是 x < 0 时的线性函数。在 (0,1) 处有一个空心圆，其斜率为 -1。第二段是向上开口的抛物线的右半部分。其顶点是 (0, -4) 处的实心圆，并穿过点 (2,0)。

55.

$lim_{x \to 0^{-}} f (x)$

56.

$lim_{x \to 0^{+}} f (x)$

57.

$lim_{x \to 0} f (x)$

58.

$lim_{x \to 2} f (x)$

在以下练习中，使用函数 $y = f (x)$ 的图形（如图所示）求下列各值（若存在），必要时估计。

一个分段函数的图形，包含三段，均为线性。第一段存在于 x < -2 的区域，斜率为 1，终止于开圆圈 (-2, 0)。第二段存在于区间 [-2, 2] 上，斜率为 -1，穿过原点，其端点 (-2, 2) 和 (2, -2) 处为闭圆圈。第三段存在于 x > 2 的区域，斜率为 1，起始于开圆圈 (2, 2)。

59.

$lim_{x \to {−2}^{-}} f (x)$

60.

$lim_{x \to {−2}^{+}} f (x)$

61.

$lim_{x \to −2} f (x)$

62.

$lim_{x \to 2^{-}} f (x)$

63.

$lim_{x \to 2^{+}} f (x)$

64.

$lim_{x \to 2} f (x)$

在以下练习中，使用函数 $y = g (x)$ 的图形（如图所示）求下列各值（若存在），必要时估计。

一个分段函数的图形，包含两段。第一段存在于 x >= 0 的区域，是开口向上的抛物线的左半部分，顶点位于闭圆圈 (0, 3)。第二段存在于 x > 0 的区域，是开口向下的抛物线的右半部分，顶点位于开圆圈 (0, 0)。

65.

$lim_{x \to 0^{-}} g (x)$

66.

$lim_{x \to 0^{+}} g (x)$

67.

$lim_{x \to 0} g (x)$

在以下练习中，使用函数 $y = h (x)$ 的图形（如图所示）求下列各值（若存在），必要时估计。

一个函数的图形，包含两条曲线，分别从第一象限和第三象限趋近于 0。第一象限的曲线似乎是开口向右的抛物线的上半部分，沿 x 轴，顶点位于原点。第三象限的曲线似乎是开口向下的抛物线的左半部分，顶点位于原点。

68.

$lim_{x \to 0^{-}} h (x)$

69.

$lim_{x \to 0^{+}} h (x)$

70.

$lim_{x \to 0} h (x)$

在以下练习中，使用函数 $y = f (x)$ 的图形（如图所示）求下列各值（若存在），必要时估计。

一个包含曲线和点的图形。该点是位于 (0, -2) 的闭圆圈。该曲线是开口向上的抛物线的一部分，顶点位于 (1, -1)。它存在于 x > 0 的区域，并且在原点处有一个闭圆圈。

71.

$lim_{x \to 0^{-}} f (x)$

72.

$lim_{x \to 0^{+}} f (x)$

73.

$lim_{x \to 0} f (x)$

74.

$lim_{x \to 1} f (x)$

75.

$lim_{x \to 2} f (x)$

以下练习中，根据给定性质绘制函数图形。

76.

$lim_{x \to 2} f (x) = 1, lim_{x \to 4^{-}} f (x) = 3, lim_{x \to 4^{+}} f (x) = 6, f (4)$ 未定义。

77.

$A s x \to - \infty, f (x) \to 0, lim_{x \to {−1}^{-}} f (x) = − \infty,$ $lim_{x \to {−1}^{+}} f (x) = \infty, lim_{x \to 0} f (x) = f (0), f (0) = 1, A s x \to \infty, f (x) \to − \infty$

78.

$A s x \to - \infty, f (x) \to 2, lim_{x \to 3^{-}} f (x) = − \infty,$ $lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \infty, A s x \to \infty, f (x) \to 2, f (0) = \frac{−1}{3}$

79.

$A s x \to - \infty, f (x) \to 2, lim_{x \to −2} f (x) = − \infty,$ $A s x \to \infty, f (x) \to 2, f (0) = 0$

80.

$A s x \to - \infty, f (x) \to 0, lim_{x \to {−1}^{-}} f (x) = \infty, lim_{x \to {−1}^{+}} f (x) = − \infty,$ $f (0) = −1, lim_{x \to 1^{-}} f (x) = − \infty, lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \infty, A s x \to \infty, f (x) \to 0$

81.

激波出现在许多物理应用中，从超新星到爆轰波。这里显示了激波密度随距离 x 变化的图形。我们主要关注激波前沿的位置，在图中标记为 $x_{SF}$ 。

一个在第一象限的激波密度图，有三个标记点：y 轴上的 p1 和 p2（p1 > p2），以及 x 轴上的 xsf。该图由从 0 到 xsf 的 y = p1、从 y = p1 到 y = p2 的 x = xsf，以及 x 大于或等于 xsf 时的 y = p2 组成。

计算 $lim_{x \to x_{S F}^{+}} ρ (x) .$
计算 $lim_{x \to x_{S F}^{-}} ρ (x) .$
计算 $lim_{x \to x_{S F}} ρ (x) .$ 。解释你的答案背后的物理意义。

82.

一位田径教练使用高速快门相机来估计跑步者随时间变化的位置。这里给出了运动员位置随时间变化的数值表，其中 x 是跑步者的位置（米），t 是时间（秒）。 $lim_{t \to 2} x (t) ?$ 是什么？它在物理上意味着什么？

t (秒)	x (米)
1.75	4.5
1.95	6.1
1.99	6.42
2.01	6.58
2.05	6.9
2.25	8.5

2.2 函数的极限

学习目标

极限的直观定义

定义

解题策略

利用函数值表求极限

例 2.4

利用函数值表求极限 1

解

例 2.5

利用函数值表求极限 2

解

检验点 2.4

例 2.6

利用图形求极限

解

检验点 2.5

定理 2.1

两个重要极限

极限的存在性

例 2.7

极限不存在的情形

解

检验点 2.6

单侧极限

定义

例 2.8

求单侧极限

解

检验点 2.7

定理 2.2

单侧极限与双侧极限的关系

无穷极限

定义

例 2.9

判断无穷极限

解

检验点 2.8

定理 2.3

正整数的无穷极限

定义

例 2.10

确定垂直渐近线

解

检验点 2.9

例 2.11

分析函数在各点的行为

解

检验点 2.10

例 2.12

章首：爱因斯坦方程

解

第2.2节 练习

第2.2节练习