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中值定理

4.4 中值定理

学习目标

  • 4.4.1 解释罗尔定理的含义。
  • 4.4.2 描述中值定理的重要性。
  • 4.4.3 阐述中值定理的三个重要推论。

中值定理是微积分中最重要的定理之一。本节末尾将讨论它的若干重要推论。首先从中值定理的一个特例——罗尔定理——开始。

罗尔定理

直观地说，罗尔定理指出：如果一个可微函数 ff 在某个区间两端点处的函数值相等，则该区间内必存在一个内点 cc 使得 f′(c)=0.f′(c)=0.。图 4.21 说明了这一定理。

该图分为a、b和c三部分。图a显示了第一象限，x轴上标有a、c和b。绘制了一个开口向下的抛物线，其在a和b处的值相同。点c是全局最大值，并指出f’(c) = 0。图b显示了第一象限，x轴上标有a、c和b。绘制了一个开口向上的抛物线，其在a和b处的值相同。点c是全局最小值，并指出f’(c) = 0。图c显示了第一象限，x轴上标有a、c1、c2和b。绘制了一个正弦波的一个周期，使其在a和b处的值相等。点c1是全局最大值，并指出f’(c1) = 0。点c2是全局最小值，并指出f’(c2) = 0。
图 4.21 如果可微函数 f 满足 f(a)=f(b),f(a)=f(b),，那么它的导数在 aa 和 b.b. 之间某个点（或某些点）处必为零。

定理 4.4

罗尔定理

设 ff 是在闭区间 [a,b][a,b] 上连续且在开区间 (a,b)(a,b) 上可微的函数，使得 f(a)=f(b).f(a)=f(b).。则至少存在一个 c∈(a,b)c∈(a,b) 使得 f′(c)=0.f′(c)=0.。

证明

设 k=f(a)=f(b).k=f(a)=f(b).。我们考虑三种情况：

  1. 对所有 x∈(a,b).x∈(a,b).，f(x)=kf(x)=k。
  2. 存在 x∈(a,b)x∈(a,b) 使得 f(x)>k.f(x)>k.。
  3. 存在 x∈(a,b)x∈(a,b) 使得 f(x)<k.f(x)<k.。

情况1：如果对所有 x∈(a,b),x∈(a,b),，f(x)=kf(x)=k，那么对所有 x∈(a,b).x∈(a,b).，f′(x)=0f′(x)=0。

情况2：由于 ff 是在闭有界区间 [a,b],[a,b], 上的连续函数，根据最值定理，它存在一个绝对最大值。此外，由于存在一个点 x∈(a,b)x∈(a,b) 使得 f(x)>k,f(x)>k,，因此绝对最大值大于 k.k.。所以，绝对最大值不会发生在任何一个端点处。因此，绝对最大值必发生在内点 c∈(a,b).c∈(a,b). 处。因为 ff 在内点 c,c, 处有最大值，且 ff 在 c,c, 处可微，根据费马定理，f′(c)=0.f′(c)=0.。

情况3：存在一个点 x∈(a,b)x∈(a,b) 使得 f(x)<kf(x)<k 的情况与情况2类似，只是将最大值替换为最小值。

□

需要强调的是，罗尔定理中函数 ff 的可微性条件不可或缺。即使 ff 仅在一个点处不可微，定理的结论也可能不成立。例如，函数 f(x)=|x|−1f(x)=|x|−1 在 [−1,1][−1,1] 上连续，且 f(−1)=0=f(1),f(−1)=0=f(1),，但对任何 c∈(−1,1)c∈(−1,1)，f′(c)≠0f′(c)≠0，如下图所示。

函数 f(x) = |x| − 1 的图形。图中显示 f(1) = f(−1)，但指出不存在 c 使得 f’(c) = 0。
图 4.22 由于 f(x)=|x|−1f(x)=|x|−1 在 x=0,x=0, 处不可微，罗尔定理的条件不满足。事实上，这里的结论不成立；不存在 c∈(−1,1)c∈(−1,1) 使得 f′(c)=0.f′(c)=0.。

下面我们考虑满足罗尔定理条件的函数，并具体求出使得 f′(c)=0.f′(c)=0. 的点 cc。

例 4.14

应用罗尔定理

对于下列每个函数，验证该函数满足罗尔定理中所述的条件，并找出给定区间内所有使得 f′(c)=0.f′(c)=0. 的 cc 值。

  1. f(x)=x2+2xf(x)=x2+2x 在 [−2,0][−2,0] 上
  2. f(x)=x3−4xf(x)=x3−4x 在 [−2,2][−2,2] 上

解

  1. 由于 ff 是一个多项式，它处处连续且可微。此外，f(−2)=0=f(0).f(−2)=0=f(0).。所以，ff 满足罗尔定理的条件。故，至少存在一个 c∈(−2,0)c∈(−2,0) 值使得 f′(c)=0.f′(c)=0.。由于 f′(x)=2x+2=2(x+1),f′(x)=2x+2=2(x+1),，可知 f′(c)=2(c+1)=0f′(c)=2(c+1)=0 意味着 c=−1c=−1，如下图所示。
    函数 f(x) = x2 +2x 的图形。图中显示 f(0) = f(−2)，并在绝对最小值点 (−1, −1) 处绘制了一条虚水平线。
    图 4.23 此函数在 [−2,0],[−2,0], 上连续且可微。当 c=−1.c=−1. 时，f′(c)=0f′(c)=0。
  2. 如a部分所述，ff 是一个多项式，因此处处连续且可微。此外，f(−2)=0=f(2).f(−2)=0=f(2).。即 ff 满足罗尔定理的条件。求导得 f′(x)=3x2−4.f′(x)=3x2−4.。令 f′(x)=0,f′(x)=0, 解得 x=±23.x=±23.。这两个点都在区间 [−2,2],[−2,2], 内，均满足罗尔定理的结论，如下图所示。
    函数 f(x) = x3 – 4x 的图形。显然 f(2) = f(−2) = f(0)。在 x = ±2/√3 处绘制了虚水平线，这些是局部最大值和最小值。
    图 4.24 对于在 [−2,2],[−2,2], 上的这个多项式，在 x=±2/3.x=±2/3. 处，f′(c)=0f′(c)=0。

检验点 4.14

验证在区间 [1,3][1,3] 上定义的函数 f(x)=2x2−8x+6f(x)=2x2−8x+6 满足罗尔定理的条件。找出罗尔定理所保证的所有点 cc。

中值定理及其意义

罗尔定理是中值定理的特殊情况。罗尔定理考虑的是在闭区间 [a,b][a,b] 上定义的，且 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 的可微函数 ff。中值定理将罗尔定理推广到端点处函数值不必相等的情形。因此，中值定理可以看作罗尔定理的"倾斜版本"（图 4.25）。中值定理指出：若 ff 在闭区间 [a,b][a,b] 上连续，并在开区间 (a,b),(a,b), 上可微，则存在某点 c∈(a,b)c∈(a,b)，使得 ff 在 cc 处的切线平行于连接 (a,f(a))(a,f(a)) 和 (b,f(b)).(b,f(b)). 的割线。

绘制了一个大致呈正弦曲线的函数 y = f(x)。在 x 轴上标记了 a、c1、c2 和 b。在 y 轴上标记了 f(a) 和 f(b)。函数 f(x) 从 (a, f(a)) 开始，递减到 c1，递增到 c2，然后递减到 (b, f(b))。在 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 之间绘制了一条割线，并指出这条割线的斜率为 (f(b) – f(a))/(b − a)。在 c1 和 c2 处绘制了切线，这些切线与割线平行。指出这些切线的斜率分别为 f’(c1) 和 f’(c2)。
图 4.25 中值定理指出，对于满足其条件的函数，在某个点处，切线的斜率与连接端点的割线斜率相同。对于此函数，存在两个值 c1c1 和 c2c2，使得 ff 在 c1c1 和 c2c2 处的切线斜率与割线斜率相同。

定理 4.5

中值定理

设 ff 在闭区间 [a,b][a,b] 上连续，并在开区间 (a,b).(a,b). 上可微。则至少存在一点 c∈(a,b)c∈(a,b) 使得

f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f′(c)=f(b)−f(a)b−a.

证明

证明思路是构造一个满足罗尔定理条件的辅助函数，从而将本定理归结为罗尔定理。考虑连接 (a,f(a))(a,f(a)) 和 (b,f(b)).(b,f(b)). 的直线。由于该直线的斜率为

f(b)−f(a)b−af(b)−f(a)b−a

且该直线经过点 (a,f(a)),(a,f(a)),，因此该直线的方程可写为

y=f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a).y=f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a).

设 g(x)g(x) 为曲线上的点 (x,f(x))(x,f(x)) 与割线上对应点 (x,y)(x,y) 之间的垂直距离，即

g(x)=f(x)−[f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)].g(x)=f(x)−[f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)].
绘制了一个大致呈正弦曲线的函数 y = f(x)。在 x 轴上标记了 a 和 b。在 y 轴上标记了 f(a) 和 f(b)。函数 f(x) 从 (a, f(a)) 开始，递减，然后递增，然后递减到 (b, f(b))。在 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 之间绘制了一条割线，并指出这条直线的方程为 y = ((f(b) – f(a))/(b − a)) (x − a) + f(a)。在 f(x) 的最大值和割线之间绘制了一条线，并标记为 g(x)。
图 4.26 值 g(x)g(x) 是点 (x,f(x))(x,f(x)) 与连接 (a,f(a))(a,f(a)) 和 (b,f(b)).(b,f(b)). 的割线上点 (x,y)(x,y) 之间的垂直距离。

由于 ff 的图形在 x=ax=a 和 x=b,x=b, 处与割线相交，故 g(a)=0=g(b).g(a)=0=g(b).。由于 ff 是在 (a,b),(a,b), 上的可微函数，gg 也是在 (a,b).(a,b). 上的可微函数。此外，由于 ff 在 [a,b],[a,b], 上连续，gg 也在 [a,b].[a,b]. 上连续。因此，gg 满足罗尔定理的条件。所以，存在一点 c∈(a,b)c∈(a,b) 使得 g′(c)=0.g′(c)=0.。由于

g′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a,g′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a,

可得

g′(c)=f′(c)−f(b)−f(a)b−a.g′(c)=f′(c)−f(b)−f(a)b−a.

由于 g′(c)=0,g′(c)=0,，可得

f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f′(c)=f(b)−f(a)b−a.

□

例 4.15

验证中值定理的适用性

对于区间 [0,9],[0,9], 上的 f(x)=xf(x)=x，证明 ff 满足中值定理的假设，因此至少存在一个值 c∈(0,9)c∈(0,9) 使得 f′(c)f′(c) 等于连接 (0,f(0))(0,f(0)) 和 (9,f(9)).(9,f(9)). 的直线的斜率。求出中值定理所保证的这些值 cc。

解

由于 f(x)=xf(x)=x 在 [0,9][0,9] 上连续，并在 (0,9).(0,9). 上可微，故 ff 满足中值定理的条件。因此至少存在一个 c∈(0,9)c∈(0,9) 使得 f′(c)f′(c) 等于连接 (0,f(0))(0,f(0)) 和 (9,f(9))(9,f(9)) 的直线的斜率（图 4.27）。为求 cc 的值，先计算导数： f′(x)=1(2x).f′(x)=1(2x).。连接 (0,f(0))(0,f(0)) 和 (9,f(9))(9,f(9)) 的割线斜率为

f ( 9 ) − f ( 0 ) 9 − 0 = 9 − 0 9 − 0 = 3 9 = 1 3 . f ( 9 ) − f ( 0 ) 9 − 0 = 9 − 0 9 − 0 = 3 9 = 1 3 .

需要求 cc 使得 f′(c)=13,f′(c)=13, 即求 cc 使得

1 2 c = 1 3 . 1 2 c = 1 3 .

解此方程得 c=94.c=94.。此时切线斜率恰好等于连接端点的割线斜率。

函数 f(x) = 根号 x 的图形从 (0, 0) 绘制到 (9, 3)。在 (0, 0) 和 (9, 3) 之间绘制了一条割线。在点 (9/4, 3/2) 处绘制了一条切线，这条切线与割线平行。
图 4.27 在 c=9/4c=9/4 处的切线斜率与连接 (0,0)(0,0) 和 (9,3).(9,3). 的线段的斜率相同。

中值定理的一个直观应用与速度有关。例如，假设我们在一条直路上以 45 英里/小时的平均速度行驶了 1 小时。设 s(t)s(t) 和 v(t)v(t) 分别表示汽车在 0≤t≤10≤t≤1 小时内的位置和速度。假设位置函数 s(t)s(t) 可微，则由中值定理可知，存在某个时刻 c∈(0,1),c∈(0,1),，使得汽车的瞬时速度恰好为

v(c)=s′(c)=s(1)−s(0)1−0=45英里/小时.v(c)=s′(c)=s(1)−s(0)1−0=45英里/小时.

例 4.16

中值定理与速度

如果一块石头从 100 英尺的高度落下，从落下到落地的时间 tt 秒内的位置由函数 s(t)=−16t2+100.s(t)=−16t2+100. 给出。

  1. 确定石头落地需要多长时间。
  2. 求出石头从释放到落地期间的平均速度 vavgvavg。
  3. 求出中值定理所保证的时刻 tt，此时石头的瞬时速度为 vavg.vavg.。

解

  1. 当石头落地时，其位置为 s(t)=0.s(t)=0.。解方程 −16t2+100=0−16t2+100=0 ，得 t=±52秒.t=±52秒.。由于我们只考虑 t≥0,t≥0,，因此石头将在落下 5252 秒后落地。
  2. 平均速度由下式给出：
    vavg=s(5/2)−s(0)5/2−0=0−1005/2=−40英尺/秒.vavg=s(5/2)−s(0)5/2−0=0−1005/2=−40英尺/秒.
  3. 瞬时速度由位置函数的导数给出。因此，我们需要找到一个时刻 tt 使得 v(t)=s′(t)=vavg=−40英尺/秒.v(t)=s′(t)=vavg=−40英尺/秒.。由于 s(t)s(t) 在区间 [0,5/2][0,5/2] 上连续，并在区间 (0,5/2),(0,5/2), 上可微，根据中值定理，保证存在一点 c∈(0,5/2)c∈(0,5/2) 使得：
    s′(c)=s(5/2)−s(0)5/2−0=−40.s′(c)=s(5/2)−s(0)5/2−0=−40.

     对位置函数 s(t),s(t), 求导，我们发现 s′(t)=−32t.s′(t)=−32t.。故方程化为 s′(c)=−32c=−40.s′(c)=−32c=−40.。解此方程得 c=54.c=54.。因此，在石头落下 5454 秒时，石头的瞬时速度恰好等于整个下落过程的平均速度，即−40−40 英尺/秒。
    函数 s(t) = −16t2 + 100 的图形从 (0, 100) 绘制到 (5/2, 0)。在 (0, 100) 和 (5/2, 0) 之间绘制了一条割线。在对应于 t = 5/4 的点处绘制了一条切线，这条切线与割线平行。
    图 4.28 在 t=5/4t=5/4 秒时，石头的速度等于其从落下到落地期间的平均速度。

检验点 4.15

假设一个球从 200 英尺的高度落下。它在时刻 tt 的位置是 s(t)=−16t2+200.s(t)=−16t2+200.。求出球的瞬时速度等于其平均速度的时刻 tt。

中值定理的推论

下面我们介绍中值定理的三个推论。这些结论意义重大，将在后续章节中频繁使用。

我们已经知道，任何常数函数的导数都为零。利用中值定理，可以证明其逆命题也成立。具体来说，如果对于区间 I,I, 中的所有 xx，都有 f′(x)=0f′(x)=0，那么 f(x)f(x) 在该区间上是常数。这个结果看似显而易见，但它蕴含着深刻的重要推论，我们将在后文加以讨论。

定理 4.6

推论 1：导数为零的函数

设 ff 在区间 I.I. 上可微。如果对于所有 x∈I,x∈I,，都有 f′(x)=0f′(x)=0，则 f(x)=f(x)= 对于所有 x∈I.x∈I. 都是常数。

证明

由于 ff 在 I,I, 上可微，因此 ff 必须在 I.I. 上连续。假设 f(x)f(x) 在 II 上不是常数。那么存在 a,b∈I,a,b∈I,，其中 a≠ba≠b 和 f(a)≠f(b).f(a)≠f(b).。不妨设 a<b.a<b.。于是，

f(b)−f(a)b−a≠0.f(b)−f(a)b−a≠0.

由于 ff 是一个可微函数，根据中值定理，存在 c∈(a,b)c∈(a,b) 使得

f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f′(c)=f(b)−f(a)b−a.

因此，存在 c∈Ic∈I 使得 f′(c)≠0,f′(c)≠0,，这与对于所有 x∈I.x∈I. 都有 f′(x)=0f′(x)=0 的假设相矛盾。

□

从 推论 1：导数为零的函数可知，如果两个函数具有相同的导数，那么它们至多相差一个常数。

定理 4.7

推论 2：常数差定理

如果 ff 和 gg 在区间 II 上可微，并且对于所有 x∈I,x∈I,，都有 f′(x)=g′(x)f′(x)=g′(x)，那么 f(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+C 对于某个常数 C.C. 成立。

证明

设 h(x)=f(x)−g(x).h(x)=f(x)−g(x).。那么，对于所有 x∈I.x∈I.，都有 h′(x)=f′(x)−g′(x)=0h′(x)=f′(x)−g′(x)=0。根据推论 1，存在一个常数 CC 使得对于所有 x∈I.x∈I.，都有 h(x)=Ch(x)=C。因此，对于所有 x∈I.x∈I.，都有 f(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+C。

□

这一结论的重要意义在于：对于给定的函数 f,f,，如果存在一个函数 FF 使得 F′(x)=f(x);F′(x)=f(x);，那么所有导数等于 ff 的函数必为 F(x)+CF(x)+C 的形式，其中 CC 为某个常数。我们将在本章后面进一步讨论这一结论。

中值定理的第三个推论涉及函数的单调性。回顾递增和递减的定义：如果当 x1<x2,x1<x2, 时 f(x1)<f(x2)f(x1)<f(x2)，则函数 ff 在 II 上递增；而如果当 x1<x2.x1<x2. 时 f(x)1>f(x2)f(x)1>f(x2)，则 ff 在 II 上递减。利用中值定理，我们可以证明，如果函数的导数为正，则函数递增；如果导数为负，则函数递减（图 4.29）。下一节将利用这一结论，说明如何借助导数来确定函数的局部极值以及图形的形状。

绘制了一个大致呈正弦曲线的函数 f(x)。它从第二象限的某个位置递增到 (a, f(a))。在此部分，注意到 f’ > 0。然后它从 (a, f(a)) 递减到 (b, f(b))。在此部分，注意到 f’ < 0。最后，它在 (b, f(b)) 的右侧递增，并在此部分注意到 f’ > 0。
图 4.29 如果函数在某个区间 I,I, 上具有正导数，则函数在该区间 I;I; 上递增；如果导数在某个区间 I,I, 上为负，则函数在该区间 I.I. 上递减。

定理 4.8

推论 3：递增和递减函数

设 ff 在闭区间 [a,b][a,b] 上连续，并在开区间 (a,b).(a,b). 上可微。

  1. 如果对于所有 x∈(a,b),x∈(a,b),，都有 f′(x)>0f′(x)>0，则 ff 在 [a,b].[a,b]. 上是递增函数。
  2. 如果对于所有 x∈(a,b),x∈(a,b),，都有 f′(x)<0f′(x)<0，则 ff 在 [a,b].[a,b]. 上是递减函数。

证明

下面证明 i.，ii. 的证明类似。假设 ff 在区间 II 上连续且可微，并且对于所有 x∈Ix∈I，都有 f'x>0f'x>0。用反证法。假设 ff 在 II 上不是递增函数。那么在 II 中存在 aa 和 bb，使得 a<ba<b，但 fa>fbfa>fb。由于 ff 是在 II 上的可微函数，中值定理保证存在某个值 c∈a,bc∈a,b 使得

f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f′(c)=f(b)−f(a)b−a.

现在 a<ba<b，所以 b-a>0b-a>0。因为 fa>fbfa>fb，所以 fb-fa<0fb-fa<0。所以，fb-fafb-fa 和 b-ab-a 的商为负。从而

f′(c)=f(b)−f(a)b−a<0.f′(c)=f(b)−f(a)b−a<0.

然而，对于所有 x∈Ix∈I（特别是在 cc 处），都有 f′(x)>0f′(x)>0，矛盾。 ff 在 II 上不递增的假设不成立，故 ff 必在 II 上递增。

□

第4.4节练习

148.

为什么应用中值定理需要连续性？构造一个反例。

149.

为什么应用中值定理需要可微性？找一个反例。

150.

罗尔定理和中值定理何时等价？

151.

如果一个函数有一个不连续点，是否仍然可能存在f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)?f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)?？画出这样一个例子或证明为什么不可能。

对于以下练习，确定中值定理适用于哪些区间（如果有的话）。请说明理由。

152.

y = sin ( π x ) y = sin ( π x )

153.

y = 1 x 3 y = 1 x 3

154.

y = 4 − x 2 y = 4 − x 2

155.

y = x 2 − 4 y = x 2 − 4

156.

y = ln ( 3 x − 5 ) y = ln ( 3 x − 5 )

对于以下练习，在计算器上绘制函数图形，并绘制连接端点的割线。估计满足f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).的点cc的数量。

157.

[T] y=3x3+2x+1y=3x3+2x+1 在区间[−1,1][−1,1]上

158.

[T] y=tan(π4x)y=tan(π4x) 在区间[−32,32][−32,32]上

159.

[T] y=x2cos(πx)y=x2cos(πx) 在区间[−2,2][−2,2]上

160.

[T] y=x6−34x5−98x4+1516x3+332x2+316x+132y=x6−34x5−98x4+1516x3+332x2+316x+132 在区间[−1,1][−1,1]上

对于以下练习，找出中值定理预测的所有满足f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).的点0<c<20<c<2。

161.

f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3

162.

f ( x ) = sin ( π x ) f ( x ) = sin ( π x )

163.

f ( x ) = cos ( 2 π x ) f ( x ) = cos ( 2 π x )

164.

f ( x ) = 1 + x + x 2 f ( x ) = 1 + x + x 2

165.

f ( x ) = ( x − 1 ) 10 f ( x ) = ( x − 1 ) 10

166.

f ( x ) = ( x − 1 ) 9 f ( x ) = ( x − 1 ) 9

对于以下练习，证明不存在cc使得f(1)−f(−1)=f′(c)(2).f(1)−f(−1)=f′(c)(2).。解释为什么中值定理不适用于区间[−1,1].[−1,1].。

167.

f ( x ) = | x − 1 2 | f ( x ) = | x − 1 2 |

168.

f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = 1 x 2

169.

f ( x ) = | x | f ( x ) = | x |

170.

f(x)=⌊x⌋f(x)=⌊x⌋（提示：这称为取整函数，其定义为f(x)f(x)是小于或等于x.)x.)的最大整数。）

对于以下练习，确定中值定理是否适用于给定区间[a,b].[a,b].上的函数。请说明理由。

171.

y=exy=ex 在区间[0,1][0,1]上

172.

y=ln(2x+3)y=ln(2x+3) 在区间[−32,0][−32,0]上

173.

f(x)=tan(2πx)f(x)=tan(2πx) 在区间[0,2][0,2]上

174.

y=9−x2y=9−x2 在区间[−3,3][−3,3]上

175.

y=1|x+1|y=1|x+1| 在区间[0,3][0,3]上

176.

y=x3+2x+1y=x3+2x+1 在区间[0,6][0,6]上

177.

y=x2+3x+2xy=x2+3x+2x 在区间[−1,1][−1,1]上

178.

y=xsin(πx)+1y=xsin(πx)+1 在区间[0,1][0,1]上

179.

y=ln(x+1)y=ln(x+1) 在区间[0,e−1][0,e−1]上

180.

y=xsin(πx)y=xsin(πx) 在区间[0,2][0,2]上

181.

y=5+|x|y=5+|x| 在区间[−1,1][−1,1]上

对于以下练习，考虑方程的根。

182.

证明方程y=x3+4x+16y=x3+4x+16恰好有一个实根。它是多少？

183.

找出方程y=x2+bx+cy=x2+bx+c恰好有一个根（重根）的条件。

184.

找出y=ex−by=ex−b有一个根的条件。是否可能有一个以上的根？

对于以下练习，使用计算器绘制函数在区间[a,b][a,b]上的图形，并绘制从aa到b.b.的割线。使用计算器估计中值定理所保证的所有cc值。然后，如果可能，求出c,c,的精确值，或者写出最终方程并使用计算器估计到四位小数。

185.

[T] y=tan(πx)y=tan(πx) 在区间[−14,14][−14,14]上

186.

[T] y=1x+1y=1x+1 在区间[0,3][0,3]上

187.

[T] y=|x2+2x−4|y=|x2+2x−4| 在区间[−4,0][−4,0]上

188.

[T] y=x+1xy=x+1x 在区间[12,4][12,4]上

189.

[T] y=x+1+1x2y=x+1+1x2 在区间[3,8][3,8]上

190.

上午10:17，你以55英里/小时的速度经过一辆停在高速公路上的警车。上午10:53，你以55英里/小时的速度经过第二辆警车，它距离第一辆警车39英里。如果限速是60英里/小时，警察能以超速为由给你开罚单吗？

191.

两辆车同时从一个红绿灯开到下一个红绿灯，并且同时到达。是否存在某个时刻它们的速度相同？证明或反驳。

192.

证明y=sec2xy=sec2x和y=tan2xy=tan2x具有相同的导数。关于y=sec2x−tan2x?y=sec2x−tan2x?你能说什么？

193.

证明y=csc2xy=csc2x和y=cot2xy=cot2x具有相同的导数。关于y=csc2x−cot2x?y=csc2x−cot2x?你能说什么？