反三角函数积分 - 微积分：第一卷

5.7 反三角函数积分

学习目标

5.7.1 对结果为反三角函数的函数进行积分

在本节中，我们重点讨论结果为反三角函数的积分。我们之前已经研究过这些函数。回顾函数与图形一章，除非定义域受限，否则三角函数不是一一对应的。在处理反三角函数时，我们始终需要注意这些限制。此外，在导数一章中，我们推导了反三角函数的导数公式。这些公式直接导出了涉及反三角函数的积分公式。

结果为反正弦函数的积分

本章最后一节介绍三个公式。除了这些公式，我们还使用换元法来计算积分。下面我们证明反正弦积分公式。

法则: 反三角函数积分公式

以下积分公式的结果为反三角函数。假设 $a > 0$ ：

$\int \frac{d u}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} = {sin}^{- 1} (\frac{u}{a}) + C$
(5.23)
$\int \frac{d u}{a^{2} + u^{2}} = \frac{1}{a} {tan}^{−1} \frac{u}{a} + C$
(5.24)
$\int \frac{d u}{u \sqrt{u^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a} {sec}^{−1} \frac{| u |}{a} + C$
(5.25)

证明

设 $y = {sin}^{−1} \frac{x}{a} .$ 。则 $a sin y = x .$ 。现在使用隐函数求导，可得

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (a sin y) & = & \frac{d}{d x} (x) \\ a cos y \frac{d y}{d x} & = & 1 \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{1}{a cos y} . \end{matrix}

对于 $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, cos y \geq 0 .$ 。因此，应用勾股恒等式 ${sin}^{2} y + {cos}^{2} y = 1,$ ，我们有 $cos y = \sqrt{1 - {sin}^{2} y} .$ 。由此可得

\begin{matrix} \frac{1}{a cos y} & = \frac{1}{a \sqrt{1 - {sin}^{2} y}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - a^{2} {sin}^{2} y}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} . \end{matrix}

那么对于 $− a \leq x \leq a,$ ，将 x 推广为 u，可得

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} d u = {sin}^{−1} (\frac{u}{a}) + C .

□

例 5.49

使用反三角函数计算定积分

计算定积分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} .$ 。

解

直接使用上述反三角函数积分公式中的原函数，然后计算定积分。可得

\begin{matrix} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} & = {sin}^{−1} x |_{0}^{\frac{1}{2}} \\ = {sin}^{−1} \frac{1}{2} - {sin}^{−1} 0 \\ = \frac{π}{6} - 0 \\ = \frac{π}{6} . \end{matrix}

检验点 5.40

计算积分 $\int \frac{d x}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} .$

例 5.50

求涉及反三角函数的原函数

计算积分 $\int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} .$ 。

解

设 $u = 3 x .$ 。则 $d u = 3 d x$ ，可得

\int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} = \frac{1}{3} \int \frac{d u}{\sqrt{4 - u^{2}}} .

应用公式，其中 $a = 2,$ ，可得

\begin{matrix} \int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} & = \frac{1}{3} \int \frac{d u}{\sqrt{4 - u^{2}}} \\ = \frac{1}{3} {sin}^{−1} (\frac{u}{2}) + C \\ = \frac{1}{3} {sin}^{−1} (\frac{3 x}{2}) + C . \end{matrix}

检验点 5.41

利用反三角函数和换元法求不定积分 $\int \frac{d x}{\sqrt{9 - x^{2}}} .$ 。

例 5.51

计算定积分

计算定积分 $\int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d u}{\sqrt{1 - u^{2}}} .$ 。

解

此积分的形式符合反正弦公式。因此，

\begin{matrix} \int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d u}{\sqrt{1 - u^{2}}} & = {sin}^{−1} u |_{0}^{\sqrt{3} / 2} \\ = [{sin}^{−1} (\frac{\sqrt{3}}{2})] - [{sin}^{−1} (0)] \\ = \frac{π}{3} . \end{matrix}

结果为其他反三角函数的积分

反三角函数共有六个。然而，上述法则中只给出了三个积分公式，因为其余三个只是这些公式取负值的形式。唯一的区别在于被积函数的正负号。与其记住另外三个公式，不如在被积函数为负时，直接提取 −1，然后使用已有的公式计算积分。作为本节的结尾，我们再研究一个公式：结果为反正切函数的积分。

例 5.52

求涉及反正切函数的原函数

计算积分 $\int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x .$ 。

解

将此积分与上述反三角函数积分公式进行比较，被积函数的形式类似于 ${tan}^{−1} u + C .$ 的公式。因此，我们使用换元法，令 $u = 2 x,$ ，则 $d u = 2 d x$ ，且 $1 / 2 d u = d x .$ 。于是，可得

\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u = \frac{1}{2} {tan}^{−1} u + C = \frac{1}{2} {tan}^{−1} (2 x) + C .

检验点 5.42

使用换元法求原函数 $\int \frac{d x}{25 + 4 x^{2}} .$ 。

例 5.53

应用积分公式

计算积分 $\int \frac{1}{9 + x^{2}} d x .$ 。

解

应用公式，其中 $a = 3 .$ 。则，

\int \frac{d x}{9 + x^{2}} = \frac{1}{3} {tan}^{−1} (\frac{x}{3}) + C .

检验点 5.43

计算积分 $\int \frac{d x}{16 + x^{2}} .$ 。

例 5.54

计算定积分

计算定积分 $\int_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}} .$ 。

解

使用反正切公式。可得

\begin{matrix} \int_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}} & = {tan}^{−1} x |_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \\ = [{tan}^{−1} (\sqrt{3})] - [{tan}^{−1} (\frac{\sqrt{3}}{3})] \\ = \frac{π}{6} . \end{matrix}

检验点 5.44

计算定积分 $\int_{0}^{2} \frac{d x}{4 + x^{2}} .$ 。

第 5.7 节练习

在以下练习中，用反三角函数计算每个积分。

391.

$\int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

392.

$\int_{−1 / 2}^{1 / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

393.

$\int_{\sqrt{3}}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

394.

$\int_{1 / \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

395.

$\int_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}} \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$

396.

$\int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$

在以下练习中，使用适当的换元法求每个不定积分。

397.

$\int \frac{d x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

398.

$\int \frac{d x}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

399.

$\int \frac{d x}{9 + x^{2}}$

400.

$\int \frac{d x}{25 + 16 x^{2}}$

401.

$\int \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 9}}$

402.

$\int \frac{d x}{| x | \sqrt{4 x^{2} - 16}}$

403.

解释关系 $− {cos}^{−1} t + C = \int \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}} = {sin}^{−1} t + C .$ 。通常情况下， ${cos}^{−1} t = − {sin}^{−1} t ?$ 是否成立？

404.

解释关系 ${sec}^{−1} t + C = \int \frac{d t}{| t | \sqrt{t^{2} - 1}} = − {csc}^{−1} t + C .$ 。通常情况下， ${sec}^{−1} t = − {csc}^{−1} t ?$ 是否成立？

405.

解释以下积分有何错误： $\int_{1}^{2} \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}} .$

406.

解释以下积分有何错误： $\int_{−1}^{1} \frac{d t}{| t | \sqrt{t^{2} - 1}} .$

在以下练习中，求函数 f 的原函数 $\int f$ （取 $C = 0,$ ），然后使用计算器在给定区间 $[a, b] .$ 上绘制 f 和原函数的图形。确定一个 C 值，使得原函数加上 C 后等于定积分 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$ 。

407.

[T] $\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$ 在区间 $[−3, 3]$ 上

408.

[T] $\int \frac{9}{9 + x^{2}} d x$ 在区间 $[−6, 6]$ 上

409.

[T] $\int \frac{cos x}{4 + {sin}^{2} x} d x$ 在区间 $[−6, 6]$ 上

410.

[T] $\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x$ 在区间 $[−6, 6]$ 上

在以下练习中，使用适当的换元法计算原函数。

411.

$\int \frac{{sin}^{−1} t d t}{\sqrt{1 - t^{2}}}$

412.

$\int \frac{d t}{{sin}^{−1} t \sqrt{1 - t^{2}}}$

413.

$\int \frac{{tan}^{−1} (2 t)}{1 + 4 t^{2}} d t$

414.

$\int \frac{t {tan}^{−1} (t^{2})}{1 + t^{4}} d t$

415.

$\int \frac{{sec}^{−1} (\frac{t}{2})}{| t | \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

416.

$\int \frac{t {sec}^{−1} (t^{2})}{t^{2} \sqrt{t^{4} - 1}} d t$

在以下练习中，使用计算器在给定区间 $[a, b] .$ 上绘制原函数 $\int f$ 的图形（取 $C = 0$ ）。如果可能，近似确定一个 C 值，使得原函数加上 C 后等于定积分 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$ 。

417.

[T] $\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x$ 在区间 $[2, 6]$ 上

418.

[T] $\int \frac{1}{(2 x + 2) \sqrt{x}} d x$ 在区间 $[0, 6]$ 上

419.

[T] $\int \frac{(sin x + x cos x)}{1 + x^{2} {sin}^{2} x} d x$ 在区间 $[−6, 6]$ 上

420.

[T] $\int \frac{2 e^{−2 x}}{\sqrt{1 - e^{−4 x}}} d x$ 在区间 $[0, 2]$ 上

421.

[T] $\int \frac{1}{x + x {ln}^{2} x} d x$ 在区间 $[0, 2]$ 上

422.

[T] $\int \frac{{sin}^{−1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ 在区间 $[−1, 1]$ 上

在以下练习中，使用适当的换元法计算每个积分。

423.

$\int \frac{e^{t}}{\sqrt{1 - e^{2 t}}} d t$

424.

$\int \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}} d t$

425.

$\int \frac{d t}{t \sqrt{1 - {ln}^{2} t}}$

426.

$\int \frac{d t}{t (1 + {ln}^{2} t)}$

427.

$\int \frac{{cos}^{−1} (2 t)}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}} d t$

428.

$\int \frac{e^{t} {cos}^{−1} (e^{t})}{\sqrt{1 - e^{2 t}}} d t$

在以下练习中，计算每个定积分。

429.

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{tan ({sin}^{−1} t)}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

430.

$\int_{1 / 4}^{1 / 2} \frac{tan ({cos}^{−1} t)}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

431.

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{sin ({tan}^{−1} t)}{1 + t^{2}} d t$

432.

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{cos ({tan}^{−1} t)}{1 + t^{2}} d t$

433.

对于 $A > 0,$ ，计算 $I (A) = \int_{− A}^{A} \frac{d t}{1 + t^{2}}$ 并求 $lim_{A \to \infty} I (A),$ 即 $\frac{1}{1 + t^{2}}$ 在区间 $[− \infty, \infty]$ 上的图形下方的面积。

434.

对于 $1 < B < \infty,$ ，计算 $I (B) = \int_{1}^{B} \frac{d t}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ 并求 $lim_{B \to \infty} I (B),$ 即 $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ 在区间 $[1, \infty)$ 上的图形下方的面积。

435.

使用换元法 $u = \sqrt{2} cot x$ 和恒等式 $1 + {cot}^{2} x = {csc}^{2} x$ 计算 $\int \frac{d x}{1 + {cos}^{2} x} .$ 。（提示：将被积函数的分子和分母乘以 ${csc}^{2} x .)$ 。）

436.

[T] 将 $f (x) = 2 x^{2} - 1$ 和 $g (x) = {(1 + 4 x^{2})}^{−3 / 2}$ 的图形的交点近似到小数点后四位，并将其图形之间的面积近似到小数点后三位。

437.

[T] 将 $f (x) = x^{2} - 1$ 和 ${g (x) = (x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的图形的交点近似到小数点后四位，并将其图形之间的面积近似到小数点后三位。

438.

使用以下图形证明 $\int_{0}^{x} \sqrt{1 - t^{2}} d t = \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} {sin}^{−1} x .$ 。

包含两个形状的图：蓝色阴影的圆扇形和棕色阴影的三角形。三角形的斜边是圆扇形的一条半径边，长度为1个单位。红色虚线将扇形的一部分和三角形围成一个矩形，三角形的斜边为矩形的对角线。圆的曲线由方程 sqrt(1-x^2) 描述。

5.7 反三角函数积分

学习目标

结果为反正弦函数的积分

法则: 反三角函数积分公式

证明

例 5.49

使用反三角函数计算定积分

解

检验点 5.40

例 5.50

求涉及反三角函数的原函数

解

检验点 5.41

例 5.51

计算定积分

解

结果为其他反三角函数的积分

例 5.52

求涉及反正切函数的原函数

解

检验点 5.42

例 5.53

应用积分公式

解

检验点 5.43

例 5.54

计算定积分

解

检验点 5.44

第 5.7 节 练习

第 5.7 节练习