重要公式 - 微积分：第一卷

重要公式

两条曲线之间的面积，在 x 轴上积分	$A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x$
两条曲线之间的面积，在 y 轴上积分	$A = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y$

沿 x 轴的圆盘法	$V = \int_{a}^{b} π {[f (x)]}^{2} d x$
沿 y 轴的圆盘法	$V = \int_{c}^{d} π {[g (y)]}^{2} d y$
垫圈法	$V = \int_{a}^{b} π [{(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2}] d x$

柱壳法

V = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x

关于 x 的函数的弧长	$弧长 = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x$
关于 y 的函数的弧长	$弧长 = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + {[g^{'} (y)]}^{2}} d y$
关于 x 的函数的表面积	$表面积 = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x$

一维物体的质量	$m = \int_{a}^{b} ρ (x) d x$
圆形物体的质量	$m = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x$
对物体所做的功	$W = \int_{a}^{b} F (x) d x$
作用在平板上的静水压力	$F = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x$

薄片的质量	$m = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x$
薄片的矩	$M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x 和 M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x$
薄片的质心	$\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} 和 \bar{y} = \frac{M_{x}}{m}$

自然对数函数	$ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$
指数函数 $y = e^{x}$	$ln y = ln (e^{x}) = x$