双曲函数的微积分 - 微积分：第一卷

6.9 双曲函数的微积分

学习目标

6.9.1 应用双曲函数的导数和积分公式。
6.9.2 应用反双曲函数的导数公式及其相关积分公式。
6.9.3 描述悬链线的常见应用场景。

我们在函数与图形引论中介绍了双曲函数及其一些基本性质。在本节中，我们将研究双曲函数及其反函数的求导和积分公式。

双曲函数的导数和积分

回顾双曲正弦和双曲余弦的定义：

sinh x = \frac{e^{x} - e^{− x}}{2} 和 cosh x = \frac{e^{x} + e^{− x}}{2} .

其他双曲函数则由 $sinh x$ 和 $cosh x .$ 定义。双曲函数的图形如下图所示。

此图包含六个图形。第一个图形标记为“a”，是函数 y=sinh(x) 的图形。它是一个从第三象限经过原点到第一象限的递增函数。第二个图形标记为“b”，是函数 y=cosh(x) 的图形。它在第二象限递减至 y=1 截距，然后变为递增函数。第三个图形标记为“c”，是函数 y=tanh(x) 的图形。它是一个从第三象限经过原点到第一象限的递增函数。第四个图形标记为“d”，是函数 y=coth(x) 的图形。它由两部分组成，一部分在第三象限，一部分在第一象限，在 y 轴处有一条垂直渐近线。第五个图形标记为“e”，是函数 y=sech(x) 的图形。它是一条在 x 轴上方的曲线，在第二象限递增，在 y 轴处达到 y=1，然后递减。第六个图形标记为“f”，是函数 y=csch(x) 的图形。它由两部分组成，一部分在第三象限，一部分在第一象限，在 y 轴处有一条垂直渐近线。

图 6.81 双曲函数的图形。

双曲函数的求导公式很容易推导。例如，对于 $sinh x$ ，我们有

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (sinh x) & = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{− x}}{2}) \\ = \frac{1}{2} [\frac{d}{d x} (e^{x}) - \frac{d}{d x} (e^{− x})] \\ = \frac{1}{2} [e^{x} + e^{− x}] = cosh x . \end{matrix}

类似地， $(d / d x) cosh x = sinh x .$ 。下表总结了双曲函数的求导公式。

$f (x)$	$\frac{d}{d x} f (x)$
$sinh x$	$cosh x$
$cosh x$	$sinh x$
$tanh x$	${sech}^{2} x$
$coth x$	$− {csch}^{2} x$
$sech x$	$− sech x tanh x$
$csch x$	$− csch x coth x$

表 6.2 双曲函数的导数

我们来比较双曲函数与标准三角函数的导数。两者有许多相似之处，但也存在差异。例如，正弦函数的导数形式一致： $(d / d x) sin x = cos x$ 和 $(d / d x) sinh x = cosh x .$ 。然而，余弦函数的导数符号不同： $(d / d x) cos x = − sin x,$ 但 $(d / d x) cosh x = sinh x .$ 。在继续研究双曲函数时，我们需要留意它们与标准三角函数的异同。

由这些求导公式可直接得到以下积分公式。

\begin{matrix} \int sinh u d u & = & cosh u + C & \int {csch}^{2} u d u & = & − coth u + C \\ \int cosh u d u & = & sinh u + C & \int sech u tanh u d u & = & − sech u + C \\ \int {sech}^{2} u d u & = & tanh u + C & \int csch u coth u d u & = & − csch u + C \end{matrix}

例 6.47

双曲函数求导

求下列导数：

$\frac{d}{d x} (sinh (x^{2}))$
$\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2}$

解

使用表 6.2中的公式和链式法则，可得

$\frac{d}{d x} (sinh (x^{2})) = cosh (x^{2}) \cdot 2 x$
$\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2} = 2 cosh x sinh x$

检验点 6.47

求下列导数：

$\frac{d}{d x} (tanh (x^{2} + 3 x))$
$\frac{d}{d x} (\frac{1}{{(sinh x)}^{2}})$

例 6.48

涉及双曲函数的积分

求下列积分：

$\int x cosh (x^{2}) d x$
$\int tanh x d x$

解

两种情况都可以使用换元法。

设 $u = x^{2} .$ 。则 $d u = 2 x d x$ ，且

$\int x cosh (x^{2}) d x = \int \frac{1}{2} cosh u d u = \frac{1}{2} sinh u + C = \frac{1}{2} sinh (x^{2}) + C .$
设 $u = cosh x .$ 。则 $d u = sinh x d x$ ，且

$\int tanh x d x = \int \frac{sinh x}{cosh x} d x = \int \frac{1}{u} d u = ln | u | + C = ln | cosh x | + C .$

注意，对所有 $x,$ ， $cosh x > 0$ ，因此我们可以去掉绝对值符号，得到

$\int tanh x d x = ln (cosh x) + C .$

检验点 6.48

求下列积分：

$\int {sinh}^{3} x cosh x d x$
$\int {sech}^{2} (3 x) d x$

反双曲函数的微积分

观察双曲函数的图形可知，在适当限制值域后，它们都存在反函数。通过仔细观察图形，可以确定大多数必要的定义域限制。下表总结了反双曲函数的定义域和值域。

函数	定义域	值域
${sinh}^{−1} x$	$(− \infty, \infty)$	$(− \infty, \infty)$
${cosh}^{−1} x$	$[1, \infty)$	$[0, \infty)$
${tanh}^{−1} x$	$(−1, 1)$	$(− \infty, \infty)$
${coth}^{−1} x$	$(− \infty, −1) \cup (1, \infty)$	$(− \infty, 0) \cup (0, \infty)$
${sech}^{−1} x$	$(0, 1]$	$[0, \infty)$
${csch}^{−1} x$	$(− \infty, 0) \cup (0, \infty)$	$(− \infty, 0) \cup (0, \infty)$

表 6.3 反双曲函数的定义域和值域

反双曲函数的图形如下图所示。

此图包含六个图形。第一个图形标记为“a”，是函数 y=sinh^-1(x) 的图形。它是一个从第三象限经过原点到第一象限的递增函数。第二个图形标记为“b”，是函数 y=cosh^-1(x) 的图形。它位于第一象限，从 x 轴上的 2 开始递增。第三个图形标记为“c”，是函数 y=tanh^-1(x) 的图形。它是一个从第三象限经过原点到第一象限的递增函数。第四个图形标记为“d”，是函数 y=coth^-1(x) 的图形。它由两部分组成，一部分在第三象限，一部分在第一象限，在 y 轴处有一条垂直渐近线。第五个图形标记为“e”，是函数 y=sech^-1(x) 的图形。它是一条在第一象限递减并在 x 轴上 x=1 处停止的曲线。第六个图形标记为“f”，是函数 y=csch^-1(x) 的图形。它由两部分组成，一部分在第三象限，一部分在第一象限，在 y 轴处有一条垂直渐近线。

图 6.82 反双曲函数的图形。

为了求反函数的导数，我们使用隐函数求导法。

\begin{matrix} y & = & {sinh}^{−1} x \\ sinh y & = & x \\ \frac{d}{d x} sinh y & = & \frac{d}{d x} x \\ cosh y \frac{d y}{d x} & = & 1 . \end{matrix}

回顾 ${cosh}^{2} y - {sinh}^{2} y = 1,$ ，于是 $cosh y = \sqrt{1 + {sinh}^{2} y} .$ 。于是，

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{cosh y} = \frac{1}{\sqrt{1 + {sinh}^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

类似地，可以推导出其他反双曲函数的求导公式，总结在下表中。

$f (x)$	$\frac{d}{d x} f (x)$
${sinh}^{−1} x$	$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
${cosh}^{−1} x$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$
${tanh}^{−1} x$	$\frac{1}{1 - x^{2}}$
${coth}^{−1} x$	$\frac{1}{1 - x^{2}}$
${sech}^{−1} x$	$\frac{−1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$
${csch}^{−1} x$	$\frac{−1}{\| x \| \sqrt{1 + x^{2}}}$

表 6.4 反双曲函数的导数

注意， ${tanh}^{−1} x$ 和 ${coth}^{−1} x$ 的导数是相同的。因此，当我们对 $1 / (1 - x^{2}),$ 积分时，需要根据函数的定义域及 $x .$ 的取值来选择正确的原函数。涉及反双曲函数的积分公式总结如下。

\begin{matrix} \int \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & {sinh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u & = & − {sech}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u & = & {cosh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & − {csch}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u & = & {\begin{matrix} {tanh}^{−1} u + C 若 | u | < 1 \\ {coth}^{−1} u + C 若 | u | > 1 \end{matrix} \end{matrix}

例 6.49

反双曲函数求导

求下列导数：

$\frac{d}{d x} ({sinh}^{−1} (\frac{x}{3}))$
$\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2}$

解

使用表 6.4中的公式和链式法则，可得以下结果：

$\frac{d}{d x} ({sinh}^{−1} (\frac{x}{3})) = \frac{1}{3 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 + x^{2}}}$
$\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2} = \frac{2 ({tanh}^{−1} x)}{1 - x^{2}}$

检验点 6.49

求下列导数：

$\frac{d}{d x} ({cosh}^{−1} (3 x))$
$\frac{d}{d x} {({coth}^{−1} x)}^{3}$

例 6.50

涉及反双曲函数的积分

求下列积分：

$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x$
$\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

解

两种情况都可以使用 $u -换元$ 。

设 $u = 2 x .$ 。则 $d u = 2 d x$ ，且我们有

$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x = \int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} - 1}} d u = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} u + C = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} (2 x) + C .$
设 $u = 3 x .$ 。则 $d u = 3 d x$ ，并有

$\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | u | + C = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | 3 x | + C .$

检验点 6.50

求下列积分：

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x, x > 2$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} d x$

应用

双曲函数的一个实际应用是描述悬挂索。如果一根密度均匀的缆绳悬挂在两个支架之间，且除自重外不受其他载荷，缆绳会形成一条称为悬链线的曲线。高压输电线、两根柱子之间的链条以及蜘蛛网的丝线都形成悬链线。下图展示了一排柱子间悬挂的链条。

图 6.83 柱子之间的链条呈悬链线形状。（图片来源：OKFoundryCompany, Flickr 作品修改）

双曲函数可用于描述悬链线。具体而言，形如 $y = a cosh (x / a)$ 的函数是悬链线。图 6.84显示了 $y = 2 cosh (x / 2) .$ 的图形。

函数 f(x)=2cosh(x/2) 的图。曲线在第二象限递减至 y 轴，在 y=2 处与 y 轴相交，然后变为递增。

图 6.84 双曲余弦函数构成悬链线形状。

例 6.51

使用悬链线求缆绳长度

设一根悬挂缆绳的形状为 $10 cosh (x / 10)$ ，其中 $−15 \leq x \leq 15,$ ， $x$ 以英尺为单位。求缆绳的长度（单位：英尺）。

解

由第 $2.4$ 节知，弧长公式为

弧长 = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

我们有 $f (x) = 10 cosh (x / 10),$ ，因此 $f^{'} (x) = sinh (x / 10) .$ 。于是

\begin{matrix} 弧长 & = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{10})} d x . \end{matrix}

注意到 $1 + {sinh}^{2} x = {cosh}^{2} x,$ ，因此

\begin{matrix} 弧长 & = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{10})} d x \\ = \int_{−15}^{15} cosh (\frac{x}{10}) d x \\ = 10 sinh {(\frac{x}{10}) |}_{−15}^{15} = 10 [sinh (\frac{3}{2}) - sinh (- \frac{3}{2})] = 20 sinh (\frac{3}{2}) \\ \approx 42.586 英尺 . \end{matrix}

检验点 6.51

设一根悬挂缆绳的形状为 $15 cosh (x / 15)$ ，其中 $−20 \leq x \leq 20 .$ 。求缆绳的长度（单位：英尺）。

第 6.9 节练习

377.

[T] 求 $cosh x + sinh x$ 和 $cosh x - sinh x .$ 的表达式。用计算器画出这些函数的图形，验证你的表达式是否正确。

378.

根据 $cosh (x)$ 和 $sinh (x),$ 的定义，分别求其原函数。

379.

证明 $cosh (x)$ 和 $sinh (x)$ 满足 $y^{″} = y .$ 。

380.

使用商法则验证 $tanh (x)' = {sech}^{2} (x) .$ 。

381.

利用定义推导 ${cosh}^{2} (x) + {sinh}^{2} (x) = cosh (2 x)$ 。

382.

对上式求导，求 $sinh (2 x) .$ 的表达式。

383.

将表达式化为指数形式，证明 $sinh (x + y) = sinh (x) cosh (y) + cosh (x) sinh (y)$ 。

384.

对上式求导，求 $cosh (x + y) .$ 的表达式。

对于以下练习，求给定函数的导数，并将导数与原函数绘制在一起，以验证你的答案是否正确。

385.

[T] $cosh (3 x + 1)$

386.

[T] $sinh (x^{2})$

387.

[T] $\frac{1}{cosh (x)}$

388.

[T] $sinh (ln (x))$

389.

[T] ${cosh}^{2} (x) + {sinh}^{2} (x)$

390.

[T] ${cosh}^{2} (x) - {sinh}^{2} (x)$

391.

[T] $tanh (\sqrt{x^{2} + 1})$

392.

[T] $\frac{1 + tanh (x)}{1 - tanh (x)}$

393.

[T] ${sinh}^{6} (x)$

394.

[T] $ln (sech (x) + tanh (x))$

对于以下练习，求给定函数的原函数。

395.

$cosh (2 x + 1)$

396.

$tanh (3 x + 2)$

397.

$x cosh (x^{2})$

398.

$3 x^{3} tanh (x^{4})$

399.

${cosh}^{2} (x) sinh (x)$

400.

${tanh}^{2} (x) {sech}^{2} (x)$

401.

$\frac{sinh (x)}{1 + cosh (x)}$

402.

$coth (x)$

403.

$cosh (x) + sinh (x)$

404.

${(cosh (x) + sinh (x))}^{n}$

对于以下练习，求给定函数的导数。

405.

${tanh}^{−1} (4 x)$

406.

${sinh}^{−1} (x^{2})$

407.

${sinh}^{−1} (cosh (x))$

408.

${cosh}^{−1} (x^{3})$

409.

${tanh}^{−1} (cos (x))$

410.

$e^{{sinh}^{−1} (x)}$

411.

$ln ({tanh}^{−1} (x))$

对于以下练习，求给定函数的原函数。

412.

$\int \frac{d x}{4 - x^{2}}$

413.

$\int \frac{d x}{a^{2} - x^{2}}$

414.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

415.

$\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

416.

$\int - \frac{d x}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

417.

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x} - 1}} d x$

418.

$\int - \frac{2 x}{x^{4} - 1} d x$

对于以下练习，利用如下事实：一个所受摩擦力等于速度平方的落体满足方程 $d v / d t = g - v^{2} .$ 。

419.

证明 $v (t) = \sqrt{g} tanh ((\sqrt{g}) t)$ 满足此方程。

420.

对 $\frac{d v}{g - v^{2}} = d t .$ 两边积分，推导 $v (t)$ 的上述公式。

421.

[T] 通过计算 $v (t) .$ 曲线下方的面积，估算物体在 $12$ 秒内下落的距离。

对于以下练习，利用此情景：一根在自重作用下悬挂的缆绳，其斜率 $S = d y / d x$ 满足 $d S / d x = c \sqrt{1 + S^{2}} .$ ，其中常数 $c$ 为缆绳密度与张力之比。

422.

证明 $S = sinh (c x)$ 满足此方程。

423.

对 $d y / d x = sinh (c x)$ 积分，以求出缆绳高度 $y (x)$ ，如果 $y (0) = 1 / c .$ 。

424.

画出缆绳的示意图，并确定它在 $x = 0 .$ 处下垂了多远。

对于以下练习，求解每道题。

425.

[T] 一条链条悬挂在间距为 $2$ 米的两根柱子之间，形成由方程 $y = 2 cosh (x / 2) - 1 .$ 描述的悬链线。求悬链线在左侧柱子处的斜率。

426.

[T] 一条链条悬挂在间距为四米的两根柱子之间，形成由方程 $y = 4 cosh (x / 4) - 3 .$ 描述的悬链线。求该悬链线的总长度（弧长）。

427.

[T] 一条高压输电线由 $y = 10 cosh (x / 10) .$ 描述的悬链线。求该悬链线下方面积与弧长的比值。你发现了什么？

428.

一条电话线由 $y = a cosh (x / a) .$ 描述的悬链线。求该悬链线下方面积与弧长的比值。这是否验证了你上一题的结论？

429.

对 $x = sinh (y) .$ 求导，推导 $y = {sinh}^{−1} (x)$ 的导数公式。（提示：使用双曲恒等式。）

430.

对 $x = cosh (y) .$ 求导，推导 $y = {cosh}^{−1} (x)$ 的导数公式。

（提示：使用双曲恒等式。）

431.

对 $x = sech (y) .$ 求导，推导 $y = {sech}^{−1} (x)$ 的导数公式。（提示：使用双曲恒等式。）

432.

证明 ${(cosh (x) + sinh (x))}^{n} = cosh (n x) + sinh (n x) .$ 。

433.

推导 ${sinh}^{−1} (x) .$ 的显式表达式。将 $x = sinh (y) = (1 / 2) (e^{y} - e^{− y})$ 乘以 $2 e^{y}$ 并解出 $y .$ 。你的结果与教材中的公式一致吗？

434.

推导 ${cosh}^{−1} (x) .$ 的显式表达式。将 $x = cosh (y) = (1 / 2) (e^{y} + e^{− y})$ 乘以 $2 e^{y}$ 并解出 $y .$ 。你的结果与教材中的公式一致吗？

6.9 双曲函数的微积分

学习目标

双曲函数的导数和积分

例 6.47

双曲函数求导

解

检验点 6.47

例 6.48

涉及双曲函数的积分

解

检验点 6.48

反双曲函数的微积分

例 6.49

反双曲函数求导

解

检验点 6.49

例 6.50

涉及反双曲函数的积分

解

检验点 6.50

应用

例 6.51

使用悬链线求缆绳长度

解

检验点 6.51

第 6.9 节 练习

第 6.9 节练习