重要公式 - 微积分：第一卷

重要公式

差商	$Q = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$
含增量 $h$ 的差商	$Q = \frac{f (a + h) - f (a)}{a + h - a} = \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$
切线斜率	$m_{tan} = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ $m_{tan} = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$
$f (x)$ 在 $a$ 处的导数	$f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$
平均速度	$v_{a ve} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a}$
瞬时速度	$v (a) = s^{'} (a) = lim_{t \to a} \frac{s (t) - s (a)}{t - a}$

导函数

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

正弦函数的导数	$\frac{d}{d x} (sin x) = cos x$
余弦函数的导数	$\frac{d}{d x} (cos x) = − sin x$
正切函数的导数	$\frac{d}{d x} (tan x) = {sec}^{2} x$
余切函数的导数	$\frac{d}{d x} (cot x) = − {csc}^{2} x$
正割函数的导数	$\frac{d}{d x} (sec x) = sec x tan x$
余割函数的导数	$\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x$

链式法则	$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
函数的幂法则	$h^{'} (x) = n {(g (x))}^{n - 1} g^{'} (x)$

反函数定理	${(f^{−1})}^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (f^{−1} (x))}$ ，其中 $f^{'} (f^{−1} (x)) \neq 0$ 且 $f (x)$ 可微
有理指数的幂法则	$\frac{d}{d x} (x^{m / n}) = \frac{m}{n} x^{(m / n) - 1} .$
反正弦函数的导数	$\frac{d}{d x} {sin}^{−1} x = \frac{1}{\sqrt{1 - {(x)}^{2}}}$
反余弦函数的导数	$\frac{d}{d x} {cos}^{−1} x = \frac{−1}{\sqrt{1 - {(x)}^{2}}}$
反正切函数的导数	$\frac{d}{d x} {tan}^{−1} x = \frac{1}{1 + {(x)}^{2}}$
反余切函数的导数	$\frac{d}{d x} {cot}^{−1} x = \frac{−1}{1 + {(x)}^{2}}$
反正割函数的导数	$\frac{d}{d x} {sec}^{−1} x = \frac{1}{\| x \| \sqrt{{(x)}^{2} - 1}}$
反余割函数的导数	$\frac{d}{d x} {csc}^{−1} x = \frac{−1}{\| x \| \sqrt{{(x)}^{2} - 1}}$

自然指数函数的导数	$\frac{d}{d x} (e^{g (x)}) = e^{g (x)} g^{'} (x)$
自然对数函数的导数	$\frac{d}{d x} (ln g (x)) = \frac{1}{g (x)} g^{'} (x)$
一般指数函数的导数	$\frac{d}{d x} (b^{g (x)}) = b^{g (x)} g^{'} (x) ln b$
一般对数函数的导数	$\frac{d}{d x} ({log}_{b} g (x)) = \frac{g^{'} (x)}{g (x) ln b}$