复习练习

判断正误。请用证明或反例说明理由。

367.

每个函数都有导数。

368.

一个连续的函数有连续的导数。

369.

一个连续的函数有导数。

370.

如果一个函数可微，那么它是连续的。

利用导数的极限定义求导数。

371.

$f (x) = \sqrt{x + 4}$

372.

$f (x) = \frac{3}{x}$

求下列函数的导数。

373.

$f (x) = 3 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

374.

$f (x) = {(4 - x^{2})}^{3}$

375.

$f (x) = e^{sin x}$

376.

$f (x) = ln (x + 2)$

377.

$f (x) = x^{2} cos x + x tan (x)$

378.

$f (x) = \sqrt{3 x^{2} + 2}$

379.

$f (x) = \frac{x}{4} {sin}^{−1} (x)$

380.

$x^{2} y = (y + 2) + x y sin (x)$

求下列各阶导数。

381.

$y = x ln (x) cos x$ 的一阶导数

382.

$y = {(3 x + 2)}^{2}$ 的三阶导数

383.

$y = 4^{x} + x^{2} sin (x)$ 的二阶导数

求下列方程在指定点的切线方程。

384.

$y = {cos}^{−1} (x) + x$ 在 $x = 0$ 处

385.

$y = x + e^{x} - \frac{1}{x}$ 在 $x = 1$ 处

画出下列函数的导函数图像。

386.

函数从 (−3, 0.5) 出发，递减至局部最小值 (−2.3, −2)；然后经过 (−1.5, 0) 递增，在 (0, 2) 附近增速变缓；接着缓慢递增到局部最大值 (2.3, 6)，再递减至 (3, 3)。

387.

函数从 (−1, 4) 沿直线递减至原点，然后以 x² 的形式递增，经过 (1, 1) 和 (2, 4)。

以下问题涉及新泽西州海洋城一月份的水位，其近似公式为 $w (t) = 1.9 + 2.9 cos (\frac{π}{6} t),$ ，其中 t 为午夜后的小时数，高度单位为英尺。

388.

求导函数并画出其图像。它的物理意义是什么？

389.

求 $w^{'} (3) .$ 。这个值的物理意义是什么？

以下问题涉及2005年8月袭击路易斯安那州新奥尔良的卡特里娜飓风的风速，数据见下表。

8月26日午夜后的小时数	风速 (英里/小时)
1	45
5	75
11	100
29	115
49	145
58	175
73	155
81	125
85	95
107	35

表 3.9 卡特里娜飓风的风速来源：http://news.nationalgeographic.com/news/2005/09/0914_050914_katrina_timeline.html。

390.

利用该表，估计第39小时风速的导数。它的物理意义是什么？

391.

估计第83小时风速的导数。它的物理意义是什么？