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反函数

1.4 反函数

学习目标

  • 1.4.1 确定函数具有反函数的条件。
  • 1.4.2 使用水平线检验来识别函数何时为一一对应函数。
  • 1.4.3 求给定函数的反函数。
  • 1.4.4 绘制反函数的图形。
  • 1.4.5 计算反三角函数。

反函数"撤销"原函数的运算——原函数做了什么，反函数就还原回去。本节给出反函数的严格定义，阐明其存在的必要条件，研究求反函数的方法，并探讨函数与其反函数图形之间的关系。随后运用这些概念定义反三角函数并讨论其性质。

反函数的存在性

先看一个例子。给定函数 ff 和输出 y=f(x),y=f(x),，常需确定在 ff 的作用下，哪些 xx 被映射到 y.y.。例如，考虑函数 f(x)=x3+4.f(x)=x3+4.。对任意输出 y=x3+4,y=x3+4,，均可解出 xx，得到输入为 x=y−43.x=y−43.。此方程将 xx 定义为 y.y. 的函数。记此函数为 f−1,f−1,，并写成 x=f−1(y)=y−43,x=f−1(y)=y−43,，对于 ff 定义域中的任意 x,x, 都有 f−1(f(x))=f−1(x3+4)=x.f−1(f(x))=f−1(x3+4)=x.。故此新函数 f−1,f−1, “撤销”了原函数 ff 的操作。具有此性质的函数即为原函数的反函数。

定义

设函数 ff 的定义域为 DD，值域为 R.R.。其 反函数（若存在）是定义域为 RR、值域为 DD 的函数 f−1f−1，使得当 f(x)=y.f(x)=y. 时，有 f−1(y)=xf−1(y)=x。换句话说，对于函数 ff 及其反函数 f−1,f−1,，

f−1(f(x))=x对所有x属于D,且f(f−1(y))=y对所有y属于R.f−1(f(x))=x对所有x属于D,且f(f−1(y))=y对所有y属于R.
(1.11)

注意 f−1f−1 读作”f 逆”。此处−1−1 并非指数，且 f−1(x)≠1/f(x).f−1(x)≠1/f(x).。图 1.37 展示了 f 的定义域、值域与 f−1.f−1. 的定义域、值域之间的关系。

两气泡的图像。第一个气泡是橙色的，有两个标签：顶部标签是“f 的定义域”，底部标签是“f 反函数的值域”。气泡内是变量“x”。一个标有“f”的橙色箭头从这个气泡指向第二个气泡。第二个气泡是蓝色的，有两个标签：顶部标签是“f 的值域”，底部标签是“f 反函数的定义域”。气泡内是变量“y”。一个标有“f 反函数”的蓝色箭头从这个气泡指向第一个气泡。
图 1.37 给定函数 ff 及其反函数 f−1,f−1(y)=xf−1,f−1(y)=x，当且仅当 f(x)=y.f(x)=y.。ff 的值域成为 f−1f−1 的定义域，ff 的定义域成为 f−1.f−1. 的值域。

函数的每个输入恰好对应一个输出。因此，要定义反函数，需要每个输出也恰好对应一个输入。例如，尝试求函数 f(x)=x2.f(x)=x2. 的反函数。解方程 y=x2y=x2 关于 xx ，得 x=±y.x=±y.。此方程未将 xx 描述为 yy 的函数，因为对于每个 y>0.y>0.，均有两个解。为 f(x)=x2f(x)=x2 求反函数的困难在于：每个输出 y>0.y>0.均对应两个不同的输入。而前面的函数 f(x)=x3+4f(x)=x3+4 则无此问题——不同输入总产生不同输出。满足此性质的函数称为 一一对应函数。

定义

称 ff 是一个 一一对应函数，如果当 x1≠x2.x1≠x2. 时，有 f(x1)≠f(x2)f(x1)≠f(x2)。

判断函数是否一一对应的一种方法是观察其图形。若函数一一对应，则不可能有两个不同输入产生相同输出。由此引出水平线检验：在 xyxy-平面上任意画一条水平线，它与图形至多只有一个交点。注意水平线检验与垂直线检验不同：垂直线检验判断图形是否为函数图形，水平线检验判断函数是否一一对应（图 1.38）。

法则: 水平线检验

函数 ff 是一一对应函数当且仅当每条水平线与 ff 的图形相交不超过一次。

两张图。两张图的 x 轴都从 -3 延伸到 3，y 轴都从 -3 延伸到 4。第一张图是函数“f(x) = x 平方”的图形，这是一个抛物线。函数先递减到原点，然后开始递增。x 轴截距和 y 轴截距都在原点。图上还绘制了两条橙色水平线，每条都与函数相交于两点。第二张图是函数“f(x) = x 立方”的图形，这是一个递增的曲线函数。x 轴截距和 y 轴截距都在原点。图上还绘制了三条橙色线，每条线都只与函数相交于一点。
图 1.38 (a) 函数 f(x)=x2f(x)=x2 不是一一对应函数，因为它未能通过水平线检验。(b) 函数 f(x)=x3f(x)=x3 是一一对应函数，因为它通过了水平线检验。

例 1.28

判断函数是否为一一对应函数

对于以下每个函数，使用水平线检验来判断它是否为一一对应函数。

  1. 图。x 轴从 -3 延伸到 11，y 轴从 -3 延伸到 11。该图是一个包含 10 个水平阶梯的阶梯函数。每个阶梯都以实心圆开始，以空心圆结束。第一个阶梯从原点开始，到点 (1, 0) 结束。第二个阶梯从点 (1, 1) 开始，到点 (1, 2) 结束。接下来的 8 个阶梯，每个都比前一个阶梯结束时在 y 方向上高 1 个单位。第十个也是最后一个阶梯从点 (9, 9) 开始，到点 (10, 9) 结束。
  2. 图。x 轴从 -3 延伸到 6，y 轴从 -3 延伸到 6。该图是函数“f(x) = (1/x)”的图形，这是一个弯曲的递减函数。函数的图形从第四象限的 x 轴正下方开始，并开始递减，直到接近 y 轴。由于垂直渐近线，图形在接近 y 轴时持续递减，但从不触及 y 轴。在第一象限，函数的图形从接近 y 轴处开始，并持续递减，直到接近 x 轴。随着函数继续递减，它越来越接近 x 轴，但由于水平渐近线，从不触及 x 轴。

解

  1. 对任意整数 n≥0n≥0，水平线 y=ny=n 与图形交于多点，故此函数非一一对应。
     图。x 轴从 -3 延伸到 11，y 轴从 -3 延伸到 11。该图是一个包含 10 个水平阶梯的阶梯函数。每个阶梯都以实心圆开始，以空心圆结束。第一个阶梯从原点开始，到点 (1, 0) 结束。第二个阶梯从点 (1, 1) 开始，到点 (1, 2) 结束。接下来的 8 个阶梯，每个都比前一个阶梯结束时在 y 方向上高 1 个单位。第十个也是最后一个阶梯从点 (9, 9) 开始，到点 (10, 9) 结束。图上还绘制了两条橙色水平线，每条线都穿过函数的整个阶梯。
  2. 每条水平线至多与图形交一次，故此函数一一对应。
     图。x 轴从 -3 延伸到 6，y 轴从 -3 延伸到 6。该图是函数“f(x) = (1/x)”的图形，这是一个弯曲的递减函数。函数的图形从第四象限的 x 轴正下方开始，并开始递减，直到接近 y 轴。由于垂直渐近线，图形在接近 y 轴时持续递减，但从不触及 y 轴。在第一象限，函数的图形从接近 y 轴处开始，并持续递减，直到接近 x 轴。随着函数继续递减，它越来越接近 x 轴，但由于水平渐近线，从不触及 x 轴。图上还绘制了三条橙色水平线，每条线都只与函数相交于一点。

检验点 1.23

下图所示的函数 ff 是一一对应函数吗？

图。x 轴从 -3 延伸到 4，y 轴从 -3 延伸到 5。该图是函数“f(x) = (x 立方) - x”的图形，这是一个曲线函数。函数先递增，然后递减，再递增。x 轴截距在点 (-1, 0)、(0,0) 和 (1, 0) 处。y 轴截距在原点。

求函数的反函数

下面讨论一一对应函数及其反函数的求法。函数 f 将定义域中的元素映射到值域中的元素；反函数则将值域中的每个元素映射回定义域中对应的元素。因此，要求一一对应函数 f 的反函数，对其值域中的任意 yy，需确定定义域中哪个 xx 满足 f(x)=yf(x)=y。由于 f 是一一对应的，满足条件的 xx 恰好存在一个。解方程 f(x)=yf(x)=y 关于 xx ，即可将 xx 表示为 yy 的函数。所得新函数的定义域为 f 的值域，值域为 f 的定义域，即 f 的反函数，记作 x=f−1(y)x=f−1(y)。按惯例，用 xx 记自变量、yy 记因变量，故常互换 xx 和 yy ，写成 y=f−1(x)y=f−1(x)。此写法便于后面将 f 及其反函数 f−1f−1 画在同一坐标系中。

解题策略

求反函数

  1. 将方程y=f(x)y=f(x)关于xx求解。
  2. 互换变量xx和yy，并写成y=f−1(x).y=f−1(x).。

例 1.29

求反函数

求函数f(x)=3x−4.f(x)=3x−4.的反函数。说明反函数的定义域和值域。验证f−1(f(x))=x.f−1(f(x))=x.。

解

按上述策略进行。

步骤 1. 如果y=3x−4,y=3x−4,，则3x=y+43x=y+4和x=13y+43.x=13y+43.。

步骤 2. 重写为y=13x+43y=13x+43，并令y=f−1(x).y=f−1(x).。

因此，f−1(x)=13x+43.f−1(x)=13x+43.。

由于ff的定义域是(−∞,∞),(−∞,∞),，所以f−1f−1的值域是(−∞,∞).(−∞,∞).。由于ff的值域是(−∞,∞),(−∞,∞),，所以f−1f−1的定义域是(−∞,∞).(−∞,∞).。

验证f−1(f(x))=xf−1(f(x))=x：

f −1 ( f ( x ) ) = f −1 ( 3 x − 4 ) = 1 3 ( 3 x − 4 ) + 4 3 = x − 4 3 + 4 3 = x . f −1 ( f ( x ) ) = f −1 ( 3 x − 4 ) = 1 3 ( 3 x − 4 ) + 4 3 = x − 4 3 + 4 3 = x .

注意，要使f−1(x)f−1(x)成为f(x),f(x),的反函数，对复合函数中内层函数定义域内的所有 x，须同时满足f−1(f(x))=xf−1(f(x))=x和f(f−1(x))=xf(f−1(x))=x。

检验点 1.24

求函数f(x)=3x/(x−2).f(x)=3x/(x−2).的反函数。说明反函数的定义域和值域。

反函数的图形

下面讨论函数ff的图形与其反函数图形的关系。考虑图 1.39所示的ff的图形以及图形上的点(a,b)(a,b)。由于b=f(a),b=f(a),，因此f−1(b)=a.f−1(b)=a.。故绘制f−1,f−1,时，点(b,a)(b,a)必在图形上。由此可知f−1f−1的图形是ff的图形关于直线y=x.y=x.的反射。

两张图。第一张图是“y = f(x)”的图像，这是一个弯曲的增函数，随着x的增加，其增长速度加快。点(a, b)位于第一象限的函数图形上。第二张图也绘制了带有(a, b)点的“y = f(x)”的图形，但同时也绘制了函数“y = f⁻¹(x)”的图形，这是一个弯曲的增函数，随着x的增加，其增长速度减慢。这个函数包含点(b, a)。除了这两个函数，还有一条绘制有方程“y =x”的对角虚线，这表明“f(x)”和“f⁻¹(x)”是关于直线“y =x”的镜像。
图 1.39 (a) 函数ff的图形显示点(a,b)(a,b)在f.f.的图形上。(b) 由于(a,b)(a,b)在f,f,的图形上，点(b,a)(b,a)在f−1.f−1.的图形上。f−1f−1的图形是ff的图形关于直线y=x.y=x.的反射。

例 1.30

绘制反函数的图形

对于下图中ff的图形，通过绘制直线y=xy=x并利用对称性，绘制f−1f−1的图形。确定f−1.f−1.的定义域和值域。

图。x轴范围从-2到2，y轴范围从0到2。该图是函数“f(x) = √(x + 2)”的图像，这是一个递增的曲线函数。该函数从点(-2, 0)开始。x轴截距在(-2, 0)处，y轴截距在大约(0, 1.4)处。

解

将图形关于直线y=x.y=x.反射。f−1f−1的定义域是[0,∞).[0,∞).。f−1f−1的值域是[−2,∞).[−2,∞).。利用前述策略可验证反函数为f−1(x)=x2−2,f−1(x)=x2−2,，如图所示。

图。x轴范围从-2到2，y轴范围从-2到2。该图是两个函数的图像。第一个函数是“f(x) = √(x + 2)”，这是一个递增的曲线函数。该函数从点(-2, 0)开始。x轴截距在(-2, 0)处，y轴截距在大约(0, 1.4)处。第二个函数是“f⁻¹(x) = x² - 2”，这是一个递增的曲线函数，从点(0, -2)开始。x轴截距在大约(1.4, 0)处，y轴截距在(0, -2)处。除了这两个函数，还有一条绘制有方程“y =x”的对角虚线，这表明“f(x)”和“f⁻¹(x)”是关于直线“y =x”的镜像。

检验点 1.25

利用反函数的对称性质，绘制f(x)=2x+3f(x)=2x+3的图形及其反函数的图形。

限制定义域

如前所述，f(x)=x2f(x)=x2不存在反函数，因其非一一对应。然而，可取ff定义域的一个子集使之成为一一对应的。该子集称为限制定义域 (restricted domain)。通过限制f,f,的定义域，可定义新函数gg，使得gg的定义域是ff的限制定义域，并且对于g.g.定义域中的所有xx，都有g(x)=f(x)g(x)=f(x)。此时可在该定义域上定义gg的反函数。例如，由于f(x)=x2f(x)=x2在区间[0,∞),[0,∞),上是一一对应的，可定义新函数gg，使得gg的定义域是[0,∞)[0,∞)，并且对于其定义域中的所有xx，都有g(x)=x2g(x)=x2。由于gg是一一对应函数，其反函数由公式g−1(x)=x.g−1(x)=x.给出。而函数f(x)=x2f(x)=x2在定义域(−∞,0].(−∞,0].上也是一一对应的。故亦可定义新函数hh，使得hh的定义域是(−∞,0](−∞,0]，并且对于h.h.定义域中的所有xx，都有h(x)=x2h(x)=x2。那么hh亦为一一对应函数，其反函数由公式h−1(x)=−xh−1(x)=−x给出（图1.40）。

两张图。两张图的x轴范围从-2到5，y轴范围从-2到5。第一张图是两个函数的图像。第一个函数是“g(x) = x²”，这是一个递增的曲线函数，从点(0, 0)开始。对于较大的x值，该函数以更快的速度增长。第二个函数是“g⁻¹(x) = √x”，这是一个递增的曲线函数，从点(0, 0)开始。对于较大的x值，该函数以较慢的速度增长。第一个函数是“h(x) = x²”，这是一个递减的曲线函数，在点(0, 0)结束。对于较大的x值，该函数以较慢的速度递减。第二个函数是“h⁻¹(x) = -√x”，这是一个递增的曲线函数，从点(0, 0)开始。对于较大的x值，该函数以较慢的速度递减。除了这两个函数，还有一条绘制有方程“y =x”的对角虚线，这表明“f(x)”和“f⁻¹(x)”是关于直线“y =x”的镜像。
图 1.40 (a) 将 g(x)=x2g(x)=x2 限制在 [0,∞)[0,∞) 上时，g−1(x)=x.g−1(x)=x. (b) 将 h(x)=x2h(x)=x2 限制在 (−∞,0](−∞,0] 上时，h−1(x)=−x.h−1(x)=−x.。

例 1.31

限制定义域

考虑函数f(x)=(x+1)2.f(x)=(x+1)2.。

  1. 绘制ff的图形，并使用水平线检验来表明ff不是一一对应的。
  2. 证明ff在限制定义域[−1,∞).[−1,∞).上是一一对应的。确定ff在该限制定义域上的反函数的定义域和值域，并求出f−1.f−1.的公式。

解

  1. ff的图形是y=x2y=x2的图形向左平移1个单位。由于存在一条水平线与图形相交不止一次，因此ff不是一一对应的。
    图。x轴范围从-6到6，y轴范围从-2到10。该图是函数“f(x) = (x + 1)²”的图像，这是一个抛物线。该函数递减直到点(-1, 0)，然后开始递增。x轴截距在点(-1, 0)处，y轴截距在点(0, 1)处。图上还绘制了一条水平虚线，它与函数在两点相交。
  2. 在区间[−1,∞),f[−1,∞),f上，[−1,∞),f[−1,∞),f是一一对应的。
    图。x轴范围从-6到6，y轴范围从-2到10。该图是函数“f(x) = (x + 1)²”在区间[1, infinity)上的图像。该函数从点(-1, 0)开始并递增。x轴截距在点(-1, 0)处，y轴截距在点(0, 1)处。
    f−1f−1的定义域和值域分别由f,f,的值域和定义域给出。因此，f−1f−1的定义域是[0,∞)[0,∞)，f−1f−1的值域是[−1,∞).[−1,∞).。为了求f−1,f−1,的公式，将方程y=(x+1)2y=(x+1)2关于xx求解。如果y=(x+1)2,y=(x+1)2,，则x=−1±y.x=−1±y.。由于定义域限制在x≥−1,x≥−1,的区间，需±y≥0.±y≥0.。因此，x=−1+y.x=−1+y.。互换xx和y,y,，得y=−1+xy=−1+x，故f−1(x)=−1+x.f−1(x)=−1+x.。

检验点 1.26

考虑将f(x)=1/x2f(x)=1/x2限制在定义域(−∞,0).(−∞,0).上。验证ff在该定义域上是一一对应的。确定ff的反函数的定义域和值域，并求出f−1.f−1.的公式。

反三角函数

六个基本三角函数均为周期函数，故非一一对应。但若将定义域限制在函数一一对应的某个区间上，即可定义其反函数。以正弦函数为例（图 1.34），正弦函数在无限多个区间上一一对应，通常约定将定义域限制在区间 [−π2,π2].[−π2,π2]. 上。由此在定义域 [−1,1][−1,1] 上定义反正弦函数：对区间 [−1,1],[−1,1], 中的任意 xx，反正弦函数给出区间 [−π2,π2][−π2,π2] 中满足 sinθ=x.sinθ=x. 的角 θθ 。类似地，限制其余三角函数的定义域可定义反三角函数 (inverse trigonometric functions)，即在给定区间内求满足指定三角函数值的角。

定义

反正弦函数，记作 sin−1sin−1 或 arcsin，以及反余弦函数，记作 cos−1cos−1 或 arccos，在定义域 D={x|−1≤x≤1}D={x|−1≤x≤1} 上定义如下：

sin−1(x)=y当且仅当sin(y)=x且−π2≤y≤π2;cos−1(x)=y当且仅当cos(y)=x且0≤y≤π.sin−1(x)=y当且仅当sin(y)=x且−π2≤y≤π2;cos−1(x)=y当且仅当cos(y)=x且0≤y≤π.
(1.12)

反正切函数，记作 tan−1tan−1 或 arctan，以及反余切函数，记作 cot−1cot−1 或 arccot，在定义域 D={x|−∞<x<∞}D={x|−∞<x<∞} 上定义如下：

tan−1(x)=y当且仅当tan(y)=x且−π2<y<π2;cot−1(x)=y当且仅当cot(y)=x且0<y<π.tan−1(x)=y当且仅当tan(y)=x且−π2<y<π2;cot−1(x)=y当且仅当cot(y)=x且0<y<π.
(1.13)

反余割函数，记作 csc−1csc−1 或 arccsc，以及反正割函数，记作 sec−1sec−1 或 arcsec，在定义域 D={x||x|≥1}D={x||x|≥1} 上定义如下：

csc−1(x)=y当且仅当csc(y)=x且−π2≤y≤π2,y≠0;sec−1(x)=y当且仅当sec(y)=x且0≤y≤π,y≠π/2.csc−1(x)=y当且仅当csc(y)=x且−π2≤y≤π2,y≠0;sec−1(x)=y当且仅当sec(y)=x且0≤y≤π,y≠π/2.
(1.14)

绘制反三角函数的图形时，只需将限制定义域后的三角函数图形关于直线 y=xy=x 作反射即可（图 1.41）。

六个图形的图像。第一个图形是函数“f(x) = arcsin(x)”的图像，它是一个递增的曲线函数。该函数从点 (-1, -(pi/2)) 开始，递增直到点 (1, (pi/2)) 结束。x 轴截距和 y 轴截距都在原点。第二个图形是函数“f(x) = arccos(x)”的图像，它是一个递减的曲线函数。该函数从点 (-1, pi) 开始，递减直到点 (1, 0) 结束。x 轴截距在点 (1, 0)。y 轴截距在点 (0, (pi/2))。第三个图形是函数“f(x) = arctan(x)”的图像，它是一个递增的曲线函数。该函数从接近水平线“y = -(pi/2)”处开始，递增直到接近“y = (pi/2)”。该函数从不与这两条线相交，它始终保持在它们之间——它们是水平渐近线。x 轴截距和 y 轴截距都在原点。第四个图形是函数“f(x) = arccot(x)”的图像，它是一个递减的曲线函数。该函数从略低于水平线“y = pi”处开始，递减直到接近 x 轴。该函数从不与这两条线相交，它始终保持在它们之间——它们是水平渐近线。第五个图形是函数“f(x) = arccsc(x)”的图像，它是一个递减的曲线函数。该函数从略低于 x 轴处开始，然后递减直到达到闭合圆点 (-1, -(pi/2))。然后函数在点 (1, (pi/2)) 处再次开始，从那里开始递减并趋近 x 轴，但从不触及 x 轴。在 x 轴处有一条水平渐近线。第六个图形是函数“f(x) = arcsec(x)”的图像，它是一个递增的曲线函数。该函数从略高于水平线“y = (pi/2)”处开始，然后递增直到达到闭合圆点 (-1, pi)。然后函数在点 (1, 0) 处再次开始，从那里开始递增并趋近水平线“y = (pi/2)”，但从不触及该线。在“y = (pi/2)”处有一条水平渐近线。
图 1.41 每个反三角函数的图形都是其对应的受限三角函数关于直线 y=xy=x 的反射。

媒体

访问以下网站，了解更多关于函数及其反函数的比较。

反三角函数的值是角。例如，计算 cos−1(12),cos−1(12),，需找角 θθ 使得 cosθ=12.cosθ=12.。满足此条件的角有很多，但由 cos−1,cos−1, 的定义，角 θθ 还须落在区间 [0,π].[0,π]. 内，故 cos−1(12)=π3.cos−1(12)=π3.。

下面讨论三角函数与反函数的复合。考虑两个表达式 sin(sin−1(22))sin(sin−1(22)) 和 sin−1(sin(π)).sin−1(sin(π)).。第一个表达式化简为：

sin(sin−1(22))=sin(π4)=22.sin(sin−1(22))=sin(π4)=22.

第二个表达式为

sin−1(sin(π))=sin−1(0)=0.sin−1(sin(π))=sin−1(0)=0.

既然反函数应”撤销”原函数的运算，为什么 sin−1(sin(π))≠π?sin−1(sin(π))≠π? ？回顾反函数的定义：函数 ff 及其反函数 f−1f−1 满足：对 f−1f−1 定义域中的所有 yy，均有 f(f−1(y))=yf(f−1(y))=y；对于 f,f, 定义域中的所有 xx，有 f−1(f(x))=xf−1(f(x))=x。关键在于 sin−1,sin−1, 是定义在定义域 [−π2,π2].[−π2,π2]. 上的受限正弦函数的反函数。故对区间 [−π2,π2],[−π2,π2], 中的 xx，sin−1(sinx)=x.sin−1(sinx)=x. 成立。但对此区间之外的 xx 值，尽管 sin−1(sinx)sin−1(sinx) 对所有实数 x.x. 都有定义，此等式不成立。

那么 sin(sin−1y)?sin(sin−1y)? 呢？是否也有同样的问题？答案是否定的。因 sin−1sin−1 的定义域是区间 [−1,1],[−1,1],，可知若 −1≤y≤1−1≤y≤1，则 sin(sin−1y)=ysin(sin−1y)=y；对其他 y.y. 值，该表达式无意义。总结如下：

sin(sin−1y)=y若−1≤y≤1sin(sin−1y)=y若−1≤y≤1

且

sin−1(sinx)=x若−π2≤x≤π2.sin−1(sinx)=x若−π2≤x≤π2.

类似地，对于余弦函数，

cos(cos−1y)=y若−1≤y≤1cos(cos−1y)=y若−1≤y≤1

且

cos−1(cosx)=x若0≤x≤π.cos−1(cosx)=x若0≤x≤π.

其余三角函数及其反函数亦有类似性质。

例 1.32

计算涉及反三角函数的表达式

计算下列各表达式。

  1. sin−1(−32)sin−1(−32)
  2. tan(tan−1(−13))tan(tan−1(−13))
  3. cos−1(cos(5π4))cos−1(cos(5π4))
  4. sin−1(cos(2π3))sin−1(cos(2π3))

解

  1. 计算 sin−1(−3/2)sin−1(−3/2) 就是要找到一个角 θθ，使得 sinθ=−3/2sinθ=−3/2 且 −π/2≤θ≤π/2.−π/2≤θ≤π/2.。角 θ=−π/3θ=−π/3 满足这两个条件。因此，sin−1(−3/2)=−π/3.sin−1(−3/2)=−π/3.。
  2. 先利用 tan−1(−1/3)=−π/6.tan−1(−1/3)=−π/6.，则tan(-π/6)=−1/3.tan(-π/6)=−1/3.。因此，tan(tan−1(−1/3))=−1/3.tan(tan−1(−1/3))=−1/3.。
  3. 要计算 cos−1(cos(5π/4)),cos−1(cos(5π/4)),，首先使用 cos(5π/4)=−2/2.cos(5π/4)=−2/2. 。然后需要找到一个角 θθ，使得 cos(θ)=−2/2cos(θ)=−2/2 且 0≤θ≤π.0≤θ≤π.。由于 3π/43π/4 满足这两个条件，我们有 cos-1(cos(5π/4))=cos−1(−2/2)=3π/4.cos-1(cos(5π/4))=cos−1(−2/2)=3π/4.。
  4. 由于 cos(2π/3)=−1/2,cos(2π/3)=−1/2,，需计算 sin−1(−1/2).sin−1(−1/2).。也就是说，需找一个角 θθ，使得 sin(θ)=−1/2sin(θ)=−1/2 且 −π/2≤θ≤π/2.−π/2≤θ≤π/2.。由于 −π/6−π/6 满足这两个条件，故 sin−1(cos(2π/3))=sin−1(−1/2)=−π/6.sin−1(cos(2π/3))=sin−1(−1/2)=−π/6.。

学生项目

函数的最大值

在科学、工程和数学的许多领域中，了解函数能取得的最大值很重要，即便不知道某一时刻的确切值。例如，描述屋顶横梁强度的函数需给出横梁不断裂时所能承受的最大重量；描述火车速度的函数需给出不脱轨的最大速度。安全设计往往依赖于对最大值的了解。

本项目给出一个简单示例：函数的最大值取决于方程中的两个系数，表明最大值可依赖于自变量 x 以外的因素。

  1. 考虑函数 y=sinx+cosx.y=sinx+cosx. 在图 1.42 中的图形。描述其整体形状。它是周期性的吗？你是如何知道的？
    一个图形的图像。x 轴从 -4 到 4，y 轴从 -4 到 4。该图形是函数“y = sin(x) + cos(x)”的图像，它是一个弯曲的波浪函数。该函数的图形递减直到达到近似点 (-(3pi/4), -1.4)，然后递增直到近似点 ((pi/4), 1.4)，之后再次开始递减。该函数在此图形上显示的 x 轴截距在 (-(5pi/4), 0)、(-(pi/4), 0) 和 ((3pi/4), 0)。y 轴截距在 (0, 1)。
    图 1.42 y=sinx+cosx.y=sinx+cosx. 的图形

    使用图形计算器或其他绘图设备，估计图形最大点（第一个 x > 0 的点）的 xx 值和 yy 值。将 xx 值表示为 π 的倍数可能会有所帮助。
  2. 现在考虑形式为 y=Asinx+Bcosxy=Asinx+Bcosx 的其他图形，其中 A 和 B 取不同值。绘制 A = 2 和 B = 1 时的图形，并找到最大点的 xx 值和 y 值。（如果可能，请记住将 x 值表示为 π 的倍数。）最大点的位置发生了变化吗？
  3. 对 A = 1, B = 2 重复上述步骤。这与你在第 (2) 部分中的结果有什么关系？
  4. 完成下表，并为 A 和 B 添加一些你自己的选择：
    A B x y A B x y
    0 1 33 1
    1 0 1 33
    1 1 12 5
    1 2 5 12
    2 1
    2 2
    3 4
    4 3
  5. 试着找出 y 值的公式。
  6. xx 值的公式稍微难一些。表格中最有用的点是 (1,1),(1,3),(3,1).(1,1),(1,3),(3,1).（提示：考虑反三角函数。）
  7. 如果你已找到第 (5) 和 (6) 部分的公式，请验证二者的一致性。即，将你求得的 xx 值公式代入 y=Asinx+Bcosxy=Asinx+Bcosx 并化简，以得到你求得的 yy 值公式。

第1.4节 练习

下列练习中，用水平线检验 判断每个给定图形 是否为一一对应函数。

183.
一张图形。x轴范围从-4到4，y轴范围从-4到4。该图形表示一个函数，它先直线递减直到原点，然后从原点开始直线递增。x轴截距和y轴截距都在原点。
184.
一张图形。x轴范围从0到7，y轴范围从-4到4。该图形表示一个始终递增的函数。x轴截距大约在点(1, 0)处，未显示y轴截距。
185.
一张图形。x轴范围从-4到4，y轴范围从-4到4。该图形表示一个类似半圆的函数，是圆的上半部分。函数从点(-3, 0)开始递增直到点(0, 3)，然后开始递减直到点(3, 0)结束。x轴截距在(-3, 0)和(3, 0)处。y轴截距在(0, 3)处。
186.
一张图形。x轴范围从-4到4，y轴范围从-4到4。该图形表示一个曲线函数。函数递增直到原点，然后递减直到点(2, -4)，之后再次开始递增。x轴截距在原点和点(3, 0)处。y轴截距在原点。
187.
一张图形。x轴范围从-4到4，y轴范围从-4到4。该图形表示一个始终递增的曲线函数。x轴截距和y轴截距都在原点。
188.
一张图形。x轴范围从-4到7，y轴范围从-4到4。该图形表示一个函数，它先直线递增直到近似点(?, 3)。此点之后，函数变为水平直线。x轴截距和y轴截距都在原点。

下列练习中，a. 求反函数，b. 求反函数的定义域 和值域。

189.

f ( x ) = x 2 − 4 , x ≥ 0 f ( x ) = x 2 − 4 , x ≥ 0

190.

f ( x ) = x − 4 3 f ( x ) = x − 4 3

191.

f ( x ) = x 3 + 1 f ( x ) = x 3 + 1

192.

f ( x ) = ( x − 1 ) 2 , x ≤ 1 f ( x ) = ( x − 1 ) 2 , x ≤ 1

193.

f ( x ) = x − 1 f ( x ) = x − 1

194.

f ( x ) = 1 x + 2 f ( x ) = 1 x + 2

下列练习中，利用函数ff的图形绘制其反函数的图形。

195.
一张图形。x轴范围从-4到4，y轴范围从-4到4。该图形表示一个标记为“f”的递增直线函数，它始终递增。x轴截距在(-2, 0)处，y轴截距在(0, 1)处。
196.
一张图形。x轴范围从-4到4，y轴范围从-4到4。该图形表示一个标记为“f”的曲线递减函数。随着函数递减，它趋近于x轴但从不接触。该函数没有x轴截距，y轴截距在(0, 1)处。
197.
一张图形。x轴范围从-8到8，y轴范围从-8到8。该图形表示一个标记为“f”的递增直线函数。函数从点(0, 1)开始直线递增直到点(4, 6)。此点之后，函数继续递增，但速率比之前慢，并趋近于点(8, 8)。该函数没有x轴截距，y轴截距在(0, 1)处。
198.
一张图形。x轴范围从-4到4，y轴范围从-4到4。该图形表示一个标记为“f”的曲线递减函数，它终止于原点，原点既是x轴截距也是y轴截距。函数上的另一个点是(-4, 2)。

下列练习中，利用复合运算判断哪些函数对互为反函数。

199.

f ( x ) = 8 x , g ( x ) = x 8 f ( x ) = 8 x , g ( x ) = x 8

200.

f ( x ) = 8 x + 3 , g ( x ) = x − 3 8 f ( x ) = 8 x + 3 , g ( x ) = x − 3 8

201.

f ( x ) = 5 x − 7 , g ( x ) = x + 5 7 f ( x ) = 5 x − 7 , g ( x ) = x + 5 7

202.

f ( x ) = 2 3 x + 2 , g ( x ) = 3 2 x + 3 f ( x ) = 2 3 x + 2 , g ( x ) = 3 2 x + 3

203.

f ( x ) = 1 x − 1 , x ≠ 1 , g ( x ) = 1 x + 1 , x ≠ 0 f ( x ) = 1 x − 1 , x ≠ 1 , g ( x ) = 1 x + 1 , x ≠ 0

204.

f ( x ) = x 3 + 1 , g ( x ) = ( x − 1 ) 1 / 3 f ( x ) = x 3 + 1 , g ( x ) = ( x − 1 ) 1 / 3

205.

f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x ≥ −1 , g ( x ) = −1 + x , x ≥ 0 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x ≥ −1 , g ( x ) = −1 + x , x ≥ 0

206.

f ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , g ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 f ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , g ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2

下列练习中，求各式的精确值。

207.

tan −1 ( 3 3 ) tan −1 ( 3 3 )

208.

cos −1 ( − 2 2 ) cos −1 ( − 2 2 )

209.

cot −1 ( 1 ) cot −1 ( 1 )

210.

sin −1 ( −1 ) sin −1 ( −1 )

211.

cos −1 ( 3 2 ) cos −1 ( 3 2 )

212.

cos ( tan −1 ( 3 ) ) cos ( tan −1 ( 3 ) )

213.

sin ( cos −1 ( 2 2 ) ) sin ( cos −1 ( 2 2 ) )

214.

sin −1 ( sin ( π 3 ) ) sin −1 ( sin ( π 3 ) )

215.

tan −1 ( tan ( − π 6 ) ) tan −1 ( tan ( − π 6 ) )

216.

函数C=T(F)=(5/9)(F−32)C=T(F)=(5/9)(F−32)将华氏度转换为摄氏度。

  1. 求反函数F=T−1(C)F=T−1(C)
  2. 该反函数有何实际意义？
217.

[T] 动脉中血液的速度 V（单位：厘米/秒）可以用距动脉中心x厘米处的函数来建模：V=f(x)=500(0.04−x2)V=f(x)=500(0.04−x2)，其中0≤x≤0.2.0≤x≤0.2.

  1. 求x=f−1(V).x=f−1(V).
  2. 解释该反函数的实际意义。
  3. 当速度分别为15厘米/秒、10厘米/秒和5厘米/秒时，求到动脉中心的距离。
218.

将美国服装尺码转换为欧洲尺码的函数为D(x)=2x+24.D(x)=2x+24.

  1. 求与美国尺码6、8、10和12对应的欧洲服装尺码。
  2. 求将欧洲服装尺码转换为美国服装尺码的函数。
  3. 使用b部分的结果，求与欧洲尺码46、52、62和70对应的美国服装尺码。
219.

[T] 从湖中清除毒素的成本由以下函数建模：

C(p)=75p/(85−p),C(p)=75p/(85−p),，其中CC是成本（单位：千美元），pp是小湖中毒素的量（以十亿分之几 [ppb] 衡量）。此模型仅在毒素量小于85 ppb时有效。

  1. 求从湖中清除25 ppb、40 ppb和50 ppb毒素的成本。
  2. 求反函数。c. 使用b部分的结果，确定花费50,000美元可清除的毒素量。
220.

[T] 一辆赛车以如下速度加速：

v(t)=254t+54,v(t)=254t+54,，其中v是时间t时的速度（单位：英尺/秒）。

  1. 求赛车在10秒时的速度。
  2. 求反函数。
  3. 使用b部分的结果，确定赛车达到150英尺/秒的速率所需的时间。
221.

[T] 飞机的马赫数M是其速率与声速之比。当飞机在恒定高度飞行时，马赫角由μ=2sin−1(1M).μ=2sin−1(1M).给出。

求以下马赫数对应的马赫角（精确到最近的度数）。

一张飞机的俯视图。飞机正前方是一个侧向的“V”形，飞机直接飞入“V”形的开口。“V”形标记为“马赫波”。有两支带标签的箭头。第一支箭头从飞机机头指向“V”形的拐角。这支箭头标记为“速度 = v”。第二支箭头从飞机机头斜向指向“V”形上半部分的边缘。这支箭头标记为“声速 = a”。这两支箭头之间是一个标记为“马赫角”的角。图片中还有文字显示“马赫数 = M > 1.0”。
  1. M=1.4M=1.4
  2. M=2.8M=2.8
  3. M=4.3M=4.3
222.

[T] 利用 μ=2sin−1(1M),μ=2sin−1(1M), 找出下列角度的马赫数 M。

  1. μ=π6μ=π6
  2. μ=2π7μ=2π7
  3. μ=3π8μ=3π8
223.

[T] 美国北部城市的平均温度（摄氏度）可以用函数

T(x)=5+18sin[π6(x−4.6)],T(x)=5+18sin[π6(x−4.6)], 建模，其中 xx 是以月为单位的时间，x=1.00x=1.00 对应于1月1日。确定平均温度为 21°C.21°C. 时的日期（月份和日期）。将答案的整数部分作为月份，并从小数部分计算出该月的日期。

224.

[T] 码头的水深（英尺）随潮汐涨落而变化。它可以用函数

D(t)=5sin(π6t−7π6)+8,D(t)=5sin(π6t−7π6)+8, 建模，其中 tt 是午夜后的小时数。确定午夜后水深为 11.75 英尺的第一个时间。

225.

[T] 一个做简谐运动的物体可以用函数

s(t)=−6cos(πt2),s(t)=−6cos(πt2), 建模，其中 ss 以英寸为单位，tt 以秒为单位。求位移为 4.5 英寸时的最早时刻。

226.

[T] 当地美术馆有一幅高 3 英尺的肖像画，挂在比普通人视线高 2.5 英尺的地方。视角 θθ 可以用函数

θ=tan−15.5x−tan−12.5x,θ=tan−15.5x−tan−12.5x, 建模，其中 xx 是到肖像画的距离（英尺）。当观者距离肖像画 4 英尺时，求视角的大小。

227.

[T] 使用计算器计算 tan−1(tan(2.1))tan−1(tan(2.1)) 和 cos−1(cos(2.1)).cos−1(cos(2.1)).。解释每个结果。

228.

[T] 使用计算器计算 sin(sin−1(−2))sin(sin−1(−2)) 和 tan(tan−1(−2)).tan(tan−1(−2)).。解释每个结果。