物理应用 - 微积分：第一卷

6.5 物理应用

学习目标

6.5.1 根据一维物体的线密度函数确定其质量。
6.5.2 根据二维圆形物体的径向密度函数确定其质量。
6.5.3 计算沿直线作用的变力所做的功。
6.5.4 计算将液体从一个高度泵送到另一个高度所做的功。
6.5.5 求作用在浸没的垂直板上的静水压力。

在本节中，我们将研究积分的一些物理应用。我们首先从密度函数计算质量，然后转向功，最后研究静水压力。

质量与密度

我们可以使用积分来推导基于密度函数计算质量的公式。首先考虑一根细杆或细线。将杆沿 $x 轴，$ 放置，杆的左端在 $x = a$ 处，右端在 $x = b$ 处（图 6.48）。注意，尽管图中杆具有一定的厚度，但出于数学目的，我们假设杆足够细，可以视为一维物体。

图 6.48 我们可以对其密度函数积分，计算沿

x 轴

排列的细杆的质量。

如果杆具有以单位长度质量表示的常数密度 $ρ,$ ，则杆的质量就是密度与杆长度的乘积： $(b - a) ρ .$ 。不过，如果杆的密度不是常数，问题就会变得更具挑战性。当杆的密度随点变化时，我们使用线性密度函数 $ρ (x),$ 来表示杆在任意点 $x .$ 的密度。设 $ρ (x)$ 是一个可积的线性密度函数。现在，对于 $i = 0, 1, 2,…, n$ ，设 $P = {x_{i}}$ 是区间 $[a, b],$ 的一个等分分割，并且对于 $i = 1, 2,…, n$ ，选择一个任意点 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ 。图 6.49 显示了杆的一个代表性线段。

此图包含x轴和y轴。x轴上有一个圆柱体，始于x=a，止于x=b。圆柱体已被分成若干段。中间的一段始于xsub(i-1)，止于xsubi。

图 6.49 杆的一个代表性线段。

杆从 $x_{i - 1}$ 到 $x_{i}$ 的线段的质量 $m_{i}$ 近似为

m_{i} \approx ρ (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1}) = ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

将所有线段的质量相加，得到整个杆的质量的近似值：

m = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

这是一个黎曼和。当 $n \to \infty,$ 时取极限，可得杆的精确质量表达式：

m = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{a}^{b} ρ (x) d x .

我们将此结果陈述为以下定理。

定理 6.7

一维物体的质量-密度公式

给定一根沿 $x 轴$ 放置在区间 $[a, b],$ 上的细杆，设 $ρ (x)$ 表示在区间内点 x 处杆的密度函数。则杆的质量由下式给出

m = \int_{a}^{b} ρ (x) d x .

(6.10)

我们在下一个例题中应用此定理。

例 6.23

根据线密度计算质量

考虑一根沿 x 轴放置在区间 $[π / 2, π] .$ 上的细杆。如果杆的密度由 $ρ (x) = sin x,$ 给出，那么杆的质量是多少？

解

直接应用公式 6.10，可得

m = \int_{a}^{b} ρ (x) d x = \int_{π / 2}^{π} sin x d x = {− cos x |}_{π / 2}^{π} = 1 .

检验点 6.23

考虑一根沿 x 轴放置在区间 $[1, 3] .$ 上的细杆。如果杆的密度由 $ρ (x) = 2 x^{2} + 3,$ 给出，那么杆的质量是多少？

现在我们将这个概念扩展到求半径为 $r .$ 的二维圆盘的质量。与我们在一维情况下研究的杆一样，这里我们假设圆盘足够薄，出于数学目的，可以将其视为二维物体。我们假设密度以单位面积质量（称为面积密度）给出，并进一步假设密度仅沿圆盘的半径（称为径向密度）变化。我们将圆盘放置在 $x y$ 平面中，中心位于原点。这样，圆盘的密度可以视为 $x,$ 的函数，记作 $ρ (x) .$ 。我们假设 $ρ (x)$ 是可积的。由于密度是 $x,$ 的函数，我们沿 $x 轴$ 对区间 $[0, r]$ 进行分割。对于 $i = 0, 1, 2,…, n,$ ，设 $P = {x_{i}}$ 是区间 $[0, r],$ 的一个等分分割，并且对于 $i = 1, 2,…, n,$ ，选择一个任意点 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ 。现在，使用这个分割将圆盘分成薄的（二维）垫圈。圆盘和代表性垫圈如下图所示。

此图包含两张图片。第一张标有“a”，是一个半径为r的圆。圆心标为0。圆还包含从0开始，穿过圆的正x轴。第二张图标有“b”。它有两个同心圆，圆心在0，x轴从0向外延伸。同心圆形成一个垫圈。垫圈的宽度从xsub(i-1)到xsubi，并标有delta x。

图 6.50 (a) xy 平面中的薄圆盘。(b) 一个代表性垫圈。

我们现在近似计算垫圈的密度和面积，以得到近似质量 $m_{i} .$ 。注意，垫圈的面积由下式给出

\begin{matrix} A_{i} & = π {(x_{i})}^{2} - π {(x_{i - 1})}^{2} \\ = π [x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}] \\ = π (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = π (x_{i} + x_{i - 1}) Δ x . \end{matrix}

你可能还记得，当我们用柱壳法计算体积时，也有一个类似的表达式。与那时一样，我们使用 $x_{i}^{*} \approx (x_{i} + x_{i - 1}) / 2$ 近似垫圈的平均半径。可得

A_{i} = π (x_{i} + x_{i - 1}) Δ x \approx 2 π x_{i}^{*} Δ x .

用 $ρ (x_{i}^{*})$ 近似垫圈的密度，可近似计算垫圈的质量为

m_{i} \approx 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

将所有垫圈的质量相加，我们看到整个圆盘的质量 $m$ 近似为

m = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

我们再次认识到这是一个黎曼和，并当 $n \to \infty .$ 时取极限，可得

m = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x .

我们将以上结果归纳为如下定理。

定理 6.8

圆形物体的质量-密度公式

设 $ρ (x)$ 是一个可积函数，表示半径为 $r .$ 的圆盘的径向密度。则圆盘的质量由下式给出

m = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x .

(6.11)

例 6.24

根据径向密度计算质量

设 $ρ (x) = \sqrt{x}$ 表示圆盘的径向密度。计算半径为 4 的圆盘的质量。

解

应用公式，可得

\begin{matrix} m & = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x \\ = \int_{0}^{4} 2 π x \sqrt{x} d x = 2 π \int_{0}^{4} x^{3 / 2} d x \\ = 2 π {\frac{2}{5} x^{5 / 2} |}_{0}^{4} = \frac{4 π}{5} [32] = \frac{128 π}{5} . \end{matrix}

检验点 6.24

设 $ρ (x) = 3 x + 2$ 表示圆盘的径向密度。计算半径为 2 的圆盘的质量。

力所做的功

现在我们考虑功。在物理学中，功与力有关，力通常被直观地定义为对物体的推或拉。当力使物体移动时，我们说力对物体做了功。换句话说，功可以被认为是移动物体所需的能量。根据物理学，当力是恒力时，功可以表示为力与距离的乘积。

在英制单位中，力的单位是磅，距离的单位是英尺，所以功以英尺-磅表示。在公制单位中，使用千克和米。一牛顿是使 $1$ 千克质量以 $1$ 米/秒² 的速率加速所需的力。因此，最常见的功的单位是牛顿-米。这个单位也称为焦耳。两者都被定义为千克乘以米平方除以秒平方 $(kg \cdot m^{2} / s^{2}) .$ 。

当力是恒力时，事情就相当简单。不过，力很少是恒定的。例如，压缩（或拉伸）弹簧所做的功，取决于弹簧已经被压缩（或拉伸）了多远。我们将在本节后面更详细地讨论弹簧。

假设我们有一个变力 $F (x)$ ，它使物体沿 x 轴正方向从点 $a$ 移动到点 $b .$ 。为了计算所做的功，我们分割区间 $[a, b]$ 并估计每个子区间上所做的功。因此，对于 $i = 0, 1, 2,…, n,$ ，设 $P = {x_{i}}$ 是区间 $[a, b],$ 的一个等分分割，并且对于 $i = 1, 2,…, n,$ ，选择一个任意点 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ 。为了计算将物体从点 $x_{i - 1}$ 移动到点 $x_{i},$ 所做的功，我们假设力在该区间上大致恒定，并用 $F (x_{i}^{*})$ 近似力。于是，在区间 $[x_{i - 1}, x_{i}],$ 上所做的功由下式给出

W_{i} \approx F (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1}) = F (x_{i}^{*}) Δ x .

所以，在区间 $[a, b]$ 上所做的功近似为

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} F (x_{i}^{*}) Δ x .

当 $n \to \infty$ 时取此表达式的极限，可得功的精确值：

W = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} F (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{a}^{b} F (x) d x .

于是，我们可以将功定义如下。

定义

如果一个变力 $F (x)$ 使物体沿 x 轴正方向从点 a 移动到点 b，则对物体所做的功为

W = \int_{a}^{b} F (x) d x .

(6.12)

注意，如果 F 是常数，则积分计算结果为 $F \cdot (b - a) = F \cdot d,$ ，这是我们在本节开头陈述的公式。

现在我们来看一个具体的例子，即压缩或拉伸弹簧所做的功。考虑一个连接到水平弹簧的方块。当弹簧拉伸和压缩时，方块来回移动。尽管在现实世界中我们必须考虑方块与其所放置表面之间的摩擦力，但这里我们忽略摩擦力，并假设方块放置在无摩擦表面上。当弹簧处于其自然长度（静止）时，该系统处于平衡状态。在这种状态下，弹簧既没有拉伸也没有压缩，并且在这个平衡位置，方块在没有外力作用下不会移动。我们将系统定向为 $x = 0$ 对应于平衡位置（见下图）。

此图包含三张图片。第一张是x轴。左侧是一个垂直方块。连接到方块的是一个弹簧，其末端在y轴上，并标有x=0。该图片标有“平衡”。第二张图片是同一个弹簧，其末端在y轴之前。它标有x<0，并标有“压缩”。第三张图片是同一个弹簧，其末端在y轴之外。它标有x>0，并标有“拉伸”。

图 6.51 连接到水平弹簧的方块处于平衡、压缩和拉伸状态。

根据胡克定律，将弹簧从平衡位置压缩或拉伸所需的力由 $F (x) = k x,$ 给出，其中 $k .$ 是某个常数。 $k$ 的值取决于弹簧的物理特性。常数 $k$ 称为弹簧常数，并且始终为正。我们可以利用这些信息来计算压缩或拉伸弹簧所做的功，如下例所示。

例 6.25

拉伸或压缩弹簧所需的功

假设需要 $10$ N 的力（负方向）才能将弹簧从平衡位置压缩 $0.2$ m。那么将弹簧从平衡位置拉伸 $0.5$ m 需要做多少功？

解

首先找到弹簧常数 $k .$ 。当 $x = −0.2,$ 时，我们知道 $F (x) = −10,$ ，所以

\begin{matrix} F (x) & = & k x \\ - 10 & = & k (−0.2) \\ k & = & 50 \end{matrix}

且 $F (x) = 50 x .$ 。然后，为了计算功，我们对力函数积分，得到

W = \int_{a}^{b} F (x) d x = \int_{0}^{0.5} 5 0 x d x = {25 x^{2} |}_{0}^{0.5} = 6.25 .

拉伸弹簧所做的功是 $6.25$ J。

检验点 6.25

假设需要 $8$ 磅的力才能将弹簧从平衡位置拉伸 $6$ 英寸。那么将弹簧从平衡位置拉伸 $1$ 英尺需要做多少功？

抽水做功

考虑将水（或其他液体）从水箱中抽出所做的功。抽水问题比弹簧问题稍微复杂一些，因为许多计算取决于水箱的形状和大小。此外，我们关注的不是移动单个质量所做的功，而是移动一定体积的水所做的功，并且将水从水箱底部移出比从水箱顶部移出需要做更多的功。

我们将在圆柱形水箱的背景下考察这个过程，然后看几个使用不同形状水箱的例子。假设一个半径为 $4$ m，高为 $10$ m 的圆柱形水箱，水深为 8 m。将所有水抽到水箱顶部边缘需要做多少功？

我们首先需要定义一个参考系。我们令 $x$ 表示水箱顶部以下的垂直距离。也就是说，我们垂直放置 $x 轴$ ，原点在水箱顶部，向下方向为正（见下图）。

此图为一个垂直放置的直圆柱体，代表一个水箱。圆柱体的半径为4米，高度为10米。圆柱体内的水深为8米。水箱顶部有一条水平线表示x=0。圆柱体旁边画有一条垂直线，带有一个向下箭头，标记为x。

图 6.52 排空部分注水的水箱需要做多少功？

使用这个坐标系，水从 $x = 2$ 延伸到 $x = 10 .$ 。因此，我们对区间 $[2, 10]$ 进行分割，并考察提升每一层水所需的功。所以，对于 $i = 0, 1, 2,…, n,$ ，令 $P = {x_{i}}$ 是区间 $[2, 10],$ 的一个等分分割，对于 $i = 1, 2,…, n,$ ，选择一个任意点 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ 。图 6.53 显示了一个代表性的水层。

此图为一个直圆柱体，代表一个水箱。圆柱体内部有一层水，厚度为delta x。厚度从xsub(i-1)开始，到xsubi结束。

图 6.53 一个代表性的水层。

在抽水问题中，将水提升到水箱顶部所需的力是克服重力所需的力，于是它等于水的重量。鉴于水的重度为 $9800$ N/m³，或 $62.4$ lb/ft³，计算每一层的体积即可得到其重量。此时，我们有

V = π {(4)}^{2} Δ x = 16 π Δ x .

提升每一层所需的力为

F = 9800 \cdot 16 π Δ x = 156,800 π Δ x .

注意，如果水箱不是圆柱形的，这一步会变得稍微困难一些。我们将在下一个例子中考察一个非圆柱形水箱。

我们还需要知道水必须被提升的距离。根据我们选择的坐标系，我们可以使用 $x_{i}^{*}$ 作为该层水必须被提升的距离的近似值。于是，提升第 $i$ 层水所做的功 $W_{i}$ 大约是

W_{i} \approx 156,800 π x_{i}^{*} Δ x .

将每一层所做的功相加，我们看到排空水箱的近似功由下式给出：

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 156,800 π x_{i}^{*} Δ x .

这是一个黎曼和，因此当 $n \to \infty,$ 时取极限，可得

\begin{matrix} W & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 156,800 π x_{i}^{*} Δ x \\ = 156,800 π \int_{2}^{10} x d x \\ = 156,800 π {[\frac{x^{2}}{2}] |}_{2}^{10} = 7,526,400 π \approx 23,644,883. \end{matrix}

排空水箱所需的功约为 23,650,000 J。

对于抽水问题，计算方法因水箱或容器的形状而异。以下问题解决策略列出了解决抽水问题的分步过程。

问题解决策略

解决抽水问题

画出水箱的示意图并选择合适的参考系。
计算代表性水层的体积。
将体积乘以水的重度以获得力。
计算水层必须被提升的距离。
将力与距离相乘，以估算提升水层所需的功。
将提升所有水层所需的功求和。此表达式是抽取出所需水量所需功的估算值，它以黎曼和的形式表示。
当 $n \to \infty$ 时取极限，并计算所得的积分，以获得抽取出所需水量所需的精确功。

现在我们将此问题解决策略应用于一个非圆柱形水箱的例子中。

例 6.26

一个非圆柱形水箱的抽水问题

假设一个倒置圆锥形水箱，高为 $12$ 英尺，底半径为 $4$ 英尺。水箱最初是满的，水被抽到水箱上边缘，直到水箱中剩余水的高度为 $4$ 英尺。抽取出这些水需要做多少功？

解

水箱如图 6.54 所示。正如我们在圆柱形水箱的例子中所做的那样，我们垂直放置 $x 轴$ ，原点在水箱顶部，向下方向为正（步骤 1）。

图 6.54 一个倒置圆锥形水箱。

水箱最初是满的，最后剩下 $4$ 英尺的水。根据我们选择的参考系，我们需要对区间 $[0, 8] .$ 进行分割。然后，对于 $i = 0, 1, 2,…, n,$ ，令 $P = {x_{i}}$ 是区间 $[0, 8],$ 的一个等分分割，对于 $i = 1, 2,…, n,$ ，选择一个任意点 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ 。我们可以用圆盘近似一层的体积，再用相似三角形求出圆盘半径（见下图）。

此图包含两张图片。第一张图有x轴。轴下方，倾斜着一条延伸到x轴的线段。线段旁边是一个水平的直圆柱体。第二张图有一个三角形。直角三角形与第一张图镜像，斜边是第一张图中的线段。三角形顶部为4个单位。垂直边的长度为12个单位。垂直边也分为两部分；第一部分是xsubi，第二部分是12-xsubi。它在第一张图中有圆柱体的水平位置处被分割。

图 6.55 使用相似三角形表示水盘的半径。

根据相似三角形的性质，我们有

\begin{matrix} \frac{r_{i}}{12 - x_{i}^{*}} & = & \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \\ 3 r_{i} & = & 12 - x_{i}^{*} \\ r_{i} & = & \frac{12 - x_{i}^{*}}{3} \\ = & 4 - \frac{x_{i}^{*}}{3} . \end{matrix}

那么圆盘的体积是

V_{i} = π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (步骤 2).

水的重度为 $62.4$ lb/ft³，可得提升每一层所需的力约为

F_{i} \approx 62.4 π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (步骤 3).

根据图示，水必须被提升的距离大约是 $x_{i}^{*}$ 英尺（步骤 4），因此提升该层所需的近似功是

W_{i} \approx 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (步骤 5).

将提升所有水层所需的功求和，可得总功的近似值：

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (步骤 6).

当 $n \to \infty,$ 时取极限，可得

\begin{matrix} W & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x \\ = \int_{0}^{8} 62.4 π x {(4 - \frac{x}{3})}^{2} d x \\ = 62.4 π \int_{0}^{8} x (16 - \frac{8 x}{3} + \frac{x^{2}}{9}) d x = 62.4 π \int_{0}^{8} (16 x - \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{x^{3}}{9}) d x \\ = 62.4 π {[8 x^{2} - \frac{8 x^{3}}{9} + \frac{x^{4}}{36}] |}_{0}^{8} = 10,649.6 π \approx 33,456.7. \end{matrix}

将水箱排空到所需水位大约需要 $33,450$ 英尺-磅的功。

检验点 6.26

一个倒置圆锥形水箱，高为 $10$ 英尺，底半径为 6 英尺。水箱最初水深为 8 英尺，水被抽到水箱上边缘，直到水箱中剩余 3 英尺的水。抽取出这些水需要做多少功？

静水压力和静水力

在本节的最后部分，我们将研究浸没在液体中的物体所受的力和压力。在英制单位中，力以磅为单位。在公制单位中，力以牛顿为单位。压力是单位面积上的力，因此在英制单位中，我们有磅每平方英尺（或者更常见的是磅每平方英寸，记作psi）。在公制单位中，我们有牛顿每平方米，也称为帕斯卡。

我们从一个简单的情况开始，一块面积为 $A$ 的平板水平浸没在水中，深度为s（图 6.56）。那么，作用在平板上的力就是其上方水的重量，由 $F = ρ A s,$ 给出，其中 $ρ$ 是水的重度（单位体积的重量）。为了找到静水压力——即水对浸没物体施加的压力——我们将力除以面积。所以压力为 $p = F / A = ρ s .$

图 6.56 一块水平浸没在水中的平板。

根据帕斯卡原理，给定深度处的压力在所有方向上都相同，所以平板是水平浸没还是垂直浸没无关紧要。所以，只要我们知道深度，我们就知道压力。我们可以应用帕斯卡原理来计算作用在垂直方向的表面（例如水坝）上的力。我们不能直接应用公式 $F = ρ A s$ ，因为在垂直方向的表面上，深度会因点而异。因此，正如我们之前多次做过的那样，我们形成一个分割、一个黎曼和，并最终用一个定积分计算力。

假设一块薄板浸没在水中。我们选择参考系，使得x轴垂直定向，向下为正方向，点 $x = 0$ 对应一个逻辑参考点。令 $s (x)$ 表示点x处的深度。注意，我们通常让 $x = 0$ 对应水面。此时，任意点处的深度简单地由 $s (x) = x .$ 给出。然而，在某些情况下，我们可能希望为 $x = 0,$ 选择一个不同的参考点，于是我们将在更一般的情况下进行推导。最后，令 $w (x)$ 表示平板在点 $x .$ 处的宽度。

假设平板的顶边在点 $x = a$ ，底边在点 $x = b .$ 。那么，对于 $i = 0, 1, 2,…, n,$ ，令 $P = {x_{i}}$ 是区间 $[a, b],$ 的一个等分分割，并且对于 $i = 1, 2,…, n,$ ，选择一个任意点 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ 。该分割将平板分成几个薄的矩形条（参见下图）。

此图显示了一个浸没圆形平板的俯视图。x轴位于平板侧面。平板的直径从x=a到x=b。平板中间有一个厚度为delta x的条带。在轴上，此厚度从x=xsub(i-1)开始，到x=xsubi结束。平板中条带的长度标记为w(csubi)。

图 6.57 一块垂直浸没在水中的薄板。

现在我们来估计一个代表性条带上的力。如果条带足够薄，我们可以将其视为处于恒定深度 $s (x_{i}^{*}) .$ 。于是有

F_{i} = ρ A s = ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) .

将这些力相加，可得平板上力的估计值：

F \approx \sum_{i = 1}^{n} F_{i} = \sum_{i = 1}^{n} ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) .

这是一个黎曼和，因此取极限可得到精确的力。可得

F = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x .

(6.13)

计算这个积分即可得到平板上的力。我们将其总结在以下解题策略中。

解题策略

计算静水力

绘制图形并选择合适的参考系。（注意，如果我们选择的参考系与前面使用的不同，我们可能需要相应地调整公式 6.13。）
确定深度函数 $s (x)$ 和宽度函数 $w (x) .$ 。
确定你所使用的液体的重度。水的重度为 $62.4$ lb/ft³，或 9800 N/m³。
使用该公式计算总力。

例 6.27

计算静水力

一个长15英尺的水槽，其两端呈倒置的等腰三角形，底边长8英尺，高3英尺。如果水槽装满水，求水槽一端所受的力。

解

图 6.58显示了水槽以及其中一端的详细视图。

此图包含两张图片。第一张是带有矩形侧面的水槽。水槽长15英尺，深3英尺，宽8英尺。第二张图片是水槽的横截面。它是一个三角形。顶部长度为8英尺，侧面长度为5英尺。高度标记为3英尺。

图 6.58 (a) 具有三角形横截面的水槽。(b) 水槽一端的尺寸。

选择一个参考系，使 $x 轴$ 垂直定向，向下为正方向。选择水槽顶部作为对应于 $x = 0$ 的点（步骤1）。深度函数为 $s (x) = x .$ 。利用相似三角形，可得 $w (x) = 8 - (8 / 3) x$ （步骤2）。现在，水的重度为 $62.4$ lb/ft³（步骤3），于是应用公式 6.13，可得

\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{0}^{3} 62.4 (8 - \frac{8}{3} x) x d x = 62.4 \int_{0}^{3} (8 x - \frac{8}{3} x^{2}) d x \\ = 62.4 {[4 x^{2} - \frac{8}{9} x^{3}] |}_{0}^{3} = 748.8. \end{matrix}

水对水槽一端施加的力为 748.8 lb（步骤4）。

检验点 6.27

一个长12米的水槽，其两端呈倒置的等腰三角形，底边长6米，高4米。如果水槽装满水，求水槽一端所受的力。

例 6.28

章节引言：计算静水力

现在我们回到本章开头提到的胡佛水坝。实际的水坝是拱形的，而不是平坦的，但我们将做一些简化假设以帮助我们进行计算。假设胡佛水坝的坝面形状为等腰梯形，下底为 $750$ 英尺，上底为 $1250$ 英尺，高为 $750$ 英尺（参见下图）。

此图包含两张图片。第一张是水坝的图片。第二张图片在水坝旁边，是一个梯形图，代表水坝的尺寸。顶部为1250英尺，底部为750英尺。高度为750英尺。

当水库蓄满水时，米德湖的最大深度约为530英尺，湖面比坝顶低约10英尺（参见下图）。

此图是一个顶部较长的梯形。第一个梯形内部有一个较小的梯形，高度标记为530英尺。它也比大梯形的顶部低10英尺。

图 6.59 胡佛水坝的简化模型及假定尺寸。

当水库蓄满水时，求坝面所受的力。
美国西南部正在经历干旱，米德湖的水面比水库蓄满水时的水面低约125英尺。此时，坝面所受的力是多少？

解

我们首先建立一个参考系。像往常一样，我们选择将 $x 轴$ 垂直定向，向下为正方向。不过，这次我们将让 $x = 0$ 代表坝顶，而不是水面。当水库蓄满水时，水面比坝顶低 $10$ 英尺，可得 $s (x) = x - 10$ （参见下图）。

图 6.60 我们首先选择一个参考系。

为了找到宽度函数，我们再次利用下图所示的相似三角形。

图 6.61 我们使用相似三角形来确定水坝宽度的函数。(a) 水坝的假定尺寸；(b) 突出显示相似三角形。

从图中可以看出， $w (x) = 750 + 2 r .$ 。利用相似三角形的性质，可得 $r = 250 - (1 / 3) x .$ 。因此，

$w (x) = 1250 - \frac{2}{3} x (步骤 2).$

使用 $62.4$ lb/ft³的重度（步骤3），并应用公式 6.13，可得

$\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{10}^{540} 62.4 (1250 - \frac{2}{3} x) (x - 10) d x = 62.4 \int_{10}^{540} - \frac{2}{3} [x^{2} - 1885 x + 18750] d x \\ = −62.4 (\frac{2}{3}) {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{1885 x^{2}}{2} + 18750 x] |}_{10}^{540} \approx 8,832,245,000 lb = 4,416,122.5 t . \end{matrix}$

注意从磅到吨的转换（ $(2000$ lb = $1$ 吨）（步骤4）。
注意，干旱改变了我们的深度函数 $s (x),$ 和积分上下限。我们有 $s (x) = x - 135 .$ 。积分下限为 $135 .$ 。上限仍为 $540 .$ 。计算该积分，可得

\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{135}^{540} 62.4 (1250 - \frac{2}{3} x) (x - 135) d x \\ = −62.4 (\frac{2}{3}) \int_{135}^{540} (x - 1875) (x - 135) d x = −62.4 (\frac{2}{3}) \int_{135}^{540} (x^{2} - 2010 x + 253125) d x \\ = −62.4 (\frac{2}{3}) {[\frac{x^{3}}{3} - 1005 x^{2} + 253125 x] |}_{135}^{540} \approx 5,015,230,000 lb = 2,507,615 t . \end{matrix}

检验点 6.28

当水库处于平均水位时，水面比水库蓄满水时的水面低约50英尺。此时，坝面所受的力是多少？

媒体

要了解更多关于胡佛水坝的信息，请参阅历史频道发布的这篇文章。

第6.5节练习

对于以下练习，求所做的功。

218.

求当一个恒力 $F = 12$ 磅将椅子从 $x = 0.9$ 英尺移动到 $x = 1.1$ 英尺时所做的功。

219.

一个人将一个 $50$ 磅的漫画箱子抬到离地面 $3$ 英尺高的卡车上，做了多少功？

220.

将一个 $20$ 千克的孩子从地板抬到 $2$ 米的高度，做了多少功？（注意：在地球表面附近， $1$ 千克的质量重 $9.8$ 牛顿。）

221.

当你施加 $F = 100 N .$ 的恒力，将一个箱子沿地板推动 $2$ 米时，所做的功是多少？

222.

计算力 $F = 12 / x^{2}$ 牛顿从 $x = 1$ 米到 $x = 2$ 米所做的功。

223.

如果作用在粒子上的力是 $F = 3 x^{2}$ 牛顿，将粒子从 $x = 0$ 米移动到 $x = 1$ 米所做的功是多少？

对于以下练习，求一维物体的质量。

224.

一根长 $2$ 英尺（从 $x = 0)$ 开始）的导线，其密度函数为 $ρ (x) = x^{2} + 2 x$ 磅/英尺

225.

一根长 $3$ 英尺（从 $x = 0)$ 开始）的汽车天线，其密度函数为 $ρ (x) = 3 x + 2$ 磅/英尺

226.

一根长 $8$ 英寸（从 $x = 0)$ 开始）的金属棒，其密度函数为 $ρ (x) = e^{(1 / 2) x}$ 磅/英寸。

227.

一支长 $4$ 英寸（从 $x = 2)$ 开始）的铅笔，其密度函数为 $ρ (x) = 5 / x$ 盎司/英寸。

228.

一把长 $12$ 英寸（从 $x = 5)$ 开始）的尺子，其密度函数为 $ρ (x) = ln (x) + (1 / 2) x^{2}$ 盎司/英寸。

对于以下练习，求以原点为中心的二维物体的质量。

229.

一个半径为 $2$ 英寸的超大冰球，其密度函数为 $ρ (x) = x^{3} - 2 x + 5$ 。

230.

一个半径为 $6$ 英寸的飞盘，其密度函数为 $ρ (x) = e^{− x}$ 。

231.

一个半径为 $10$ 英寸的盘子，其密度函数为 $ρ (x) = 1 + cos (π x)$ 。

232.

一个半径为 $3$ 英寸的罐盖，其密度函数为 $ρ (x) = ln (x + 1)$ 。

233.

一个半径为 $5$ 厘米的圆盘，其密度函数为 $ρ (x) = \sqrt{3 x}$ 。

234.

一个 $12$ 英寸的弹簧被 $75$ 磅的力拉伸到 $15$ 英寸。弹簧常数是多少？

235.

一个弹簧的自然长度为 $10$ 厘米。将弹簧拉伸到 $15$ 厘米需要 $2$ 焦耳的功。将弹簧从 $15$ 厘米拉伸到 $20$ 厘米需要多少功？

236.

一个 $1$ 米的弹簧需要 $10$ 焦耳的功才能拉伸到 $1.1$ 米。将弹簧从 $1$ 米拉伸到 $1.2$ 米需要多少功？

237.

将弹簧从 $8$ 厘米拉伸到 $12$ 厘米需要 $5$ 焦耳的功，再将弹簧从 $12$ 厘米拉伸到 $14$ 厘米需要额外的 $4$ 焦耳的功。弹簧的自然长度是多少？

238.

一个减震器被 1 吨的重量压缩了 1 英寸。弹簧常数是多少？

239.

一个 $F = 20 x - x^{3}$ 牛顿的力将一个非线性弹簧拉伸了 $x$ 米。将弹簧从 $x = 0$ 米拉伸到 $x = 2$ 米需要多少功？

240.

求将一根长 $100$ 英尺、重量密度为 $5$ 磅/英尺的悬挂缆绳卷起所做的功。

241.

对于上一个练习中的缆绳，将缆绳提升 $50$ 英尺需要做多少功？

242.

对于上一个练习中的缆绳，在缆绳末端悬挂一个 $200$ 磅的重物会额外做多少功？

243.

[T] 一个高 $500$ 英尺的金字塔有一个 $800$ 英尺乘 $800$ 英尺的正方形底座。求在高度 $h .$ 处的面积 $A$ 。如果用于建造金字塔的岩石大约重 $w = 100 {lb/ft}^{3},$ ，那么抬起所有岩石需要做多少功？

244.

[T] 对于上一个练习中的金字塔，假设有 $1000$ 名工人，每人每天工作 $10$ 小时，每周工作 $5$ 天，每年工作 $50$ 周。如果工人平均每小时抬起 10 块 100 磅的岩石 $2$ 英尺，那么建造金字塔需要多长时间？

245.

[T] 质量为 $m$ 的物体所受的重力为 $F = − ((G M m) / x^{2})$ 牛顿。对于质量为 $m = 1000 kg,$ 的火箭，计算将其从 $x = 6400$ 千米提升到 $x = 6500$ 千米所需的功。请用三位有效数字表示你的答案。（注： $G = 6.67 \times 10^{−11} {N m}^{2} / {kg}^{2}$ 和 $M = 6 \times 10^{24} kg .)$ ）

246.

[T] 对于上一个练习中的火箭，求将其从 $x = 6400$ 提升到 $x = \infty .$ 所需的功。

247.

[T] 一个矩形水坝高 $40$ 英尺，宽 $60$ 英尺。假设水的重度为 62.5 磅/英尺³。计算当以下情况时，水坝上的总力 $F$ ：

水面位于水坝顶部时；
水面位于水坝高度一半时。

248.

[T] 求将一个半径为 $5$ 英尺、高为 $200$ 英尺的圆柱体中的所有水抽出的功。已知水的密度为 $62$ 磅/英尺³。

249.

[T] 对于上一个练习中的圆柱体，如果圆柱体只装满一半水，求将所有水抽出的功。

250.

[T] 如果泳池底部面积为 $800$ 平方英尺，水深 $4$ 英尺，且泳池顶部高出水面 $1$ 英尺，那么将泳池中的水全部抽出需要多少功？假设水的密度为 $62$ 磅/英尺³。

251.

一个深度为 $H$ 、横截面积为 $A$ 的圆柱体装满了密度为 $ρ .$ 的水。计算将所有水抽到顶部的功。

252.

对于上一个练习中的圆柱体，如果圆柱体只装满一半水，计算将所有水抽到顶部的功。

253.

一个圆锥形水箱的横截面积随深度增加： $A = (π r^{2} h^{2}) / H^{3} .$ 。证明将其排空所需的功是具有相同高度和底座的圆柱体所需功的一半。

6.5 物理应用

学习目标

质量与密度

定理 6.7

一维物体的质量-密度公式

例 6.23

根据线密度计算质量

解

检验点 6.23

定理 6.8

圆形物体的质量-密度公式

例 6.24

根据径向密度计算质量

解

检验点 6.24

力所做的功

定义

例 6.25

拉伸或压缩弹簧所需的功

解

检验点 6.25

抽水做功

问题解决策略

解决抽水问题

例 6.26

一个非圆柱形水箱的抽水问题

解

检验点 6.26

静水压力和静水力

解题策略

计算静水力

例 6.27

计算静水力

解

检验点 6.27

例 6.28

章节引言：计算静水力

解

检验点 6.28

媒体

第6.5节 练习

第6.5节练习