质心和矩

我们首先从一维背景下考察质心。考虑一根质量可忽略不计的长而细的导线或杆，它静置在一个支点上，如图 6.62(a)所示。现在假设我们将质量为$m_1$和$m_2$的物体分别放置在距支点$d_1$和$d_2$的距离处，如图 6.62(b)所示。

图 6.62 (a) 一根细杆静置在一个支点上。(b) 质量块放置在杆上。

这种系统最常见的现实生活例子是游乐场的跷跷板，不同体重的孩子坐在距中心不同距离处。在跷跷板上，如果一个孩子坐在每一端，较重的孩子会下沉，而较轻的孩子会被抬到空中。但是，如果较重的孩子向中心滑动，跷跷板就会平衡。将这个概念应用于杆上的质量块，我们注意到当且仅当$m_1{d}_1=m_2{d}_2.$时，这些质量块才能相互平衡。

在跷跷板的例子中，我们可以相对支点移动质量块（孩子）来平衡系统。不过，我们更关心的是质量块不能移动、只能移动支点来平衡的系统。假设我们有两个点质量$m_1$和$m_2,$，分别位于数轴上的点$x_1$和$x_2,$处（图 6.63）。质心$\bar{x},$是应该放置支点以使系统平衡的点。

图 6.63 质心$\bar{x}$是系统的平衡点。

因此，我们有

分子中的表达式$m_1{x}_1+m_2{x}_2,$被称为系统关于原点的第一矩。如果上下文清晰，我们通常省略“第一”一词，直接将此表达式称为系统的矩。分母中的表达式$m_1+m_2,$是系统的总质量。所以，系统的质心是系统总质量可以集中而不改变矩的点。

这个思想不仅限于两个点质量。一般而言，如果n个质量$m_1,m_2\text{,…},m_n,$分别放置在数轴上的点$x_1,x_2\text{,…},x_n,$处，则系统的质心由下式给出：

我们在下面的例题中应用此定理。

我们可以将这个概念推广到求平面上点质量系统的质心。设$m_1$是位于平面上点$\left(x_1,y_1\right)$处的点质量。那么，该质量关于x轴的矩$M_x$由$M_x=m_1{y}_1.$给出。类似地，关于y轴的矩$M_y$由$M_y=m_1{x}_1.$给出。注意，点的x坐标用于计算关于y轴的矩，反之亦然。原因是x坐标给出点质量到y轴的距离，而y坐标给出到x轴的距离（参见下图）。

图 6.64 点质量$m_1$位于平面上的点$\left(x_1,y_1\right)$处。

如果我们在xy平面中有几个点质量，我们可以使用关于x轴和y轴的矩来计算系统质心的x和y坐标。

下一个例题演示了如何应用此定理。

薄板的质心

目前我们已经研究了线上和平面上的质点系。现在，我们不再考虑质量集中在离散点上的系统，而是要研究质量连续分布在薄片材料上的系统。为了我们的目的，我们假设薄片足够薄，可以将其视为二维的。这种薄片称为薄片。接下来，我们将开发寻找薄片质心的方法。在本节中，我们还假设薄片的密度是常数。

薄片通常由平面上的二维区域表示。这种区域的几何中心称为其形心。由于我们假设薄片的密度是常数，薄片的质心仅取决于平面中相应区域的形状，而不取决于密度。此时，薄片的质心对应于平面中划定区域的形心。与质点系一样，我们需要找到薄片的总质量，以及薄片对x轴和y轴的矩。

我们首先考虑矩形薄片。回想一下，薄片的质心是薄片保持平衡的点。对于矩形，该点是矩形的水平和垂直中心。基于这种理解，矩形薄片的质心显然是其对角线相交的点，这是对称原理的结果，在此不加证明地给出。

下面讨论更一般的薄片。设有一个薄片，其上方由连续函数$f(x),$的图形界定，下方由x轴界定，左右分别由直线$x=a$和$x=b,$界定，如下图所示。

图 6.65 平面中表示薄片的区域。

与质点系一样，为了找到薄片的质心，我们需要找到薄片的总质量，以及薄片对x轴和y轴的矩。正如之前多次做过的那样，我们对区间$\left[a,b\right]$做分割，并用矩形近似这些量。

对于$i=0,1,2\text{,…},n,$，设$P=\left\{x_i\right\}$是$\left[a,b\right].$的一个等分分割。回想一下，我们可以选择区间$\left[x_{i-1},x_i\right]$内的任意点作为我们的$x_i^{*}.$。此时，我们希望$x_i^{*}$是我们的矩形的形心的x坐标。因此，对于$i=1,2\text{,…},n,$，我们选择$x_i^{*}\in \left[x_{i-1},x_i\right]$使得$x_i^{*}$是区间的中心。即$x_i^{*}=\left(x_{i-1}+x_i\right)\text{/}2.$。现在，对于$i=1,2\text{,…},n,$，在$\left[x_{i-1},x_i\right].$上构造一个高为$f\left(x_i^{*}\right)$的矩形。这个矩形的质心是$\left(x_i^{*},\left(f(x_i^{*})\right)\text{/}2\right),$，如下图所示。

图 6.66 薄片的代表性矩形。

接下来，我们需要找到矩形的总质量。设$\rho$表示薄片的密度（注意$\rho$是一个常数）。此时，$\rho$以单位面积质量表示。于是，为了找到矩形的总质量，我们将矩形的面积乘以$\rho .$。那么，矩形的质量由$\rho f(x_i^{*})\text{Δ}x.$给出。

为了得到薄片的近似质量，我们将所有矩形的质量相加得到

这是一个黎曼和。取$n\to \infty$的极限，得到薄片的精确质量：

接下来，我们计算薄片对x轴的矩。回到代表性矩形，回想一下它的质心是$\left(x_i^{*},\left(f(x_i^{*})\right)\text{/}2\right).$。还需回想，将矩形视为位于质心的质点并不会改变矩。因此，矩形对x轴的矩由矩形的质量$\rho f(x_i^{*})\text{Δ}x,$乘以质心到x轴的距离$\left(f(x_i^{*})\right)\text{/}2.$给出。所以，矩形对x轴的矩是$\rho \left({\left[f(x_i^{*})\right]}^2\text{/}2\right)\text{Δ}x.$。将所有矩形的矩相加，并取所得黎曼和的极限，可得薄片对x轴的矩为

我们类似地推导薄片对y轴的矩，注意到矩形质心到y轴的距离是$x_i^{*}.$。那么，薄片对y轴的矩由下式给出

将矩除以总质量，可得质心坐标$\bar{x}=M_y\text{/}m\text{和}\bar{y}=M_x\text{/}m.$。仔细观察$M_x,M_y,\text{和}m,$的表达式可以发现，计算$\bar{x}$和$\bar{y}$时，常数$\rho$会抵消掉。

我们将以上结果归纳为如下定理。

在下一个例题中，我们将使用此定理来找到薄片的质心。

例 6.31

求薄片的质心

设R是在区间$\left[0,4\right]$上，由函数$f(x)=\sqrt{x}$的图形与x轴之间围成的区域。求该区域的形心。

解

该区域如下图所示。

图 6.67 求薄片的质心。

由于我们只要求区域的形心，而不是相关薄片的质量或矩，我们知道密度常数$\rho$最终会在计算中抵消。因此，为方便起见，设$\rho =1.$。

首先，我们需要计算总质量：

$$\begin{array}{cc}\hfill m& =\rho {{\displaystyle \int }}_a^{b}f(x)dx={\displaystyle {\int }_0^4\sqrt{x}}dx\hfill \\ & ={\frac{2}{3}{x}^{3\text{/}2}|}_0^4=\frac{2}{3}\left[8-0\right]=\frac{16}{3}.\hfill \end{array}$$

接下来，我们计算矩：

$$\begin{array}{cc}\hfill M_x& =\rho {\displaystyle {\int }_a^b\frac{{\left[f(x)\right]}^2}{2}dx}\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^4\frac{x}{2}dx}={\frac{1}{4}{x}^2|}_0^4=4\hfill \end{array}$$

和

$$\begin{array}{cc}\hfill M_y& =\rho {\displaystyle {\int }_a^{b}xf(x)dx}\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^{4}x\sqrt{x}dx}={\displaystyle {\int }_0^4{x}^{3\text{/}2}}dx\hfill \\ & ={\frac{2}{5}{x}^{5\text{/}2}|}_0^4=\frac{2}{5}\left[32-0\right]=\frac{64}{5}.\hfill \end{array}$$

因此，我们有

$$\bar{x}=\frac{M_y}{m}=\frac{64\text{/}5}{16\text{/}3}=\frac{64}{5}·\frac{3}{16}=\frac{12}{5}\text{和}\bar{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{4}{16\text{/}3}=4·\frac{3}{16}=\frac{3}{4}.$$

该区域的形心是$\left(12\text{/}5,3\text{/}4\right).$。

我们也可以调整这种方法来找到更复杂区域的形心。假设我们的区域上方仍由连续函数$f(x),$的图形界定，但现在，该区域的下界不再是x轴，而是由第二个连续函数$g(x),$的图形界定，如下图所示。

图 6.68 两个函数之间的区域。

同样，我们分割区间$\left[a,b\right]$并构造矩形。代表性矩形如下图所示。

图 6.69 两个函数之间区域的代表性矩形。

注意，这个矩形的形心是$\left(x_i^{*},\left(f(x_i^{*})+g(x_i^{*})\right)\text{/}2\right).$。我们不会详细介绍黎曼和的推导过程，但下面列出一些关键步骤。在推导薄片质量和对y轴的矩的公式时，每个矩形的高度由$f(x_i^{*})-g(x_i^{*}),$给出，这导致被积函数中出现表达式$f(x)-g(x)$。

在推导薄片对x轴的矩的公式时，每个矩形的矩是将矩形的面积$\rho \left[f(x_i^{*})-g(x_i^{*})\right]\text{Δ}x,$乘以形心到x轴的距离$\left(f(x_i^{*})+g(x_i^{*})\right)\text{/}2,$得到，从而给出$\rho \left(1\text{/}2\right)\left\{{\left[f(x_i^{*})\right]}^2-{\left[g(x_i^{*})\right]}^2\right\}\text{Δ}x.$。总结以上结果，得到以下定理。

下面通过例题说明这个定理。

例 6.32

求由两个函数界定的区域的形心

设R是由函数$f(x)=1-x^2$的图形上方和函数$g(x)=x-1.$的图形下方所围成的区域。求该区域的形心。

解

该区域如下图所示。

图 6.70 求两条曲线之间区域的形心。

函数的图形在$\left(\mathrm{-2},\mathrm{-3}\right)$和$(1,0),$处相交，因此我们从−2积分到1。再次，为了方便起见，假设$\rho =1.$。

首先，我们需要计算总质量：

$$\begin{array}{cc}\hfill m& =\rho {{\displaystyle \int }}_a^b\left[f(x)-g(x)\right]dx\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^1\left[1-x^2-(x-1)\right]}dx={{\displaystyle \int }}_{\mathrm{-2}}^1(2-x^2-x)dx\hfill \\ & ={\left[2x-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2\right]|}_{\mathrm{-2}}^1=\left[2-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right]-\left[\mathrm{-4}+\frac{8}{3}-2\right]=\frac{9}{2}.\hfill \end{array}$$

接下来，我们计算矩：

$$\begin{array}{cc}\hfill M_x& =\rho {\displaystyle {\int }_a^b\frac{1}{2}\left({\left[f(x)\right]}^2-{\left[g(x)\right]}^2\right)}dx\hfill \\ & =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^1\left({\left(1-x^2\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2\right)dx}=\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_{\mathrm{-2}}^1\left(x^4-3x^2+2x\right)dx\hfill \\ & =\frac{1}{2}{\left[\frac{x^5}{5}-x^3+x^2\right]|}_{\mathrm{-2}}^1=-\frac{27}{10}\hfill \end{array}$$

和

$$\begin{array}{cc}{M}_y& =\rho {\int }_a^{b}x\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\\ & ={\int }_{\mathrm{-2}}^{1}x\left[(1-x^2)-(x-1)\right]dx={\int }_{\mathrm{-2}}^{1}x[2-x^2-x]dx\\ ={\int }_{\mathrm{-2}}^1(2x-x^3-x^2)dx& \\ & ={[x^2-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}]|}_{\mathrm{-2}}^1=-\frac{9}{4}.\end{array}$$

所以，我们有

$$\bar{x}=\frac{M_y}{m}=-\frac{9}{4}·\frac{2}{9}=-\frac{1}{2}\text{和}\bar{y}=\frac{M_x}{m}=-\frac{27}{10}·\frac{2}{9}=-\frac{3}{5}.$$

该区域的形心是$\left(\text{−}\left(1\text{/}2\right),\text{−}\left(3\text{/}5\right)\right).$。

对称原理

我们之前在研究矩形的形心 时，已经阐述了对称原理。在寻找对称区域的形心时，对称原理会有很大帮助。考虑下面的例题。

例 6.33

求对称区域的形心

设 R 是由函数 $f(x)=4-x^2$ 的图形上方和 x 轴下方围成的区域。求该区域的形心。

解

该区域如下图所示。

图 6.71 我们可以利用对称原理来帮助寻找对称区域的形心。

该区域关于 y 轴对称。于是，形心的 x 坐标为零。我们只需计算 $\bar{y}.$。再次为了方便起见，假设 $\rho =1.$。

首先，我们计算总质量：

$$\begin{array}{cc}\hfill m& =\rho {{\displaystyle \int }}_a^{b}f(x)dx\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^2\left(4-x^2\right)}dx\hfill \\ & ={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]|}_{\mathrm{-2}}^2=\frac{32}{3}.\hfill \end{array}$$

接下来，我们计算矩。我们只需要 $M_x\text{:}$。

$$\begin{array}{cc}\hfill M_x& =\rho {\displaystyle {\int }_a^b\frac{{\left[f(x)\right]}^2}{2}dx}\hfill \\ & =\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_{\mathrm{-2}}^2{\left[4-x^2\right]}^{2}dx=\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_{\mathrm{-2}}^2\left(16-8x^2+x^4\right)dx\hfill \\ & =\frac{1}{2}{\left[\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+16x\right]|}_{\mathrm{-2}}^2=\frac{256}{15}.\hfill \end{array}$$

则有

$$\bar{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{256}{15}·\frac{3}{32}=\frac{8}{5}.$$

该区域的形心为 $\left(0,8\text{/}5\right).$。

学生项目

大峡谷空中走廊

大峡谷空中走廊于2007年3月28日向公众开放。这座工程奇迹是一个马蹄形的观景平台，悬浮在大峡谷西缘科罗拉多河上方4000英尺处。其水晶般透明的玻璃地板可让游客欣赏到下方峡谷的壮丽景色（见下图）。

图 6.72 大峡谷空中走廊提供了峡谷的壮丽景色。（图片来源：10da_ralta, Wikimedia Commons）

空中走廊采用悬臂式设计，这意味着观景平台延伸到峡谷边缘上方，下方没有可见的支撑结构。尽管缺乏可见的支撑柱或支架，悬臂结构的设计非常稳定，空中走廊也不例外。观景平台牢固地连接到深入基岩46英尺的支撑柱上。该结构能够承受100英里/小时的风速和50英里范围内的8.0级地震，并能够支撑超过70,000,000磅的重量。

影响空中走廊稳定性的一个因素是结构的重心。我们将计算空中走廊的重心，并研究当游客走到观景平台上时，重心如何变化。

观景平台呈U形。U形的腿宽10英尺，始于陆地，位于游客中心下方，距离峡谷边缘48英尺。平台延伸到峡谷边缘上方70英尺。

为了计算结构的质心，我们将其视为一个薄片，并使用 xy 平面上的二维区域来表示平台。我们首先将区域划分为三个子区域，以便分别考虑每个子区域。第一个区域，记为 $R_1,$，由U形的弯曲部分组成。我们将 $R_1$ 建模为一个半圆形环，内半径 为25英尺，外半径为35英尺，以原点为中心（见下图）。

图 6.73 我们用三个子区域对空中走廊进行建模。

平台支腿在 $R_1$ 和峡谷壁之间延伸35英尺，构成第二个子区域 $R_2.$。最后，延伸到游客中心下方48英尺的支腿末端构成第三个子区域 $R_3.$。假设薄片 的密度是常数，并假设平台的总重量为1,200,000磅（不包括游客中心的重量；我们稍后会考虑）。使用 $g=32{\text{英尺/秒}}^2.$。

1. 计算三个子区域各自的面积。注意，区域 $R_2$ 和 $R_3$ 的面积应仅包括支腿的面积，而不包括它们之间的开放空间。将答案四舍五入到最接近的平方英尺。
2. 确定与三个子区域各自相关的质量。
3. 计算三个子区域各自的质心。
4. 现在，将三个子区域各自视为一个点质量，位于相应子区域的质心处。使用这种表示方法，计算整个平台的质心。
5. 假设游客中心重2,200,000磅，其质心与 $R_3.$ 的质心相对应。将游客中心视为一个点质量，重新计算系统的质心。质心如何变化？
6. 尽管空中走廊的设计限制了观景平台上的人数上限为120人，但平台能够支撑多达800人，每人重200磅。如果允许所有800人登上平台，并且他们都走到平台的最远端，系统的重心将如何受到影响？（计算中包括游客中心，并将人群表示为位于平台最远边缘（距离峡谷壁70英尺）的一个点质量。）

帕普斯定理

本节最后讨论帕普斯体积定理，它允许我们利用形心来求特定类型立体的体积。(还有一个帕普斯表面积定理，但它远不如体积定理有用。)