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微积分基本定理

5.3 微积分基本定理

学习目标

  • 5.3.1 描述积分中值定理的含义。
  • 5.3.2 阐述微积分基本定理第一部分的含义。
  • 5.3.3 使用微积分基本定理第一部分计算积分的导数。
  • 5.3.4 阐述微积分基本定理第二部分的含义。
  • 5.3.5 使用微积分基本定理第二部分计算定积分。
  • 5.3.6 解释微分与积分之间的关系。

在前两节中，我们研究了定积分及其与函数曲线下方面积的关系。然而，到目前为止，我们可用于计算定积分值的唯一工具是几何面积公式和黎曼和的极限，这两种方法都极其繁琐。在本节中，我们将探讨一些更强大、更有用的定积分计算技术。

这些新方法依赖于求导和积分之间的关系。这种关系由艾萨克·牛顿爵士和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（以及其他人）在17世纪末和18世纪初发现并探索，并最终总结为我们现在所称的微积分基本定理，本节将探讨其两个部分。它的名称本身就表明了该定理在整个微积分发展中的核心地位。

媒体

艾萨克 Newton对数学和物理学的贡献改变了我们看待世界的方式。他发现的关系，被总结为牛顿运动定律和万有引力定律，至今仍作为物理学的基础材料进行教学，他的微积分催生了整个数学领域。要了解更多信息，请阅读一篇包含多媒体剪辑的牛顿简要传记。

不过，在探讨这个关键定理之前，我们先来研究另一个重要定理——积分中值定理，它是证明微积分基本定理所必需的。

积分中值定理

积分中值定理指出，在闭区间上的连续函数在该区间内的某个点处取其平均值。该定理保证，如果 f(x)f(x) 是连续的，则在区间 [a,b][a,b] 中存在一个点 c，使得函数在 c 处的值等于 f(x)f(x) 在 [a,b].[a,b]. 上的平均值。下面借助前一节中的函数平均值公式，给出这个定理的数学表述。

定理 5.3

积分中值定理

如果 f(x)f(x) 在区间 [a,b],[a,b], 上是连续的，那么至少存在一点 c∈[a,b]c∈[a,b] 使得

f(c)=1b−a∫abf(x)dx.f(c)=1b−a∫abf(x)dx.
(5.15)

此公式也可表述为

∫abf(x)dx=f(c)(b−a).∫abf(x)dx=f(c)(b−a).

证明

由于 f(x)f(x) 在 [a,b],[a,b], 上是连续的，根据最值定理（参见最大值和最小值），它在 [a,b].[a,b]. 上分别取到最小值 m 和最大值 M。那么，对于 x 在 [a,b],[a,b], 中的所有值，我们有 m≤f(x)≤M.m≤f(x)≤M.。因此，根据比较定理（参见定积分），我们有

m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a).m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a).

除以 b−ab−a 可得

m≤1b−a∫abf(x)dx≤M.m≤1b−a∫abf(x)dx≤M.

由于 1b−a∫abf(x)dx1b−a∫abf(x)dx 是介于 m 和 M 之间的一个数，并且由于 f(x)f(x) 在 [a,b],[a,b], 上是连续的且能取到 m 和 M，根据介值定理（参见连续性），在 [a,b][a,b] 上存在一个数 c 使得

f(c)=1b−a∫abf(x)dx,f(c)=1b−a∫abf(x)dx,

证明完毕。

□

例 5.15

求函数的平均值

求函数 f(x)=8−2xf(x)=8−2x 在区间 [0,4][0,4] 上的平均值，并求 c 使得 f(c)f(c) 等于函数在 [0,4].[0,4]. 上的平均值。

解

根据公式，f(x)f(x) 的平均值为

1 4 − 0 ∫ 0 4 ( 8 − 2 x ) d x . 1 4 − 0 ∫ 0 4 ( 8 − 2 x ) d x .

从图 5.26 中可以看出，该函数表示一条直线，并与 x 轴和 y 轴围成一个直角三角形。三角形的面积为 A=12(底)(高).A=12(底)(高).。我们有

A = 1 2 ( 4 ) ( 8 ) = 16 . A = 1 2 ( 4 ) ( 8 ) = 16 .

将面积乘以 1/(4−0)1/(4−0) 即可求得平均值。因此，函数的平均值为

1 4 ( 16 ) = 4 . 1 4 ( 16 ) = 4 .

将平均值设为 f(c)f(c) 并解出 c。

8 − 2 c = 4 c = 2 8 − 2 c = 4 c = 2

当 c=2c=2 时，f(2)=4.f(2)=4.

递减直线 f(x) = 8 – 2x 在区间 [-1,4.5] 上的图形。直线 y=4 在 [0,4] 上绘制，与该直线在 (2,4) 处相交。从 (2,4) 向 x 轴绘制一条线，从 (4,4) 向 y 轴绘制一条线。y=4 下方的区域用阴影标出。
图 5.26 根据积分中值定理，连续函数 f(x)f(x) 在闭区间上至少存在一点 c，使函数在该点取到其平均值。

检验点 5.14

求函数 f(x)=x2f(x)=x2 在区间 [0,6][0,6] 上的平均值，并求 c 使得 f(c)f(c) 等于函数在 [0,6].[0,6]. 上的平均值。

例 5.16

求函数取其平均值的点

给定 ∫03x2dx=9,∫03x2dx=9,，求 c 使得 f(c)f(c) 等于 f(x)=x2f(x)=x2 在 [0,3].[0,3]. 上的平均值。

解

我们要找满足以下条件的 c 值：

f ( c ) = 1 3 − 0 ∫ 0 3 x 2 d x = 1 3 ( 9 ) = 3 . f ( c ) = 1 3 − 0 ∫ 0 3 x 2 d x = 1 3 ( 9 ) = 3 .

将 f(c)f(c) 替换为 c2，可得

c 2 = 3 c = ± 3 . c 2 = 3 c = ± 3 .

由于 −3−3 不在区间内，故只取正值。因此，c=3c=3（图 5.27）。

抛物线 f(x) = x^2 在区间 [-2, 3] 上的图形。曲线下方和 x 轴上方的区域用阴影标出，并标记了点 (sqrt(3), 3)。
图 5.27 在区间 [0,3],[0,3], 上，函数 f(x)=x2f(x)=x2 在 c=3.c=3. 处取其平均值。

检验点 5.15

给定 ∫03(2x2−1)dx=15,∫03(2x2−1)dx=15,，求 c 使得 f(c)f(c) 等于 f(x)=2x2−1f(x)=2x2−1 在 [0,3].[0,3]. 上的平均值。

微积分基本定理第一部分：积分与原函数

如前所述，微积分基本定理是一个极其强大的定理，它建立了求导和积分之间的关系，并为我们提供了一种无需使用黎曼和或计算面积即可计算定积分的方法。该定理由两部分组成，其中第一部分，即微积分基本定理第一部分，在此阐述。第一部分建立了求导和积分之间的关系。

定理 5.4

微积分基本定理第一部分

如果 f(x)f(x) 在区间 [a,b],[a,b], 上是连续的，并且函数 F(x)F(x) 定义为

F(x)=∫axf(t)dt,F(x)=∫axf(t)dt,
(5.16)

那么 F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) 在 (a,b).(a,b). 上。

在进入证明之前，有几点值得说明。首先是关于记号的问题。注意，我们已将函数 F(x),F(x), 定义为另一个函数 f(t),f(t), 从点 a 到点 x 的定积分。乍一看似乎令人困惑——我们之前多次强调定积分是一个数，但这里它看起来像是一个函数。关键在于：对于 x 的每一个确定值，定积分都是一个数。因此，函数 F(x)F(x) 对每个 x 的值都给出一个确定的数（即定积分的值）。

其次，值得说明这个定理的一些关键含义。它被称为微积分基本定理是有原因的。它不仅建立了积分和求导之间的关系，而且还保证了任何可积函数都存在原函数。

证明

应用导数的定义，我们有

F′(x)=limh→0F(x+h)−F(x)h=limh→01h[∫ax+hf(t)dt−∫axf(t)dt]=limh→01h[∫ax+hf(t)dt+∫xaf(t)dt]=limh→01h∫xx+hf(t)dt.F′(x)=limh→0F(x+h)−F(x)h=limh→01h[∫ax+hf(t)dt−∫axf(t)dt]=limh→01h[∫ax+hf(t)dt+∫xaf(t)dt]=limh→01h∫xx+hf(t)dt.

注意到最后一个表达式中， 1h∫xx+hf(t)dt1h∫xx+hf(t)dt 正是函数 f(x)f(x) 在区间 [x,x+h].[x,x+h]. 上的平均值。因此，根据积分中值定理，在 [x,x+h][x,x+h] 中存在某个数 c 使得

1h∫xx+hf(x)dx=f(c).1h∫xx+hf(x)dx=f(c).

此外，由于 c 介于 x 和 x + h 之间，当 h 趋近于零时，c 趋近于 x。又因为 f(x)f(x) 是连续的，我们有 limh→0f(c)=limc→xf(c)=f(x).limh→0f(c)=limc→xf(c)=f(x).。综合以上各步，可得

F′(x)=limh→01h∫xx+hf(x)dx=limh→0f(c)=f(x),F′(x)=limh→01h∫xx+hf(x)dx=limh→0f(c)=f(x),

证明完毕。

□

例 5.17

用微积分基本定理求导数

使用微积分基本定理第一部分求 g(x)=∫1x1t3+1dt.g(x)=∫1x1t3+1dt. 的导数。

解

根据微积分基本定理，导数为

g ′ ( x ) = 1 x 3 + 1 . g ′ ( x ) = 1 x 3 + 1 .

检验点 5.16

使用微积分基本定理第一部分求 g(r)=∫0rx2+4dx.g(r)=∫0rx2+4dx. 的导数。

例 5.18

使用微积分基本定理和链式法则计算导数

设 F(x)=∫1xsintdt.F(x)=∫1xsintdt.。求 F′(x).F′(x).。

解

令 u(x)=x,u(x)=x,，则有 F(x)=∫1u(x)sintdt.F(x)=∫1u(x)sintdt.。因此，根据微积分基本定理和链式法则，

F ′ ( x ) = sin ( u ( x ) ) d u d x = sin ( u ( x ) ) · ( 1 2 x −1 / 2 ) = sin x 2 x . F ′ ( x ) = sin ( u ( x ) ) d u d x = sin ( u ( x ) ) · ( 1 2 x −1 / 2 ) = sin x 2 x .

检验点 5.17

设 F(x)=∫1x3costdt.F(x)=∫1x3costdt.。求 F′(x).F′(x).。

例 5.19

使用微积分基本定理处理上下限均为变量的积分

设 F(x)=∫x2xt3dt.F(x)=∫x2xt3dt.。求 F′(x).F′(x).。

解

我们有 F(x)=∫x2xt3dt.F(x)=∫x2xt3dt.。由于积分上下限都是变量，我们需要将其拆分为两个积分。可得

F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t = ∫ x 0 t 3 d t + ∫ 0 2 x t 3 d t = − ∫ 0 x t 3 d t + ∫ 0 2 x t 3 d t . F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t = ∫ x 0 t 3 d t + ∫ 0 2 x t 3 d t = − ∫ 0 x t 3 d t + ∫ 0 2 x t 3 d t .

对第一项求导，可得

d d x [ − ∫ 0 x t 3 d t ] = − x 3 . d d x [ − ∫ 0 x t 3 d t ] = − x 3 .

对第二项求导，先令 u(x)=2x.u(x)=2x.。然后，

d d x [ ∫ 0 2 x t 3 d t ] = d d x [ ∫ 0 u ( x ) t 3 d t ] = ( u ( x ) ) 3 d u d x = ( 2 x ) 3 · 2 = 16 x 3 . d d x [ ∫ 0 2 x t 3 d t ] = d d x [ ∫ 0 u ( x ) t 3 d t ] = ( u ( x ) ) 3 d u d x = ( 2 x ) 3 · 2 = 16 x 3 .

因此，

F ′ ( x ) = d d x [ − ∫ 0 x t 3 d t ] + d d x [ ∫ 0 2 x t 3 d t ] = − x 3 + 16 x 3 = 15 x 3 . F ′ ( x ) = d d x [ − ∫ 0 x t 3 d t ] + d d x [ ∫ 0 2 x t 3 d t ] = − x 3 + 16 x 3 = 15 x 3 .

检验点 5.18

设 F(x)=∫xx2costdt.F(x)=∫xx2costdt.。求 F′(x).F′(x).。

微积分基本定理第二部分：求值定理

微积分基本定理第二部分也许是微积分中最重要的定理。经过数学家们约500年的不懈努力，新的技术应运而生，为科学家们提供了阐释许多现象的必要工具。利用微积分，天文学家最终能够确定太空距离并绘制行星轨道。日常的财务问题，例如计算边际成本或预测总利润，现在可以简单而准确地处理。工程师可以计算材料的弯曲强度或物体的三维运动。我们对世界的看法因微积分而永远改变。

与之前叠加 n 个矩形面积来求近似值的方法相比，本定理的应用简单得多。只需在区间两个端点处分别计算原函数的值并相减，就能求出整个曲线区域的面积，这几乎显得过于简单了。

定理 5.5

微积分基本定理第二部分

如果 f 在区间 [a,b][a,b] 上是连续的，并且 F(x)F(x) 是 f(x),f(x), 的任意一个原函数，那么

∫abf(x)dx=F(b)−F(a).∫abf(x)dx=F(b)−F(a).
(5.17)

我们经常看到记号 F(x)|abF(x)|ab 来表示表达式 F(b)−F(a).F(b)−F(a).。竖线及其上下标 a 和 b 表示：先计算 F(x)F(x) 在上限（此处为 b）处的值，再减去 F(x)F(x) 在下限（此处为 a）处的值。

微积分基本定理第二部分（也称为求值定理）指出如果我们能找到被积函数的一个原函数，那么我们就可以计算原函数在区间端点处的值之差来求定积分。

证明

设 P={xi},i=0,1,…,nP={xi},i=0,1,…,n 是 [a,b].[a,b]. 的一个等分分割。那么，我们可以写成

F(b)−F(a)=F(xn)−F(x0)=[F(xn)−F(xn−1)]+[F(xn−1)−F(xn−2)]+…+[F(x1)−F(x0)]=∑i=1n[F(xi)−F(xi−1)].F(b)−F(a)=F(xn)−F(x0)=[F(xn)−F(xn−1)]+[F(xn−1)−F(xn−2)]+…+[F(x1)−F(x0)]=∑i=1n[F(xi)−F(xi−1)].

现在，我们知道 F 是 f 在 [a,b],[a,b], 上的一个原函数，因此根据中值定理（参见 中值定理），对于 i=0,1,…,ni=0,1,…,n，我们可以在 [xi−1,xi][xi−1,xi] 中找到 cici，使得

F(xi)−F(xi−1)=F′(ci)(xi−xi−1)=f(ci)Δx.F(xi)−F(xi−1)=F′(ci)(xi−xi−1)=f(ci)Δx.

然后，代入前面的方程，可得

F(b)−F(a)=∑i=1nf(ci)Δx.F(b)−F(a)=∑i=1nf(ci)Δx.

对两边取极限，当 n→∞,n→∞, 时，可得

F(b)−F(a)=limn→∞∑i=1nf(ci)Δx=∫abf(x)dx.F(b)−F(a)=limn→∞∑i=1nf(ci)Δx=∫abf(x)dx.

□

例 5.20

用微积分基本定理计算积分

使用 微积分基本定理第二部分 来计算

∫−22(t2−4)dt.∫−22(t2−4)dt.

解

回顾原函数 的幂法则：

若 y = x n , ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C . 若 y = x n , ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C .

使用此法则求函数的原函数，然后应用该定理。可得

∫ −2 2 ( t 2 − 4 ) d t = t 3 3 − 4 t | −2 2 = [ ( 2 ) 3 3 − 4 ( 2 ) ] − [ ( −2 ) 3 3 − 4 ( −2 ) ] = ( 8 3 − 8 ) − ( − 8 3 + 8 ) = 8 3 − 8 + 8 3 − 8 = 16 3 − 16 = − 32 3 . ∫ −2 2 ( t 2 − 4 ) d t = t 3 3 − 4 t | −2 2 = [ ( 2 ) 3 3 − 4 ( 2 ) ] − [ ( −2 ) 3 3 − 4 ( −2 ) ] = ( 8 3 − 8 ) − ( − 8 3 + 8 ) = 8 3 − 8 + 8 3 − 8 = 16 3 − 16 = − 32 3 .

分析

注意，在写原函数时，我们没有包含“+ C”项。这是因为根据微积分基本定理第二部分，选取任何一个原函数均可。因此，为方便起见，我们选择了 C=0.C=0. 的原函数。即使选择了不同的原函数，常数项也会在相减时抵消。计算定积分时总是如此。

我们刚刚计算的区域如 图 5.28 所示。请注意，曲线与 x 轴之间的区域完全在 x 轴下方。面积总是正的，但定积分的值可以为负（即净有向面积为负）。例如，若这是一个利润函数，负值表示公司在给定区间内处于亏损状态。

抛物线 f(t) = t^2 – 4 在区间 [-4, 4] 上的图形。在区间 [-2, 2] 上，曲线与 x 轴之间、且在 x 轴下方的区域用阴影标出。
图 5.28 尽管面积总是正的，定积分的值可以为负。

例 5.21

使用微积分基本定理第二部分计算定积分

使用微积分基本定理第二部分计算下列积分：

∫19x−1xdx.∫19x−1xdx.

解

首先，用有理指数重写被积函数以消除根式，然后将分子各项分别除以分母：

∫ 1 9 x − 1 x 1 / 2 d x = ∫ 1 9 ( x x 1 / 2 − 1 x 1 / 2 ) d x . ∫ 1 9 x − 1 x 1 / 2 d x = ∫ 1 9 ( x x 1 / 2 − 1 x 1 / 2 ) d x .

利用指数运算法则化简：

∫ 1 9 ( x x 1 / 2 − 1 x 1 / 2 ) d x = ∫ 1 9 ( x 1 / 2 − x −1 / 2 ) d x . ∫ 1 9 ( x x 1 / 2 − 1 x 1 / 2 ) d x = ∫ 1 9 ( x 1 / 2 − x −1 / 2 ) d x .

现在，使用幂法则进行积分：

∫ 1 9 ( x 1 / 2 − x − 1 / 2 ) d x = ( x 3 / 2 3 2 − x 1 / 2 1 2 ) | 1 9 = [ ( 9 ) 3 / 2 3 2 − ( 9 ) 1 / 2 1 2 ] − [ ( 1 ) 3 / 2 3 2 − ( 1 ) 1 / 2 1 2 ] = [ 2 3 ( 27 ) − 2 ( 3 ) ] − [ 2 3 ( 1 ) − 2 ( 1 ) ] = 18 − 6 − 2 3 + 2 = 40 3 . ∫ 1 9 ( x 1 / 2 − x − 1 / 2 ) d x = ( x 3 / 2 3 2 − x 1 / 2 1 2 ) | 1 9 = [ ( 9 ) 3 / 2 3 2 − ( 9 ) 1 / 2 1 2 ] − [ ( 1 ) 3 / 2 3 2 − ( 1 ) 1 / 2 1 2 ] = [ 2 3 ( 27 ) − 2 ( 3 ) ] − [ 2 3 ( 1 ) − 2 ( 1 ) ] = 18 − 6 − 2 3 + 2 = 40 3 .

参见 图 5.29。

函数 f(x) = (x-1) / sqrt(x) 在区间 [0,9] 上的图形。在区间 [1,9] 上，图形下方的面积用阴影标出。
图 5.29 从 x=1x=1 到 x=9x=9 的曲线下方面积可通过计算定积分求得。

检验点 5.19

使用 微积分基本定理第二部分 来计算 ∫12x−4dx.∫12x−4dx.。

例 5.22

一场轮滑比赛

詹姆斯和凯西正在进行轮滑比赛。他们沿着一条长长的直线赛道比赛，5秒后谁滑得最远谁就赢得奖品。如果詹姆斯能以 f(t)=5+2tf(t)=5+2t 英尺/秒的速度滑行，凯西能以 g(t)=10+cos(π2t)g(t)=10+cos(π2t) 英尺/秒的速度滑行，谁会赢得比赛？

解

我们需要在区间 [0,5][0,5] 上对两个函数进行积分，看看哪个值更大。对于詹姆斯，我们想计算

∫ 0 5 ( 5 + 2 t ) d t . ∫ 0 5 ( 5 + 2 t ) d t .

使用幂法则，可得

∫ 0 5 ( 5 + 2 t ) d t = ( 5 t + t 2 ) | 0 5 = ( 25 + 25 ) = 50. ∫ 0 5 ( 5 + 2 t ) d t = ( 5 t + t 2 ) | 0 5 = ( 25 + 25 ) = 50.

因此，詹姆斯在5秒后滑行了50英尺。现在转向凯西，我们想计算

∫ 0 5 10 + cos ( π 2 t ) d t . ∫ 0 5 10 + cos ( π 2 t ) d t .

我们知道 sintsint 是 cost,cost, 的一个原函数，因此可以合理地预期 cos(π2t)cos(π2t) 的原函数会涉及 sin(π2t).sin(π2t).。然而，当我们对 sin(π2t),sin(π2t), 求导时，由于链式法则，可得 π2cos(π2t)π2cos(π2t)，所以我们在积分时必须考虑这个额外的系数。可得

∫ 0 5 10 + cos ( π 2 t ) d t = ( 10 t + 2 π sin ( π 2 t ) ) | 0 5 = ( 50 + 2 π ) − ( 0 − 2 π sin 0 ) ≈ 50.6. ∫ 0 5 10 + cos ( π 2 t ) d t = ( 10 t + 2 π sin ( π 2 t ) ) | 0 5 = ( 50 + 2 π ) − ( 0 − 2 π sin 0 ) ≈ 50.6.

凯西在5秒后滑行了大约50.6英尺。凯西赢了，但优势不大！

检验点 5.20

假设詹姆斯和凯西再次比赛，但这次裁判只在3秒后就停止了比赛。这会改变结果吗？

学生项目

自由落体中的跳伞员

两名跳伞员在空中自由落体。
图 5.30 跳伞员可以通过在自由落体期间改变身体姿势来调整下落速度。（图片来源：Jeremy T. Lock）

朱莉是一位狂热的跳伞员。她已经完成了300多次跳伞，并掌握了在空中调整身体姿势以控制下落速度的技巧。如果她弓起背部，腹部朝向地面，她将达到大约120英里/小时（176英尺/秒）的终端速度。如果她将身体头部朝下，她会下落得更快，达到150英里/小时（220英尺/秒）的终端速度。

由于朱莉将向下运动（下落），我们假设向下方向为正以简化计算。朱莉从12,500英尺的高度跳伞。离开飞机后，她立即以 v(t)=32t.v(t)=32t. 给定的速度开始下落。她根据这个速度函数继续加速，直到达到终端速度。达到终端速度后，她的速度保持不变，直到她拉开伞绳并减速着陆。

在当天第一次跳伞时，朱莉将自己调整到较慢的“腹部朝下”姿势（终端速度为176英尺/秒）。利用这些信息，回答以下问题。

  1. 朱莉离开飞机后多久达到终端速度？
  2. 根据你对问题1的回答，建立一个包含一个或多个积分的表达式，表示朱莉在30秒后下落的距离。
  3. 如果朱莉在3000英尺的高度拉开伞绳，她自由落体了多长时间？
  4. 朱莉在3000英尺处拉开伞绳。她的降落伞完全打开并减速需要5秒，在此期间她又下落了400英尺。伞衣完全打开后，她的速度降至16英尺/秒。计算朱莉从离开飞机到双脚着地在空中停留的总时间。
     在朱莉当天的第二次跳伞中，她决定想下落得更快一些，并将自己调整到“头部朝下”的姿势。在这种姿势下，她的终端速度是220英尺/秒。根据这个速度回答以下问题：
  5. 在这种情况下，朱莉需要多长时间才能达到终端速度？
  6. 在拉开伞绳之前，朱莉将身体重新调整到“腹部朝下”的姿势，这样在降落伞打开时她的速度就不会那么快。如果她在4000英尺的高度开始这个动作，那么在开始重新调整姿势之前，她自由落体了多长时间？

有些跳伞员穿着“翼装”（参见 图 5.31）。这些服装在手臂和腿之间有织物面板，可以让穿着者在自由落体中滑翔，很像飞鼠。（事实上，这些服装有时被称为“飞鼠服”。）穿着这些服装时，终端速度可以降低到大约30英里/小时（44英尺/秒），从而让穿着者在空中停留更长时间。翼装飞行员仍然使用降落伞着陆；尽管垂直速度在安全范围内，但水平速度可以超过70英里/小时，这对于安全着陆来说太快了。

一个人穿着翼装下落，这种服装可以降低跳伞员下落的垂直速度。
图 5.31 翼装手臂和腿上的织物面板可以降低跳伞员下落的垂直速度。（图片来源：Richard Schneider）

根据翼装飞行中的速度回答以下问题。

  1. 如果朱莉在当天第三次跳伞前穿上翼装，并在3000英尺的高度拉开伞绳，她能在空中滑翔多长时间？

第5.3节 练习

144.

两名运动员分别以速度 v1(t)v1(t) 和 v2(t)v2(t) 跑步，并同时起跑、同时到达终点。解释为什么这两名运动员在某个时刻的速度必然相同。

145.

两名登山者从大本营开始攀登，他们选择两条不同的路线，其中一条比另一条更陡峭，并同时到达山顶。在某个时刻，两名登山者海拔上升的速度必然相同吗？

146.

在进入某条收费公路时，司机需要领取一张记录了入口里程和时间戳的卡片。在出口支付通行费时，司机惊讶地发现除了通行费，他还收到了一张超速罚单。解释这种情况是如何发生的。

147.

设 F(x)=∫1x(1−t)dt.F(x)=∫1x(1−t)dt.。求 F′(2)F′(2) 以及 F′F′ 在 [1,2].[1,2]. 上的平均值。

在以下练习中，使用微积分基本定理第一部分求每个导数。

148.

d d x ∫ 1 x e − t 2 d t d d x ∫ 1 x e − t 2 d t

149.

d d x ∫ 1 x e cos t d t d d x ∫ 1 x e cos t d t

150.

d d x ∫ 3 x 9 − y 2 d y d d x ∫ 3 x 9 − y 2 d y

151.

d d x ∫ 3 x d s 16 − s 2 d d x ∫ 3 x d s 16 − s 2

152.

d d x ∫ x 2 x t d t d d x ∫ x 2 x t d t

153.

d d x ∫ 0 x t d t d d x ∫ 0 x t d t

154.

d d x ∫ 0 sin x 1 − t 2 d t d d x ∫ 0 sin x 1 − t 2 d t

155.

d d x ∫ cos x 1 1 − t 2 d t d d x ∫ cos x 1 1 − t 2 d t

156.

d d x ∫ 1 x t 2 1 + t 4 d t d d x ∫ 1 x t 2 1 + t 4 d t

157.

d d x ∫ 1 x 2 t 1 + t d t d d x ∫ 1 x 2 t 1 + t d t

158.

d d x ∫ 0 ln x e t d t d d x ∫ 0 ln x e t d t

159.

d d x ∫ 1 e x ln u 2 d u d d x ∫ 1 e x ln u 2 d u

160.

这里显示了 y=∫0xf(t)dt,y=∫0xf(t)dt, 的图形，其中 f 是一个分段常数函数。

一个由线段组成的函数，经过点 (0, 0), (1, 3), (2, 2), (3, 0), (4, 3), (5, 3) 和 (6, 2)。函数下方和x轴上方的区域用阴影标出。
  1. f 在哪些区间上是正的？在哪些区间上是负的？在哪些区间上（如果有的话）等于零？
  2. f 的最大值和最小值是多少？
  3. f 的平均值是多少？
161.

这里显示了 y=∫0xf(t)dt,y=∫0xf(t)dt, 的图形，其中 f 是一个分段常数函数。

一个由线段组成的函数图形，经过点 (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 1), (4, -2), (5, -2) 和 (6, 0)。在区间 [0, 1.5] 和 [3.25, 6] 上，函数上方但x轴下方的区域用阴影标出。在区间 [1.5, 3.25] 上，函数下方但x轴上方的区域用阴影标出。
  1. f 在哪些区间上是正的？在哪些区间上是负的？在哪些区间上（如果有的话）等于零？
  2. f 的最大值和最小值是多少？
  3. f 的平均值是多少？
162.

这里显示了 y=∫0xℓ(t)dt,y=∫0xℓ(t)dt, 的图形，其中 ℓ 是一个分段线性函数。

一个函数图形，经过点 (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 3), (4, 3.5), (5, 4) 和 (6, 2)。在区间 [0, 1.8] 上，函数上方但x轴下方的区域用阴影标出，函数下方但x轴上方的区域也用阴影标出。
  1. ℓ 在哪些区间上是正的？在哪些区间上是负的？在哪些区间上（如果有的话）是零？
  2. ℓ 在哪些区间上是递增的？在哪些区间上是递减的？在哪些区间上（如果有的话）是常数？
  3. ℓ 的平均值是多少？
163.

这里显示了 y=∫0xℓ(t)dt,y=∫0xℓ(t)dt, 的图形，其中 ℓ 是一个分段线性函数。

一个函数图形，经过点 (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4.5, 0), (5, 1) 和 (6, 2)。在区间 [0, 2] 和 [4.5, 6] 上，函数下方但x轴上方的区域用阴影标出。在区间 [2, 2.5] 上，函数上方但x轴下方的区域用阴影标出。
  1. ℓ 在哪些区间上是正的？在哪些区间上是负的？在哪些区间上（如果有的话）是零？
  2. ℓ 在哪些区间上是递增的？在哪些区间上是递减的？在哪些区间上（如果有的话）是常数？
  3. ℓ 的平均值是多少？

在以下练习中，使用计算器计算 T10（即使用 N=10N=10 个矩形左端点和右端点黎曼和的平均值）来估计曲线下的面积。然后，使用微积分基本定理第二部分 (fundamental theorem of calculus part 2) 确定精确面积。

164.

[T] y=x2y=x2 在 [0,4][0,4] 上

165.

[T] y=x3+6x2+x−5y=x3+6x2+x−5 在 [−4,2][−4,2] 上

166.

[T] y=x3y=x3 在 [0,6][0,6] 上

167.

[T] y=x+x2y=x+x2 在 [1,9][1,9] 上

168.

[T] ∫(cosx−sinx)dx∫(cosx−sinx)dx 在 [0,π][0,π] 上

169.

[T] ∫4x2dx∫4x2dx 在 [1,4][1,4] 上

在以下练习中，使用微积分基本定理第二部分计算每个定积分。

170.

∫ −1 2 ( x 2 − 3 x ) d x ∫ −1 2 ( x 2 − 3 x ) d x

171.

∫ −2 3 ( x 2 + 3 x − 5 ) d x ∫ −2 3 ( x 2 + 3 x − 5 ) d x

172.

∫ −2 3 ( t + 2 ) ( t − 3 ) d t ∫ −2 3 ( t + 2 ) ( t − 3 ) d t

173.

∫ 2 3 ( t 2 − 9 ) ( 4 − t 2 ) d t ∫ 2 3 ( t 2 − 9 ) ( 4 − t 2 ) d t

174.

∫ 1 2 x 9 d x ∫ 1 2 x 9 d x

175.

∫ 0 1 x 99 d x ∫ 0 1 x 99 d x

176.

∫ 4 8 ( 4 t 5 / 2 − 3 t 3 / 2 ) d t ∫ 4 8 ( 4 t 5 / 2 − 3 t 3 / 2 ) d t

177.

∫ 1 / 4 4 ( x 2 − 1 x 2 ) d x ∫ 1 / 4 4 ( x 2 − 1 x 2 ) d x

178.

∫ 1 2 2 x 3 d x ∫ 1 2 2 x 3 d x

179.

∫ 1 4 1 2 x d x ∫ 1 4 1 2 x d x

180.

∫ 1 4 2 − t t 2 d t ∫ 1 4 2 − t t 2 d t

181.

∫ 1 16 d t t 1 / 4 ∫ 1 16 d t t 1 / 4

182.

∫ 0 2 π cos θ d θ ∫ 0 2 π cos θ d θ

183.

∫ 0 π / 2 sin θ d θ ∫ 0 π / 2 sin θ d θ

184.

∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ ∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ

185.

∫ 0 π / 4 sec θ tan θ d θ ∫ 0 π / 4 sec θ tan θ d θ

186.

∫ π / 3 π / 4 csc θ cot θ d θ ∫ π / 3 π / 4 csc θ cot θ d θ

187.

∫ π / 4 π / 2 csc 2 θ d θ ∫ π / 4 π / 2 csc 2 θ d θ

188.

∫ 1 2 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t ∫ 1 2 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t

189.

∫ −2 −1 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t ∫ −2 −1 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t

在以下练习中，使用求值定理将积分表示为函数 F(x).F(x).。

190.

∫ a x t 2 d t ∫ a x t 2 d t

191.

∫ 1 x e t d t ∫ 1 x e t d t

192.

∫ 0 x cos t d t ∫ 0 x cos t d t

193.

∫ − x x sin t d t ∫ − x x sin t d t

在以下练习中，确定被积函数 的根以消除绝对值，然后使用微积分基本定理第二部分进行计算。

194.

∫ −2 3 | x | d x ∫ −2 3 | x | d x

195.

∫ −2 4 | t 2 − 2 t − 3 | d t ∫ −2 4 | t 2 − 2 t − 3 | d t

196.

∫ 0 π | cos t | d t ∫ 0 π | cos t | d t

197.

∫ − π / 2 π / 2 | sin t | d t ∫ − π / 2 π / 2 | sin t | d t

198.

假设西雅图某一天日照小时数由函数 −3.75cos(πt6)+12.25,−3.75cos(πt6)+12.25, 建模，其中 t 以月为单位，t=0t=0 对应冬至。

  1. 一年中平均日照小时数是多少？
  2. 在时间 t1 和 t2（其中 0≤t1<t2<12,0≤t1<t2<12,）时，日照小时数等于平均小时数？
  3. 写一个积分式，表示西雅图在 t1t1 和 t2.t2. 之间的总日照小时数。
  4. 计算西雅图在 t1t1 和 t2,t2, 之间（其中 0≤t1<t2<12,0≤t1<t2<12,）以及在 t2t2 和 t1,t1, 之间的平均日照小时数，并证明两者的平均值等于平均日长。
199.

假设美国一年内的汽油消耗率可以用正弦函数 (11.21−cos(πt6))×109(11.21−cos(πt6))×109 加仑/月来建模。

  1. 平均月消耗量是多少？在哪些 t 值时，t 时刻的消耗率等于平均消耗率？
  2. 美国一年消耗的汽油总量是多少加仑？
  3. 写一个积分式，表示美国在一年中四月初 (t=3)(t=3) 到九月底 (t=9).(t=9). 期间的平均月汽油消耗量。
200.

解释为什么如果 f 在 [a,b],[a,b], 上是连续的，则至少存在一点 c∈[a,b]c∈[a,b] 使得 f(c)=1b−a∫abf(t)dt.f(c)=1b−a∫abf(t)dt.。

201.

解释为什么如果 f 在 [a,b][a,b] 上是连续的且不等于常数，则至少存在一点 M∈[a,b]M∈[a,b] 使得 f(M)>1b−a∫abf(t)dtf(M)>1b−a∫abf(t)dt，并且至少存在一点 m∈[a,b]m∈[a,b] 使得 f(m)<1b−a∫abf(t)dt.f(m)<1b−a∫abf(t)dt.。

202.

开普勒第一定律指出，行星以太阳为一个焦点沿椭圆轨道运动。行星轨道离太阳最近的点称为近日点（对地球而言，目前大约在1月3日），最远的点称为远日点（对地球而言，目前大约在7月4日）。开普勒第二定律指出，行星在相等的时间内扫过其椭圆轨道上的相等面积。因此，下图中所示的两个弧是在相等的时间内扫过的。地球在一年中的什么时候在其轨道上运动最快？什么时候运动最慢？

一个水平椭圆，标记有一个焦点。在焦点正左侧和椭圆的另一侧标记了两个等长的弧。由焦点和两个弧的端点形成的扇形区域被涂成蓝色。
203.

椭圆上一个点，其长轴长度为 2a，短轴长度为 2b，其坐标为 (acosθ,bsinθ),0≤θ≤2π.(acosθ,bsinθ),0≤θ≤2π.。

  1. 证明从该点到焦点 (−c,0)(−c,0) 的距离是 d(θ)=a+ccosθ,d(θ)=a+ccosθ,，其中 c=a2−b2.c=a2−b2.。
  2. 使用这些坐标证明椭圆上一点到焦点 (−c,0),(−c,0), 的平均距离 d–d–（关于角 θ）是 a。
204.

如前所述，根据开普勒定律，地球绕太阳的轨道是一个椭圆，太阳位于其中一个焦点。地球绕太阳轨道的近日点是 147,098,290 公里，远日点是 152,098,232 公里。

  1. 将长轴置于 x 轴上，求出地球到太阳的平均距离。
  2. 天文单位 (AU) 的经典定义是地球到太阳的距离，其值计算为近日点和远日点距离的平均值。这个定义合理吗？
205.

太阳与行星之间的引力为 F(θ)=GmMr2(θ),F(θ)=GmMr2(θ),，其中 m 是行星的质量，M 是太阳的质量，G 是一个万有常数，r(θ)r(θ) 是行星与其轨道长轴成 θ 角时太阳与行星之间的距离。假设 M、m 以及椭圆参数 a 和 b（长轴和短轴的半长）已知，请建立一个积分式（但不要计算），用 G,m,M,a,bG,m,M,a,b 表示太阳与行星之间的平均引力。

206.

连接到弹簧的质量块从静止位置的位移满足简谐运动方程 x(t)=Acos(ωt−ϕ),x(t)=Acos(ωt−ϕ),，其中 ϕϕ 是一个相位常数，ω 是角频率，A 是振幅。求该质量块的平均速度、平均速率（速度的大小）、平均位移以及从静止位置的平均距离（位移的大小）。