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导数与函数图形的形状

4.5 导数与函数图形的形状

学习目标

  • 4.5.1 解释一阶导数的符号如何影响函数图形的形状。
  • 4.5.2 阐述用于临界点的一阶导数判别法。
  • 4.5.3 利用凹凸性和拐点解释二阶导数的符号如何影响函数图形的形状。
  • 4.5.4 解释函数在开区间上的凹凸性判别法。
  • 4.5.5 解释函数与其一阶和二阶导数之间的关系。
  • 4.5.6 阐述二阶导数判别法在判定局部极值中的应用。

本章前面我们提到，如果函数 ff 在点 c,c, 处有局部极值，那么 cc 必须是 f.f. 的一个临界点。然而，函数在临界点处不一定有局部极值。例如，f(x)=x3f(x)=x3 在 x=0x=0 处有一个临界点，因为 f′(x)=3x2f′(x)=3x2 在 x=0,x=0, 处为零，但 ff 在 x=0.x=0. 处没有局部极值。利用上一节的结果，我们现在能够确定函数的临界点是否确实对应于局部极值。在本节中，我们还将看到二阶导数如何通过判断函数图形是向上弯曲还是向下弯曲来揭示图形的形状。

一阶导数判别法

中值定理的推论 33 表明，如果函数在区间 II 上的导数是正的，那么函数在 I.I. 上是递增的。另一方面，如果函数在区间 I,I, 上的导数是负的，那么函数在 II 上是递减的，如下图所示。

此图分为四个子图，分别标记为a、b、c和d。图a显示了一个函数从(a, f(a))到(b, f(b))凸地递增。在两点处取导数，并注意到两点处的f' > 0。也就是说，f是递增的。图b显示了一个函数从(a, f(a))到(b, f(b))凹地递增。在两点处取导数，并注意到两点处的f' > 0。也就是说，f是递增的。图c显示了一个函数从(a, f(a))到(b, f(b))凹地递减。在两点处取导数，并注意到两点处的f' < 0。也就是说，f是递减的。图d显示了一个函数从(a, f(a))到(b, f(b))凸地递减。在两点处取导数，并注意到两点处的f' < 0。也就是说，f是递减的。
图 4.30 两个函数在区间 (a,b).(a,b). 上都是递增的。在每个点 x,x, 处，导数 f′(x)>0.f′(x)>0.。两个函数在区间 (a,b).(a,b). 上都是递减的。在每个点 x,x, 处，导数 f′(x)<0.f′(x)<0.。

一个连续函数 ff 在点 cc 处有局部最大值，当且仅当 ff 在点 c.c. 处从递增变为递减。类似地，ff 在 cc 处有局部最小值，当且仅当 ff 在 c.c. 处从递减变为递增。设 ff 在包含 cc 的区间 II 上连续，且在 II 上（可能除了点 cc 之外）可微，那么 ff 在点 cc 处从递增变为递减（反之亦然）的唯一方式是 f′f′ 在 xx 经过 c.c. 时改变符号。如果 ff 在 c,c, 处可微，那么 f′f′ 在 xx 经过 cc 时改变符号的唯一方式是 f′(c)=0.f′(c)=0.。因此，对于在包含 cc 的区间 II 上连续、且在 II 上（可能除了点 cc 之外）可微的函数 ff，ff 从递增变为递减（反之亦然）的唯一方式是 f′(c)=0f′(c)=0 或 f′(c)f′(c) 未定义。因此，为了找到函数 f,f, 的局部极值，我们寻找 ff 定义域中的点 cc，使得 f′(c)=0f′(c)=0 或 f′(c)f′(c) 未定义。回想一下，这些点被称为 f.f. 的临界点。

注意，ff 在临界点处不一定有局部极值。临界点只是局部极值的候选点。在图 4.31中，我们展示了如果一个连续函数 ff 有局部极值，它必须发生在临界点处，但函数在临界点处可能没有局部极值。我们展示了如果 ff 在临界点处有局部极值，那么 f′f′ 的符号在 xx 经过该点时会改变。

函数f(x)的图形。它从第二象限开始，递增到x = a，该点过于尖锐，于是f'(a)未定义。在此区间f' > 0。然后，f从x = a递减到x = b（因此f' < 0），之后在x = b处递增。注意到f'(b) = 0。从x = b递增到x = c时，f' > 0。函数在c处有一个拐点，并标记f'(c) = 0。函数继续递增到d（因此f' > 0），d是全局最大值。标记f'(d) = 0。然后函数递减，并标记f' > 0。
图 4.31 函数 ff 有四个临界点：a,b,c,和d.a,b,c,和d.。函数 ff 在 aa 和 d,d, 处有局部最大值，在 b.b. 处有局部最小值。函数 ff 在 c.c. 处没有局部极值。f′f′ 的符号在所有局部极值处都会改变。

利用图 4.31，我们总结了关于局部极值的主要结果。

  • 如果一个连续函数 ff 有局部极值，它必须发生在临界点 c.c. 处。
  • 函数在临界点 cc 处有局部极值，当且仅当导数 f′f′ 在 xx 经过 c.c. 时改变符号。
  • 所以，为了检验函数在临界点 c,c, 处是否有局部极值，我们必须确定 c.c. 左侧和右侧 f′(x)f′(x) 的符号。

这个结果被称为一阶导数判别法。

定理 4.9

一阶导数判别法

假设 ff 是一个在包含临界点 c.c. 的区间 II 上连续的函数。如果 ff 在 I,I, 上（可能除了点 c,c, 之外）可微，那么 f(c)f(c) 满足以下描述之一：

  1. 如果 f′f′ 在 x<cx<c 时从正号变为 x>c,x>c, 时的负号，那么 f(c)f(c) 是 f.f. 的局部最大值。
  2. 如果 f′f′ 在 x<cx<c 时从负号变为 x>c,x>c, 时的正号，那么 f(c)f(c) 是 f.f. 的局部最小值。
  3. 如果 f′f′ 在 x<cx<c 和 x>c,x>c, 时符号相同，那么 f(c)f(c) 既不是 f.f. 的局部最大值也不是局部最小值。

我们可以将一阶导数判别法总结为一种寻找局部极值的策略。

解题策略

使用一阶导数判别法

考虑一个在区间 I.I. 上连续的函数 ff。

  1. 找到 ff 的所有临界点，并以这些临界点为端点将区间 II 分成更小的子区间。
  2. 分析 f′f′ 在每个子区间内的符号。如果 f′f′ 在给定的子区间上是连续的（通常如此），那么 f′f′ 在该子区间内的符号不会改变，因此可以在该子区间内选择一个任意的检验点 xx 并计算 f′f′ 在该检验点处的符号来确定。使用符号分析来确定 ff 在该区间上是递增还是递减。
     注意: 如果 f′f′ 在整个 II 上不连续，那么在将 II 分成子区间时，应将不连续点和临界点一起作为端点。
  3. 使用一阶导数判别法和步骤 22 的结果来确定 ff 在每个临界点处是局部最大值、局部最小值还是两者都不是。

现在来看看如何使用这个策略来找到特定函数的所有局部极值。

例 4.17

使用一阶导数判别法寻找局部极值

使用一阶导数判别法找到函数 f(x)=x3−3x2−9x−1.f(x)=x3−3x2−9x−1. 所有局部极值的位置。使用图形工具确认你的结果。

解

步骤 1. 导数为 f′(x)=3x2−6x−9.f′(x)=3x2−6x−9.。为了找到临界点，我们需要找到 f′(x)=0.f′(x)=0. 的位置。对多项式进行因式分解，可得临界点必须满足

3 ( x 2 − 2 x − 3 ) = 3 ( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0 . 3 ( x 2 − 2 x − 3 ) = 3 ( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0 .

因此，临界点是 x=3,−1.x=3,−1.。现在将区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 分成更小的区间 (−∞,−1),(−1,3)和(3,∞).(−∞,−1),(−1,3)和(3,∞).。

步骤 2. 由于 f′f′ 是一个连续函数，为了确定 f′(x)f′(x) 在每个子区间上的符号，只需在每个区间 (−∞,−1),(−1,3)和(3,∞)(−∞,−1),(−1,3)和(3,∞) 中选择一个点，并确定 f′f′ 在这些点处的符号。例如，我们选择 x=−2,x=0,和x=4x=−2,x=0,和x=4 作为检验点。

区间 检验点 f′(x)=3(x−3)(x+1)f′(x)=3(x−3)(x+1) 在检验点处的符号 结论
(−∞,−1)(−∞,−1) x=−2x=−2 (+)(−)(−)=+(+)(−)(−)=+ ff 递增。
(−1,3)(−1,3) x=0x=0 (+)(−)(+)=−(+)(−)(+)=− ff 递减。
(3,∞)(3,∞) x=4x=4 (+)(+)(+)=+(+)(+)(+)=+ ff 递增。

步骤 3. 由于 f′f′ 在 xx 经过 –1–1 时符号从正变为负，所以 ff 在 x=−1x=−1 处有局部最大值。由于 f′f′ 在 xx 经过 33 时符号从负变为正，因此 ff 在 x=3x=3 处有局部最小值。这些分析结果与以下图形一致。

函数 f(x) = x3 – 3x2 – 9x – 1 的图形。它在 x = −1 处有最大值，在 x = 3 处有最小值。函数在 x = −1 之前递增，递减直到 x = 3，然后在此之后递增。
图 4.32 函数 ff 在 x=−1x=−1 处有最大值，在 x=3x=3 处有最小值。

检验点 4.16

使用一阶导数判别法找到函数 f(x)=−x3+32x2+18x.f(x)=−x3+32x2+18x. 的所有局部极值。

例 4.18

使用一阶导数判别法

使用一阶导数判别法找到函数 f(x)=5x1/3−x5/3.f(x)=5x1/3−x5/3. 的所有局部极值的位置。使用图形工具确认你的结果。

解

步骤 1. 导数为

f ′ ( x ) = 5 3 x −2 / 3 − 5 3 x 2 / 3 = 5 3 x 2 / 3 − 5 x 2 / 3 3 = 5 − 5 x 4 / 3 3 x 2 / 3 = 5 ( 1 − x 4 / 3 ) 3 x 2 / 3 . f ′ ( x ) = 5 3 x −2 / 3 − 5 3 x 2 / 3 = 5 3 x 2 / 3 − 5 x 2 / 3 3 = 5 − 5 x 4 / 3 3 x 2 / 3 = 5 ( 1 − x 4 / 3 ) 3 x 2 / 3 .

当 1−x4/3=0.1−x4/3=0. 时，导数 f′(x)=0f′(x)=0。因此，f′(x)=0f′(x)=0 在 x=±1.x=±1. 处。导数 f′(x)f′(x) 在 x=0.x=0. 处未定义。所以，我们有三个临界点：x=0,x=0,、x=1,x=1, 和 x=−1.x=−1.。因此，将区间 (−∞,∞)(−∞,∞) 分成更小的区间 (−∞,−1),(−1,0),(0,1),(−∞,−1),(−1,0),(0,1), 和 (1,∞).(1,∞).。

步骤 2：由于 f′f′ 在每个子区间上都是连续的，因此只需在步骤 11 中的每个区间中选择一个检验点 xx，并确定 f′f′ 在这些点处的符号。点 x=−2,x=−12,x=12,和x=2x=−2,x=−12,x=12,和x=2 是这些区间的检验点。

区间 检验点 f′(x)=5(1−x4/3)3x2/3f′(x)=5(1−x4/3)3x2/3 在检验点处的符号 结论
(−∞,−1)(−∞,−1) x=−2x=−2 (+)(−)+=−(+)(−)+=− ff 递减。
(−1,0)(−1,0) x=−12x=−12 (+)(+)+=+(+)(+)+=+ ff 递增。
(0,1)(0,1) x=12x=12 (+)(+)+=+(+)(+)+=+ ff 递增。
(1,∞)(1,∞) x=2x=2 (+)(−)+=−(+)(−)+=− ff 递减。

步骤 3：由于 ff 在区间 (−∞,−1)(−∞,−1) 上递减，在区间 (−1,0),(−1,0), 上递增，于是 ff 在 x=−1.x=−1. 处有局部最小值。由于 ff 在区间 (−1,0)(−1,0) 和区间 (0,1),(0,1), 上递增，因此 ff 在 x=0.x=0. 处没有局部极值。由于 ff 在区间 (0,1)(0,1) 上递增，在区间 (1,∞),f(1,∞),f 上递减，因此 (1,∞),f(1,∞),f 在 x=1.x=1. 处有局部最大值。这些分析结果与以下图形一致。

函数 f(x) = 5x1/3 – x5/3 的图形。它递减到其在 x = −1 处的局部最小值，递增到 x = 1，然后在此之后递减。
图 4.33 函数 f 在 x=−1x=−1 处有局部最小值，在 x=1.x=1. 处有局部最大值。

检验点 4.17

使用一阶导数判别法找到函数 f(x)=x−13.f(x)=x−13. 的所有局部极值。

凹凸性与拐点

我们现在知道如何确定函数在何处递增或递减。不过，关于函数图形的形状，还有另一个问题需要考虑。如果图形是弯曲的，它是向上弯曲还是向下弯曲？这个概念被称为函数的凹凸性。

图 4.34(a) 显示了一个函数 ff，其图形向上弯曲。当 xx 增大时，切线的斜率增大。所以，由于导数随 xx 的增大而增大，f′f′ 是一个递增的函数。我们称此函数 ff 是凹的。图 4.34(b) 显示了一个函数 ff，其图形向下弯曲。当 xx 增大时，切线的斜率减小。由于导数随 xx 的增大而减小，f′f′ 是一个递减的函数。我们称此函数 ff 是凸的。

定义

设 ff 是在开区间 I.I. 上可微的函数。如果 f′f′ 在 I,I, 上递增，我们称 ff 在 I.I. 上是凹的。如果 f′f′ 在 I,I, 上递减，我们称 ff 在 I.I. 上是凸的。

此图分为四个子图，分别标记为a、b、c和d。图a显示了一个函数从(a, f(a))到(b, f(b))凸向上递增。在两个点处取导数，两者都在增大，但右侧的导数增大得更多。注意到f'是递增的，f是凹的。图b显示了一个函数从(a, f(a))到(b, f(b))凹向下递增。在两个点处取导数，两者都在增大，但右侧的导数增大得更少。注意到f'是递减的，f是凸的。图c显示了一个函数从(a, f(a))到(b, f(b))凹向下递减。在两个点处取导数，两者都在减小，但右侧的导数减小得更少。注意到f'是递增的，f是凹的。图d显示了一个函数从(a, f(a))到(b, f(b))凸向上递减。在两个点处取导数，两者都在减小，但右侧的导数减小得更多。注意到f'是递减的，f是凸的。
图 4.34 (a), (c) 由于 f′f′ 在区间 (a,b),(a,b), 上递增，我们称 ff 在 (a,b).(a,b). 上是凹的。(b), (d) 由于 f′f′ 在区间 (a,b),(a,b), 上递减，我们称 ff 在 (a,b).(a,b). 上是凸的。

通常，在没有函数 f,f, 的图形的情况下，我们如何确定其凹凸性？根据定义，如果 f′f′ 递增，则函数 ff 是凹的。根据推论 3,3,，我们知道如果 f′f′ 是一个可微函数，那么当其导数 f″(x)>0.f″(x)>0. 时，f′f′ 是递增的。因此，当 f″(x)>0.f″(x)>0. 时，一个二阶可微函数 ff 是凹的。类似地，如果 f′f′ 递减，则函数 ff 是凸的。我们知道，当其导数 f″(x)<0.f″(x)<0. 时，一个可微函数 f′f′ 是递减的。因此，当 f″(x)<0.f″(x)<0. 时，一个二阶可微函数 ff 是凸的。由此得到凹凸性判别法。

定理 4.10

凹凸性判别法

设 ff 是在区间 I.I. 上二阶可微的函数。

  1. 如果对所有 x∈I,x∈I,，f″(x)>0f″(x)>0，则 ff 在 I.I. 上是凹的。
  2. 如果对所有 x∈I,x∈I,，f″(x)<0f″(x)<0，则 ff 在 I.I. 上是凸的。

可见，可以通过观察函数 f.f. 的二阶导数来确定函数 ff 的凹凸性。此外，我们观察到函数 ff 可以改变凹凸性（图 4.35）。然而，一个连续函数只能在点 xx 处改变凹凸性，如果 f″(x)=0f″(x)=0 或 f″(x)f″(x) 未定义。于是，为了确定函数 ff 是凹的和凸的区间，我们寻找那些使 f″(x)=0f″(x)=0 或 f″(x)f″(x) 未定义的 xx 值。当我们确定了这些点后，我们将 ff 的定义域划分为更小的区间，并确定 f″f″ 在每个更小区间上的符号。如果 f″f″ 在经过点 x,x, 时改变符号，则 ff 改变凹凸性。重要的是要记住，即使 f″(x)=0f″(x)=0 或 f″(x)f″(x) 未定义，函数 ff 也可能不会在点 xx 处改变凹凸性。但是，如果 ff 确实在点 aa 处改变凹凸性，并且 ff 在 a,a, 处连续，我们称点 (a,f(a))(a,f(a)) 是 f.f. 的一个拐点。

定义

如果 ff 在 aa 处连续，并且 ff 在 a,a, 处改变凹凸性，则点 (a,f(a))(a,f(a)) 是 f.f. 的一个拐点。

图中显示了一个已移至第一象限的正弦函数。函数开始递减，因此f’ < 0且f’’ > 0。函数达到局部最小值后开始递增，于是f’ > 0且f’’ > 0。注意到在这两个区间内斜率是递增的。函数随后达到一个拐点(a, f(a))，从此处开始，即使函数继续递增，斜率仍在递减，因此f’ > 0且f’’ < 0。函数达到最大值后开始递减，因此f’ < 0且f’’ < 0。
图 4.35 由于对 x<a,x<a,，f″(x)>0f″(x)>0，函数 ff 在区间 (−∞,a).(−∞,a). 上是凹的。由于对 x>a,x>a,，f″(x)<0f″(x)<0，函数 ff 在区间 (a,∞).(a,∞). 上是凸的。点 (a,f(a))(a,f(a)) 是 f.f. 的一个拐点。

例 4.19

凹凸性判别

对于函数 f(x)=x3−6x2+9x+30,f(x)=x3−6x2+9x+30,，确定所有 ff 是凹的区间和所有 ff 是凸的区间。列出 f.f. 的所有拐点。使用图形工具确认你的结果。

解

为了确定凹凸性，我们需要找到二阶导数 f″(x).f″(x).。一阶导数是 f′(x)=3x2−12x+9,f′(x)=3x2−12x+9,，所以二阶导数是 f″(x)=6x−12.f″(x)=6x−12.。如果函数改变凹凸性，它发生在 f″(x)=0f″(x)=0 或 f″(x)f″(x) 未定义时。由于 f″f″ 对所有实数 x,x, 都有定义，我们只需要找到 f″(x)=0.f″(x)=0. 的位置。解方程 6x−12=0,6x−12=0,，我们发现 x=2x=2 是 ff 可能改变凹凸性的唯一位置。我们现在在区间 (−∞,2)(−∞,2) 和 (2,∞)(2,∞) 上测试点，以确定 f.f. 的凹凸性。点 x=0x=0 和 x=3x=3 是这些区间的测试点。

区间 测试点 f″(x)=6x−12f″(x)=6x−12 在测试点处的符号 结论
(−∞,2)(−∞,2) x=0x=0 −− ff 是凸的
(2,∞)(2,∞) x=3x=3 ++ ff 是凹的。

于是，函数 ff 在区间 (−∞,2)(−∞,2) 上是凸的，在区间 (2,∞).(2,∞). 上是凹的。由于 ff 在 x=2,x=2, 处改变凹凸性，点 (2,f(2))=(2,32)(2,f(2))=(2,32) 是一个拐点。图 4.36 证实了分析结果。

函数 f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 30 的图形。拐点 (2, 32) 已标记，它大致与两个局部极值点等距。
图 4.36 给定函数在 (2,32)(2,32) 处有一个拐点，图形在此处改变凹凸性。

检验点 4.18

对于 f(x)=−x3+32x2+18x,f(x)=−x3+32x2+18x,，找到所有 ff 是凹的区间和所有 ff 是凸的区间。

我们现在在表 4.1 中总结函数 ff 的一阶和二阶导数提供的关于 f,f, 图形的信息，并在图 4.37 中说明这些信息。

f′f′ 的符号 f″f″ 的符号 ff 是递增还是递减？ 凹凸性
正 正 递增 凹的
正 负 递增 凸的
负 正 递减 凹的
负 负 递减 凸的
表 4.1 导数揭示的图形信息
图中显示了一个在第一象限的函数。它被分为四个部分，分别在局部最小值、拐点和局部最大值处断开。第一部分是递减且凹的；此处，f’ < 0且f’’ > 0。第二部分是递增且凹的；此处，f’ > 0且f’’ > 0。第三部分是递增且凸的；此处，f’ > 0且f’’ < 0。第四部分是递减且凸的；此处，f’ < 0且f’’ < 0。
图 4.37 考虑在开区间 I.I. 上的二阶可微函数 ff。如果对所有 x∈I,x∈I,，f′(x)>0f′(x)>0，则函数在 I.I. 上递增。如果对所有 x∈I,x∈I,，f′(x)<0f′(x)<0，则函数在 I.I. 上递减。如果对所有 x∈I,x∈I,，f″(x)>0f″(x)>0，则函数是凹的。如果对所有 x∈I,x∈I,，f″(x)<0f″(x)<0，则函数在 I.I. 上是凸的。

二阶导数判别法

一阶导数判别法提供了一种寻找局部极值的分析工具，但二阶导数也可用于确定极值。使用二阶导数有时比使用一阶导数更简单。

我们知道，如果一个连续函数有局部极值，它一定发生在临界点处。然而，函数在临界点处不一定有局部极值。在这里，我们研究如何使用二阶导数判别法来确定函数在临界点处是否有局部极值。设ff是一个二阶可导函数，使得f′(a)=0f′(a)=0且f″f″在包含a.a.的开区间II上连续。假设f″(a)<0.f″(a)<0.。由于f″f″在I,I,上连续，则对所有x∈Ix∈I有f″(x)<0f″(x)<0（图 4.38）。那么，根据推论3,3,，f′f′在I.I.上是一个递减函数。由于f′(a)=0,f′(a)=0,，由此可得，对所有x∈I,f′(x)>0x∈I,f′(x)>0，如果x<ax<a，则f′(x)<0f′(x)<0；如果x>a.x>a.，则f′(x)<0f′(x)<0。所以，根据一阶导数判别法，ff在x=a.x=a.处有局部最大值。另一方面，假设存在一点bb，使得f′(b)=0f′(b)=0但f″(b)>0.f″(b)>0.。由于f″f″在包含b,b,的开区间II上连续，则对所有x∈Ix∈I有f″(x)>0f″(x)>0（图 4.38）。那么，根据推论3,f′3,f′，3,f′3,f′在I.I.上是一个递增函数。由于f′(b)=0,f′(b)=0,，故，对所有x∈I,x∈I,，如果x<bx<b，则f′(x)<0f′(x)<0；如果x>b.x>b.，则f′(x)>0f′(x)>0。因此，根据一阶导数判别法，ff在x=b.x=b.处有局部最小值。

函数 f(x) 在第一象限绘制，x 轴上标记了 a 和 b。函数大致呈正弦曲线状，先增加到 x = a，然后减少到 x = b，再增加。在 (a, f(a)) 处，标记了切线，并指出 f’(a) = 0 且 f’’(a) < 0。在 (b, f(b)) 处，标记了切线，并指出 f’(b) = 0 且 f’’(b) > 0。
图 4.38 考虑一个二阶可导函数ff，使得f″f″是连续的。由于f′(a)=0f′(a)=0和f″(a)<0,f″(a)<0,，存在一个包含aa的区间II，使得对于I,I,中的所有xx，如果x<ax<a，则ff是递增的；如果x>a.x>a.，则ff是递减的。因此，ff在x=a.x=a.处有局部最大值。由于f′(b)=0f′(b)=0和f″(b)>0,f″(b)>0,，存在一个包含bb的区间II，使得对于I,I,中的所有xx，如果x<bx<b，则ff是递减的；如果x>b.x>b.，则ff是递增的。于是，ff在x=b.x=b.处有局部最小值。

定理 4.11

二阶导数判别法

假设f′(c)=0,f″f′(c)=0,f″在包含c.c.的区间上连续。

  1. 如果f″(c)>0,f″(c)>0,，则ff在c.c.处有局部最小值。
  2. 如果f″(c)<0,f″(c)<0,，则ff在c.c.处有局部最大值。
  3. 如果f″(c)=0,f″(c)=0,，则判别法失效。

注意，对于情况 iii.，当f″(c)=0,f″(c)=0,时，ff在c.c.处可能有局部最大值、局部最小值，或者两者都没有。例如，函数f(x)=x3,f(x)=x3,、f(x)=x4,f(x)=x4,和f(x)=−x4f(x)=−x4都在x=0.x=0.处有临界点。在每种情况下，二阶导数在x=0.x=0.处都为零。不过，函数f(x)=x4f(x)=x4在x=0x=0处有局部最小值，而函数f(x)=−x4f(x)=−x4在x,x,处有局部最大值，函数f(x)=x3f(x)=x3在x=0.x=0.处没有局部极值。

现在来看看如何使用二阶导数判别法来确定ff在临界点cc（其中f′(c)=0.f′(c)=0.）处是否有局部最大值或局部最小值。

例 4.20

使用二阶导数判别法

使用二阶导数找出函数f(x)=x5−5x3.f(x)=x5−5x3.所有局部极值的位置。

解

为了应用二阶导数判别法，我们首先需要找到满足f′(c)=0.f′(c)=0.的临界点cc。导数为f′(x)=5x4−15x2.f′(x)=5x4−15x2.。因此，当x=0,±3.x=0,±3.时，f′(x)=5x4−15x2=5x2(x2−3)=0f′(x)=5x4−15x2=5x2(x2−3)=0。

为了确定ff在这些点处是否有局部极值，我们需要评估f″f″在这些点处的符号。二阶导数为

f ″ ( x ) = 20 x 3 − 30 x = 10 x ( 2 x 2 − 3 ) . f ″ ( x ) = 20 x 3 − 30 x = 10 x ( 2 x 2 − 3 ) .

在下表中，我们评估了二阶导数在每个临界点处的值，并使用二阶导数判别法来确定ff在这些点处是否有局部最大值或局部最小值。

xx f″(x)f″(x) 结论
−3−3 −303−303 局部最大值
00 00 二阶导数判别法失效
33 303303 局部最小值

根据二阶导数判别法，由此可知，ff在x=−3x=−3处有局部最大值，ff在x=3.x=3.处有局部最小值。二阶导数判别法在x=0.x=0.处失效。为了确定ff在x=0,x=0,处是否有局部极值，我们应用一阶导数判别法。为了评估f′(x)=5x2(x2−3)f′(x)=5x2(x2−3)在x∈(−3,0)x∈(−3,0)和x∈(0,3),x∈(0,3),上的符号，设x=−1x=−1和x=1x=1为两个检验点。由于f′(−1)<0f′(−1)<0和f′(1)<0,f′(1)<0,，可见，ff在这两个区间上都是递减的，因此，ff在x=0x=0处没有局部极值，如下图所示。

函数 f(x) = x5 – 5x3 的图形。函数先增加到 (负根号3, 10)，然后减少到 0 处的拐点，继续减少到 (根号3, −10)，然后增加。
图 4.39 函数ff在x=−3x=−3处有局部最大值，在x=3x=3处有局部最小值。

检验点 4.19

考虑函数f(x)=x3−(32)x2−18x.f(x)=x3−(32)x2−18x.。点c=3,−2c=3,−2满足f′(c)=0.f′(c)=0.。使用二阶导数判别法确定ff在这些点处是否有局部最大值或局部最小值。

我们现在已经掌握了确定函数增减性的工具，并对函数图形的基本形状有了理解。在下一节中，我们将讨论当x→±∞.x→±∞.时函数的变化。届时，我们将拥有足够的工具来准确绘制各种函数的图形。

第4.5节练习

194.

如果 cc 是 f(x),f(x), 的一个临界点，那么在 c?c? 处何时没有局部最大值或局部最小值？请解释。

195.

对于函数 y=x3,y=x3,，x=0x=0 既是拐点又是局部最大值/最小值吗？

196.

对于函数 y=x3,y=x3,，x=0x=0 是一个拐点吗？

197.

对于一个二阶可微函数，点 cc 是否可能既是拐点又是局部极值？

198.

为什么一阶导数判别法需要连续性？请举例说明。

199.

解释一个凸函数是否一定在某个 xx 值处穿过 y=0y=0。

200.

解释一个 22 次多项式是否可以有拐点。

对于以下练习，分析 f′,f′, 的图形，然后列出 ff 递增的或递减的所有区间。

201.
函数 f’(x) 的图形。函数从负值开始，在 (−2, 0) 处穿过 x 轴。然后它继续小幅递增，之后递减并在 (−1, 0) 处穿过 x 轴。它在 (1, −6) 处达到局部最小值，然后递增并在 (2, 0) 处穿过 x 轴。
202.
函数 f’(x) 的图形。函数从负值开始，在 (−2, 0) 处穿过 x 轴。然后它继续小幅递增，之后递减并在 (−1, 0) 处接触 x 轴。接着它小幅递增，之后递减并在原点处穿过 x 轴。然后函数递减至局部最小值，之后递增，在 (1, 0) 处穿过 x 轴，并继续递增。
203.
函数 f’(x) 的图形。函数从负值开始，在原点处接触 x 轴。然后它小幅递减，之后递增并在 (1, 0) 处穿过 x 轴，并继续递增。
204.
函数 f’(x) 的图形。函数从正值开始，递减并在 (−1, 0) 处接触 x 轴。然后它递增至 (0, 4.5)，之后递减并在 (1, 0) 处接触 x 轴。然后函数递增。
205.
函数 f’(x) 的图形。函数从 (−2, 0) 开始，递减至 (−1.5, −1.5)，递增至 (−1, 0)，并继续递增，之后递减至原点。另一侧对称：即函数递增，然后递减穿过 (1, 0)。它继续递减至 (1.5, −1.5)，然后递增至 (2, 0)。

对于以下练习，分析 f′,f′, 的图形，然后列出所有区间，其中

  1. ff 递增和递减，以及
  2. 极小值和极大值所在的位置。
206.
函数 f’(x) 的图形。函数从 (−2, 0) 开始，小幅递减，然后递增至 (−1, 0)，继续递增，之后递减至原点，在此点它递增。
207.
函数 f’(x) 的图形。函数从 (−2, 0) 开始，递增然后递减至 (−1, 0)，递减然后递增至原点处的拐点。然后函数递增并递减穿过 (1, 0)。它继续递减然后递增至 (2, 0)。
208.
函数 f’(x) 的图形从 x = −2 到 x = 2。它在 x = −2 处接近零，但随后迅速递增，并在整个图形长度上保持正值。
209.
函数 f’(x) 的图形。函数从负值开始，在原点处穿过 x 轴，原点是一个拐点。然后它继续递增。
210.
函数 f’(x) 的图形。函数从负值开始，在 (−1, 0) 处穿过 x 轴。然后它继续小幅递增，之后递减并在原点处接触 x 轴。它再次递增，然后递减至 (1, 0)。然后它递增。

对于以下练习，分析 f′,f′, 的图形，然后列出所有拐点以及 ff 凹的和凸的区间。

211.
函数 f’(x) 的图形。函数是线性的，从负值开始。它在原点处穿过 x 轴。
212.
函数 f’(x) 的图形。它是一个开口向上的抛物线，其局部最小值为 0。
213.
函数 f’(x) 的图形。该函数类似于 x3 的图形：即它从负值开始，在原点处穿过 x 轴。然后它继续递增。
214.
函数 f’(x) 的图形。函数从负值开始，在 (−0.5, 0) 处穿过 x 轴。然后它继续递增至 (0, 1.5)，之后递减并在 (1, 0) 处接触 x 轴。然后它递增。
215.
函数 f’(x) 的图形。函数从负值开始，在 (−1, 0) 处穿过 x 轴。然后它继续递增至 (0, 1) 处的局部最大值，在此点它递减并在 (1, 0) 处接触 x 轴。然后它递增。

对于以下练习，绘制一个满足给定定义域 xϵ[−3,3].xϵ[−3,3]. 条件的图形。该函数不必是连续的或可微的。

216.

f(x)>0,f′(x)>0f(x)>0,f′(x)>0 在 x>1,−3<x<0,f′(x)=0x>1,−3<x<0,f′(x)=0 上，0<x<10<x<1 上。

217.

f′(x)>0f′(x)>0 在 x>2,−3<x<−1,f′(x)<0x>2,−3<x<−1,f′(x)<0 上，−1<x<2,f″(x)<0−1<x<2,f″(x)<0 在所有 xx 上。

218.

f″(x)<0f″(x)<0 在 −1<x<1,f″(x)>0,−3<x<−1,1<x<3,−1<x<1,f″(x)>0,−3<x<−1,1<x<3, 上，在 x=0,x=0, 处有局部最大值，在 x=±2x=±2 处有局部最小值。

219.

在 x=2,x=2, 处有局部最大值，在 x=1,x=1, 处有局部最小值，且图形既不凹也不凸。

220.

在 x=±1,x=±1, 处有局部最大值，对于所有 x,x, 函数都是凹的，并且对于所有 x.x. 函数都保持正值。

对于以下练习，确定

  1. ff 递增或递减的区间，以及
  2. f.f. 的局部极小值和极大值。

如果需要，使用计算器绘制函数图形，但请展示你的解题过程。

221.

f(x)=sinx+sin3xf(x)=sinx+sin3x 在 −π<x<π−π<x<π 上。

222.

f ( x ) = x 2 + cos x f ( x ) = x 2 + cos x

对于以下练习，确定 a. ff 凹的或凸的区间，以及 b. f.f. 的拐点。

223.

f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 2 f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 2

对于以下练习，确定

  1. ff 递增或递减的区间，
  2. f,f, 的局部极小值和极大值，
  3. ff 凹的或凸的区间，以及
  4. f.f. 的拐点。
224.

f ( x ) = x 2 − 6 x f ( x ) = x 2 − 6 x

225.

f ( x ) = x 3 − 6 x 2 f ( x ) = x 3 − 6 x 2

226.

f ( x ) = x 4 − 6 x 3 f ( x ) = x 4 − 6 x 3

227.

f ( x ) = x 11 − 6 x 10 f ( x ) = x 11 − 6 x 10

228.

f ( x ) = x + x 2 − x 3 f ( x ) = x + x 2 − x 3

229.

f ( x ) = x 2 + x + 1 f ( x ) = x 2 + x + 1

230.

f ( x ) = x 3 + x 4 f ( x ) = x 3 + x 4

对于以下练习，确定

  1. ff 递增或递减的区间，
  2. f,f, 的局部极小值和极大值，
  3. ff 凹的或凸的区间，以及
  4. f.f. 的拐点。绘制曲线草图，然后使用计算器比较你的答案。如果无法解析地确定精确答案，请使用计算器。
231.

[T] f(x)=sin(πx)−cos(πx)f(x)=sin(πx)−cos(πx) 在 x=[−1,1]x=[−1,1] 上。

232.

[T] f(x)=x+sin(2x)f(x)=x+sin(2x) 在 x=[−π2,π2]x=[−π2,π2] 上

233.

[T] f(x)=sinx+tanxf(x)=sinx+tanx 在 (−π2,π2)(−π2,π2) 上

234.

[T] f(x)=(x−2)2(x−4)2f(x)=(x−2)2(x−4)2

235.

[T] f(x)=11−x,x≠1f(x)=11−x,x≠1

236.

[T] f(x)=sinxxf(x)=sinxx 在 x=x= [2π,0)∪(0,2π][2π,0)∪(0,2π] 上

237.

f(x)=sin(x)exf(x)=sin(x)ex 在 x=[−π,π]x=[−π,π] 上

238.

f ( x ) = ( ln x ) x , x > 0 f ( x ) = ( ln x ) x , x > 0

239.

f ( x ) = 1 4 x + 1 x , x > 0 f ( x ) = 1 4 x + 1 x , x > 0

240.

f ( x ) = e x x , x ≠ 0 f ( x ) = e x x , x ≠ 0

对于以下练习，用 f,f′,和f″f,f′,和f″ 来解释以下描述。

241.

人口增长得更慢。其中 ff 是人口。

242.

自行车加速更快，但汽车行驶更快。其中 f=f= 是自行车的位置减去汽车的位置。

243.

飞机平稳着陆。其中 ff 是飞机的高度。

244.

一家公司跟踪一年中的劳动力成本。7月1日，成本达到峰值。其中 ff 代表劳动力成本。

245.

经济正在加速发展。其中 ff 是衡量经济的指标，例如GDP。

对于以下练习，考虑一个三次多项式 f(x),f(x),，它具有性质 f′(1)=0,f′(3)=0f′(1)=0,f′(3)=0（不适用于练习249和250）。判断以下陈述是真还是假。请说明理由。

246.

f(x)=0f(x)=0 对于某个 1≤x≤31≤x≤3

247.

f″(x)=0f″(x)=0 对于某个 1≤x≤31≤x≤3

248.

在 x=3x=3 处没有绝对最大值。

249.

如果 f(x)f(x) 有三个根，那么它有 11 个拐点。

250.

如果 f(x)f(x) 有一个拐点，那么它有三个实根。