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应用最优化问题

4.7 应用最优化问题

学习目标

  • 4.7.1 在多个应用领域中建立和解决最优化问题。

微积分的一个常见应用是计算函数的最小值或最大值。例如，公司通常希望最小化生产成本或最大化收入。在制造业中，通常希望最小化用于包装特定体积产品的材料量。在本节中，我们将展示如何建立这些类型的最小化和最大化问题，并使用本章中开发的工具来解决它们。

在闭有界区间上解决最优化问题

以下最优化问题的基本思路是一致的：有一个需要最大化或最小化的目标量，同时还要满足一定的约束条件。比如在例 4.32中，目标是使矩形花园的面积最大。当然，如果不加限制地增大边长，面积可以无限增大。但若围栏的总长度有限，就不能随意扩大花园了。下面来看如何在周长受限的条件下使矩形面积最大。

例 4.32

花园面积最大化

一个矩形花园将用一面石墙作为花园的一边，其余三边用铁丝网围起来（图 4.62）。给定 100100 英尺的铁丝网，确定能创建最大面积花园的尺寸。最大面积是多少？

一幅花园的图画，垂直边和水平边分别标有 x 和 y。图画的整个底部水平长度上有一堵石墙。
图 4.62 我们希望确定尺寸 xx 和 yy，以使用 100100 英尺的围栏创建一个最大面积的花园。

解

设 xx 表示花园垂直于石墙一边的长度，yy 表示平行于石墙一边的长度。则花园的面积为

A = x · y . A = x · y .

我们希望在总围栏长度为 100ft.100ft. 的约束下找到最大可能的面积。从图 4.62可知，使用的围栏总长度为 2x+y.2x+y.。因此，约束方程为

2 x + y = 100 . 2 x + y = 100 .

解此方程得到 y,y,，我们有 y=100−2x.y=100−2x.。因此，我们可以将面积表示为

A ( x ) = x · ( 100 − 2 x ) = 100 x − 2 x 2 . A ( x ) = x · ( 100 − 2 x ) = 100 x − 2 x 2 .

在尝试最大化面积函数 A(x)=100x−2x2,A(x)=100x−2x2, 之前，我们需要确定所考虑的定义域。为了建造一个矩形花园，我们当然需要两边的长度都为正。所以，我们需要 x>0x>0 和 y>0.y>0.。由于 y=100−2x,y=100−2x,，如果 y>0,y>0,，则 x<50.x<50.。因此，我们试图确定函数 A(x)A(x) 在开区间 (0,50).(0,50). 上，当 xx 时的最大值。我们不知道函数在开区间上一定有最大值。但是，我们知道连续函数在闭区间上存在绝对最大值（和绝对最小值）。因此，我们考虑函数 A(x)=100x−2x2A(x)=100x−2x2 在闭区间 [0,50].[0,50]. 上的情况。如果最大值出现在内部点，那么我们就找到了开区间 (0,50)(0,50) 中使花园面积最大化的 xx 值。于是，我们考虑以下问题：

在区间 [0,50].[0,50]. 上最大化 A(x)=100x−2x2A(x)=100x−2x2。

如前所述，由于 AA 是闭有界区间上的连续函数，根据最值定理，它存在最大值和最小值。这些极值出现在端点或临界点处。在端点处，A(x)=0.A(x)=0.。由于在开区间 (0,50),(0,50), 内所有 xx 的面积都为正，因此最大值必须出现在临界点。对函数 A(x),A(x), 求导数，可得

A ′ ( x ) = 100 − 4 x . A ′ ( x ) = 100 − 4 x .

因此，唯一的临界点是 x=25x=25（图 4.63）。故，最大面积必须在 x=25.x=25. 时出现。此时，我们有 y=100−2x=100−2(25)=50.y=100−2x=100−2(25)=50.。为了最大化花园的面积，令 x=25x=25 英尺，且 y=50ft.y=50ft.。这个花园的面积是 1250ft2.1250ft2.。

函数 A(x) = 100x – 2x 的图形。在最大值处，有两条虚线的交点和文字“当 x = 25 英尺时，最大面积为 1250 平方英尺。”
图 4.63 为了最大化花园的面积，我们需要找到函数 A(x)=100x−2x2.A(x)=100x−2x2. 的最大值。

检验点 4.31

如果我们想建造与图 4.63中相同的矩形花园，但只有 200200 英尺的围栏，请确定最大面积。

现在来看一个解决类似于例 4.32的最优化问题的一般策略。

解题策略

解决最优化问题

  1. 引入所有变量。如果适用，绘制图形并标注所有变量。
  2. 确定要最大化或最小化的量，以及其他变量的取值范围（如果此时可以确定）。
  3. 用变量写出要最大化或最小化的量的公式。此公式可能涉及多个变量。
  4. 写出步骤 3.3. 中公式里独立变量之间的任何方程。使用这些方程将要最大化或最小化的量写成一个变量的函数。
  5. 根据要解决的实际问题，确定步骤 44 中函数的定义域。
  6. 找到步骤 4.4. 中函数的最大值或最小值。此步骤通常涉及寻找临界点并评估函数在端点处的值。

现在，我们将此策略应用于在给定材料用量约束下最大化无盖盒子的体积。

例 4.33

盒子体积最大化

一个无盖盒子将由一块 2424 英寸乘 3636 英寸的硬纸板制成，方法是从盒子的每个角切掉一个正方形，然后将每边的翻盖折叠起来。每个角应该切掉多大的正方形才能得到最大体积的盒子？

解

步骤 1：设 xx 为从每个角切掉的正方形的边长（图 4.64）。然后，可以将剩余的四个翻盖折叠起来形成一个无盖盒子。设 VV 为所得盒子的体积。

此图包含两个图形。第一个是边长为 24 英寸和 36 英寸的矩形，每个角都切掉了一个边长为 x 的正方形。第二个图是一个盒子，其边长分别为 x 英寸、24 – 2x 英寸和 36 – 2x 英寸。
图 4.64 从硬纸板的每个角切掉一个边长为 xx 英寸的正方形。剩余的翻盖折叠起来形成一个无盖盒子。

步骤 2：我们要最大化盒子的体积。所以，问题是最大化 V.V.。

步骤 3：如步骤 2,2, 中所述，我们要最大化盒子的体积。盒子的体积是 V=L·W·H,V=L·W·H,，其中 L,W,和HL,W,和H 分别是长、宽和高。

步骤 4：从图 4.64中可以看出，盒子的高度是 xx 英寸，长度是 36−2x36−2x 英寸，宽度是 24−2x24−2x 英寸。因此，盒子的体积是

V ( x ) = ( 36 − 2 x ) ( 24 − 2 x ) x = 4 x 3 − 120 x 2 + 864 x . V ( x ) = ( 36 − 2 x ) ( 24 − 2 x ) x = 4 x 3 − 120 x 2 + 864 x .

步骤 5：为了确定所考虑的定义域，检查图 4.64。当然，我们需要 x>0.x>0.。此外，正方形的边长不能大于或等于较短边长的一半，即 2424 英寸；否则，其中一个翻盖将被完全切掉。因此，我们试图确定在开区间 (0,12).(0,12). 上，当 xx 时，盒子是否存在最大体积。由于 VV 是闭区间 [0,12],[0,12], 上的连续函数，我们知道 VV 在闭区间上将有一个绝对最大值。于是，我们考虑函数 VV 在闭区间 [0,12][0,12] 上的情况，并检查绝对最大值是否出现在内部点。

步骤 6：由于 V(x)V(x) 是闭有界区间 [0,12],[0,12], 上的连续函数，VV 必然存在绝对最大值（和绝对最小值）。由于在端点处 V(x)=0V(x)=0，并且对于 0<x<12,0<x<12, 有 V(x)>0V(x)>0，因此最大值必须出现在临界点。导数是

V ′ ( x ) = 12 x 2 − 240 x + 864 . V ′ ( x ) = 12 x 2 − 240 x + 864 .

为了找到临界点，我们需要解方程

12 x 2 − 240 x + 864 = 0 . 12 x 2 − 240 x + 864 = 0 .

将此方程两边除以 12,12,，问题简化为解方程

x 2 − 20 x + 72 = 0 . x 2 − 20 x + 72 = 0 .

使用二次公式，我们发现临界点是

x = 20 ± ( −20 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 72 ) 2 = 20 ± 112 2 = 20 ± 4 7 2 = 10 ± 2 7 . x = 20 ± ( −20 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 72 ) 2 = 20 ± 112 2 = 20 ± 4 7 2 = 10 ± 2 7 .

由于 10+2710+27 不在所考虑的定义域内，我们唯一需要考虑的临界点是 10−27.10−27.。因此，如果我们令 x=10−27in.x=10−27in.，则体积最大化。最大体积为 V(10−27)=640+4487≈1825in.3V(10−27)=640+4487≈1825in.3，如下图所示。

函数 V(x) = 4x3 – 120x2 + 864x 的图形。在最大值处，有两条虚线的交点和文字“当 x ≈ 4.7 英寸时，最大体积约为 1825 立方英寸。”
图 4.65 最大化盒子体积归结为找到一个三次多项式的最大值。

媒体

观看关于优化盒子体积的视频。

检验点 4.32

假设例 4.33中硬纸板的尺寸是 20 英寸乘 30 英寸。设 xx 为每个正方形的边长，并将无盖盒子的体积写成 x.x. 的函数。确定 x.x. 的定义域。

例 4.34

最小化旅行时间

一个岛屿位于直线海岸线上最近点正北方向 2mi2mi 处。一位游客住在岸边的一个小屋里，该小屋位于该点以西 6mi6mi 处。游客计划从小屋前往岛屿。假设游客跑步的速度为 8mph8mph，游泳的速度为 3mph.3mph.。游客应该跑多远再游泳，才能使到达岛屿的时间最短？

解

步骤 1：设 xx 为跑步距离，yy 为游泳距离（图 4.66）。设 TT 为从小屋到岛屿所需的时间。

小屋距离海岸 x 英里。从海岸上的那个点，岛屿距离 y 英里。如果将从小屋到海岸的线（x 英里那条）延长，并且从岛屿画一条平行于海岸的线，那么这些线将在距离岛屿 2 英里和距离小屋 6 英里处相交。
图 4.66 我们如何选择 xx 和 yy 来最小化从小屋到岛屿的旅行时间？

步骤 2：问题是最小化 T.T.。

步骤 3：为了找到从小屋到岛屿的旅行时间，将跑步时间和游泳时间相加。由于距离 == 速度 ×× 时间 (D=R×T),(D=R×T),，跑步时间为

T 跑步 = D 跑步 R 跑步 = x 8 , T 跑步 = D 跑步 R 跑步 = x 8 ,

游泳时间为

T 游泳 = D 游泳 R 游泳 = y 3 . T 游泳 = D 游泳 R 游泳 = y 3 .

所以，总旅行时间为

T = x 8 + y 3 . T = x 8 + y 3 .

步骤 4：从图 4.66中，yy 英里的线段构成了一个直角三角形的斜边，其两条直角边长度分别为 2mi2mi 和 6−xmi.6−xmi.。因此，根据勾股定理，22+(6−x)2=y2,22+(6−x)2=y2,，可得 y=(6−x)2+4.y=(6−x)2+4.。因此，总旅行时间由函数给出

T ( x ) = x 8 + ( 6 − x ) 2 + 4 3 . T ( x ) = x 8 + ( 6 − x ) 2 + 4 3 .

步骤 5：从图 4.66中可以看出，0≤x≤6.0≤x≤6.。于是，[0,6][0,6] 是所考虑的定义域。

步骤 6：由于 T(x)T(x) 是闭有界区间上的连续函数，它存在最大值和最小值。我们首先在区间 [0,6].[0,6]. 上寻找 TT 的任何临界点。导数是

T ′ ( x ) = 1 8 − 1 2 [ ( 6 − x ) 2 + 4 ] −1 / 2 3 · 2 ( 6 − x ) = 1 8 − ( 6 − x ) 3 ( 6 − x ) 2 + 4 . T ′ ( x ) = 1 8 − 1 2 [ ( 6 − x ) 2 + 4 ] −1 / 2 3 · 2 ( 6 − x ) = 1 8 − ( 6 − x ) 3 ( 6 − x ) 2 + 4 .

如果 T′(x)=0,T′(x)=0,，则

1 8 = 6 − x 3 ( 6 − x ) 2 + 4 . 1 8 = 6 − x 3 ( 6 − x ) 2 + 4 .

因此，

3 ( 6 − x ) 2 + 4 = 8 ( 6 − x ) . 3 ( 6 − x ) 2 + 4 = 8 ( 6 − x ) .
(4.6)

将此方程两边平方，可以看出如果 xx 满足此方程，则 xx 必须满足

9 [ ( 6 − x ) 2 + 4 ] = 64 ( 6 − x ) 2 , 9 [ ( 6 − x ) 2 + 4 ] = 64 ( 6 − x ) 2 ,

这意味着

55 ( 6 − x ) 2 = 36 . 55 ( 6 − x ) 2 = 36 .

由此可知，如果 xx 是一个临界点，那么 xx 满足

( x − 6 ) 2 = 36 55 . ( x − 6 ) 2 = 36 55 .

因此，临界点的可能性是

x = 6 ± 6 55 . x = 6 ± 6 55 .

由于 x=6+6/55x=6+6/55 不在定义域内，所以它不可能是临界点。另一方面，x=6−6/55x=6−6/55 在定义域内。由于我们将方程 4.6两边平方以得到可能的临界点，因此仍需验证 x=6−6/55x=6−6/55 是否满足方程 4.6。由于 x=6−6/55x=6−6/55 确实满足该方程，由此可得 x=6−6/55x=6−6/55 是一个临界点，并且是唯一的临界点。为了证明时间在该 x,x, 值处最小，我们只需检查 T(x)T(x) 在端点 x=0x=0 和 x=6,x=6, 处的值，并将其与 T(x)T(x) 在临界点 x=6−6/55.x=6−6/55. 处的值进行比较。我们发现 T(0)≈2.108hT(0)≈2.108h 和 T(6)≈1.417h,T(6)≈1.417h,，而 T(6−6/55)≈1.368h.T(6−6/55)≈1.368h.。因此，TT 在 x≈5.19x≈5.19 英里处有一个局部最小值。

检验点 4.33

假设岛屿距离海岸 11 英里，从小屋到海岸上离岛屿最近点的距离是 15mi.15mi.。假设游客游泳的速度为 2.5mph2.5mph，跑步的速度为 6mph.6mph.。设 xx 表示游客在游泳前跑步的距离，并找到一个表示游客从小屋到岛屿所需时间的函数。

在商业中，企业关注的一个核心问题是收入最大化。下面的例题中，某租车公司收集了不同收费标准下可出租车辆数量的数据。利用这些数据确定公司应如何定价以使收入最大。

例 4.35

最大化收入

一家汽车租赁公司的经营者发现，如果向客户收取每天pp美元的租车费用，其中50≤p≤200,50≤p≤200,，那么他们每天租赁的汽车数量nn可以用线性函数n(p)=1000−5p.n(p)=1000−5p.来建模。如果他们每天收取$50$50或更少的费用，他们将租出所有汽车。如果他们每天收取$200$200或更多的费用，他们将租不出任何汽车。假设经营者计划向客户收取每天 $50$50 到 $200$200 之间的租车费用，他们应该收取多少才能使收入最大化？

解

步骤1：设pp为每天每辆车的收费价格，设nn为每天租赁的汽车数量。设RR为每天的收入。

步骤2：问题是最大化R.R.。

步骤3：收入（每天）等于每天租赁的汽车数量乘以每天每辆车的收费价格，即R=n×p.R=n×p.。

步骤4：由于每天租赁的汽车数量由线性函数n(p)=1000−5p,n(p)=1000−5p,建模，于是收入RR可以用函数表示为

R ( p ) = n × p = ( 1000 − 5 p ) p = −5 p 2 + 1000 p . R ( p ) = n × p = ( 1000 − 5 p ) p = −5 p 2 + 1000 p .

步骤5：由于经营者计划每天每辆车收取$50$50到$200$200之间的费用，因此问题是在pp位于闭区间[50,200].[50,200].上找到R(p)R(p)的最大收入。

步骤6：由于RR在闭有界区间[50,200],[50,200],上是一个连续函数，因此它在该区间内有一个绝对最大值（和绝对最小值）。为了找到最大值，寻找临界点。导数为R′(p)=−10p+1000.R′(p)=−10p+1000.。所以，临界点是p=100p=100。当p=100,p=100,时，R(100)=$50,000.R(100)=$50,000.。当p=50,p=50,时，R(p)=$37,500.R(p)=$37,500.。当p=200,p=200,时，R(p)=$0.R(p)=$0.。因此，绝对最大值出现在p=$100.p=$100.处。汽车租赁公司每天每辆车应收取$100$100的费用，以最大化收入，如下图所示。

函数 R(p) 的图形。在其最大值处有两条虚线的交点，文字显示“当每辆车的收费价格为每天100美元时，最大收入为每天50,000美元。”
图 4.67 为了最大化收入，汽车租赁公司必须平衡租金价格与在该价格下人们将租赁的汽车数量。

检验点 4.34

一家汽车租赁公司每天向客户收取pp美元的费用，其中60≤p≤150.60≤p≤150.。该公司发现每天租赁的汽车数量可以用线性函数n(p)=750−5p.n(p)=750−5p.来建模。公司应该向每位客户收取多少费用才能最大化收入？

例 4.36

最大化内接矩形的面积

一个矩形将内接于椭圆

x24+y2=1.x24+y2=1.

矩形的尺寸应为多少才能使其面积最大化？最大面积是多少？

解

步骤1：为了使矩形内接于椭圆，矩形的边必须平行于坐标轴。设LL为矩形的长度，设WW为矩形的宽度。设AA为矩形的面积。

椭圆 x2/4 + y2 = 1 被绘制出来，其 x 轴截距为 ±2，y 轴截距为 ±1。椭圆内接有一个矩形，其长度为 L（沿 x 方向），宽度为 W。
图 4.68 我们希望最大化内接于椭圆的矩形的面积。

步骤2：问题是最大化A.A.。

步骤3：矩形的面积为A=LW.A=LW.。

步骤4：设(x,y)(x,y)为矩形位于第一象限的顶点，如图 4.68所示。我们可以写出长度L=2xL=2x和宽度W=2y.W=2y.。由于x24+y2=1x24+y2=1和y>0,y>0,，我们有y=1−x24.y=1−x24.。因此，面积为

A = L W = ( 2 x ) ( 2 y ) = 4 x 1 − x 2 4 = 2 x 4 − x 2 . A = L W = ( 2 x ) ( 2 y ) = 4 x 1 − x 2 4 = 2 x 4 − x 2 .

步骤5：从图 4.68中可以看出，为了在椭圆中内接一个矩形，第一象限顶点的xx-坐标必须满足0<x<2.0<x<2.。于是，问题简化为在开区间(0,2).(0,2).上寻找A(x)A(x)的最大值。由于A(x)A(x)在闭区间[0,2],[0,2],上将有一个绝对最大值（和绝对最小值），我们考虑在区间[0,2].[0,2].上的A(x)=2x4−x2A(x)=2x4−x2。如果绝对最大值出现在内部点，那么我们就在开区间中找到了一个绝对最大值。

步骤6：如前所述，A(x)A(x)在闭有界区间[0,2].[0,2].上是一个连续函数。因此，它有一个绝对最大值（和绝对最小值）。在端点x=0x=0和x=2,x=2,处，A(x)=0.A(x)=0.。对于0<x<2,0<x<2,，A(x)>0.A(x)>0.。因此，最大值必须出现在临界点。对A(x),A(x),求导数，可得

A ′ ( x ) = 2 4 − x 2 + 2 x · 1 2 4 − x 2 ( −2 x ) = 2 4 − x 2 − 2 x 2 4 − x 2 = 8 − 4 x 2 4 − x 2 . A ′ ( x ) = 2 4 − x 2 + 2 x · 1 2 4 − x 2 ( −2 x ) = 2 4 − x 2 − 2 x 2 4 − x 2 = 8 − 4 x 2 4 − x 2 .

为了找到临界点，我们需要找到A′(x)=0.A′(x)=0.。我们可以看到，如果xx是以下方程的解

8 − 4 x 2 4 − x 2 = 0 , 8 − 4 x 2 4 − x 2 = 0 ,
(4.7)

那么xx必须满足

8 − 4 x 2 = 0 . 8 − 4 x 2 = 0 .

所以，x2=2.x2=2.。于是，x=±2x=±2是方程 4.7的可能解。由于我们考虑在区间[0,2],[0,2],上的xx，x=2x=2是一个可能的临界点，但x=−2x=−2不是。因此，我们检查22是否是方程 4.7的解。由于x=2x=2是方程 4.7的解，可见，22是A(x)A(x)在区间[0,2].[0,2].上的唯一临界点。因此，A(x)A(x)必须在临界点x=2.x=2.处取得绝对最大值。为了确定矩形的尺寸，我们需要找到长度LL和宽度W.W.。如果x=2x=2，那么

y = 1 − ( 2 ) 2 4 = 1 − 1 2 = 1 2 . y = 1 − ( 2 ) 2 4 = 1 − 1 2 = 1 2 .

于是，矩形的尺寸为L=2x=22L=2x=22和W=2y=22=2.W=2y=22=2.。该矩形的面积为A=LW=(22)(2)=4.A=LW=(22)(2)=4.。

检验点 4.35

如果矩形要内接于单位圆x2+y2=1.x2+y2=1.，请修改面积函数AA。考虑的定义域是什么？

求解区间非闭或无界的最优化问题

在前面的例题中，我们考虑了在闭有界定义域上的函数。因此，根据最值定理，我们保证这些函数存在绝对极值。现在考虑定义域既非闭也非有界的函数。

许多函数即使定义域不是闭的或定义域是无界的，仍然至少有一个绝对极值。例如，函数f(x)=x2+4f(x)=x2+4在(−∞,∞)(−∞,∞)上有一个绝对最小值44，在x=0.x=0.处取得。因此，我们仍然可以考虑在无界定义域或开区间上的函数，并确定它们是否具有任何绝对极值。在下一个例题中，我们尝试在无界定义域上最小化一个函数。我们将看到，尽管考虑的定义域是(0,∞),(0,∞),，但该函数有一个绝对最小值。

在下面的例题中，我们研究如何构造一个具有给定体积且表面积最小的盒子。不难证明，对于一个有盖的盒子，根据对称性，在所有给定体积的盒子中，立方体将具有最小的表面积。所以，我们考虑修改后的问题，即确定具有给定体积的无盖盒子中，哪个具有最小的表面积。

例 4.37

最小化表面积

要建造一个底面为正方形、无盖且体积为216216立方英寸的长方体盒子。盒子的尺寸应为多少才能使其表面积最小化？最小表面积是多少？

解

步骤1：画一个长方体盒子，引入变量xx表示正方形底面的每条边长；设yy表示盒子的高度。设SS表示无盖盒子的表面积。

显示了一个正方形底面的盒子。底面边长为 x，高度为 y。
图 4.69 我们希望最小化具有给定体积的正方形底面盒子的表面积。

步骤2：我们需要最小化表面积。因此，我们需要最小化S.S.。

步骤3：由于盒子是无盖的，我们只需确定四个垂直侧面和底面的面积。四个垂直侧面中每个的面积是x·y.x·y.。底面的面积是x2.x2.。因此，盒子的表面积是

S = 4 x y + x 2 . S = 4 x y + x 2 .

步骤4：由于这个盒子的体积是x2yx2y，并且体积给定为216in.3,216in.3,，所以约束方程是

x 2 y = 216 . x 2 y = 216 .

解约束方程得到y,y,，我们有y=216x2.y=216x2.。于是，我们可以将表面积写成仅关于xx的函数：

S ( x ) = 4 x ( 216 x 2 ) + x 2 . S ( x ) = 4 x ( 216 x 2 ) + x 2 .

因此，S(x)=864x+x2.S(x)=864x+x2.。

步骤5：由于我们要求x2y=216,x2y=216,，所以不能有x=0.x=0.。因此，我们需要x>0.x>0.。另一方面，xx可以取任何正值。注意，当xx变大时，盒子的高度yy相应地变小，使得x2y=216.x2y=216.。类似地，当xx变小，盒子的高度相应地变大。于是，定义域是开的、无界的区间(0,∞).(0,∞).。注意，与前面的例题不同，我们不能将问题简化为在闭有界区间上寻找绝对最大值或绝对最小值。不过，在下一步中，我们将发现为什么这个函数在区间(0,∞).(0,∞).上必须有一个绝对最小值。

步骤6：注意，当x→0+,x→0+,时，S(x)→∞.S(x)→∞.。另外，当x→∞,x→∞,时，S(x)→∞.S(x)→∞.。由于SS是一个连续函数，在两端趋近于无穷大，所以它必须在某个x∈(0,∞).x∈(0,∞).处有一个绝对最小值。这个最小值必须出现在S.S.的临界点。导数为

S ′ ( x ) = − 864 x 2 + 2 x . S ′ ( x ) = − 864 x 2 + 2 x .

因此，当2x=864x2.2x=864x2.时，S′(x)=0S′(x)=0。解这个方程得到x,x,，可得x3=432,x3=432,，所以x=4323=623.x=4323=623.。由于这是S,S,的唯一临界点，因此绝对最小值必须出现在x=623x=623处（参见图 4.70）。当x=623,x=623,时，y=216(623)2=323in.y=216(623)2=323in.。于是，盒子的尺寸应为x=623in.x=623in.和y=323in.y=323in.。有了这些尺寸，表面积为

S ( 6 2 3 ) = 864 6 2 3 + ( 6 2 3 ) 2 = 108 4 3 in . 2 S ( 6 2 3 ) = 864 6 2 3 + ( 6 2 3 ) 2 = 108 4 3 in . 2
函数 S(x) = 864/x + x2 的图形。在其最小值处有一条虚线，文字显示“当 x = 6 乘以 2 的立方根英寸时，最小表面积为 108 乘以 4 的立方根平方英寸。”
图 4.70 我们可以使用图形来确定给定体积和最小表面积的盒子的尺寸。

检验点 4.36

考虑同一个无盖盒子，其体积为216in.3.216in.3.。假设底面材料的成本为20¢/in.220¢/in.2，侧面材料的成本为30¢/in.230¢/in.2，我们要最小化这个盒子的成本。将成本写成底面边长的函数。（设xx为底面边长，设yy为盒子的高度。）

第4.7节练习

对于以下练习，请通过证明、反例或解释来回答。

311.

在求解最优化问题时，为什么需要检查临界点附近的导数符号？

312.

为什么在最优化问题中需要检查端点？

313.

判断对错。对于每个连续的非线性函数，你都能找到使函数最大化的值 xx。

314.

判断对错。对于闭有限定义域上的每个连续非常数函数，至少存在一个使函数最小化或最大化的 xx。

对于以下练习，请建立并求解每个最优化问题。

315.

为了在飞机上携带行李箱，箱子的长度 +宽度++宽度+ 高度必须小于或等于 62in.62in.。假设行李箱的底部是正方形，证明其体积为 V=h(31−(12)h)2.V=h(31−(12)h)2.。什么样的高度能使体积最大？

316.

你正在制作一个尺寸为 2 m × 4 m.2 m × 4 m. 的纸板箱。你从每个角切下大小相等的正方形，以便折叠边缘。具有最大体积的箱子的尺寸是多少？

绘制了一个高为2、宽为4的矩形。每个角上都标有一个边长为x的正方形。
317.

求使一个正整数与其倒数之和最小的正整数。

318.

求两个正整数，使它们的和为 1010 且它们的平方和尽可能大。然后，再求另外两个正整数，使它们的和为 10 且它们的平方和尽可能小。

对于以下练习，考虑建造一个围栏以围住一块区域。

319.

你有 400ft400ft 的围栏材料来建造一个矩形牛栏。使面积最大的牛栏的尺寸是多少？

320.

你有 800ft800ft 的围栏材料来建造一个猪圈。如果你的地块一侧有一条河流，那么使面积最大的矩形猪圈的尺寸是多少？

321.

你需要围一个面积为 1600ft2.1600ft2. 的区域。使所需材料量最小的矩形围栏的尺寸是多少？

322.

两根杆子由一根也连接到地面的电线连接。第一根杆子高 20ft20ft，第二根杆子高 10ft10ft。两根杆子之间的距离为 30ft30ft。电线应该固定在地面上的哪个位置才能使所需电线量最小？

显示了两根杆子，一根高10，另一根高20。用较短的杆子和另一边长x构成一个直角三角形。两根杆子之间的距离是30。
323.

[T] 你搬进新公寓，注意到走廊的一个拐角处从 8英尺8英尺 变窄为 6英尺.6英尺.。能水平搬过这个拐角的最长物品的长度是多少？

绘制了一个倒L形图形，其中横向部分宽6，竖向部分宽8。从横向部分到竖向部分画了一条线，该线接触图形的近角，形成一个直角三角形的斜边，其他边是横向和竖向部分的其余部分。这条线标记为L。
324.

一名患者的脉搏测量值为 70 次/分钟、80 次/分钟、然后 120 次/分钟.70 次/分钟、80 次/分钟、然后 120 次/分钟.。为了确定准确的脉搏测量值，医生想知道哪个值能使表达式 (x−70)2+(x−80)2+(x−120)2?(x−70)2+(x−80)2+(x−120)2? 最小化。哪个值能使其最小化？

325.

在上一题中，假设患者在第三次测量时很紧张，所以我们只将该值的权重设为其他值的一半。使 (x−70)2+(x−80)2+12(x−120)2?(x−70)2+(x−80)2+12(x−120)2? 最小化的值是多少？

326.

你跑步的速度为 66 英里/小时，游泳的速度为 33 英里/小时，你位于岸边，在一个岛屿以东 44 英里处，该岛屿位于海岸线以北 11 英里处。你应该向西跑多远才能使到达岛屿所需的时间最小？

绘制了一个高为1、长为4的矩形。右下角标记为“You”，左上角标记为“Island”。

对于以下问题，考虑一个直径为 40m.40m. 的圆形泳池的救生员。他必须到达泳池正对面溺水的人，位置在 C.C.。救生员以速度 vv 游泳，并以速度 w=3v.w=3v. 绕泳池跑步。

绘制了一个圆，直径上有A点和C点。圆上绘制了一个B点，使得角BAC形成一个锐角θ。
327.

求一个函数，该函数以游泳角度 θ.θ. 为自变量，测量到达溺水者所需的总时间。

328.

求救生员应该以哪个角度 θθ 游泳才能在最短时间内到达溺水者。

329.

一辆卡车的油耗为 g(v)=av+bv,g(v)=av+bv,，其中 vv 表示卡车的速度，gg 表示每英里消耗的燃油加仑数。假设 aa 和 bb 为正，在什么速度下燃油消耗最小？

对于以下练习，考虑一辆豪华轿车，其在速度 v,v, 下的油耗为 m(v)=(120−2v)5英里/加仑m(v)=(120−2v)5英里/加仑，司机的费用为 $15/小时,$15/小时,，汽油价格为 $3.5/加仑.$3.5/加仑.。

330.

求速度为 v.v. 时的每英里成本。

331.

求最经济的驾驶速度。

对于以下练习，考虑一家披萨店，其披萨的收入为 R(x)=axR(x)=ax，成本为 C(x)=b+cx+dx2,C(x)=b+cx+dx2,，其中 xx 表示披萨的数量 ; a > c; a > c。

332.

求披萨数量的利润函数。多少个披萨能使每个披萨的利润最大？

333.

假设 R(x)=10xR(x)=10x 和 C(x)=2x+x2.C(x)=2x+x2.。销售多少个披萨能使利润最大化？

334.

假设 R(x)=15x,R(x)=15x, 和 C(x)=60+3x+12x2.C(x)=60+3x+12x2.。销售多少个披萨能使利润最大化？

对于以下练习，考虑一根长为 4ft4ft 的电线被切成两段。一段形成半径为 rr 的圆形，另一段形成边长为 x.x. 的正方形。

335.

选择 xx 以最大化它们的面积之和。

336.

选择 xx 以最小化它们的面积之和。

对于以下练习，考虑两个非负数 xx 和 yy，使得 x+y=10.x+y=10.。最大化和最小化这些量。

337.

x y x y

338.

x 2 y 2 x 2 y 2

339.

y − 1 x y − 1 x

340.

x 2 − y x 2 − y

对于以下练习，请绘制给定的最优化问题并求解。

341.

求能放入半径为 1.1. 的球体中的最大正圆柱体的体积。

342.

求能放入半径为 1.1. 的球体中的最大正圆锥体的体积。

343.

求能放入边长为 x=0,y=0x=0,y=0 和 x4+y6=1.x4+y6=1. 的三角形中的最大矩形的面积。

344.

求能放入底面半径为 RR、高为 h.h. 的圆锥体中的最大圆柱体的体积。

345.

求体积为 V=16πV=16π 且表面积最小的封闭圆柱体的尺寸。

346.

求表面积为 S=4πS=4π 且体积最大的正圆锥体的尺寸。

对于以下练习，考虑给定图形上的点。使用计算器绘制函数图形。

347.

[T] 直线 y=5−2xy=5−2x 离原点最近的点在哪里？

348.

[T] 直线 y=5−2xy=5−2x 离点 (1,1)?(1,1)? 最近的点在哪里？

349.

[T] 抛物线 y=x2y=x2 离点 (2,0)?(2,0)? 最近的点在哪里？

350.

[T] 抛物线 y=x2y=x2 离点 (0,3)?(0,3)? 最近的点在哪里？

对于以下练习，请写出每个相关变化率情况的方程。不要求解。

351.

一个窗户由一个半圆形和一个矩形组成，半圆形置于矩形上方。如果你有 20ft20ft 的窗框材料用于外框，你能制作的最大窗户尺寸是多少？用 rr 表示半圆的半径。

绘制了一个半径为r的半圆形窗户。
352.

你有一排 2020 棵西瓜植物，平均每棵产 3030 个西瓜。每额外种植一棵西瓜植物，每棵西瓜植物的产量就会减少一个西瓜。你应该额外种植多少棵西瓜植物？

353.

你正在为你的猫建造一个睡觉用的盒子。盒子方形底部的毛绒材料成本为 $5/ft2$5/ft2，侧面材料成本为 $2/ft2.$2/ft2.。你需要一个体积为 4ft3.4ft3. 的盒子。求使成本最小的盒子尺寸。用 xx 表示盒子侧面的长度。

354.

你正在建造五个彼此相邻的相同围栏，总面积为 1000m2,1000m2,，如下图所示。你应该使用什么尺寸来最小化围栏的用量？

一个矩形被分成五个部分，每个部分的长度为 y，宽度为 x。
355.

你是一个拥有 5050 单元的公寓综合体的经理。当你将租金设定为 $800/月,$800/月, 时，所有公寓都已出租。当你将租金增加 $25/月,$25/月, 时，会少租出一套公寓。每个已出租单元的维护成本为 $50/月$50/月。使总利润最大的租金是多少？