核心概念
5.1
面积的近似计算
- 使用形如的求和符号 有助于以紧凑的形式表达长串数值之和。
- 对于在区间 上定义的连续函数，将该区间分成 n 个相等的部分，将矩形延伸到函数图形 上，计算一系列矩形的面积，然后将这些面积求和，可以得到该区域面积的近似值。
- 每个矩形的宽度为。
- 黎曼和 是形如的表达式，可用于估计曲线下的面积。左端点近似和右端点近似是黎曼和的特殊类型，其中的值分别选择为子区间的左端点或右端点。
- 黎曼和在选择函数求值点集方面具有很大的灵活性，通常旨在获得下和 或上和。
5.2
定积分
- 定积分 可用于计算净有向面积，即 x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积。净有向面积可以是正数、负数或零。
- 定积分的组成部分是被积函数、积分变量 和积分上下限。
- 闭区间 上的连续函数是可积函数。不连续的函数仍然可能是可积的，这取决于间断点 的性质。
- 定积分的性质可用于计算积分。
- 许多函数的曲线下面积可以使用几何公式 来计算。
- 函数的平均值 可以使用定积分来计算。
5.4
积分公式与净变化定理
- 净变化定理 指出，当一个量发生变化时，最终值等于初始值加上变化率的积分。净变化可以是正数、负数或零。
- 在对称区间上，偶函数下的面积可由正 x 轴上方面积加倍得到。对于奇函数，在对称区间上的积分等于零，因为一半的面积是负的。
5.5
换元法
- 换元法 是一种简化链式法则 求导结果的函数积分的技术。“换元”一词指的是改变变量，或用变量 u 和 du 替换被积函数中适当的表达式。
- 当对定积分使用换元法时，我们还必须改变积分上下限。