核心概念
6.1
曲线之间的面积
- 正如定积分 可用于求曲线下的面积 一样，它们也可用于求两条曲线之间的面积。
- 为了求由函数 定义的两条曲线之间的面积，需要对这些函数的差进行积分。
- 如果函数的图形 相交，或者区域复杂，则使用函数差的绝对值。此时，可能需要计算两个或更多个积分并将结果相加，以求出该区域的面积。
- 有时，对 y 进行积分来求面积会更容易。无论使用哪个变量作为积分变量，原理都是相同的。
6.2
切片法求体积
- 定积分可用于求立体 的体积。使用切片法时，对截面面积积分即可求体积。
- 对于旋转体，体积切片通常是圆盘，截面是圆。圆盘法 涉及在截面为圆的特定情况下应用切片法，并使用圆的面积公式。
- 如果旋转体中心有空腔，则体积切片是垫圈。使用垫圈法 时，在积分之前，从外圆面积中减去内圆面积。
6.3
旋转体的体积：柱壳法
- 柱壳法 是另一种使用定积分计算旋转体体积的方法。这种方法有时比圆盘法或垫圈法更为方便，因为我们对另一个变量进行积分。在某些情况下，一个积分比另一个积分复杂得多。
- 函数的几何形状和积分的难度是决定使用哪种积分方法的主要因素。
6.4
曲线的弧长和表面积
- 曲线 的弧长 可以使用定积分计算。
- 弧长首先使用线段进行近似，这会生成一个黎曼和。然后取极限 即可得到定积分公式。同样的过程也可以应用于 的函数。
- 用于计算弧长的概念可以推广到求旋转曲面 的表面积。
- 由弧长和表面积公式得到的积分通常难以计算。可能需要使用计算机或计算器近似其值。
6.5
物理应用
- 定积分的几种物理应用在工程和物理学中很常见。
- 如果已知物体的密度函数，则可以使用定积分来确定其质量。
- 功也可由对力函数积分来计算；在抽水等抵消重力的问题中也是如此。
- 定积分还可以用于计算浸没在液体中的物体所受的力。
6.6
矩和质心
- 在数学上，一个系统的质心 是指系统的总质量可以集中在该点而不改变矩 的点。通俗地说，质心可以被认为是系统的平衡点。
- 对于沿数轴分布的质点，系统相对于原点 的矩为 。对于分布在平面上的质点，系统相对于 x 轴和 y 轴的矩分别为 和 。
- 对于由函数 在上方界定的薄片，系统相对于 x 轴和 y 轴的矩分别为 和 。
- 质心的 x 坐标 和 y 坐标可由绕 y 轴和绕 x 轴的矩分别除以总质量得到。对称原理 表明，如果一个区域相对于一条直线对称，那么该区域的形心 位于该直线上。
- 帕普斯体积定理 表明，如果一个区域绕外部轴旋转，则所得立体的体积等于该区域的面积乘以该区域形心所经过的距离。
6.7
积分、指数函数和对数
- 早期对对数 和指数函数 的处理并未精确和形式化地定义这些函数。本节以数学上严谨的方式阐述这些概念。
- 这一发展的基石是根据积分来定义自然对数。
- 函数 随后被定义为自然对数的反函数。
- 一般指数函数是根据 定义的，其对应的反函数是一般对数。
- 在这一更严谨的背景下，对数和指数 的熟悉性质仍然成立。
6.8
指数增长和指数衰减
- 指数增长 和指数衰减 是指数函数最常见的两种应用。
- 表现出指数增长的系统遵循 形式的模型。
- 在指数增长中，增长率与现有数量成比例。换句话说，。
- 表现出指数增长的系统具有恒定的倍增时间，其由 给出。
- 表现出指数衰减的系统遵循 形式的模型。
- 表现出指数衰减的系统具有恒定的半衰期，其由 给出。
6.9
双曲函数的微积分
- 双曲函数 是根据指数函数定义的。
- 逐项求导可得双曲函数的导数公式。这些导数公式反过来又可得到积分公式。
- 在适当的值域 限制下，双曲函数都有反函数。
- 隐函数求导可得反双曲函数的导数公式，这些公式反过来又可得到积分公式。
- 双曲函数最常见的物理应用是涉及悬链线 的计算。