切线问题与微分学

变化率是微积分中最核心的概念之一。先观察图 2.2中所示的三条直线$f\left(x\right)=\mathrm{-2}x-3,g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1,$和$h\left(x\right)=2,$的图形，着手探究变化率。

图 2.2 在这三个图形中，线性函数的变化率是常数，该常数由斜率决定。

沿着$f\left(x\right)=\mathrm{-2}x-3,$的图形从左向右移动，图形以恒定速率递减：沿x轴每向右移动 1 个单位，y坐标减少 2 个单位。该变化率由斜率 (−2) 决定。类似地，$g\left(x\right)$的斜率为 1/2，表明x每变化 1 个单位，y变化 1/2 个单位。函数$h\left(x\right)=2$的斜率为零，表明函数值恒定不变。可见，线性函数的斜率即其变化率。

将上述三个函数的图形与$k\left(x\right)=x^2$的图形（图 2.3）作比较。$k\left(x\right)=x^2$的图形从左侧起先急剧递减，继而减速趋于平稳，最后转为递增——先慢后快。与线性函数不同，没有单一的数能表示此函数的变化率。由此自然产生一个问题：如何度量非线性函数的变化率？

图 2.3 函数$k\left(x\right)=x^2$没有恒定的变化率。

欲近似函数$f\left(x\right)$在图形上点$\left(a,f\left(a\right)\right)$处的变化率，可在$f\left(x\right)$的图形上另取一点$\left(x,f\left(x\right)\right)$，过此两点作直线并计算其斜率。此直线称为割线。图 2.4显示了函数$f\left(x\right)$在点$\left(a,f\left(a\right)\right).$处的一条割线。

图 2.4 过点$\left(a,f\left(a\right)\right)$的割线斜率可以估计函数在点$\left(a,f\left(a\right)\right).$处的变化率。

割线的严格定义如下：

割线对变化率的近似精度取决于x与a的距离。如图 2.5所示，x越接近a，割线斜率越能准确反映$f\left(x\right)$在a处的变化率。

图 2.5 当x趋近于a时，割线的斜率成为函数$f\left(x\right)$在a处变化率的更好近似。

随此过程推进，割线趋近于一条直线，称为函数$f\left(x\right)$在a处的切线（图 2.6）。切线斜率度量函数在a处的变化率，即函数$f\left(x\right)$在a处的导数，记作$f^{\prime }\left(a\right).$微分学是微积分中专门研究导数及其应用的分支。

图 2.6 解决切线问题：当x趋近于a时，割线趋近于切线。

例 2.1演示了如何求割线斜率。由割线斜率可估计切线斜率，即函数在该点处的变化率。

例 2.1

求割线的斜率

分别求过$\left(1,1\right)$与$f\left(x\right)=x^2$图形上以下各点的割线斜率，以此估计$f\left(x\right)=x^2$在$x=1$处的切线斜率（变化率）。

1. $\left(2,4\right)$
2. $\left(\frac{3}{2},\frac{9}{4}\right)$

解

代入割线斜率公式。

1. $m_{\text{sec}}=\frac{4-1}{2-1}=3$
2. $m_{\text{sec}}=\frac{\frac{9}{4}-1}{\frac{3}{2}-1}=\frac{5}{2}=2.5$

因 (b) 中的点更接近$\left(1,1\right),$，故斜率 2.5 更接近切线斜率。切线斜率的合理估计值在 2 至 2.5 之间（图 2.7）。

图 2.7 通过 (a) $\left(2,4\right)$ 和 (b) $\left(\frac{3}{2},\frac{9}{4}\right)$ 的函数$f\left(x\right)=x^2$在$\left(1,1\right)$处的割线，提供了函数$f\left(x\right)=x^2$在$\left(1,1\right).$处切线的逐步逼近。

接下来探讨一个相关问题。速度可视为位置的变化率。设函数$s\left(t\right),$表示物体在时刻t沿坐标轴的位置，能否利用同样的思路，给出在给定时刻$t=a?$的瞬时速度的合理定义？先用平均速度来近似。匀速运动时，速度等于行进距离与所用时间之比。物体在一段时间内的平均速度定义为位置变化量与时间间隔之比。

t越接近a，平均速度就越接近瞬时速度。注意，求位置函数在一段时间内的平均速度，本质上等同于求函数的割线斜率。求点a处的切线斜率时，令割线斜率中的x趋近于a；类似地，求时刻a的瞬时速度时，令平均速度中的t趋近于a。令x或t趋近于a的过程称为取极限。由此可将瞬时速度定义如下：

例 2.2说明了极限与平均速度的这一关系。

面积问题与积分学

现在转向微积分中的一个经典问题。物理学中许多量——如功——可解释为曲线下方的面积。由此引出一个问题：如何求函数图形与x轴之间在某区间上的面积（图 2.8）？

图 2.8 面积问题：我们如何找到阴影区域的面积？

与之前求解速度问题一样，先尝试近似。将区间 $\left[a,b\right]$ 分成若干小矩形来近似面积，各矩形面积之和即为近似值（图 2.9）。

图 2.9 曲线下方区域的面积通过对薄矩形面积求和来近似。

当矩形宽度趋近于零时，矩形面积之和趋近于 $f\left(x\right)$ 的图形与 x轴之间在区间 $\left[a,b\right].$ 上的面积。此处再次用到极限。此类极限构成定积分定义的基础。积分学即研究积分及其应用的学科。

例 2.3

使用矩形进行估计

估计 x轴与 $f\left(x\right)=x^2+1$ 的图形之间在区间 $\left[0,3\right]$ 上的面积，方法是使用图 2.10中所示的三个矩形。

图 2.10 $f\left(x\right)=x^2+1$ 曲线下方区域的面积可以使用矩形进行估计。

解

三个矩形的面积分别为 1 单位²、2 单位² 和 5 单位²，故面积估计值为 8 单位²。

检验点 2.3

估计 x轴与 $f\left(x\right)=x^2+1$ 的图形之间在区间 $\left[0,3\right]$ 上的面积，方法是使用此处所示的三个矩形：

微积分的其他方面

至此仅讨论了单变量函数。此类函数可用二维图形表示，但研究不必局限于二维。例如，除了沿坐标轴运动的物体，还可能要确定弹射器发射的石头或三维空间中飞行的飞机在某时刻的速度。亦可能要绘制二元实值函数的图形，或求图 2.11所示类型的立体体积。这些仅是多元微积分能够提出和解答的众多问题中的几个。简言之，多元微积分研究的是两个或更多变量函数的微积分。然而，在探索这些思想之前，须先通过研究极限概念，为一元微积分的学习奠定基础。

图 2.11 利用多元微积分，可以求由二元函数定义的曲面与平面之间的体积。