导函数

导函数给出原函数在其定义域中导数存在的每个点处的导数值。下面给出导函数的正式定义。

如果 $f^{\prime }(a)$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在 $a$ 点可微。更一般地，如果函数在开集 $S,$ 中的每个点都可微，则称其在 $S$ 上可微；可微函数是指 $f^{\prime }(x)$ 在其整个定义域上都存在的函数。

在接下来的几个例题中，我们使用 公式 3.9 来求函数的导数。

我们用多种不同的记号来表示函数的导数。在 例 3.12 中，我们展示了如果 $f\left(x\right)=x^2-2x,$，那么 $f^{\prime }\left(x\right)=2x-2.$。如果我们将此函数表示为 $y=x^2-2x,$ 的形式，我们可以将导数表示为 $y^{\prime }=2x-2$ 或 $\frac{dy}{dx}=2x-2.$。也可以写成 $\frac{d}{dx}\left(x^2-2x\right)=2x-2.$ 来表达相同的信息。因此，对于函数 $y=f\left(x\right),$，以下每种记号都表示 $f\left(x\right)\text{:}$ 的导数：

我们可以用 $\frac{dy}{dx}|\begin{array}{l}\\ {}_{x=a}\end{array}$ 来代替 $f^{\prime }\left(a\right)$。 $\frac{dy}{dx}$ 记号（称为莱布尼茨记号）在工程和物理学中十分常见。为了更好地理解这一记号，回顾一下：函数在某点处的导数是割线斜率在割线趋近于切线时的极限。这些割线的斜率通常表示为 $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}$ 的形式，其中 $\text{Δ}y$ 是 $y$ 值的差，对应的 $x$ 值的差表示为 $\text{Δ}x$（图 3.11）。因此，导数可以看作 $y$ 关于 $x,$ 的瞬时变化率，表示为

图 3.11 导数表示为 $\frac{dy}{dx}=\underset{\text{Δ}x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}.$。

绘制导函数图形

我们已经讨论了如何绘制函数的图形，因此，给定函数或导函数的方程，我们就可以绘制其图形。如果两者都已知，我们期望在这两个函数的图形之间看到某种对应关系，因为 $f^{\prime }(x)$ 给出函数 $f\left(x\right)$ 的变化率（或 $f(x)).$ 的切线斜率）。

在 例 3.11 中，我们发现对于 $f\left(x\right)=\sqrt{x},f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$。将这两个函数绘制在同一坐标轴上，如 图 3.12 所示，可以借助图形理解这两个函数的关系。首先，$f(x)$ 在整个定义域上是递增的，这意味着各点处切线的斜率均为正。因此，我们期望在定义域中的所有 $x$ 值处都有 $f^{\prime }\left(x\right)>0$。此外，随着 $x$ 递增，$f(x)$ 的切线斜率在递减，我们期望 $f^{\prime }(x).$ 也相应减小。另外，$f\prime \left(0\right)$ 无定义，且 $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}{f}^{\prime }\left(x\right)=\text{+}\infty ,$ 对应于 $f(x)$ 在 $0.$ 处的垂直切线。

图 3.12 导数 $f^{\prime }(x)$ 处处为正，因为函数 $f(x)$ 是递增的。

在 例 3.12 中，我们发现对于 $f\left(x\right)=x^2-2x,f^{\prime }\left(x\right)=2x-2.$。这两个函数的图形如 图 3.13 所示。观察到 $f(x)$ 在 $x<1.$ 上是递减的。对于这些相同的 $x,f^{\prime }\left(x\right)<0.$ 值，$x>1,f(x)$ 是递增的，并且 $f^{\prime }\left(x\right)>0.$。此外，$f(x)$ 在 $x=1$ 处有水平切线，并且 $f^{\prime }\left(1\right)=0.$。

图 3.13 在函数 $f\left(x\right)$ 递减的地方，导数 $f^{\prime }\left(x\right)<0$；在 $f(x)$ 递增的地方，导数 $f^{\prime }\left(x\right)>0$。在函数具有水平切线的地方，导数为零。

例 3.13

利用函数绘制导函数图形

使用下面函数 $f\left(x\right)$ 的图形来绘制 $f^{\prime }\left(x\right).$ 的图形。

解

解见下图。由图可见，$f(x)$ 在 $\left(–2,3\right).$ 上是递增的，并且 $f^{\prime }\left(x\right)>0$。此外，$f(x)$ 在 $\left(\text{−}\infty ,\mathrm{-2}\right)$ 和 $\left(3,\text{+}\infty \right).$ 上是递减的，并且 $f^{\prime }\left(x\right)<0$。还可见$f(x)$ 在 $–2$ 和 $3,$ 处有水平切线，并且 $f^{\prime }\left(\mathrm{-2}\right)=0$ 和 $f^{\prime }\left(3\right)=0.$。

导数与连续性

既然已经能够绘制导函数的图形，接下来就考察这些图形的性质。先讨论可微性与连续性的关系：函数在某点可微一定在该点连续；但在某点连续并不保证可微。事实上，函数即使在某一点连续，也可能因多种原因不可微。

证明

如果 $f(x)$ 在 $a,$ 处可微，那么 $f^{\prime }(a)$ 存在，且

$$f^{\prime }\left(a\right)=\underset{x\to a}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)-f(a)}{x-a}.$$

我们要通过证明 $\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=f(a).$ 来证明 $f(x)$ 在 $a$ 处连续。因此，

$$\begin{array}{ccccc}\hfill \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)& =\underset{x\to a}{\text{lim}}\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)+f(a)\right)\hfill & & & \\ & =\underset{x\to a}{\text{lim}}\left(\frac{f\left(x\right)-f(a)}{x-a}·\left(x-a\right)+f(a)\right)\hfill & & & \text{将}f\left(x\right)-f(a)\text{同乘除以}x-a.\hfill \\ & =\left(\underset{x\to a}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)-f(a)}{x-a}\right)·\left(\underset{x\to a}{\text{lim}}\left(x-a\right)\right)+\underset{x\to a}{\text{lim}}f(a)\hfill & & & \\ & =f\prime \left(a\right)·0+f\left(a\right)\hfill & & & \\ & =f(a).\hfill & & & \end{array}$$

因此，由于 $f\left(a\right)$ 有定义且 $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=f(a),$，我们得出结论，$f$ 在 $a.$ 处连续。

□

我们已经证明了可微性蕴含连续性，现在考虑连续性是否蕴含可微性。为此，考察函数 $f\left(x\right)=\left|x\right|.$。该函数处处连续；然而，$f^{\prime }(0)$ 无定义。这表明连续性并不蕴含可微性。下面进一步分析。对于 $f\left(x\right)=\left|x\right|,$，

$$f^{\prime }\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\left|x\right|-\left|0\right|}{x-0}=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\left|x\right|}{x}.$$

此极限不存在，因为

$$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{\left|x\right|}{x}=\mathrm{-1}\text{和}\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}\frac{\left|x\right|}{x}=1.$$

参见图 3.14。

图 3.14 函数 $f\left(x\right)=\left|x\right|$ 在 $0$ 处连续，但在 $0.$ 处不可微。

接下来考虑连续函数不可微的其他几种情形。考虑函数 $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\text{:}$。

$$f^{\prime }\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt[3]{x}-0}{x-0}=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=\text{+}\infty .$$

因此 $f^{\prime }\left(0\right)$ 不存在。观察 $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ 的图形可以更清楚地说明这一点。该函数在 $0$ 处有一条垂直切线 (图 3.15)。

图 3.15 函数 $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0.$ 处有一条垂直切线。它在 $0$ 处连续，但在 $0.$ 处不可微。

函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x\text{sin}\left(\frac{1}{x}\right)\text{若}x\ne 0\\ 0\text{若}x=0\end{array}$ 的导函数在 $0.$ 处也有一个值得注意的性质。由定义可得

$$f^{\prime }\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{x\text{sin}\left(1\text{/}x\right)-0}{x-0}=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\text{sin}\left(\frac{1}{x}\right).$$

此极限不存在，本质上是因为割线的斜率在趋近于零时不断变换方向 (图 3.16)。

图 3.16 函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x\text{sin}\left(\frac{1}{x}\right)\text{若}x\ne 0\\ 0\text{若}x=0\end{array}$ 在 $0.$ 处不可微。

总结如下：

1. 可以看到：函数只要不连续就不可微，因为可微必连续；但函数连续仍可能不可微。
2. 例如，$f\left(x\right)=\left|x\right|$ 在 $0$ 处不可微，因为从左侧和右侧趋近时切线斜率的极限不相等。在图形上，这表现为函数在 $0.$ 处出现尖角。由此得出结论：函数要在一点处可微，必须在该点“光滑”。
3. 正如我们在 $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x},$ 的例子中所见，函数在具有垂直切线的点处不可微。
4. 正如我们在 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x\text{sin}\left(\frac{1}{x}\right)\text{若}x\ne 0\\ 0\text{若}x=0\end{array}$ 中所见，函数也可能以更复杂的方式在某一点处不可微。

例 3.14

一个连续且可微的分段函数

一家玩具公司希望为玩具车设计一条轨道，使其先沿抛物线行驶，然后过渡到直线 (图 3.17)。描述轨道的函数具有如下形式： $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{10}{x}^2+bx+c\text{若}x<\mathrm{-10}\\ -\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}\text{若}x\ge \mathrm{-10}\end{array}$，其中 $x$ 和 $f(x)$ 的单位均为英寸。为了使玩具车在轨道上平稳行驶，函数 $f(x)$ 必须在 $\mathrm{-10}.$ 处既连续又可微。求使 $f(x)$ 既连续又可微的 $b$ 和 $c$ 的值。

图 3.17 为了使玩具车在轨道上平稳行驶，函数必须既连续又可微。

解

为了使函数在 $x=\mathrm{-10},\underset{x\to {\mathrm{-10}}^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(\mathrm{-10}\right).$ 处连续，需满足

$$\underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\frac{1}{10}{(\mathrm{-10})}^2-10b+c=10-10b+c$$

和 $f\left(\mathrm{-10}\right)=5,$，我们必须有 $10-10b+c=5.$。等价地，我们有 $c=10b-5.$。

为了使函数在 $\mathrm{-10},$ 处可微，

$$f^{\prime }\left(-10\right)=\underset{x\to \text{−}10}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)-f(\mathrm{-10})}{x+10}$$

必须存在。因为 $f\left(x\right)$ 在右侧和左侧由不同的表达式定义，我们需要分别计算左、右极限，并令它们相等：

$$\begin{array}{ccccc}\hfill \underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)-f(\mathrm{-10})}{x+10}& =\underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lim}}\frac{\frac{1}{10}{x}^2+bx+c-5}{x+10}\hfill & & & \\ & =\underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lim}}\frac{\frac{1}{10}{x}^2+bx+\left(10b-5\right)-5}{x+10}\hfill & & & \text{代入}c=10b-5.\hfill \\ & =\underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lim}}\frac{x^2-100+10bx+100b}{10(x+10)}\hfill & & & \text{分子分母同乘以 10。}\hfill \\ & =\underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lim}}\frac{(x+10)(x-10+10b)}{10(x+10)}\hfill & & & \text{分组因式分解。}\hfill \\ & =b-2.\hfill & & & \end{array}$$

另外还有

$$\begin{array}{cc}\hfill \underset{x\to \text{−}{10}^{+}}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)-f(\mathrm{-10})}{x+10}& =\underset{x\to \text{−}{10}^{+}}{\text{lim}}\frac{-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}-5}{x+10}\hfill \\ & =\underset{x\to \text{−}{10}^{+}}{\text{lim}}\frac{\text{−}(x+10)}{4(x+10)}\hfill \\ & =-\frac{1}{4}.\hfill \end{array}$$

由此得到 $b-2=-\frac{1}{4}.$。因此 $b=\frac{7}{4}$ 和 $c=10\left(\frac{7}{4}\right)-5=\frac{25}{2}.$。

检验点 3.8

求出使 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}ax+b\text{若}x<3\\ x^2\text{若}x\ge 3\end{array}$ 在 $3.$ 处既连续又可微的 $a$ 和 $b$ 的值。

高阶导数

函数的导数本身也是一个函数，因此可以对导数再次求导。例如，位置函数的导数是位置的变化率，即速度；速度的导数是速度的变化率，即加速度。对导数求导所得到的新函数称为二阶导数。进而，我们可以继续求导，得到三阶导数、四阶导数，以此类推。这些统称为高阶导数。$y=f(x)$ 的高阶导数记号可以用以下任何一种形式表示：

有趣的是，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 的记号可以看作 $\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$。类似地，$\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)=\frac{d^{3}y}{d{x}^3}.$。