链式法则 - 微积分：第一卷

3.6 链式法则

学习目标

3.6.1 陈述两个函数复合的链式法则。
3.6.2 将链式法则与幂法则结合应用。
3.6.3 在需要时，正确地将链式法则与乘法法则/商法则结合应用。
3.6.4 识别三个或更多函数复合的链式法则。
3.6.5 描述链式法则的证明。

我们已经学习了对基本函数 $(x^{n}, sin x, cos x, 等)$ 以及这些函数的和、差、积、商与常数倍求导的方法。但这些方法不能用于对复合函数求导，例如 $h (x) = sin (x^{3})$ 或 $k (x) = \sqrt{3 x^{2} + 1} .$ 。本节将介绍求两个或更多函数复合的导数的法则。

推导链式法则

当函数是两个或更多函数的复合时，我们可以用已学的方法对其求导。然而，用这些方法将函数拆解为更简单的可微部分，过程可能十分繁琐。为此，我们引入链式法则，它指出：复合函数的导数等于外函数在内函数值处的导数乘以内函数的导数。

为了理解这一法则，我们来看一个例子： $h (x) = sin (x^{3}) .$ 。该函数关于x的导数可理解为 $sin (x^{3})$ 相对于 $x .$ 的变化率。因此，我们关心 $sin (x^{3})$ 如何随着 $x$ 的变化而变化。可将这一过程看作链式反应：当 $x$ 变化时， $x^{3}$ 变化，这又导致 $sin (x^{3}) .$ 的变化。这一过程提示我们，计算 $sin (x^{3}) .$ 的导数所涉及的因素。首先， $x$ 的变化导致 $x^{3}$ 的变化，这表明 $x^{3}$ 的导数应与之有关。此外， $x^{3}$ 的变化导致 $sin (x^{3})$ 的变化，这表明 $sin (u)$ 对 $u,$ 的导数（其中 $u = x^{3},$ ）也是最终导数的一部分。

我们可以更严格地考察导数：在 $h (x) = sin (x^{3}) .$ 的定义域中取特定值 $a$ ，写出导数的极限定义来考察 $h (x) = sin (x^{3})$ 的导数。

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{sin (x^{3}) - sin (a^{3})}{x - a} .

这个式子看起来不太好用；但可将分子分母同乘同除以 $x^{3} - a^{3}$ ，得到

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{sin (x^{3}) - sin (a^{3})}{x^{3} - a^{3}} \cdot \frac{x^{3} - a^{3}}{x - a} .

由导数的定义可知，第二个因子就是 $x^{3}$ 在 $x = a .$ 处的导数。即，

lim_{x \to a} \frac{x^{3} - a^{3}}{x - a} = \frac{d}{d x} {(x^{3})}_{x = a} = 3 a^{2} .

看出第一个因子同样是一个导数会稍微困难一些。令 $u = x^{3}$ ，注意到当 $x \to a, u \to a^{3} :$ 时，可得：

\begin{matrix} lim_{x \to a} \frac{sin (x^{3}) - sin (a^{3})}{x^{3} - a^{3}} & = lim_{u \to a^{3}} \frac{sin u - sin (a^{3})}{u - a^{3}} \\ = \frac{d}{d u} {(sin u)}_{u = a^{3}} \\ = cos (a^{3}) . \end{matrix}

因此， $h^{'} (a) = cos (a^{3}) \cdot 3 a^{2} .$

换言之，若 $h (x) = sin (x^{3}),$ ，那么 $h^{'} (x) = cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2} .$ 。因此，若把 $h (x) = sin (x^{3})$ 看作复合函数 $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ ，其中 $f (x) =$ sin $x$ 且 $g (x) = x^{3},$ ，那么 $h (x) = sin (x^{3})$ 的导数就是 $g (x) = x^{3}$ 的导数与函数 $f (x) = sin x$ 在函数 $g (x) = x^{3} .$ 处求值的乘积。由此可猜测，对于 $h (x) = sin (g (x)),$ ，很可能 $h^{'} (x) = cos (g (x)) g^{'} (x) .$ 。正如我们上面所确定的，对于 $h (x) = sin (x^{3}) .$ 情况确实如此。

上面我们推导出了链式法则的一个特例，现在陈述其一般形式，并将其应用于其他复合函数。本节末尾给出了非正式证明。

法则: 链式法则

设 $f$ 和 $g$ 为函数。对于 $g$ 定义域中所有使 $g$ 在x处可微且 $f$ 在 $g (x),$ 处可微的x值，复合函数

h (x) = (f \circ g) (x) = f (g (x))

的导数为

h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) .

(3.17)

或者，如果 $y$ 是 $u,$ 的函数，且 $u$ 是 $x,$ 的函数，那么

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} .

媒体

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解题策略

应用链式法则

为了对 $h (x) = f (g (x)),$ 求导，首先识别 $f (x)$ 和 $g (x) .$ 。
求 $f' (x)$ 并在 $g (x)$ 处求值，得到 $f^{'} (g (x)) .$ 。
求 $g^{'} (x) .$ 。
写出 $h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) .$ 。

注：对两个或更多函数的复合应用链式法则时，要从外函数向内函数逐层求导。两个函数复合的导数由两部分组成；三个函数复合的导数由三部分组成；依此类推。此外，切记不要对导数再求导。

链式法则与幂法则的结合

现在可以对复合函数应用链式法则，但实际中往往需要将其与其他法则结合使用。例如，要求形如 $h (x) = {(g (x))}^{n},$ 的函数的导数，我们需要将链式法则与幂法则结合使用。为此，我们可以将 $h (x) = {(g (x))}^{n}$ 视为 $f (g (x))$ ，其中 $f (x) = x^{n} .$ 。那么 $f^{'} (x) = n x^{n - 1} .$ 。因此， $f^{'} (g (x)) = n {(g (x))}^{n - 1} .$ 。于是得到利用链式法则求幂函数导数的公式：

h^{'} (x) = n {(g (x))}^{n - 1} g^{'} (x)

法则: 复合函数的幂法则

对于导数有定义的所有x值，如果

h (x) = {(g (x))}^{n} .

那么

h^{'} (x) = n {(g (x))}^{n - 1} g^{'} (x).

(3.18)

例 3.48

使用链式法则和幂法则

求 $h (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}} .$ 的导数。

解

首先，重写 $h (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}} = {(3 x^{2} + 1)}^{−2} .$ 。

应用幂法则，其中 $g (x) = 3 x^{2} + 1,$ ，可得

h^{'} (x) = −2 {(3 x^{2} + 1)}^{−3} (6 x) .

还原为原来的形式，得

h^{'} (x) = \frac{−12 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} .

检验点 3.34

求 $h (x) = {(2 x^{3} + 2 x - 1)}^{4} .$ 的导数。

例 3.49

将链式法则和幂法则与三角函数结合使用

求 $h (x) = {sin}^{3} x .$ 的导数。

解

注意到 ${sin}^{3} x = {(sin x)}^{3},$ ，因此可将 $h (x) = {sin}^{3} x$ 重写为 $h (x) = {(sin x)}^{3} .$ 。

应用幂法则，其中 $g (x) = sin x,$ ，可得

h^{'} (x) = 3 {(sin x)}^{2} cos x = 3 {sin}^{2} x cos x .

例 3.50

求切线方程

求曲线 $h (x) = \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$ 在 $x = 2 .$ 处的切线方程。

解

要求直线方程，需要确定一个点。该点的x坐标为 2。将 2 代入 $h (x) .$ 。由于 $h (2) = \frac{1}{{(3 (2) - 5)}^{2}} = 1,$ ，该点是 $(2, 1) .$ 。

为求斜率，需要计算 $h^{'} (2) .$ 。为了求 $h^{'} (x),$ ，我们首先重写 $h (x) = {(3 x - 5)}^{−2}$ 并应用幂法则，可得

h^{'} (x) = −2 {(3 x - 5)}^{−3} (3) = −6 {(3 x - 5)}^{−3} .

代入得 $h^{'} (2) = −6 {(3 (2) - 5)}^{−3} = −6 .$ 。因此，该直线的方程为 $y - 1 = −6 (x - 2) .$ 。化简得 $y = −6 x + 13 .$ 。

检验点 3.35

求曲线 $f (x) = {(x^{2} - 2)}^{3}$ 在 $x = −2 .$ 处的切线方程。

链式法则与其他法则的结合

掌握了链式法则与幂法则的结合之后，下面探讨链式法则与其他法则的结合。特别是，可以将其与三角函数的导数公式或乘法法则结合使用。

例 3.51

对一般余弦函数使用链式法则

求 $h (x) = cos (g (x)) .$ 的导数。

解

将 $h (x) = cos (g (x))$ 视为 $f (g (x))$ ，其中 $f (x) = cos x .$ 。由于 $f^{'} (x) = − sin x .$ ，我们有 $f^{'} (g (x)) = − sin (g (x)) .$ 。然后我们进行如下计算。

\begin{matrix} h^{'} (x) & = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) & 应用链式法则。 \\ = − sin (g (x)) g^{'} (x) & 代入 f^{'} (g (x)) = − sin (g (x)) . \end{matrix}

因此， $h (x) = cos (g (x))$ 的导数由 $h^{'} (x) = − sin (g (x)) g^{'} (x) .$ 给出。

下面的例题将运用上面推导出的法则。

例 3.52

对余弦函数使用链式法则

求 $h (x) = cos (5 x^{2}) .$ 的导数。

解

设 $g (x) = 5 x^{2} .$ 。那么 $g^{'} (x) = 10 x .$ 。使用上一个例子的结果，

\begin{matrix} h^{'} (x) & = − sin (5 x^{2}) \cdot 10 x \\ = −10 x sin (5 x^{2}) . \end{matrix}

例 3.53

对另一个三角函数使用链式法则

求 $h (x) = sec (4 x^{5} + 2 x) .$ 的导数。

解

对 $h (x) = sec (g (x))$ 应用链式法则，可得

h^{'} (x) = sec (g (x)) tan (g (x)) g^{'} (x) .

在此问题中， $g (x) = 4 x^{5} + 2 x,$ ，所以可得 $g^{'} (x) = 20 x^{4} + 2 .$ 。因此可得

\begin{matrix} h^{'} (x) & = sec (4 x^{5} + 2 x) tan (4 x^{5} + 2 x) (20 x^{4} + 2) \\ = (20 x^{4} + 2) sec (4 x^{5} + 2 x) tan (4 x^{5} + 2 x) . \end{matrix}

检验点 3.36

求 $h (x) = sin (7 x + 2) .$ 的导数。

下面列出一组导数公式，均可由链式法则与三角函数导数公式结合推得。其推导方法与例 3.51和例 3.53类似。为方便起见，公式同时以莱布尼茨记法给出，有些同学觉得这种形式更易于记忆。（本节末尾将讨论链式法则的莱布尼茨记法形式。）不必将这些公式逐条单独背诵，因为它们都是链式法则的直接应用。

定理 3.10

将链式法则与三角函数结合使用

对于导数有定义的所有 $x$ 值，

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (sin (g (x))) = cos (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} sin u = cos u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (cos (g (x))) = − sin (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} cos u = − sin u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (tan (g (x))) = {sec}^{2} (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} tan u = {sec}^{2} u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (cot (g (x))) = − {csc}^{2} (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} cot u = − {csc}^{2} u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (sec (g (x))) = sec (g (x) tan (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} sec u = sec u tan u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (csc (g (x))) = − csc (g (x)) cot (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} csc u = − csc u cot u \frac{d u}{d x} . \end{matrix}

例 3.54

将链式法则与乘法法则结合

求 $h (x) = {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 2)}^{7} .$ 的导数。

解

首先应用乘法法则，然后对乘积的每一项应用链式法则。

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{5}) \cdot {(3 x - 2)}^{7} + \frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{7}) \cdot {(2 x + 1)}^{5} & 应用乘法法则。 \\ = 5 {(2 x + 1)}^{4} \cdot 2 \cdot {(3 x - 2)}^{7} + 7 {(3 x - 2)}^{6} \cdot 3 \cdot {(2 x + 1)}^{5} & 应用链式法则。 \\ = 10 {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{7} + 21 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 1)}^{5} & 化简。 \\ = {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} (10 (3 x - 2) + 21 (2 x + 1)) & 提取公因子 {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} . \\ = {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} (72 x + 1) & 化简。 \end{matrix}

检验点 3.37

求 $h (x) = \frac{x}{{(2 x + 3)}^{3}} .$ 的导数。

三个或更多函数的复合

现在已经能将链式法则与其他求导法则结合使用，但对三个或更多函数的复合函数求导时，需要多次应用链式法则。虽然可以推导出一般公式，但无需专门记忆，只要反复运用链式法则即可。

一般而言，首先我们设

k (x) = h (f (g (x))) .

然后，应用链式法则一次，可得

k^{'} (x) = \frac{d}{d x} (h (f (g (x))) = h' (f (g (x))) \cdot \frac{d}{d x} f ((g (x))) .

再次应用链式法则，可得

k^{'} (x) = h^{'} (f (g (x)) f^{'} (g (x)) g^{'} (x)) .

法则: 三个函数的复合函数的链式法则

对于函数可微的所有 x 值，如果

k (x) = h (f (g (x))),

则

k^{'} (x) = h^{'} (f (g (x))) f^{'} (g (x)) g^{'} (x) .

也就是说，我们连续应用了两次链式法则。

注意，三个函数的复合函数的导数有三部分。（类似地，四个函数的复合函数的导数有四部分，依此类推。）此外，请记住，我们总是可以从外向内，一次求一个导数。

例 3.55

对三个复合函数求导

求 $k (x) = {cos}^{4} ({7 x}^{2} + 1) .$ 的导数。

解

首先，将 $k (x)$ 重写为

k (x) = {(cos (7 x^{2} + 1))}^{4} .

然后多次应用幂法则。

\begin{matrix} k^{'} (x) & = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (\frac{d}{d x} cos (7 x^{2} + 1)) & 应用链式法则。 \\ = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (− sin (7 x^{2} + 1)) (\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 1)) & 应用链式法则。 \\ = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (− sin (7 x^{2} + 1)) (14 x) & 应用链式法则。 \\ = −56 x sin (7 x^{2} + 1) {cos}^{3} (7 x^{2} + 1) & 化简。 \end{matrix}

检验点 3.38

求 $h (x) = {sin}^{6} (x^{3}) .$ 的导数。

例 3.56

在速度问题中使用链式法则

一个质点沿坐标轴运动，其在时刻 t 的位置为 $s (t) = sin (2 t) + cos (3 t) .$ 。求该质点在时刻 $t = \frac{π}{6} ?$ 的速度。

解

为了求质点在时刻 $t,$ 的速度 $v (t),$ ，需要对 $s (t) .$ 求导。因此，

v (t) = s^{'} (t) = 2 cos (2 t) - 3 sin (3 t) .

将 $t = \frac{π}{6}$ 代入 $v (t),$ ，可得 $v (\frac{π}{6}) = −2 .$ 。

检验点 3.39

一个质点沿坐标轴运动，其在时刻 $t$ 的位置为 $s (t) = sin (4 t) .$ 。求其在时刻 $t .$ 的加速度。

证明

下面给出链式法则的一个非正式证明。为简单起见，我们忽略某些细节：例如，假设在包含 $a .$ 的某个开区间中的 $x \neq a$ ，有 $g (x) \neq g (a)$ 。我们首先将导数的极限定义应用于函数 $h (x)$ ，可得 $h^{'} (a) :$ 。

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{x - a} .

重写后，可得

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} \cdot \frac{g (x) - g (a)}{x - a} .

虽然很明显

lim_{x \to a} \frac{g (x) - g (a)}{x - a} = g^{'} (a),

但并不明显

lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} = f^{'} (g (a)) .

为证明这一点，回忆一下：由于 g 在 $a, g$ 处可微，因此在 $a .$ 处也是连续的。因此，

lim_{x \to a} g (x) = g (a) .

接下来，令 $y = g (x)$ 和 $b = g (a)$ ，并在极限中使用换元法，可得

lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} = lim_{y \to b} \frac{f (y) - f (b)}{y - b} = f^{'} (b) = f^{'} (g (a)) .

最后，

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} \cdot \frac{g (x) - g (a)}{x - a} = f^{'} (g (a)) g^{'} (a) .

□

例 3.57

使用链式法则处理函数值

设 $h (x) = f (g (x)) .$ 。如果 $g (1) = 4, g^{'} (1) = 3,$ 且 $f^{'} (4) = 7,$ ，求 $h^{'} (1) .$ 。

解

使用链式法则，然后代入。

\begin{matrix} h^{'} (1) & = f^{'} (g (1)) g^{'} (1) & 应用链式法则。 \\ = f^{'} (4) \cdot 3 & 代入 g (1) = 4 且 g^{'} (1) = 3 . \\ = 7 \cdot 3 & 代入 f' (4) = 7. \\ = 21 & 化简。 \end{matrix}

检验点 3.40

已知 $h (x) = f (g (x)) .$ 。如果 $g (2) = −3, g^{'} (2) = 4,$ 且 $f^{'} (−3) = 7,$ ，求 $h^{'} (2) .$ 。

使用莱布尼茨记号的链式法则

与其他导数一样，链式法则也可以用莱布尼茨记号来表达。这种记法在物理学中广泛使用。

$对 h (x) = f (g (x)),$ 设 $u = g (x)$ 且 $y = h (x) = f (u) .$ 。因此，

h^{'} (x) = \frac{d y}{d x}, f^{'} (g (x)) = f^{'} (u) = \frac{d y}{d u} 且 g^{'} (x) = \frac{d u}{d x} .

因此，

\frac{d y}{d x} = h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} .

法则: 使用莱布尼茨记号的链式法则

如果 $y$ 是 $u,$ 的函数，且 $u$ 是 $x,$ 的函数，则

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} .

例 3.58

使用莱布尼茨记号求导数，例 1

求 $y = {(\frac{x}{3 x + 2})}^{5} .$ 的导数。

解

首先，设 $u = \frac{x}{3 x + 2} .$ 。因此， $y = u^{5} .$ 。接下来，求 $\frac{d u}{d x}$ 和 $\frac{d y}{d u} .$ 。使用商法则，

\frac{d u}{d x} = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}}

且

\frac{d y}{d u} = 5 u^{4} .

最后，将以上结果合并。

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} & 应用链式法则。 \\ = 5 u^{4} \cdot \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} & 代入 \frac{d y}{d u} = 5 u^{4} 且 \frac{d u}{d x} = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} . \\ = 5 {(\frac{x}{3 x + 2})}^{4} \cdot \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} & 代入 u = \frac{x}{3 x + 2} . \\ = \frac{10 x^{4}}{{(3 x + 2)}^{6}} & 化简。 \end{matrix}

需要注意：使用链式法则的莱布尼茨形式时，最终结果必须完全用题目中给出的原始变量来表示。

例 3.59

使用莱布尼茨记号求导数，例 2

求 $y = tan (4 x^{2} - 3 x + 1) .$ 的导数。

解

首先，设 $u = 4 x^{2} - 3 x + 1 .$ 。则 $y = tan u .$ 。接下来，求 $\frac{d u}{d x}$ 和 $\frac{d y}{d u} :$ 。

\frac{d u}{d x} = 8 x - 3 且 \frac{d y}{d u} = {sec}^{2} u .

最后，将以上结果合并。

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} & 应用链式法则。 \\ = {sec}^{2} u \cdot (8 x - 3) & 利用 \frac{d u}{d x} = 8 x - 3 且 \frac{d y}{d u} = {sec}^{2} u . \\ = {sec}^{2} (4 x^{2} - 3 x + 1) \cdot (8 x - 3) & 代入 u = 4 x^{2} - 3 x + 1 . \end{matrix}

检验点 3.41

使用莱布尼茨记号求 $y = cos (x^{3}) .$ 的导数。确保最终结果完全用变量 $x .$ 表示。

第3.6节练习

对于以下练习，给定 $y = f (u)$ 和 $u = g (x),$ ，使用莱布尼茨的链式法则记号 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x} .$ 求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

214.

$y = 3 u - 6, u = 2 x^{2}$

215.

$y = 6 u^{3}, u = 7 x - 4$

216.

$y = sin u, u = 5 x - 1$

217.

$y = cos u, u = \frac{− x}{8}$

218.

$y = tan u, u = 9 x + 2$

219.

$y = \sqrt{4 u + 3}, u = x^{2} - 6 x$

对于以下每个练习，

将每个函数分解为 $y = f (u)$ 和 $u = g (x),$ 的形式，并且
求 $\frac{d y}{d x}$ 作为 $x .$ 的函数。

220.

$y = {(3 x - 2)}^{6}$

221.

$y = {(3 x^{2} + 1)}^{3}$

222.

$y = {sin}^{5} (x)$

223.

$y = {(\frac{x}{7} + \frac{7}{x})}^{7}$

224.

$y = tan (sec x)$

225.

$y = csc (π x + 1)$

226.

$y = {cot}^{2} x$

227.

$y = −6 {(\sin x)}^{- 3}$

对于以下练习，求每个函数的 $\frac{d y}{d x}$ 。

228.

$y = {(3 x^{2} + 3 x - 1)}^{4}$

229.

$y = {(5 - 2 x)}^{−2}$

230.

$y = {cos}^{3} (π x)$

231.

$y = {(2 x^{3} - x^{2} + 6 x + 1)}^{3}$

232.

$y = \frac{1}{{sin}^{2} (x)}$

233.

$y = {(tan x + sin x)}^{−3}$

234.

$y = x^{2} {cos}^{4} x$

235.

$y = sin (cos 7 x)$

236.

$y = \sqrt{6 + sec π x^{2}}$

237.

$y = {cot}^{3} (4 x + 1)$

238.

设 $y = {[f (x)]}^{2}$ ，并假设当 $x = 1 .$ 时， $f^{'} (1) = 4$ 和 $\frac{d y}{d x} = 10$ 。求 $f (1) .$

239.

设 $y = {(f (x) + 5 x^{2})}^{4}$ ，并假设当 $x = −1 .$ 时， $f (−1) = −4$ 和 $\frac{d y}{d x} = 3$ 。求 $f^{'} (−1)$

240.

设 $y = {(f (u) + 3 x)}^{2}$ 和 $u = x^{3} - 2 x .$ 。如果当 $x = 2,$ 时， $f (4) = 6$ 和 $\frac{d y}{d x} = 18$ ，求 $f^{'} (4) .$

241.

[T] 求函数 $y = − sin (\frac{x}{2})$ 在原点处的切线方程。使用计算器同时绘制函数和切线图形。

242.

[T] 求函数 $y = {(3 x + \frac{1}{x})}^{2}$ 在点 $(1, 16) .$ 处的切线方程。使用计算器同时绘制函数和切线图形。

243.

求函数 $y = {(x - \frac{6}{x})}^{8}$ 的切线为水平线时的 $x$ -坐标。

244.

[T] 求函数 $g (θ) = {sin}^{2} (π θ)$ 在点 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) .$ 处的法线方程。使用计算器同时绘制函数和法线图形。

对于以下练习，使用下表中的信息，求 $a .$ 给定值时的 $h^{'} (a)$ 。

$x$	$f (x)$	$f' (x)$	$g (x)$	$g' (x)$
0	2	5	0	2
1	1	−2	3	0
2	4	4	1	−1
3	3	−3	2	3

245.

$h (x) = f (g (x)); a = 0$

246.

$h (x) = g (f (x)); a = 0$

247.

$h (x) = {(x^{4} + g (x))}^{−2}; a = 1$

248.

$h (x) = {(\frac{f (x)}{g (x)})}^{2}; a = 3$

249.

$h (x) = f (x + f (x)); a = 1$

250.

$h (x) = {(1 + g (x))}^{3}; a = 2$

251.

$h (x) = g (2 + f (x^{2})); a = 1$

252.

$h (x) = f (g (sin x)); a = 0$

253.

[T] 货运列车的位置函数由 $s (t) = 100 {(t + 1)}^{−2},$ 给出，其中 $s$ 以米为单位， $t$ 以秒为单位。在 $t = 6$ 秒时，求列车的

速度和
加速度。
根据 a. 和 b. 的结果，判断列车在加速还是减速。

254.

[T] 悬挂在垂直弹簧上的质量块做简谐运动，其位置函数如下，其中 $t$ 以秒为单位， $s$ 以英寸为单位：

$s (t) = −3 cos (π t + \frac{π}{4}) .$

确定弹簧在 $t = 1.5$ 秒时的位置。
求弹簧在 $t = 1.5$ 秒时的速度。

255.

[T] 生产 $x$ 盒薄荷味女童子军饼干的总成本为 $C$ 美元，其中 $C = 0.0001 x^{3} - 0.02 x^{2} + 3 x + 300 .$ 。在 $t$ 周内，预计产量为 $x = 1600 + 100 t$ 盒。

求边际成本 $C^{'} (x) .$
使用莱布尼茨的链式法则记号 $\frac{d C}{d t} = \frac{d C}{d x} \cdot \frac{d x}{d t},$ ，求成本随时间 $t$ 的变化率。
使用 b. 确定当 $t = 2$ 周时成本增加的速度。答案须注明单位。

256.

[T] 圆的面积公式为 $A = π r^{2},$ ，其中 $r$ 是圆的半径。假设圆不断扩大，即面积 $A$ 和半径 $r$ （以英寸为单位）都在增大。

假设 $r = 2 - \frac{100}{{(t + 7)}^{2}}$ ，其中 $t$ 是以秒为单位的时间。使用链式法则 $\frac{d A}{d t} = \frac{d A}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$ ，求面积的增长速率。
使用 a. 求在 $t = 4$ 秒时面积的增长速率。

257.

[T] 球体的体积公式为 $S = \frac{4}{3} π r^{3},$ ，其中 $r$ （以英尺为单位）是球体的半径。假设一个球形雪球在阳光下融化。

假设 $r = \frac{1}{{(t + 1)}^{2}} - \frac{1}{12}$ ，其中 $t$ 是以分钟为单位的时间。使用链式法则 $\frac{d S}{d t} = \frac{d S}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$ ，求雪球融化的速率。
使用 a. 求在 $t = 1$ 分钟时体积变化的速率。

258.

[T] 凤凰城夏季的每日温度（华氏度）可以用函数 $T (x) = 94 - 10 cos [\frac{π}{12} (x - 2)],$ 建模，其中 $x$ 是午夜后的小时数。求下午 4 点时温度的变化率。

259.

[T] 码头水深（以英尺为单位）随潮汐涨落而变化。水深由函数 $D (t) = 5 sin (\frac{π}{6} t - \frac{7 π}{6}) + 8,$ 建模，其中 $t$ 是午夜后的小时数。求上午 6 点时水深的变化率。