用切片法确定体积 - 微积分：第一卷

6.2 用切片法确定体积

学习目标

6.2.1 通过对截面积分（切片法）求立体的体积。
6.2.2 使用圆盘法求旋转体的体积。
6.2.3 使用垫圈法求带空腔的旋转体的体积。

在上一节中，我们使用定积分来求两条曲线之间的面积。在本节中，我们使用定积分来求三维立体的体积。根据立体的特征，我们考虑三种方法——切片法、圆盘法和垫圈法——来求这些体积。

体积与切片法

正如面积是二维区域的数值度量一样，体积是三维立体的数值度量。我们大多数人都利用基本几何公式计算过立体体积。例如，长方体的体积可将长、宽、高相乘计算： $V = l w h .$ 。球体 $(V = \frac{4}{3} π r^{3}),$ 、圆锥体 $(V = \frac{1}{3} π r^{2} h),$ 和棱锥体 $(V = \frac{1}{3} A h)$ 的体积公式也已介绍过。尽管其中一些公式仅使用几何学推导，但所有这些公式都可以通过积分得到。

我们也可以计算圆柱体的体积。尽管我们大多数人认为圆柱体具有圆形底面，例如汤罐或金属棒，但在数学中，”圆柱体”一词具有更普遍的含义。为了在更一般的语境中讨论圆柱体，我们首先需要定义一些术语。

我们将一个立体的截面定义为平面与立体相交的部分。一个圆柱体被定义为通过将一个平面区域沿着垂直于该区域的直线（称为圆柱体的轴）平移而生成的任何立体。于是，所有垂直于圆柱体轴线的截面都是相同的。图 6.11所示的立体是一个具有非圆形底面的圆柱体的例子。那么，要计算圆柱体的体积，我们只需将截面面积乘以圆柱体的高度： $V = A \cdot h .$ 。对于直圆柱体（如汤罐），这变为 $V = π r^{2} h .$ 。

此图包含两个图形。第一个图形是半个圆柱体，位于平面部分。圆柱体中心有一条标有“x”的线。一个平面垂直穿过圆柱体，与该线垂直。第二个图形是圆柱体与平面相交的二维截面。它是一个半圆形。

图 6.11 特定圆柱体的每个截面都与其他截面相同。

如果一个立体没有恒定的截面（并且它不是其他基本立体之一），我们可能没有其体积的公式。此时可以用定积分来计算立体的体积。做法是把立体切成薄片，估计每个薄片的体积，再将这些近似体积求和。所有薄片都应相互平行，并且组合起来后应覆盖整个立体。例如，考虑图 6.12所示的立体S，它沿着 $x 轴 .$ 延伸。

一个三维立体。它的一条边沿着x轴。x轴是二维坐标系的一部分，其中y轴已标记。立体沿着x轴的边从标有”a”的点开始，到标有”b”的点结束。

图 6.12 一个具有可变截面的立体。

我们希望将 $S$ 分割成垂直于 $x 轴 .$ 的薄片。正如我们将在本章后面看到的那样，有时我们可能希望沿其他方向切割立体——例如，使用垂直于y轴的薄片。决定如何切割立体非常重要。如果选择错误，计算可能会变得相当复杂。在本章后面，我们将详细研究其中一些情况，并探讨如何决定切割立体的方向。不过，就本节而言，我们使用垂直于 $x 轴 .$ 的薄片。

由于截面面积不是常数，我们令 $A (x)$ 表示点 $x .$ 处的截面面积。现在，设 $P = {x_{0}, x_{1} …, X_{n}}$ 是区间 $[a, b],$ 的一个等分分割，对于 $i = 1, 2,… n,$ ，设 $S_{i}$ 表示从 $x_{i - 1} 到 x_{i} .$ 延伸的 $S$ 的薄片。下图显示了被 $n = 3 .$ 分割的立体。

一个三维立体。它的一条边沿着x轴。x轴是二维坐标系的一部分，其中y轴已标记。立体沿着x轴的边从标有”a=xsub0”的点开始。立体被xsub1、xsub2处的切片分割成更小的立体，并在标有”b=xsub3”的点停止。这些较小的立体被标记为Ssub1、Ssub2和Ssub3，并用阴影表示。

图 6.13 立体

S

已被分割成三个垂直于

x 轴 .

的薄片。

最后，对于 $i = 1, 2,… n,$ ，设 $x_{i}^{*}$ 是 $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ 中的任意一点。那么薄片 $S_{i}$ 的体积可由 $V (S_{i}) \approx A (x_{i}^{*}) Δ x .$ 估计。将这些近似值求和，可见整个立体 $S$ 的体积可以近似为

V (S) \approx \sum_{i = 1}^{n} A (x_{i}^{*}) Δ x .

现在可以看出这是一个黎曼和，下一步是取 $n \to \infty .$ 时的极限。于是有

V (S) = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} A (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{a}^{b} A (x) d x .

我们刚刚描述的技术称为切片法。为了应用该方法，我们使用以下策略。

解题策略

用切片法求体积

检查立体并确定其截面的形状。如果没有提供图片，通常绘制一张会有帮助。
确定截面面积的公式。
在适当的区间上对面积公式进行积分以获得体积。

回想一下，在本节中，我们假设薄片垂直于 $x 轴 .$ 。因此，面积公式是关于x的，并且积分上下限位于 $x 轴 .$ 上。不过，这里所示的解题策略无论我们选择如何切割立体都是有效的。

例 6.6

推导棱锥体积公式

我们从几何学中知道，棱锥的体积公式是 $V = \frac{1}{3} A h .$ 。如果棱锥有一个正方形底面，则变为 $V = \frac{1}{3} a^{2} h,$ ，其中 $a$ 表示底面一边的长度。我们将使用切片法来推导这个公式。

解

我们希望将切片法应用于一个正方形底面的棱锥。为了设置积分，考虑图 6.14所示的棱锥，它沿着 $x 轴 .$ 方向放置。

此图包含两个图形。第一个图形标记为“a”，是一个侧放的棱锥。x轴穿过棱锥的中间。棱锥顶部的点位于x-y坐标系的原点。棱锥的底面用阴影表示并标记为”a”。棱锥内部有一个阴影矩形，标记为“s”。从y轴到棱锥底面的距离标记为“h”。棱锥内部矩形到y轴的距离标记为“x”。第二个图形是棱锥的截面，x轴和y轴已标记。截面是一个三角形，其中一条边标记为“a”，垂直于x轴。距离a到y轴的距离是h。三角形内部还有一条垂直于x轴的线。它标记为“s”。它距离y轴x个单位。

图 6.14 (a) 一个正方形底面的棱锥沿着x轴方向放置。(b) 从侧面看到的棱锥的二维视图。

我们首先要确定棱锥截面的形状。我们知道底面是正方形，所以截面也是正方形（步骤1）。现在我们想确定其中一个截面正方形的面积公式。观察图 6.14(b)，并使用比例关系（因为它们是相似三角形），我们有

\frac{s}{a} = \frac{x}{h} 或 s = \frac{a x}{h} .

所以，其中一个截面正方形的面积是

A (x) = s^{2} = {(\frac{a x}{h})}^{2} (步骤 2) .

然后在区间 $0 到 h$ 上积分，就得到棱锥的体积（步骤 $3) :$ ）。

\begin{matrix} V & = \int_{0}^{h} A (x) d x \\ = \int_{0}^{h} {(\frac{a x}{h})}^{2} d x = \frac{a^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2} d x \\ = {[\frac{a^{2}}{h^{2}} (\frac{1}{3} x^{3})] |}_{0}^{h} = \frac{1}{3} a^{2} h . \end{matrix}

这就是我们正在寻找的公式。

检验点 6.6

使用切片法推导圆锥的体积公式 $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ 。

旋转体

如果平面上的一个区域绕着该平面上的一条直线旋转，所形成的立体称为旋转体，如下图所示。

此图包含三个图形。第一个图形标记为“a”，是x-y平面上的一个区域。该区域由x轴上方的一条曲线和x轴围成。第二个图形标记为“b”，与“a”中的区域相同，但显示该区域开始绕x轴旋转。第三个图形标记为“c”，是由“a”中的区域完全绕x轴旋转形成的实体。

图 6.15 (a) 这是绕x轴旋转的区域。(b) 当区域开始绕轴旋转时，它扫出一个旋转体。(c) 这是旋转完成后形成的立体。

旋转体在机械应用中很常见，例如车床生产的机械零件。本节的其余部分我们将研究这类立体。下一个例子使用切片法计算旋转体的体积。

媒体

使用在线积分计算器了解更多信息。

例 6.7

使用切片法求旋转体的体积

使用切片法求由 $f (x) = x^{2} - 4 x + 5, x = 1, 和 x = 4,$ 的图形所围成并绕 $x 轴 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

解

使用解题策略，我们首先绘制二次函数在区间 $[1, 4]$ 上的图形，如下图所示。

此图是抛物线f(x)=x^2-4x+5的图形。抛物线是x轴上方阴影区域的顶部。该区域左侧由x=1处的线界定，右侧由x=4处的线界定。

图 6.16 用于生成旋转体的区域。

接下来，将该区域绕x轴旋转，如下图所示。

此图包含两个抛物线f(x)=x^2-4x+5的图形。抛物线是x轴上方阴影区域的顶部。该区域左侧由x=1处的线界定，右侧由x=4处的线界定。第一个图形在抛物线下方有一个阴影实体。这个实体是通过将抛物线绕x轴旋转形成的。第二个图形与第一个图形相同，实体被旋转以显示实体。

图 6.17 图 6.16中区域绕

x 轴 .

旋转产生的旋转体的两种视图，(a)和(b)。

该立体由区域绕 $x 轴，$ 旋转而成，因此截面是圆形（步骤1）。截面面积就是圆的面积，圆的半径由 $f (x) .$ 给出。使用圆的面积公式：

A (x) = π r^{2} = π {[f (x)]}^{2} = π {(x^{2} - 4 x + 5)}^{2} (步骤 2) .

那么，体积是（步骤3）

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} A (x) d x \\ = \int_{1}^{4} π {(x^{2} - 4 x + 5)}^{2} d x = π \int_{1}^{4} (x^{4} - 8 x^{3} + 26 x^{2} - 40 x + 25) d x \\ = {π (\frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + \frac{26 x^{3}}{3} - 20 x^{2} + 25 x) |}_{1}^{4} = \frac{78}{5} π . \end{matrix}

体积是 $78 π / 5 .$ 。

检验点 6.7

使用切片法求由函数 $f (x) = 1 / x$ 的图形与 $x 轴$ 之间在区间 $[1, 2]$ 上所围成的区域绕 $x 轴 .$ 旋转形成的旋转体的体积。见下图。

此图包含两个图形。第一个图形是曲线f(x)=1/x。它是一条递减曲线，位于第一象限的x轴上方。该图形在x=1和x=2之间曲线下方有一个阴影区域。第二个图形是第一象限的曲线f(x)=1/x。此外，在此图形下方，在x=1和x=2之间有一个实体，该实体是通过将第一个图形中的区域绕x轴旋转形成的。

圆盘法

当我们使用切片法处理旋转体时，它通常被称为圆盘法，因为对于旋转体，用于近似立体体积的切片是圆盘。为了理解这一点，考虑由函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} + 1$ 的图形与 $x 轴$ 之间在区间 $[−1, 3]$ 上绕 $x 轴 .$ 旋转所生成的旋转体。该函数的图形和代表性圆盘如图 6.18(a) 和 (b) 所示。旋转区域和所得旋转体如图 6.18(c) 和 (d) 所示。

此图包含四个图形。第一个图形，标记为“a”，是一个抛物线 f(x)=(x-1)^2+1。曲线在x轴上方，并与y轴相交于y=2。在第一象限的曲线下方是一个垂直矩形，从x轴开始，到曲线结束。第二个图形，标记为“b”，与第一个图形中的抛物线相同。第一个图形中抛物线下的矩形绕x轴旋转，形成一个实心圆盘。第三个图形，标记为“c”，与第一个图形中的抛物线相同。有一个阴影区域，上方由抛物线界定，左侧由直线x=-1界定，右侧由直线x=3界定，下方由x轴界定。第四个图形，标记为“d”，与第一个图形中的抛物线相同。第三个图形中的区域绕x轴旋转，形成一个实体。

图 6.18 (a) 用于近似曲线下面积的薄矩形。(b) 通过将矩形绕

x 轴 .

旋转形成的代表性圆盘。(c) 曲线下方的区域绕

x 轴,

旋转，得到 (d) 旋转体。

在推导切片法时，我们已经使用了体积公式的黎曼和形式化推导。我们知道

V = \int_{a}^{b} A (x) d x .

圆盘法唯一的不同之处在于，我们预先知道截面面积的公式，即圆的面积。由此得到以下法则。

法则: 圆盘法

设 $f (x)$ 连续且非负。定义 $R$ 为由 $f (x),$ 的图形上方、 $x 轴，$ 下方、直线 $x = a,$ 左侧和直线 $x = b .$ 右侧所围成的区域。那么，将 $R$ 绕 $x 轴$ 旋转所形成的旋转体的体积由下式给出

V = \int_{a}^{b} π {[f (x)]}^{2} d x .

(6.3)

我们一直在研究的立体的体积（图 6.18）由下式给出

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} π {[f (x)]}^{2} d x \\ = \int_{−1}^{3} π {[{(x - 1)}^{2} + 1]}^{2} d x = π \int_{−1}^{3} [{(x - 1)}^{4} + 2 {(x - 1)}^{2} + 1] d x \\ = π {[\frac{1}{5} {(x - 1)}^{5} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + x] |}_{−1}^{3} = π [(\frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 3) - (- \frac{32}{5} - \frac{16}{3} - 1)] = \frac{412 π}{15} {单位}^{3} . \end{matrix}

我们来看一些例题。

例 6.8

使用圆盘法计算旋转体体积 1

使用圆盘法计算由函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 的图形与 $x 轴$ 之间在区间 $[1, 4]$ 上绕 $x 轴 .$ 旋转所生成的旋转体的体积。

解

函数图形和旋转体如下图所示。

此图包含两个图形。第一个图形，标记为“a”，是曲线 f(x) = squareroot(x)。它是一条在x轴上方的递增曲线。该曲线位于第一象限。曲线下方是一个由x=1和x=4界定的区域。该区域的底部是x轴。第二个图形，标记为“b”，与第一个图形中的曲线相同。第一个图形中的区域已绕x轴旋转，形成一个旋转体。

图 6.19 (a) 在区间

[1, 4] .

上的函数

f (x) = \sqrt{x}

。(b) 通过将

f (x)

的图形下方的区域绕

x 轴 .

旋转得到的旋转体。

可得

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} π {[f (x)]}^{2} d x \\ = \int_{1}^{4} π {[\sqrt{x}]}^{2} d x = π \int_{1}^{4} x d x \\ = {\frac{π}{2} x^{2} |}_{1}^{4} = \frac{15 π}{2} . \end{matrix}

体积为 $(15 π) / 2$ 立方单位。

检验点 6.8

使用圆盘法计算由函数 $f (x) = \sqrt{4 - x}$ 的图形与 $x 轴$ 之间在区间 $[0, 4]$ 上绕 $x 轴 .$ 旋转所生成的旋转体的体积。

到目前为止，我们的例题都涉及绕 $x 轴，$ 旋转的区域，但把平面区域绕任意水平线或垂直线旋转，同样可以生成旋转体。在下一个例题中，我们将研究一个由区域绕 $y 轴 .$ 旋转生成的旋转体。圆盘法的机制与以 $x 轴$ 为旋转轴时几乎相同，但这里要把函数写成 $y$ 的形式，并对 y 积分。相关结论总结在以下法则中。

法则: 绕 y 轴旋转的旋转体的圆盘法

设 $g (y)$ 连续且非负。定义 $Q$ 为由 $g (y),$ 的图形右侧、 $y 轴，$ 左侧、直线 $y = c,$ 下方和直线 $y = d .$ 上方所围成的区域。那么，将 $Q$ 绕 $y 轴$ 旋转所形成的旋转体的体积由下式给出

V = \int_{c}^{d} π {[g (y)]}^{2} d y .

(6.4)

下一个例题将展示此法则在实践中如何应用。

例 6.9

使用圆盘法计算旋转体体积 2

设 $R$ 为由 $g (y) = \sqrt{4 - y}$ 的图形与 $y 轴$ 之间在 $y 轴$ 区间 $[0, 4] .$ 上所围成的区域。使用圆盘法计算将 $R$ 绕 $y 轴 .$ 旋转所生成的旋转体的体积。

解

图 6.20 显示了函数和可用于估计体积的代表性圆盘。注意，由于我们是绕 $y 轴，$ 旋转函数，因此圆盘是水平的，而不是垂直的。

此图包含两个图形。第一个图形，标记为“a”，是曲线 g(y) = squareroot(4-y)。它是一条从y轴上y=4处开始的递减曲线。曲线与y轴之间有一个水平矩形。矩形从y轴开始，到曲线结束。第二个图形，标记为“b”，与第一个图形中的曲线相同。第一个图形中的矩形已绕y轴旋转，形成一个水平圆盘。

图 6.20 (a) 显示的是函数

g (y) = \sqrt{4 - y}

的曲线与

y 轴 .

之间的一个薄矩形。(b) 矩形绕

y 轴 .

旋转后形成一个代表性圆盘。

待旋转的区域和完整的旋转体如下图所示。

此图包含两个图形。第一个图形，标记为“a”，是曲线 g(y) = squareroot(4-y)。它是一条从y轴上y=4处开始的递减曲线。由x轴、y轴和曲线形成的区域用阴影表示。该区域位于第一象限。第二个图形，标记为“b”，与第一个图形中的曲线相同。第一个图形中的区域已绕y轴旋转，形成一个实体。

图 6.21 (a) 在

y 轴

区间

[0, 4] .

上函数

g (y) = \sqrt{4 - y}

左侧的区域。(b) 通过将区域绕

y 轴 .

旋转形成的旋转体。

为了求体积，我们对 $y .$ 进行积分。可得

\begin{matrix} V & = \int_{c}^{d} π {[g (y)]}^{2} d y \\ = \int_{0}^{4} π {[\sqrt{4 - y}]}^{2} d y = π \int_{0}^{4} (4 - y) d y \\ = {π [4 y - \frac{y^{2}}{2}] |}_{0}^{4} = 8 π . \end{matrix}

体积为 $8 π$ 立方单位。

检验点 6.9

使用圆盘法计算由函数 $g (y) = y$ 的图形与 $y 轴$ 之间在区间 $[1, 4]$ 上绕 $y 轴 .$ 旋转所生成的旋转体的体积。

垫圈法

有些旋转体中间有空腔；它们并非一直实心到旋转轴。有时，这仅仅是旋转区域相对于旋转轴的形状所致。在其他情况下，当旋转区域被定义为两个函数图形之间的区域时，也会出现空腔。第三种情况是当选择的旋转轴不是 $x 轴$ 或 $y 轴$ 时。

当旋转体中间有空腔时，用于近似计算体积的切片不是圆盘，而是垫圈（中心有孔的圆盘）。例如，考虑由函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 的图形上方和函数 $g (x) = 1$ 的图形下方在区间 $[1, 4] .$ 上所围成的区域。当该区域绕 $x 轴，$ 旋转时，结果是一个中间带有空腔的旋转体，且切片是垫圈。函数图形和代表性垫圈如图 6.22(a)和(b)所示。旋转区域和所得旋转体如图 6.22(c)和(d)所示。

此图包含四个图形。第一个图形标记为“a”，显示了在第一象限绘制的两个函数 f(x)=squareroot(x) 和 g(x)=1。f(x) 是一条从原点开始的递增曲线，g(x) 是一条在 y=1 处的水平线。曲线在有序对 (1,1) 处相交。曲线之间是一个阴影矩形，底部在 g(x) 上，顶部在 f(x) 上。第二个图形标记为“b”，与第一个图形显示相同的两条曲线。第一个图形中曲线之间的阴影矩形已绕 x 轴旋转，形成一个空心圆盘或垫圈。第三个图形标记为“a”，与第一个图形显示相同的两条曲线。在两条曲线之间，从它们的交点到 x=4 的直线之间有一个阴影区域。第四个图形与第一个图形显示相同的两条曲线，其中第三个图形中的区域绕 x 轴旋转，形成一个中间带有空腔的旋转体。空腔在图中由 y=1 和 y=-1 处的虚线表示。

图 6.22 (a) 两条曲线之间区域中的一个薄矩形。(b) 通过将矩形绕

x 轴 .

旋转形成的代表性垫圈。(c) 曲线在给定区间上的区域。(d) 所得旋转体。

因此，截面面积是外圆面积减去内圆面积。此时，

A (x) = π {(\sqrt{x})}^{2} - π {(1)}^{2} = π (x - 1) .

则该旋转体的体积为

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} A (x) d x \\ = \int_{1}^{4} π (x - 1) d x = {π [\frac{x^{2}}{2} - x] |}_{1}^{4} = \frac{9}{2} π {单位}^{3} . \end{matrix}

将此过程推广得到垫圈法。

法则: 垫圈法

假设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是连续的非负函数，使得在 $[a, b] .$ 上 $f (x) \geq g (x)$ 。设 $R$ 表示由 $f (x),$ 的图形上方、 $g (x),$ 的图形下方、直线 $x = a,$ 左侧和直线 $x = b .$ 右侧所围成的区域。则由将 $R$ 绕 $x 轴$ 旋转形成的旋转体的体积由下式给出：

V = \int_{a}^{b} π [{(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2}] d x .

(6.5)

例 6.10

使用垫圈法

求由将由 $f (x) = x$ 的图形上方和 $g (x) = 1 / x$ 的图形下方所围成的区域在区间 $[1, 4]$ 上绕 $x 轴 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

解

函数图形和旋转体如下图所示。

此图包含两个图形。第一个图形标记为“a”，显示了在第一象限绘制的两条曲线 f(x)=x 和 g(x)=1/x。f(x) 是一条从原点开始的对角线，g(x) 是一条递减曲线，以 y 轴为垂直渐近线，以 x 轴为水平渐近线。图形在 (1,1) 处相交。图形之间有一个阴影区域，右侧由 x=4 处的直线限定。第二个图形与第一个图形显示相同的两条曲线。通过将第一个图形中的阴影区域绕 x 轴旋转形成一个实体。

图 6.23 (a) 函数

f (x) = x

和

g (x) = 1 / x

的图形在区间

[1, 4] .

之间所围成的区域。(b) 将该区域绕

x 轴

旋转会生成一个中间带有空腔的旋转体。

可得

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} π [{(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2}] d x \\ = π \int_{1}^{4} [x^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}] d x = {π [\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x}] |}_{1}^{4} = \frac{81 π}{4} {单位}^{3} . \end{matrix}

检验点 6.10

求由将由 $f (x) = \sqrt{x}$ 和 $g (x) = 1 / x$ 的图形所围成的区域在区间 $[1, 3]$ 上绕 $x 轴 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

与圆盘法一样，我们也可以将垫圈法应用于由区域绕 y 轴旋转形成的旋转体。此时，适用以下法则。

法则: 绕 y 轴旋转体的垫圈法

假设 $u (y)$ 和 $v (y)$ 是连续的非负函数，使得对于 $y \in [c, d] .$ ， $v (y) \leq u (y)$ 。设 $Q$ 表示由 $u (y),$ 的图形右侧、 $v (y),$ 的图形左侧、直线 $y = c,$ 下方和直线 $y = d .$ 上方所围成的区域。则由将 $Q$ 绕 $y 轴$ 旋转形成的旋转体的体积由下式给出：

V = \int_{c}^{d} π [{(u (y))}^{2} - {(v (y))}^{2}] d y .

我们不再看以 $y 轴$ 为旋转轴的垫圈法示例，而是考虑一个旋转轴不是两个坐标轴之一的示例。相同的通用方法仍然适用，但你可能需要想象如何描述该体积的截面面积。

例 6.11

使用不同旋转轴的垫圈法

求由将由 $f (x) = 4 - x$ 上方和 $x 轴$ 下方所围成的区域在区间 $[0, 4]$ 上绕直线 $y = −2 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

解

区域图形和旋转体如下图所示。

此图包含两个图形。第一个图形标记为“a”，显示了两条曲线 f(x)=4-x 和 -2。有一个阴影区域形成一个三角形，由递减的直线 f(x)、y 轴和 x 轴围成。第二个图形与第一个图形显示相同的两条曲线。通过将第一个图形中的阴影区域绕直线 y=-2 旋转形成一个实体。实体内部有一个空心圆柱体，由直线 y=-2 和 y=-4 表示。

图 6.24 (a) 函数

f (x) = 4 - x

的图形与

x 轴

在区间

[0, 4] .

之间所围成的区域。(b) 将该区域绕直线

y = −2

旋转会生成一个中间带有圆柱形孔洞的旋转体。

我们不能直接将体积公式应用于此问题，因为旋转轴不是坐标轴之一。不过，我们仍然知道截面面积是外圆面积减去内圆面积。观察函数图形，我们看到外圆的半径由 $f (x) + 2,$ 给出，其简化为

f (x) + 2 = (4 - x) + 2 = 6 - x .

内圆的半径为 $g (x) = 2 .$ 。所以，可得

\begin{matrix} V & = \int_{0}^{4} π [{(6 - x)}^{2} - {(2)}^{2}] d x \\ = π \int_{0}^{4} (x^{2} - 12 x + 32) d x = {π [\frac{x^{3}}{3} - 6 x^{2} + 32 x] |}_{0}^{4} = \frac{160 π}{3} {单位}^{3} . \end{matrix}

检验点 6.11

求由将由 $f (x) = x + 2$ 的图形上方和 $x 轴$ 下方所围成的区域在区间 $[0, 3]$ 上绕直线 $y = −1 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

第6.2节练习

58.

使用切片法推导球体的体积公式。

59.

使用切片法推导圆锥体的体积公式。

60.

使用切片法推导边长为 $a .$ 的正四面体的体积公式。

61.

使用圆盘法推导梯形圆柱体的体积公式。

62.

解释何时使用圆盘法而非垫圈法。它们何时可以互换使用？

对于以下练习，画出典型切片，并使用切片法求出给定几何体的体积。

63.

一个高为6个单位、边长为2个单位的正方形底座的金字塔，如下图所示。

64.

一个高为4个单位、底面为长2个单位宽3个单位的矩形的金字塔，如下图所示。

65.

一个底边长为4个单位的正四面体，如下图所示。

66.

一个高为5个单位、底面为边长为6个单位和8个单位的等腰三角形的金字塔，如下图所示。

此图为一个三角底座的金字塔。视图为底座。三角形的边长分别为6个单位、8个单位和8个单位。金字塔的高度为5个单位。

67.

一个半径为 $r$ 、高为 $h$ 的圆锥体，从顶部移除了一个半径为 $r / 2$ 、高为 $h / 2$ 的小圆锥体，如下图所示。由此产生的立体称为截锥体。

一个倒置的圆锥体。该圆锥体位于一个表示xyz坐标系的矩形棱柱内。圆锥体底部的半径为“r”，顶部的半径标记为“r/2”。

对于以下练习，画出立体图形的轮廓，并使用切片法求出其体积。

68.

底面是半径为 $a .$ 的圆。垂直于底面的切片是正方形。

69.

底面是顶点为 $(0, 0), (1, 0),$ 和 $(0, 1) .$ 的三角形。垂直于x轴的切片是半圆形。

70.

底面是第一象限中抛物线 $y = 1 - x^{2}$ 下方的区域。垂直于xy平面且平行于y轴的切片是正方形。

71.

底面是抛物线 $y = 1 - x^{2}$ 下方且 $x 轴 .$ 上方的区域。垂直于 $y 轴$ 的切片是正方形。

72.

底面是由 $y = x^{2}$ 和 $y = 9 .$ 围成的区域。垂直于x轴的切片是直角等腰三角形。这些切片之一与底面的交线是三角形的直角边。

73.

底面是 $y = x$ 和 $y = x^{2} .$ 之间的区域。垂直于x轴的切片是半圆形。

对于以下练习，画出由曲线围成的区域。然后，使用圆盘法求出该区域绕x轴旋转所形成的体积。

74.

$x + y = 8, x = 0, 和 y = 0$

75.

$y = 2 x^{2}, x = 0, x = 4, 和 y = 0$

76.

$y = e^{x} + 1, x = 0, x = 1, 和 y = 0$

77.

$y = x^{4}, x = 0, 和 y = 1 当 x \geq 0$

78.

$y = \sqrt{x}, x = 0, x = 4, 和 y = 0$

79.

$y = sin x, y = cos x, 和 x = 0$

80.

$y = \frac{1}{x}, x = 2, 和 y = 3$

81.

$x^{2} - y^{2} = 9 和 x + y = 9, y = 0 和 x = 0$

对于以下练习，画出由曲线围成的区域。然后，求出该区域绕y轴旋转所形成的体积。

82.

$y = 4 - \frac{1}{2} x, x = 0, 和 y = 0$

83.

$y = 2 x^{3}, x = 0, x = 1, 和 y = 0$

84.

$y = 3 x^{2}, x = 0, 和 y = 3$

85.

$y = \sqrt{4 - x^{2}}, y = 0, 和 x = 0$

86.

$y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}, x = 0, x = 3, 和 y = 0$

87.

$x = sec (y) 和 y = \frac{π}{4}, y = 0 和 x = 0$

88.

$y = \frac{1}{x + 1}, x = 0,, x = 2, 和 y = 0$

89.

$y = 4 - x, y = x, 和 x = 0$

对于以下练习，画出由曲线围成的区域。然后，求出该区域绕x轴旋转所形成的体积。

90.

$y = x + 2, y = x + 6, x = 0, 和 x = 5$

91.

$y = x^{2} 和 y = x + 2$

92.

$x^{2} = y^{3} 和 x^{3} = y^{2}$

93.

$y = 4 - x^{2} 和 y = 2 - x$

94.

[T] $y = cos x, y = e^{− x}, x = 0, 和 x = 1.2927$

95.

$y = \sqrt{x} 和 y = x^{2}$

96.

$y = sin x, y = 5 sin x, x = 0 和 x = π$

97.

$y = \sqrt{1 + x^{2}} 和 y = \sqrt{4 - x^{2}}$

对于以下练习，画出由曲线围成的区域。然后，使用垫圈法求出该区域绕y轴旋转所形成的体积。

98.

$y = \sqrt{x}, x = 4, 和 y = 0$

99.

$y = x + 2, y = 2 x - 1, 和 x = 0$

100.

$y = \sqrt[3]{x} 和 y = x^{3}$

101.

$x = e^{2 y}, x = y^{2}, y = 0, 和 y = ln (2)$

102.

$x = \sqrt{9 - y^{2}}, x = e^{− y}, y = 0, 和 y = 3$

103.

酸奶容器可以是截锥体形状。将直线 $y = \frac{1}{m} x$ 绕y轴旋转，求出 $y = a 和 y = b .$ 之间的体积。

此图包含两部分。第一部分是一个实心圆锥体。圆锥体的底部比顶部宽。它显示在一个三维盒子中。圆锥体下方是一个形状与之相同的酸奶容器。

104.

将椭圆 $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1$ 绕x轴旋转，以近似计算橄榄球的体积，如下图所示。

105.

将椭圆 $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1$ 绕y轴旋转，以近似计算橄榄球的体积。

106.

橄榄球体积的一个更好近似值是由将 $y = sin x$ 绕x轴从 $x = 0$ 到 $x = π .$ 旋转所形成的立体给出的。如下图所示，这个橄榄球近似体的体积是多少？

此图为一个三维椭圆形。它位于一个平行于x轴的盒子内，在盒子的底部前边缘。y轴垂直于该立体。

107.

将 $y = sin x$ 绕 y 轴从 $x = 0$ 旋转到 $x = π ?$ 形成的邦特蛋糕的体积是多少？

一个三维立体。它呈圆形，底部较大。中心有一个孔，孔径向底部逐渐变小。旁边是一张邦特蛋糕的图片，形状与之相似。

对于以下练习，求所描述的立体的体积。

108.

底面是 $y = x$ 和 $y = x^{2} .$ 之间的区域。垂直于 x 轴的截面是半圆形。

109.

底面是由一般椭圆 $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1 .$ 围成的区域。垂直于 x 轴的截面是半圆形。

110.

如图所示，在一个高为 $b$ 、底面半径为 $b$ 的正圆锥体中，沿其轴线从圆锥底部钻一个半径为 $a$ 的孔。

111.

如图所示，求两个半径为 $r$ 且球心相距 $2 h$ 的球体的公共体积。

此图有两个相交的圆。两个圆的半径均为“r”。有一条线段连接两个圆心。在圆的交集中间是点“h”，它在线段上。

112.

如图所示，求高为 $h$ 、半径为 $r$ 的球冠的体积，其中 $h < r,$ 。

113.

如图所示，求一个半径为 $R$ 的球体的体积，该球体顶部移除了一个高为 $h$ 的球冠。

此图是一个球体，顶部的一部分已被移除。球体的半径为“R”。从球心到顶部移除部分的距离为“R-h”。