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反函数的导数

3.7 反函数的导数

学习目标

  • 3.7.1 计算反函数的导数。
  • 3.7.2 识别标准反三角函数的导数。

在本节中，我们将探讨函数的导数与其反函数的导数之间的关系。对于已知导数的函数，利用这一关系可以求出反函数的导数，而无需回到导数的极限定义。我们将特别把反函数导数公式应用于三角函数，并利用它将幂法则推广到有理指数的情形。

反函数的导数

先看一个函数及其反函数之间的关系。若 f(x)f(x) 既可逆又可微，则 f(x)f(x) 的反函数自然也应是可微的。图 3.28 展示了函数 f(x)f(x) 及其反函数 f−1(x).f−1(x). 之间的关系。观察函数 f−1(x)f−1(x) 图形上点 (a,f−1(a))(a,f−1(a)) 处的切线，其斜率为 (f−1)′(a)=pq.(f−1)′(a)=pq.。这个点对应于函数 f(x)f(x) 图形上点 (f−1(a),a)(f−1(a),a) 处的切线，其斜率为 f′(f−1(a))=qp.f′(f−1(a))=qp.。因此，如果 f−1(x)f−1(x) 在 a,a, 处可微，则必有

(f−1)′(a)=1f′(f−1(a)).(f−1)′(a)=1f′(f−1(a)).
此图显示了函数 f(x) 及其反函数 f−1(x)。这些函数关于直线 y = x 对称。函数 f(x) 在点 (f−1(a), a) 处的切线和反函数 f−1(x) 在点 (a, f−1(a)) 处的切线也关于直线 y = x 对称。具体来说，如果其中一条切线的斜率为 p/q，则另一条切线的斜率为 q/p。最后，它们的导数也关于直线 y = x 对称。
图 3.28 函数及其反函数的切线是相关的；这些函数的导数也是如此。

也可以从 x=f(f−1(x)).x=f(f−1(x)). 出发推导反函数的导数公式，再对等式两边求导（右边用链式法则），得到

1=f′(f−1(x))(f−1)′(x).1=f′(f−1(x))(f−1)′(x).

解出 (f−1)′(x),(f−1)′(x),，可得

(f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).(f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).
(3.19)

将此结果总结为如下定理。

定理 3.11

反函数定理

设 f(x)f(x) 为既可逆又可微的函数，令 y=f−1(x)y=f−1(x) 是 f(x).f(x). 的反函数。对所有满足 f′(f−1(x))≠0,f′(f−1(x))≠0, 的 xx，有

dydx=ddx(f−1(x))=(f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).dydx=ddx(f−1(x))=(f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).

或者，如果 y=g(x)y=g(x) 是 f(x),f(x), 的反函数，那么

g'(x)=1f′(g(x)).g'(x)=1f′(g(x)).

例 3.60

应用反函数定理

使用反函数定理求 g(x)=x+2x.g(x)=x+2x. 的导数。并将结果与直接对该函数求导所得进行比较。

解

g(x)=x+2xg(x)=x+2x 的反函数是 f(x)=2x−1.f(x)=2x−1.。由于 g′(x)=1f′(g(x)),g′(x)=1f′(g(x)),，先求 f′(x).f′(x).。因此，

f ′ ( x ) = −2 ( x − 1 ) 2 且 f ′ ( g ( x ) ) = −2 ( g ( x ) − 1 ) 2 = −2 ( x + 2 x − 1 ) 2 = − x 2 2 . f ′ ( x ) = −2 ( x − 1 ) 2 且 f ′ ( g ( x ) ) = −2 ( g ( x ) − 1 ) 2 = −2 ( x + 2 x − 1 ) 2 = − x 2 2 .

最后，

g ′ ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) = − 2 x 2 . g ′ ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) = − 2 x 2 .

对 g(x)g(x) 直接应用商法则可验证上述结果，求导得

g ′ ( x ) = − 2 x 2 . g ′ ( x ) = − 2 x 2 .

检验点 3.42

使用反函数定理求 g(x)=1x+2.g(x)=1x+2. 的导数。并将结果与直接对 g(x)g(x) 求导所得进行比较。

例 3.61

应用反函数定理

使用反函数定理求 g(x)=x3.g(x)=x3. 的导数。

解

函数 g(x)=x3g(x)=x3 是函数 f(x)=x3.f(x)=x3. 的反函数。由于 g′(x)=1f′(g(x)),g′(x)=1f′(g(x)),，先求 f′(x).f′(x).。因此，

f ′ ( x ) = 3 x 2 且 f ′ ( g ( x ) ) = 3 ( x 3 ) 2 = 3 x 2 / 3 . f ′ ( x ) = 3 x 2 且 f ′ ( g ( x ) ) = 3 ( x 3 ) 2 = 3 x 2 / 3 .

最后，

g ′ ( x ) = 1 3 x 2 / 3 = 1 3 x −2 / 3 . g ′ ( x ) = 1 3 x 2 / 3 = 1 3 x −2 / 3 .

检验点 3.43

通过应用反函数定理求 g(x)=x5g(x)=x5 的导数。

由上例可知，利用反函数定理可以将幂法则推广到 1n,1n, 形式的指数，其中 nn 是一个正整数。这一推广最终使我们能够对 xq,xq, 求导，其中 qq 是任意有理数。

定理 3.12

将幂法则推广到有理指数

幂法则可推广到有理指数。即，若 nn 为正整数，则

ddx(x1/n)=1nx(1/n)−1.ddx(x1/n)=1nx(1/n)−1.
(3.20)

此外，若 nn 为正整数且 mm 为任意整数，则

ddx(xm/n)=mnx(m/n)−1.ddx(xm/n)=mnx(m/n)−1.
(3.21)

证明

函数 g(x)=x1/ng(x)=x1/n 是函数 f(x)=xn.f(x)=xn. 的反函数。由于 g′(x)=1f′(g(x)),g′(x)=1f′(g(x)),，先求 f′(x).f′(x).。因此，

f′(x)=nxn−1且f′(g(x))=n(x1/n)n−1=nx(n−1)/n.f′(x)=nxn−1且f′(g(x))=n(x1/n)n−1=nx(n−1)/n.

最后，

g′(x)=1nx(n−1)/n=1nx(1−n)/n=1nx(1/n)−1.g′(x)=1nx(n−1)/n=1nx(1−n)/n=1nx(1/n)−1.

为了对 xm/nxm/n 求导，需先将其改写为 (x1/n)m(x1/n)m 并应用链式法则。因此，

ddx(xm/n)=ddx((x1/n)m)=m(x1/n)m−1·1nx(1/n)−1=mnx(m/n)−1.ddx(xm/n)=ddx((x1/n)m)=m(x1/n)m−1·1nx(1/n)−1=mnx(m/n)−1.

□

例 3.62

将幂法则应用于有理幂

求函数 y=x2/3y=x2/3 在 x=8.x=8. 处的切线方程。

解

先求 dydxdydx 并在 x=8.x=8. 处计算其值。由于

d y d x = 2 3 x −1 / 3 且 d y d x | x = 8 = 1 3 d y d x = 2 3 x −1 / 3 且 d y d x | x = 8 = 1 3

故函数图形在 x=8x=8 处的切线斜率为 13.13.。

将 x=8x=8 代入原函数，得 y=4.y=4.。因此，切线通过点 (8,4).(8,4).。代入点斜式方程，得切线方程

y = 1 3 x + 4 3 . y = 1 3 x + 4 3 .

检验点 3.44

求 s(t)=2t+1.s(t)=2t+1. 的导数。

反三角函数的导数

下面来求反三角函数的导数。这些导数在本书后续积分学的学习中将极为重要。需要注意的是，反三角函数的导数实际上是代数函数。在此之前，代数函数求导后仍为代数函数，三角函数求导后仍为三角函数。而在这里，我们第一次看到导数与原函数不属于同一类型的情形。

例 3.63

反正弦函数的导数

使用反函数定理求 g(x)=sin−1x.g(x)=sin−1x. 的导数。

解

由于当 xx 在区间 [−π2,π2][−π2,π2] 内时，f(x)=sinxf(x)=sinx 是 g(x)=sin−1xg(x)=sin−1x 的反函数，故先求 f′(x).f′(x).。由于

f ′ ( x ) = cos x 且 f ′ ( g ( x ) ) = cos ( sin −1 x ) = 1 − x 2 , f ′ ( x ) = cos x 且 f ′ ( g ( x ) ) = cos ( sin −1 x ) = 1 − x 2 ,

于是

g ′ ( x ) = d d x ( sin −1 x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) = 1 1 − x 2 . g ′ ( x ) = d d x ( sin −1 x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) = 1 1 − x 2 .

分析

为了证明 cos(sin−1x)=1−x2,cos(sin−1x)=1−x2,，考虑以下推导。令 sin−1x=θ.sin−1x=θ.。此时sinθ=xsinθ=x，其中 −π2≤θ≤π2.−π2≤θ≤π2.。先考虑 0<θ<π2.0<θ<π2. 的情况。由于 θθ 是锐角，可构造一个直角三角形，使其一个锐角为 θ,θ,，斜边长为 11，角 θθ 的对边长为 x.x.。根据勾股定理，角 θθ 的邻边长为 1−x2.1−x2.，如 图 3.29 所示。由此三角形可得 cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.。

一个直角三角形，角度为 θ，对边为 x，斜边为 1，邻边等于 (1 – x2) 的平方根。
图 3.29 利用锐角为 θ,θ,，斜边长为 1,1,，且角 θθ 的对边长为 x,x, 的直角三角形，可得 cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.。

在 −π2<θ<0,−π2<θ<0, 时，由于 0<−θ<π20<−θ<π2，因此

cos(sin−1x)=cosθ=cos(−θ)=1−x2.cos(sin−1x)=cosθ=cos(−θ)=1−x2.

另外，若 θ=π2θ=π2 或 θ=−π2,x=1θ=−π2,x=1 或 x=−1,x=−1,，而在这两种情况下均有 cosθ=0cosθ=0 和 1−x2=0,1−x2=0,，我们有

cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.

最后，若 θ=0θ=0，则 x=0x=0，且 cosθ=1-0=1cosθ=1-0=1。

综上，在所有情况下均有cos(sin−1x)=1−x2.cos(sin−1x)=1−x2.。

例 3.64

将链式法则应用于反正弦函数

将链式法则应用于 例 3.61 中推导出的公式，求 h(x)=sin−1(g(x))h(x)=sin−1(g(x)) 的导数，并利用此结果求 h(x)=sin−1(2x3).h(x)=sin−1(2x3). 的导数。

解

将链式法则应用于 h(x)=sin−1(g(x)),h(x)=sin−1(g(x)),，我们有

h ′ ( x ) = 1 1 − ( g ( x ) ) 2 g ′ ( x ) . h ′ ( x ) = 1 1 − ( g ( x ) ) 2 g ′ ( x ) .

令 g(x)=2x3,g(x)=2x3,，则 g′(x)=6x2.g′(x)=6x2.。代入前面的结果，得到

h ′ ( x ) = 1 1 − 4 x 6 · 6 x 2 = 6 x 2 1 − 4 x 6 . h ′ ( x ) = 1 1 − 4 x 6 · 6 x 2 = 6 x 2 1 − 4 x 6 .

检验点 3.45

使用反函数定理求 g(x)=tan−1x.g(x)=tan−1x. 的导数。

其余反三角函数的导数同样可由反函数定理求得，结果汇总于下面的定理中。

定理 3.13

反三角函数的导数

ddxsin−1x=11−x2ddxsin−1x=11−x2
(3.22)
ddxcos−1x=−11−x2ddxcos−1x=−11−x2
(3.23)
ddxtan−1x=11+x2ddxtan−1x=11+x2
(3.24)
ddxcot−1x=−11+x2ddxcot−1x=−11+x2
(3.25)
ddxsec−1x=1|x|x2−1ddxsec−1x=1|x|x2−1
(3.26)
ddxcsc−1x=−1|x|x2−1ddxcsc−1x=−1|x|x2−1
(3.27)

例 3.65

将求导公式应用于反正切函数

求 f(x)=tan−1(x2).f(x)=tan−1(x2). 的导数。

解

令 g(x)=x2,g(x)=x2,，则 g′(x)=2x.g′(x)=2x.。代入 公式 3.24，可得

f ′ ( x ) = 1 1 + ( x 2 ) 2 · ( 2 x ) . f ′ ( x ) = 1 1 + ( x 2 ) 2 · ( 2 x ) .

化简得

f ′ ( x ) = 2 x 1 + x 4 . f ′ ( x ) = 2 x 1 + x 4 .

例 3.66

将求导公式应用于反正弦函数

求 h(x)=x2sin−1x.h(x)=x2sin−1x. 的导数。

解

应用乘法法则，得

h ′ ( x ) = 2 x sin −1 x + 1 1 − x 2 · x 2 . h ′ ( x ) = 2 x sin −1 x + 1 1 − x 2 · x 2 .

检验点 3.46

求 h(x)=cos−1(3x−1).h(x)=cos−1(3x−1). 的导数。

例 3.67

应用反正切函数

一个粒子在时刻 tt 的位置为 s(t)=tan−1(1t)s(t)=tan−1(1t)，其中 t≥12.t≥12.。求该粒子在时刻 t=1.t=1. 的速度。

解

先对 s(t)s(t) 求导得 v(t).v(t).。因此，

v ( t ) = s ′ ( t ) = 1 1 + ( 1 t ) 2 · −1 t 2 . v ( t ) = s ′ ( t ) = 1 1 + ( 1 t ) 2 · −1 t 2 .

化简得

v ( t ) = − 1 t 2 + 1 . v ( t ) = − 1 t 2 + 1 .

因此，v(1)=−12.v(1)=−12.。

检验点 3.47

求函数 f(x)=sin−1xf(x)=sin−1x 在 x=0.x=0. 处的切线方程。

第3.7节练习

对于以下练习，使用 y=f(x)y=f(x) 的图形来

  1. 绘制 y=f−1(x),y=f−1(x), 的图形，并且
  2. 使用 a 部分来估计 (f−1)′(1).(f−1)′(1).。
260.
一条直线通过 (0, −3) 和 (3, 3)。
261.
一条曲线从 (−2, 0) 开始，经过 (−1, 1) 和 (2, 2)。
262.
一条曲线从 (4, 0) 开始，经过 (0, 1) 和 (−1, 4)。
263.
一个四分之一圆从 (0, 4) 开始，到 (4, 0) 结束。

对于以下练习，使用函数 y=f(x)y=f(x) 来求

  1. dfdxdfdx 在 x=ax=a 处的值，以及
  2. x=f−1(y).x=f−1(y).。
  3. 再利用 b 的结果求 df−1dydf−1dy 在 y=f(a).y=f(a). 处的值。
264.

f ( x ) = 6 x − 1 , x = −2 f ( x ) = 6 x − 1 , x = −2

265.

f ( x ) = 2 x 3 − 3 , x = 1 f ( x ) = 2 x 3 − 3 , x = 1

266.

f ( x ) = 9 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 , x = 2 f ( x ) = 9 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 , x = 2

267.

f ( x ) = sin x , x = 0 f ( x ) = sin x , x = 0

对于以下每个函数，求 (f−1)′(a).(f−1)′(a).。

268.

f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , x ≥ - 3 2 , a = 2 f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , x ≥ - 3 2 , a = 2

269.

f ( x ) = x 3 + 2 x + 3 , a = 0 f ( x ) = x 3 + 2 x + 3 , a = 0

270.

f ( x ) = x + x , a = 2 f ( x ) = x + x , a = 2

271.

f ( x ) = x − 2 x , x < 0 , a = 1 f ( x ) = x − 2 x , x < 0 , a = 1

272.

f ( x ) = x + sin x , a = 0 f ( x ) = x + sin x , a = 0

273.

f ( x ) = tan x + 3 x 2 , a = 0 ;   0   <   x   <   π / 2 f ( x ) = tan x + 3 x 2 , a = 0 ;   0   <   x   <   π / 2

对于给定的每个函数 y=f(x),y=f(x),，

  1. 求其反函数 f−1f−1 在指定点 P,P, 处的切线斜率，以及
  2. 求函数 f−1f−1 在指定点处的切线方程。
274.

f ( x ) = 4 1 + x 2 , P ( 2 , 1 ) f ( x ) = 4 1 + x 2 , P ( 2 , 1 )

275.

f ( x ) = x − 4 , P ( 2 , 8 ) f ( x ) = x − 4 , P ( 2 , 8 )

276.

f ( x ) = ( x 3 + 1 ) 4 , P ( 16 , 1 ) f ( x ) = ( x 3 + 1 ) 4 , P ( 16 , 1 )

277.

f ( x ) = − x 3 − x + 2 , P ( −8 , 2 ) f ( x ) = − x 3 − x + 2 , P ( −8 , 2 )

278.

f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4 x − 8 , P ( −8 , 1 ) f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4 x − 8 , P ( −8 , 1 )

对于以下练习，求给定函数的 dydxdydx。

279.

y = sin −1 ( x 2 ) y = sin −1 ( x 2 )

280.

y = cos −1 ( x ) y = cos −1 ( x )

281.

y = sec −1 ( 1 x ) y = sec −1 ( 1 x )

282.

y = csc −1 x y = csc −1 x

283.

y = ( 1 + tan −1 x ) 3 y = ( 1 + tan −1 x ) 3

284.

y = cos −1 ( 2 x ) · sin −1 ( 2 x ) y = cos −1 ( 2 x ) · sin −1 ( 2 x )

285.

y = 1 tan −1 ( x ) y = 1 tan −1 ( x )

286.

y = sec −1 ( − x ) y = sec −1 ( − x )

287.

y = cot −1 4 − x 2 y = cot −1 4 − x 2

288.

y = x · csc −1 x y = x · csc −1 x

对于以下练习，使用给定值求 (f−1)′(a).(f−1)′(a).。

289.

f ( π ) = 0 , f ′ ( π ) = −1 , a = 0 f ( π ) = 0 , f ′ ( π ) = −1 , a = 0

290.

f ( 6 ) = 2 , f ′ ( 6 ) = 1 3 , a = 2 f ( 6 ) = 2 , f ′ ( 6 ) = 1 3 , a = 2

291.

f ( 1 3 ) = −8 , f ′ ( 1 3 ) = 2 , a = −8 f ( 1 3 ) = −8 , f ′ ( 1 3 ) = 2 , a = −8

292.

f ( 3 ) = 1 2 , f ′ ( 3 ) = 2 3 , a = 1 2 f ( 3 ) = 1 2 , f ′ ( 3 ) = 2 3 , a = 1 2

293.

f ( 1 ) = −3 , f ′ ( 1 ) = 10 , a = −3 f ( 1 ) = −3 , f ′ ( 1 ) = 10 , a = −3

294.

f ( 1 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = −2 , a = 0 f ( 1 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = −2 , a = 0

295.

[T] 冰球在 tt 秒后的位置是 s(t)=tan−1ts(t)=tan−1t，其中 ss 以米为单位。

  1. 求冰球在任意时间 t.t. 的速度。
  2. 求冰球在任意时间 t.t. 的加速度。
  3. 计算 a. 和 b. 在 t=2,4,t=2,4, 和 66 秒时的值。
  4. 由 c. 的结果可以得出什么结论？
296.

[T] 一座高 225 英尺的建筑物在一天中投射出长度不等的阴影，设阴影长度为 xx。从阴影尖端分别向建筑物顶部和底部连线，形成仰角 θθ，如下图所示。当 x=272x=272 英尺时，求仰角 dθdxdθdx 的变化率。

图中显示了一座高 225 英尺的建筑物。以建筑物高度为角 θ 的对边，邻边长度为 x 构成一个三角形。
297.

[T] 一根高 75 英尺的杆子，用长度为 xx 英尺的电线从地面连接到杆顶，由此形成角度 θθ，如下图所示。当连接一根长 90 英尺的电线时，求角度 dθdxdθdx 的变化率。

图中显示了一根高 75 英尺的旗杆。以旗杆高度为角 θ 的对边，斜边长度为 x 构成一个三角形。
298.

[T] 一台地面电视摄像机距离太空火箭的垂直发射台 2000 英尺，如下图所示。摄像机的仰角由 θ=tan−1(x2000),θ=tan−1(x2000), 给出，其中 xx 是火箭的高度。求火箭发射后，当摄像机与火箭相距 5000 英尺时仰角的变化率。

图中显示了一枚在空中的火箭，其鼻尖到地面的距离为 x。以火箭高度为角 θ 的对边，邻边长度为 2000 构成一个三角形。
299.

[T] 当地一家电影院的屏幕高 30 英尺，屏幕底部比观众就座时的视线高 10 英尺。观众的视角 θθ（以弧度为单位）由 θ=cot−1x40−cot−1x10,θ=cot−1x40−cot−1x10, 给出，

其中 xx 为观众到屏幕的距离（单位：英尺），如下图所示。

图中显示了一个人，从其眼睛（直角在眼睛的对边）引出一个直角三角形，高为 10，底为 x。从眼睛到屏幕顶部画了一条线，这条线与三角形的斜边形成一个角度 θ。屏幕高度为 30。
  1. 求 dθdx.dθdx.。
  2. 计算 dθdxdθdx 在 x=5,10,15,x=5,10,15, 和 20 处的值。
  3. 解释 b. 中的结果。
  4. 计算 dθdxdθdx 在 x=25,30,35,x=25,30,35, 和 40 处的值。
  5. 解释 d. 中的结果。观众应坐在距屏幕多远处（即 xx 为何值），才能使视角最大？