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关键术语

关键术语

绝对极值
如果 ff 在 c,c, 处有绝对最大值 (absolute maximum) 或绝对最小值 (absolute minimum)，则称 ff 在 cc 处有绝对极值 (absolute extremum)。
绝对最大值
如果对 f,f, 定义域 (domain) 中的所有 xx，都有 f(c)≥f(x)f(c)≥f(x) 成立，则称 ff 在 cc 处有绝对最大值。
绝对最小值
如果对 f,f, 定义域中的所有 xx，都有 f(c)≤f(x)f(c)≤f(x) 成立，则称 ff 在 cc 处有绝对最小值。
原函数
一个函数 FF，如果对 ff 定义域中的所有 xx，都有 F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) 成立，则称 FF 是 ff 的一个原函数 (antiderivative)。
凸的
如果 ff 在区间 II 上可微，且 f′f′ 在 I,I, 上是递减的，则称 ff 在 II 上是凸的 (concave down)。
凹的
如果 ff 在区间 II 上可微，且 f′f′ 在 I,I, 上是递增的，则称 ff 在 II 上是凹的 (concave up)。
凹凸性
函数图形向上弯曲或向下弯曲的性质。
凹凸性判别法
假设 ff 在区间 I;I; 上二阶可微。如果 f″>0f″>0 在 I,I, 上成立，则 ff 在 I;I; 上是凹的；如果 f″<0f″<0 在 I,I, 上成立，则 ff 在 II 上是凸的。
临界数
如果 f′(c)=0f′(c)=0 或 f′(c)f′(c) 无定义，则称 cc 是 ff 的一个临界数 (critical number)。
临界点
点 (c, f(c))(c, f(c)) 是 ff 的一个临界点 (critical point)。
微分
微分 dxdx 是一个可以取任意非零实数的自变量 (independent variable)；微分 dydy 定义为 dy=f′(x)dxdy=f′(x)dx。
微分形式
给定一个可微函数 y=f′(x),y=f′(x),，方程 dy=f′(x)dxdy=f′(x)dx 是 yy 关于 xx 的导数的微分形式 (differential form)。
端部行为
函数当 x→∞x→∞ 和 x→−∞x→−∞ 时的行为。
最值定理
如果 ff 是一个在有限闭区间 (closed interval) 上连续的函数，则 ff 具有绝对最大值和绝对最小值。
费马定理
如果 ff 在 c,c, 处有局部极值 (local extremum)，则 cc 是 ff 的一个临界点。
一阶导数判别法
设 ff 是在包含临界点 cc 的区间 II 上的连续函数，且 ff 在 II 上可微，但在 c;c; 处可能不可微。如果当 xx 增大并经过c,c,时，f′f′ 的符号从正变为负，则 ff 在 c;c; 处有局部最大值 (local maximum)。如果当 xx 增大并经过c,c,时，f′f′ 的符号从负变为正，则 ff 在 c;c; 处有局部最小值 (local minimum)。如果当 xx 增大并经过c,c,时，f′f′ 的符号不改变，则 ff 在 cc 处没有局部极值。
水平渐近线
如果 limx→∞f(x)=Llimx→∞f(x)=L 或 limx→−∞f(x)=L,limx→−∞f(x)=L,，则 y=Ly=L 是 ff 的一条水平渐近线 (horizontal asymptote)。
不定积分
f(x)f(x) 的最一般的原函数是 f;f; 的不定积分 (indefinite integral)。我们使用记号 ∫f(x)dx∫f(x)dx 来表示 ff 的不定积分。
未定式
在计算极限时，形式 00,00,、∞/∞,∞/∞,、0·∞,0·∞,、∞−∞,∞−∞,、00,00,、∞0,∞0, 和 1∞1∞ 称为未定式 (indeterminate forms)，因为需要进一步分析才能确定极限是否存在及其值。
无穷远处的无穷极限
当 x 趋于无穷大时，函数值也无限增大。
拐点
如果 ff 在 cc 处连续，并且 ff 在 c,c, 处改变凹凸性，则点 (c,f(c))(c,f(c)) 是 ff 的一个拐点 (inflection point)。
初值问题
求满足微分方程 dydx=f(x)dydx=f(x) 和初始条件 y(x0)=y0y(x0)=y0 的函数 yy 的问题。
迭代过程
从初始值 x0x0 出发，按递推关系 xn=F(xn−1)xn=F(xn−1)（n≥1n≥1）逐次生成数列 x0,x1,x2,x3…x0,x1,x2,x3… 的过程。
洛必达法则
如果 ff 和 gg 是在区间 a,a, 上（ a,a, 处可能除外）可微的函数，并且 limx→af(x)=0=limx→ag(x)limx→af(x)=0=limx→ag(x) 或 limx→af(x)limx→af(x) 和 limx→ag(x)limx→ag(x) 趋于无穷大，则 limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x),limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x),，其中等号右端的极限存在或为 ∞∞ 或 −∞−∞。
无穷远处的极限
当 x→∞x→∞ 或 x→−∞x→−∞ 时，函数的极限值（如果存在）。
线性近似
线性函数 L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f′(a)(x−a) 是 ff 在 x=ax=a 处的线性近似 (linear approximation)。
局部极值
如果 ff 在 c,c, 处有局部最大值或局部最小值，则称 ff 在 cc 处有局部极值。
局部最大值
如果存在一个区间 II，使得对所有 x∈I,x∈I,，都有 f(c)≥f(x)f(c)≥f(x) 成立，则称 ff 在 cc 处有局部最大值。
局部最小值
如果存在一个区间 II，使得对所有 x∈I,x∈I,，都有 f(c)≤f(x)f(c)≤f(x) 成立，则称 ff 在 cc 处有局部最小值。
中值定理
如果 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，且在 (a,b),(a,b), 上可微，则存在 c∈(a,b)c∈(a,b) 使得
f′(c)=f(b)−f(a)b−af′(c)=f(b)−f(a)b−a
牛顿法
一种使用初始近似值 x0;x0; 来近似求 f(x)=0;f(x)=0; 的根的方法；每个后续近似值由方程 xn=xn−1−f(xn−1)f′(xn−1)xn=xn−1−f(xn−1)f′(xn−1) 定义。
斜渐近线
如果当 x→∞x→∞ 或 x→−∞x→−∞ 时，f(x)f(x) 趋近于直线 y=mx+by=mx+b，则称 y=mx+by=mx+b 为斜渐近线 (oblique asymptote)。
最优化问题
通过寻找函数的最大值或最小值来解决的问题。
百分比误差
表示为百分比的相对误差 (relative error)。
传播误差
由测量误差 dx 引起的计算量 f(x)f(x) 中的误差。
相关变化率
两个或多个随时间变化且相互关联的量之间的变化率。
相对误差
给定特定量的绝对误差 ΔqΔq，ΔqqΔqq 是相对误差。
罗尔定理
如果 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b),(a,b), 上可微，并且如果 f(a)=f(b),f(a)=f(b),，则存在 c∈(a,b)c∈(a,b) 使得 f′(c)=0f′(c)=0。
二阶导数判别法
假设 f′(c)=0f′(c)=0 且 f″f″ 在包含 c;c; 的区间上连续。如果 f″(c)>0,f″(c)>0,，则 ff 在 c;c; 处有局部最小值。如果 f″(c)<0,f″(c)<0,，则 ff 在 c;c; 处有局部最大值。如果 f″(c)=0,f″(c)=0,，则该判别法失效。
切线近似（线性化）
由于 ff 在 x=ax=a 处的线性近似是使用切线方程定义的，因此 ff 在 x=ax=a 处的线性近似也称为 ff 在 x=ax=a 处的切线近似 (tangent line approximation)。