旋转体体积：柱壳法 - 微积分：第一卷

6.3 旋转体体积：柱壳法

学习目标

6.3.1 使用柱壳法计算旋转体的体积。
6.3.2 比较计算旋转体体积的不同方法。

在本节中，我们将研究柱壳法，这是求旋转体体积的最后一种方法。我们可以将此方法应用于与圆盘法或垫圈法相同类型的旋转体；然而，使用圆盘法和垫圈法时，我们沿平行于旋转轴的坐标轴进行积分。而使用柱壳法时，我们沿垂直于旋转轴的坐标轴进行积分。对于更复杂的函数，能够自由选择积分变量是一个显著的优势。此外，旋转体的特定几何形状有时会使柱壳法比垫圈法更具吸引力。在本节的最后部分，我们将回顾所学过的所有求体积方法，并给出一些选择方法的指导方针。

柱壳法

同样，我们正在处理一个旋转体。和以前一样，我们定义一个区域 $R,$ ，它上方由函数 $y = f (x),$ 的图形围成，下方由 $x 轴，$ 围成，左右分别由直线 $x = a$ 和 $x = b,$ 围成，如图 6.25(a) 所示。然后我们将这个区域绕 y轴旋转，如图 6.25(b) 所示。注意，这与我们之前所做的不同。以前，用 $x$ 的函数定义的区域是绕 $x 轴$ 或平行于它的直线旋转的。

此图包含两个图形。第一个图形标记为“a”，是第一象限中一条递增的曲线。曲线标记为“y=f(x)”。曲线从y轴上的y=a处开始。曲线下方、x轴上方是一个标记为“R”的阴影区域。阴影区域的右侧由直线x=b界定。第二个图形是一个三维实体。它是由将“a”中的阴影区域绕y轴旋转而形成的。

图 6.25 (a) 由

x .

的函数图形围成的区域 (b) 区域绕

y 轴 .

旋转形成的旋转体

正如我们之前多次做的那样，使用等分分割 $P = {x_{0}, x_{1},…, x_{n}}$ 来分割区间 $[a, b]$ ，并且对于 $i = 1, 2,…, n,$ ，选择一个点 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ 。然后，在区间 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 上构造一个高为 $f (x_{i}^{*})$ 、宽为 $Δ x .$ 的矩形。一个代表性矩形如图 6.26(a) 所示。当该矩形绕 y轴旋转时，会形成一个柱壳，而不是圆盘或垫圈，如下图所示。

此图包含两张图片。第一张是一个中间中空的圆柱壳。它中心有一条垂直轴。还有一条曲线与圆柱体的顶部相接。第二张图片是一组同心圆柱体，一个套在另一个里面，形成一个圆柱体嵌套。

图 6.26 (a) 一个代表性矩形。(b) 当这个矩形绕

y 轴,

旋转时，结果是一个柱壳。(c) 当我们将所有柱壳组合在一起时，可得到原始旋转体的近似值。

为了计算这个柱壳的体积，请看图 6.27。

此图是第一象限中的一个图形。曲线递增，标记为“y=f(x)”。曲线从y轴上的f(x*)处开始。曲线下方是一个阴影矩形。矩形从x轴开始。矩形的宽度是delta x。矩形的两边标记为“xsub(i-1)”和“xsubi”.

图 6.27 计算柱壳的体积。

柱壳是一个圆柱体，于是其体积是截面面积乘以圆柱体的高度。截面是圆环（环形区域——本质上是中心有孔的圆），外半径为 $x_{i}$ ，内半径为 $x_{i - 1} .$ 。因此，截面面积为 $π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2} .$ 。圆柱体的高度为 $f (x_{i}^{*}) .$ 。那么柱壳的体积是

\begin{matrix} V_{壳} & = f (x_{i}^{*}) (π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

注意 $x_{i} - x_{i - 1} = Δ x,$ ，所以我们有

V_{壳} = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) Δ x .

此外， $\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}$ 既是区间 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 的中点，也是柱壳的平均半径，我们可以用 $x_{i}^{*} .$ 近似。于是有

V_{壳} \approx 2 π f (x_{i}^{*}) x_{i}^{*} Δ x .

另一种思考方式是，将柱壳垂直切开，然后将其展开形成一个平板（图 6.28）。

此图包含两张图片。第一张标记为“a”，是一个绕y轴的中空圆柱体。圆柱体正面有一条标记为”切割线”的垂直线。圆柱体的高度为“y=f(x)”。第二张图片标记为“b”，是一个阴影矩形块。矩形的高度为“f(x*)”，宽度为“2pix*”，厚度为“delta x”.

图 6.28 (a) 在一个代表性柱壳中进行垂直切割。(b) 将柱壳展开形成一个平板。

实际上，柱壳的外半径大于内半径，于是平板的后边缘会比前边缘稍长。不过，我们可以用一个高为 $f (x_{i}^{*}),$ 、宽为 $2 π x_{i}^{*},$ 、厚度为 $Δ x$ 的平板近似展开后的柱壳（图 6.28）。因此，柱壳的体积近似等于平板的体积。将平板的高、宽和厚度相乘，可得

V_{壳} \approx f (x_{i}^{*}) (2 π x_{i}^{*}) Δ x,

这与我们之前的公式相同。

为了计算整个旋转体的体积，我们将所有柱壳的体积相加，得到

V \approx \sum_{i = 1}^{n} (2 π x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x) .

这里我们又得到了一个黎曼和，这次是针对函数 $2 π x f (x) .$ 。取 $n \to \infty$ 时的极限，得到

V = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (2 π x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x) = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x .

这引出了以下关于柱壳法的法则。

法则: 柱壳法

设 $f (x)$ 是连续的非负函数。定义 $R$ 为上方由 $f (x),$ 的图形围成，下方由 $x 轴,$ 围成，左侧由直线 $x = a,$ 围成，右侧由直线 $x = b .$ 围成的区域。那么，将 $R$ 绕 y轴旋转形成的旋转体的体积由下式给出：

V = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x .

(6.6)

现在我们来看一个例题。

例 6.12

柱壳法 1

定义 $R$ 为上方由 $f (x) = 1 / x$ 的图形围成，下方由 $x 轴$ 围成，在区间 $[1, 3] .$ 上的区域。求将 $R$ 绕 $y 轴 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

解

首先，我们必须绘制区域 $R$ 和相关的旋转体，如下图所示。

此图包含三张图片。第一张是由曲线y=1/x绕y轴旋转形成的实体。实体从x轴开始，到y=1处停止。第二张图片标记为“a”，是第一象限中y=1/x的图形。曲线下方是一个标记为“R”的阴影区域。该区域由曲线、x轴、左侧x=1和右侧x=3界定。第三张图片标记为“b”，是由阴影区域绕y轴旋转形成的实体的一半。

图 6.29 (a) 在区间

[1, 3] .

上，函数

f (x) = 1 / x

图形下方的区域

R

(b) 将

R

绕

y 轴 .

旋转生成的旋转体

那么旋转体的体积由下式给出：

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x \\ = \int_{1}^{3} (2 π x (\frac{1}{x})) d x \\ = \int_{1}^{3} 2 π d x = {2 π x |}_{1}^{3} = 4 π {单位}^{3} . \end{matrix}

检验点 6.12

定义 R 为上方由 $f (x) = x^{2}$ 的图形围成，下方由 x轴围成，在区间 $[1, 2] .$ 上的区域。求将 $R$ 绕 $y 轴 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

例 6.13

柱壳法 2

定义 R 为上方由 $f (x) = 2 x - x^{2}$ 的图形围成，下方由 $x 轴$ 围成，在区间 $[0, 2] .$ 上的区域。求将 $R$ 绕 $y 轴 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

解

首先绘制区域 $R$ 和相关的旋转体，如下图所示。

此图包含两个图形。第一个图形标记为“a”，是曲线f(x)=2x-x^2。它是一个倒抛物线，与x轴在原点和x=2处相交。曲线下方第一象限的区域被阴影标记为“R”。第二个图形是同一条曲线的图形。图形上有一个实体，由将“a”中的区域绕y轴旋转形成。

图 6.30 (a) 在区间

[0, 2] .

上，函数

f (x) = 2 x - x^{2}

图形下方的区域

R

(b) 将

R

绕

y 轴 .

旋转得到的旋转体体积

那么旋转体的体积由下式给出：

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x \\ = \int_{0}^{2} (2 π x (2 x - x^{2})) d x = 2 π \int_{0}^{2} (2 x^{2} - x^{3}) d x \\ = {2 π [\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}] |}_{0}^{2} = \frac{8 π}{3} {单位}^{3} . \end{matrix}

检验点 6.13

定义 $R$ 为上方由 $f (x) = 3 x - x^{2}$ 的图形围成，下方由 $x 轴$ 围成，在区间 $[0, 2] .$ 上的区域。求将 $R$ 绕 $y 轴 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

与圆盘法和垫圈法一样，当我们要对 $y .$ 进行积分时，我们可以将柱壳法用于绕 $x 轴,$ 旋转的旋转体。相应的法则如下。

法则: 绕 x轴旋转的旋转体的柱壳法

设 $g (y)$ 是连续的非负函数。定义 $Q$ 为右侧由 $g (y),$ 的图形围成，左侧由 $y 轴,$ 围成，下方由直线 $y = c,$ 围成，上方由直线 $y = d .$ 围成的区域。那么，将 $Q$ 绕 $x 轴$ 旋转形成的旋转体的体积由下式给出：

V = \int_{c}^{d} (2 π y g (y)) d y .

例 6.14

绕 x轴旋转的旋转体的柱壳法

定义 $Q$ 为右侧由 $g (y) = 2 \sqrt{y}$ 的图形围成，左侧由 $y 轴$ 围成，对于 $y \in [0, 4] .$ 的区域。求将 $Q$ 绕 x轴旋转形成的旋转体的体积。

解

首先，我们需要绘制区域 $Q$ 和相关的旋转体，如下图所示。

此图包含两个图形。第一个图形标记为“a”，是曲线g(y)=2squareroot(y)。它是一条从原点开始在第一象限递增的曲线。在y轴和曲线之间，有一个标记为“Q”的阴影区域。阴影区域上方由直线y=4界定。第二个图形是“a”中的同一条曲线，标记为“b”。它还有一个实体区域，由将“a”中的曲线绕x轴旋转形成。实体从y轴开始，到x=4处停止。

图 6.31 (a) 在区间

[0, 4] .

上，函数

g (y)

左侧的区域

Q

(b) 将

Q

绕

x 轴 .

旋转生成的旋转体

将阴影区域标记为 $Q .$ 。那么旋转体的体积由下式给出：

\begin{matrix} V & = \int_{c}^{d} (2 π y g (y)) d y \\ = \int_{0}^{4} (2 π y (2 \sqrt{y})) d y = 4 π \int_{0}^{4} y^{3 / 2} d y \\ = {4 π [\frac{2 y^{5 / 2}}{5}] |}_{0}^{4} = \frac{256 π}{5} {单位}^{3} . \end{matrix}

检验点 6.14

定义 $Q$ 为右侧由 $g (y) = 3 / y$ 的图形围成，左侧由 $y 轴$ 围成，对于 $y \in [1, 3] .$ 的区域。求将 $Q$ 绕 $x 轴 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

在下一个例题中，我们考虑区域绕坐标轴以外的直线旋转的情形。为此，我们需要重新回顾柱壳法的推导。回想一下，一个柱壳的体积由下式给出：

\begin{matrix} V_{壳} & = f (x_{i}^{*}) (π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

这是基于一个外半径为 $x_{i}$ ，内半径为 $x_{i - 1} .$ 的柱壳。不过，如果我们将区域绕着除了 $y 轴,$ 之外的另一条直线旋转，我们就会有不同的外半径和内半径。例如，假设我们将区域绕着直线 $x = − k,$ 旋转，其中 $k$ 是某个正常数。那么，柱壳的外半径是 $x_{i} + k$ ，内半径是 $x_{i - 1} + k .$ 。将这些项代入体积表达式，我们看到当平面区域绕着直线 $x = − k,$ 旋转时，柱壳的体积由下式给出：

\begin{matrix} V_{壳} & = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{(x_{i} + k) + (x_{i - 1} + k)}{2}) ((x_{i} + k) - (x_{i - 1} + k)) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) ((\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) + k) Δ x . \end{matrix}

和以前一样，我们注意到 $\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}$ 是区间 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 的中点，可以用 $x_{i}^{*} .$ 近似。于是，柱壳的近似体积是

V_{壳} \approx 2 π (x_{i}^{*} + k) f (x_{i}^{*}) Δ x .

其余的推导过程与之前相同，我们看到

V = \int_{a}^{b} (2 π (x + k) f (x)) d x .

我们也可以将区域绕着其他水平或垂直直线旋转，例如右半平面中的一条垂直直线。在每种情况下，体积公式都必须相应地调整。具体来说，积分中的 $x$ 项必须替换为表示柱壳半径的表达式。请看以下例题。

例 6.15

绕直线旋转的旋转区域

定义 $R$ 为上方由 $f (x) = x$ 的图形围成，下方由 $x 轴$ 围成，在区间 $[1, 2] .$ 上的区域。求将 $R$ 绕直线 $x = −1 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

解

首先，绘制区域 $R$ 和相应的旋转体，如下图所示。

此图包含两幅图。第一幅图标记为“a”，是直线 f(x)=x，一条穿过原点的对角线。x 轴上方、直线下方有一个标记为“R”的阴影区域。该区域左侧由直线 x=1 限制，右侧由直线 x=2 限制。图上还有一条垂直线 x=-1。第二幅图与“a”图相同，标记为“b”。图上还有一个通过将第一幅图中的区域“R”绕直线 x=-1 旋转形成的实体。

图 6.32 (a)

f (x)

的图形与

x 轴

在区间

[1, 2] .

之间围成的区域

R

(b) 将

R

绕直线

x = −1 .

旋转生成的旋转体

注意，薄壳的半径由 $x + 1 .$ 给出。因此，该旋转体的体积由下式给出：

\begin{matrix} V & = \int_{1}^{2} (2 π (x + 1) f (x)) d x \\ = \int_{1}^{2} (2 π (x + 1) x) d x = 2 π \int_{1}^{2} (x^{2} + x) d x \\ = {2 π [\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{23 π}{3} {单位}^{3} . \end{matrix}

检验点 6.15

定义 $R$ 为上方由 $f (x) = x^{2}$ 的图形围成，下方由 $x 轴$ 围成，在区间 $[0, 1] .$ 上围成的区域。求将 $R$ 绕直线 $x = −2 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

作为本节的最后一个例题，我们来考察一个旋转体的体积，其旋转区域由两个函数的图形围成。

例 6.16

由两个函数图形围成的旋转区域

定义 $R$ 为上方由 $f (x) = \sqrt{x}$ 的图形围成，下方由 $g (x) = 1 / x$ 的图形围成，在区间 $[1, 4] .$ 上围成的区域。求将 $R$ 绕 $y 轴 .$ 旋转生成的旋转体的体积。

解

首先，绘制区域 $R$ 和相应的旋转体，如下图所示。

此图包含两幅图。第一幅图标记为“a”，有两条曲线。这些曲线是 f(x)=squareroot(x) 和 g(x)=1/x 的图形。在第一象限中，曲线在 (1,1) 处相交。在第一象限中，曲线之间有一个标记为“R”的阴影区域，右侧由直线 x=4 限制。第二幅图标记为“b”，与“a”图相同。图上还有一个通过将“a”图中的区域“R”绕 y 轴旋转形成的实体。

图 6.33 (a)

f (x)

的图形与

g (x)

的图形在区间

[1, 4] .

之间围成的区域

R

(b) 将

R

绕

y 轴 .

旋转生成的旋转体

注意，旋转轴是 $y 轴,$ ，因此薄壳的半径可直接写成 $x .$ ，不需要对被积函数中的 x 项做额外调整。不过，薄壳的高度是 $f (x) - g (x),$ 所以此时要对被积函数中的 $f (x)$ 项作相应调整。因此，该旋转体的体积由下式给出：

\begin{matrix} V & = \int_{1}^{4} (2 π x (f (x) - g (x))) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π x (\sqrt{x} - \frac{1}{x})) d x = 2 π \int_{1}^{4} (x^{3 / 2} - 1) d x \\ = {2 π [\frac{2 x^{5 / 2}}{5} - x] |}_{1}^{4} = \frac{94 π}{5} {单位}^{3} . \end{matrix}

检验点 6.16

定义 $R$ 为上方由 $f (x) = x$ 的图形围成，下方由 $g (x) = x^{2}$ 的图形围成，在区间 $[0, 1] .$ 上围成的区域。求将 $R$ 绕 $y 轴 .$ 旋转形成的旋转体的体积。

我们应该使用哪种方法？

我们已经学习了几种求旋转体体积的方法，但我们如何知道应该使用哪种方法呢？这通常归结为选择最容易计算的积分。图 6.34 描述了绕 $x 轴 .$ 旋转的旋转体的不同方法。你需要为绕 $y 轴 .$ 旋转的旋转体制定类似的表格。

此图是一个比较不同旋转体体积计算方法的表格。表格中的列标记为“比较”、“圆盘法”、“垫圈法”和“柱壳法”。行标记为“体积公式”、“旋转体”、“分割区间”、“矩形”、“典型区域”和“矩形”。在圆盘法列中，公式为从 a 到 b 的定积分，被积函数为 pi 乘以 [f(x)]^2。旋转体中心没有空腔，分割区间为 [a,b]，矩形是垂直的，典型区域是 x 轴上方和 f(x) 曲线下方的阴影区域。在垫圈法列中，公式为从 a 到 b 的定积分，被积函数为 pi 乘以 [f(x)]^2-[g(x)]^2。旋转体中心有空腔，分割区间为 [a,b]，矩形是垂直的，典型区域是 g(x) 曲线上方和 f(x) 曲线下方的阴影区域。在柱壳法列中，公式为从 c 到 d 的定积分，被积函数为 2pi 乘以 yg(y)。旋转体中心有或没有空腔，分割区间为 [c,d]，矩形是水平的，典型区域是 x 轴上方和 g(y) 曲线下方的阴影区域。

图 6.34

我们再来看几个问题，并决定解决它们的最佳方法。

例 6.17

选择最佳方法

对于以下每个问题，选择最佳方法来求将给定区域绕 $x 轴,$ 旋转生成的旋转体的体积，并建立积分来求体积（不要计算积分）。

由 $y = x,$ 、 $y = 2 - x,$ 的图形和 $x 轴 .$ 围成的区域
由 $y = 4 x - x^{2}$ 的图形和 $x 轴 .$ 围成的区域

解

首先，绘制区域和旋转体，如图所示。

图 6.35 (a) 由两条直线和 $x 轴 .$ 围成的区域 $R$ (b) 将 $R$ 绕 $x 轴 .$ 旋转生成的旋转体

观察该区域，如果我们要对 $x,$ 进行积分，我们将不得不把积分分成两部分，因为在 $[0, 1]$ 和 $[1, 2] .$ 上，区域由不同的函数限制。此时，使用圆盘法，我们有：

$V = \int_{0}^{1} (π x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (π {(2 - x)}^{2}) d x .$

如果我们改用柱壳法，我们将使用 $y$ 的函数来表示曲线，得到：

$\begin{matrix} V & = \int_{0}^{1} (2 π y [(2 - y) - y]) d y \\ = \int_{0}^{1} (2 π y [2 - 2 y]) d y . \end{matrix}$

这两个积分都不特别繁琐，但由于柱壳法只需要一个积分，并且被积函数需要更少的简化，因此此时我们可能应该选择柱壳法。
首先，绘制区域和旋转体，如图所示。

图 6.36 (a) 曲线与 $x 轴 .$ 之间的区域 $R$ (b) 将 $R$ 绕 $x 轴 .$ 旋转生成的旋转体

观察该区域，定义一个水平矩形将是困难的；该区域的左右边界由同一个函数限制。所以，我们可以排除柱壳法。该旋转体中间没有空腔，所以我们可以使用圆盘法。于是有：

$V = \int_{0}^{4} π {(4 x - x^{2})}^{2} d x .$

检验点 6.17

选择最佳方法来求将给定区域绕 $x 轴,$ 旋转生成的旋转体的体积，并建立积分来求体积（不要计算积分）：由 $y = 2 - x^{2}$ 和 $y = x^{2} .$ 的图形围成的区域。

第6.3节练习

对于以下练习，求当两条曲线之间的区域绕给定轴旋转时所生成的体积。同时使用柱壳法和垫圈法。使用技术绘制函数图形并手绘一个典型切片。

114.

[T] 由曲线 $y = 3 x, x = 0,$ 和 $y = 3$ 围成，绕 $y 轴 .$ 旋转

115.

[T] 由曲线 $y = 3 x, y = 0, 和 x = 3$ 围成，绕 $y 轴 .$ 旋转

116.

[T] 由曲线 $y = 3 x, y = 0, 和 y = 3$ 围成，绕 $x 轴 .$ 旋转

117.

[T] 由曲线 $y = 3 x, y = 0, 和 x = 3$ 围成，绕 $x 轴 .$ 旋转

118.

[T] 由曲线 $y = 2 x^{3}, y = 0, 和 x = 2$ 围成，绕 $y 轴 .$ 旋转

119.

[T] 由曲线 $y = 2 x^{3}, y = 0, 和 x = 2$ 围成，绕 $x 轴 .$ 旋转

对于以下练习，使用柱壳法求给定立体的体积。注意，旋转区域位于曲线和 $x 轴$ 之间，并绕 $y 轴 .$ 旋转。

120.

$y = 1 - x^{2}, x = 0, 和 x = 1$

121.

$y = 5 x^{3}, x = 0, 和 x = 1$

122.

$y = \frac{1}{x}, x = 1, 和 x = 100$

123.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}, x = 0, 和 x = 1$

124.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}, x = 0, 和 x = 3$

125.

$y = sin x^{2}, x = 0, 和 x = \sqrt{π}$

126.

$y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, x = 0, 和 x = \frac{1}{2}$

127.

$y = \sqrt{x}, x = 0, 和 x = 1$

128.

$y = {(1 + x^{2})}^{3}, x = 0, 和 x = 1$

129.

$y = 5 x^{3} - 2 x^{4}, x = 0, 和 x = 2$

对于以下练习，使用柱壳法求给定曲线与 $y = 0$ 之间的区域绕 $x 轴 .$ 旋转所生成的体积。

130.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}, x = 0, x = 1$ 和 x轴

131.

$y = x^{2}, x = 0, x = 2$ 和 x轴

132.

$y = \frac{x^{3}}{2}, x = 0, x = 2,$ 和 x轴

133.

$y = \frac{2}{x^{2}}, x = 1, x = 2,$ 和 x轴

134.

$x = \frac{1}{1 + y^{2}}, y = 4$

135.

$x = \frac{1 + y^{2}}{y}, y = 1, y = 4,$ 和 y轴

136.

$x = \sqrt{4 - y^{2}}, x = 0, y = 0$

137.

$x = y^{3} - 2 y^{2}, x = 0, x = 9$

138.

$x = \sqrt{y} + 1, x = 1, x = 3,$ 和 x轴

139.

$x = \sqrt[3]{27 y} 和 x = \frac{3 y}{4}$

对于以下练习，求当曲线之间的区域绕给定轴旋转时所生成的体积。

140.

$y = 3 - x, y = 0, x = 0, 和 x = 2$ 绕 $y 轴 .$ 旋转

141.

$y = x^{3}, x = 0, 和 y = 8$ 绕 $y 轴 .$ 旋转

142.

$y = x^{2}, y = x,$ 绕 $y 轴 .$ 旋转

143.

$y = \sqrt{x}, y = 0, 和 x = 1$ 绕直线 $x = 2 .$ 旋转

144.

$y = \frac{1}{4 - x}, x = 1, x = 2 和 y = 0$ 绕直线 $x = 4 .$ 旋转

145.

$y = \sqrt{x} 和 y = x^{2}$ 绕 $y 轴 .$ 旋转

146.

$y = \sqrt{x} 和 y = x^{2}$ 绕直线 $x = 2 .$ 旋转

147.

$x = y^{3}, x = \frac{1}{y}, x = 1, 和 x = 2$ 绕 $x 轴 .$ 旋转

148.

$x = y^{2} 和 y = x$ 绕直线 $y = 2 .$ 旋转

149.

[T] 在 $x = sin (π y),$ 左侧，在 $y = x,$ 右侧，绕 $y 轴 .$ 旋转

对于以下练习，使用技术绘制区域的图形。确定你认为计算函数绕指定轴旋转时所生成体积最简单的方法。然后，使用你选择的方法求体积。

150.

[T] $y = x^{2}$ 和 $y = 4 x$ 绕 $y 轴 .$ 旋转

151.

[T] $y = cos (π x), y = sin (π x), x = \frac{1}{4}, 和 x = \frac{5}{4}$ 绕 $y 轴 .$ 旋转。本练习需要高级技术。你可以使用技术进行积分。

152.

[T] $y = x^{2} - 2 x, x = 2, 和 x = 4$ 绕 $y 轴 .$ 旋转

153.

[T] $y = x^{2} - 2 x, x = 2, 和 x = 4$ 绕 $x 轴 .$ 旋转

154.

[T] $y = 3 x^{3} - 2, y = x, 和 x = 2$ 绕 $x 轴 .$ 旋转

155.

[T] $y = 3 x^{3} - 2, y = x, 和 x = 2$ 绕 $y 轴 .$ 旋转

156.

[T] $x = sin (π y^{2})$ 和 $x = \sqrt{2} y$ 绕 $x 轴 .$ 旋转

157.

[T] $x = y^{2}, x = y^{2} - 2 y + 1, 和 x = 2$ 绕 $y 轴 .$ 旋转

对于以下练习，使用柱壳法近似计算一些常见物体的体积，这些物体在附图中显示。

158.

使用柱壳法求半径为 $r .$ 的球体的体积。

159.

使用柱壳法求半径为 $r$ ，高为 $h .$ 的圆锥体的体积。

此图包含两张图片。第一张是半径为 r、高为 h 的倒置圆锥体。第二张是冰淇淋甜筒。

160.

使用柱壳法求椭球体 $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1$ 绕 $x 轴 .$ 旋转所生成的体积。

此图包含两张图片。第一张是椭圆，其中 a 是从中心到边缘的水平距离，b 是从中心到顶部的垂直距离。第二张是西瓜。

161.

使用柱壳法求半径为 $r$ ，高为 $h .$ 的圆柱体的体积。

162.

使用柱壳法求圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 绕直线 $x = 4 .$ 旋转所形成的甜甜圈的体积。

此图包含两张图片。第一张是两个椭圆，一个在另一个内部。它们之间路径的半径是2个单位。第二张是甜甜圈。

163.

考虑由函数图形 $y = f (x), y = 1 + f (x), x = 0, y = 0,$ 和 $x = a > 0 .$ 围成的区域。当该区域绕 $y 轴 ?$ 旋转时，所生成的立体的体积是多少？假设该函数在区间 $[0, a] .$ 上有定义。

164.

考虑函数 $y = f (x),$ ，它从 $f (0) = b$ 递减到 $f (1) = 0 .$ 。建立积分式，分别使用柱壳法和圆盘法来确定当该区域（其中 $x = 0$ 和 $y = 0,$ ）绕 $y 轴 .$ 旋转时所生成的立体的体积。证明两种方法得到的体积相同。哪种方法更容易应用？（提示：由于 $f (x)$ 是一个一一对应函数，因此存在一个反函数 $f^{−1} (y) .)$ 。）