核心概念
3.1
导数的定义
- 曲线的切线斜率反映了曲线的瞬时变化率，可以通过求差商的极限或含增量的差商来计算。
- 函数 在 处的导数可以利用切线斜率的任一定义来求得。
- 速度是位置的变化率。因此，时刻的速度 是位置函数 在时刻 的导数。平均速度为
瞬时速度为
- 可以利用数值表估计导数。
3.2
导函数
- 函数 的导函数是以 为 处函数值的函数。
- 函数的导函数的图形与 的图形密切相关：当的切线斜率为正时，。当的切线斜率为负时，。当的切线为水平线时，。
- 若函数在某点可微，则它在该点必定连续。若函数在该点不连续、具有垂直切线，或图形出现尖角或尖点，则函数在该点不可微。
- 高阶导数是对导数再次求导的结果，从二阶导数直到第 阶导数。
3.3
求导法则
- 常数函数的导数为零。
- 对幂函数求导时， 的指数变为系数，同时指数减 1。
- 常数 c 与函数 f 之积的导数，等于常数 c 乘以函数 f 的导数。
- 函数f与函数g之和的导数等于f的导数与g的导数之和。
- 函数f与函数g之差的导数等于f的导数与g的导数之差。
- 两个函数之积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
- 两个函数之商的导数等于：分子函数的导数乘以分母函数，减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。
- 我们利用导数的极限定义推导出了一系列求导公式，使求导过程无需每次回到定义。这些公式可以单独使用，也可以组合使用。
3.4
导数作为变化率
- 利用近似公式 可以由已知的 和 估计 的值。
- 位置对时间的变化率是速度，速度对时间的变化率是加速度。速率是速度的绝对值（即大小）。
- 利用人口增长率和当前人口数，可以预测未来的人口规模。
- 边际成本、边际收入和边际利润函数可分别用于预测：多生产一件产品的成本、多销售一件产品带来的收入，以及多生产并销售一件产品所获得的利润。
3.5
三角函数的导数
- 利用导数的定义以及先前得到的极限公式，可以求出 sin x 和 cos x 的导数。结果为
- 利用这两个公式，可以求出全部六个基本三角函数的导数。
3.6
链式法则
- 链式法则用于对两个或多个函数的复合函数求导。对于，有：
用莱布尼茨记号表示为
- 链式法则可以与已学过的其他求导法则结合使用，并可由此推导出一些新的公式。
- 链式法则与幂法则结合，得到如下法则：
- 对三个函数的复合应用链式法则：若，则。
3.7
反函数的导数
- 反函数定理使我们无需回到极限定义即可求反函数的导数。
- 利用反函数定理可以推导出反三角函数的求导公式。
3.8
隐函数求导
- 隐函数求导法用于对由方程隐式定义的函数求导。
- 利用隐函数求导法，可以求出曲线的切线方程。
3.9
指数函数和对数函数的导数
- 假设指数函数 处处连续且在 0 处可微，则可证明该函数处处可微，并可给出其导数公式。
- 可以利用公式求 的导数；再结合换底公式 ，可将求导公式推广到任意底数的对数函数。
- 对数求导法的做法是先对等式两边取自然对数，利用对数性质化简后再求导，适用于形如 的函数或结构极为复杂的函数。