积分、指数函数和对数 - 微积分：第一卷

6.7 积分、指数函数和对数

学习目标

6.7.1 将自然对数的定义写成积分形式。
6.7.2 识别自然对数的导数。
6.7.3 计算涉及自然对数函数的积分。
6.7.4 通过积分定义数 $e$ 。
6.7.5 识别指数函数的导数和积分。
6.7.6 使用积分证明对数和指数函数的性质。
6.7.7 用自然对数和指数表示一般对数函数和指数函数。

我们已经在前面的章节中讨论过指数函数和对数。然而，之前的讨论忽略了一些关键细节。例如，我们没有研究指数为无理数时指数函数该如何处理。数 e 的定义也是之前尚未完全展开的内容。现在我们有了更严格地处理这些概念的工具，并将在本节中加以探讨。

在本节中，假设我们尚未定义自然对数、数 e，或与这些函数相关的任何积分和求导公式。在本节结束时，我们将以严格的数学方式重新审视这些概念（并且会看到它们与我们之前所学的一致）。

本节首先用积分来定义自然对数。这个定义构成了本节的基础。从这个定义出发，我们将推导出求导公式，定义数 $e,$ ，并将这些概念推广到任意底数的对数函数和指数函数。

作为积分的自然对数

回顾积分的幂法则：

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq − 1 .

显然，当 $n = −1,$ 时此公式不适用，因为会导致除以零。那么 $\int \frac{1}{x} d x ?$ 该如何处理呢？回顾微积分基本定理， $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$ 是 $1 / x .$ 的一个原函数。因此，我们可以给出以下定义。

定义

对于 $x > 0,$ ，自然对数函数定义为

ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t .

(6.24)

对于 $x > 1,$ ，这只是曲线 $y = 1 / t$ 从 $1$ 到 $x .$ 下方的面积。对于 $x < 1,$ ，我们有 $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t = − \int_{x}^{1} \frac{1}{t} d t,$ ，因此此时它是曲线从 $x 到 1$ 下方面积的相反数（见下图）。

两个图。第一个是曲线 y=1/t，在第一象限递减，曲线下方有阴影区域，左侧以 x=1 为界，标记为 area=ln x。第二个是相同曲线 y=1/t，曲线下方有阴影区域，右侧以 x=1 为界，标记为 area=-ln x。

图 6.75 (a) 当

x > 1,

时，自然对数是曲线

y = 1 / t

从

1 到 x .

下方的面积。(b) 当

x < 1,

时，自然对数是曲线从

x

到

1 .

下方面积的相反数。

注意 $ln 1 = 0 .$ 。此外，当 $x > 0 .$ 时，函数 $y = 1 / t > 0$ 。因此，根据积分的性质， $ln x$ 在 $x > 0 .$ 时显然是递增的。

自然对数的性质

由于自然对数的定义方式，根据微积分基本定理，以下求导公式可立即得到。

定理 6.15

自然对数的导数

对于 $x > 0,$ ，自然对数的导数为

\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x} .

定理 6.16

自然对数导数的推论

函数 $ln x$ 是可微的；因此，它是连续的。

$ln x$ 的图形如图 6.76 所示。注意它在定义域 $(0, \infty) .$ 上是连续的。

图：递增曲线 f(x)=ln x，以 y 轴为渐近线，在 x=1 处与 x 轴相交。

图 6.76

f (x) = ln x

的图形表明它是连续函数。

例 6.35

计算自然对数的导数

计算以下导数：

$\frac{d}{d x} ln (5 x^{3} - 2)$
$\frac{d}{d x} {(ln (3 x))}^{2}$

解

两种情况都需要应用链式法则。

$\frac{d}{d x} ln (5 x^{3} - 2) = \frac{15 x^{2}}{5 x^{3} - 2}$
$\frac{d}{d x} {(ln (3 x))}^{2} = \frac{2 (ln (3 x)) \cdot 3}{3 x} = \frac{2 (ln (3 x))}{x}$

检验点 6.35

计算以下导数：

$\frac{d}{d x} ln (2 x^{2} + x)$
$\frac{d}{d x} {(ln (x^{3}))}^{2}$

注意，如果我们利用绝对值函数构造新函数 $ln | x |,$ ，就可以将自然对数的定义域扩展到 $x < 0 .$ 。那么 $(d / (d x)) ln | x | = 1 / x .$ 。由此得到我们熟悉的积分公式。

定理 6.17

(1/u) du 的积分

自然对数是函数 $f (u) = 1 / u :$ 的原函数。

\int \frac{1}{u} d u = ln | u | + C .

例 6.36

计算涉及自然对数的积分

计算积分 $\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x .$ 。

解

使用 $u$ -换元法，令 $u = x^{2} + 4 .$ 。则 $d u = 2 x d x$ ，可得

\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \frac{1}{2} ln | u | + C = \frac{1}{2} ln | x^{2} + 4 | + C = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 4) + C .

检验点 6.36

计算积分 $\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 6} d x .$ 。

尽管我们将这个函数称为”对数”，但尚未证明对数的任何性质对它成立。下面我们来证明。

定理 6.18

自然对数的性质

如果 $a, b > 0$ 且 $r$ 是有理数，则

$ln 1 = 0$
$ln (a b) = ln a + ln b$
$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$
$ln (a^{r}) = r ln a$

证明

i. 根据定义， $ln 1 = \int_{1}^{1} \frac{1}{t} d t = 0 .$

ii. 我们有

ln (a b) = \int_{1}^{a b} \frac{1}{t} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{1}{t} d t .

对上式中最后一个积分使用 $u -换元$ 。令 $u = t / a .$ 。则 $d u = (1 / a) d t .$ 。此外，当 $t = a, u = 1,$ 时，以及当 $t = a b, u = b .$ 时。所以可得

ln (a b) = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{1}{t} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{a}{t} \cdot \frac{1}{a} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{1}^{b} \frac{1}{u} d u = ln a + ln b .

iv. 注意

\frac{d}{d x} ln (x^{r}) = \frac{r x^{r - 1}}{x^{r}} = \frac{r}{x} .

此外，

\frac{d}{d x} (r ln x) = \frac{r}{x} .

由于这两个函数的导数相同，根据微积分基本定理，它们相差一个常数。因此

ln (x^{r}) = r ln x + C

对于某个常数 $C .$ 。取 $x = 1,$ ，可得

\begin{matrix} ln (1^{r}) & = & r ln (1) + C \\ 0 & = & r (0) + C \\ C & = & 0 . \end{matrix}

因此 $ln (x^{r}) = r ln x$ ，证毕。注意，在本节后面我们可以将此性质推广到 $r$ 的无理数值。
第 iii 部分可由第 ii 和第 iv 部分推出，证明留作练习。

□

例 6.37

使用对数性质

利用对数性质将以下表达式化简为单个对数：

ln 9 - 2 ln 3 + ln (\frac{1}{3}) .

解

我们有

ln 9 - 2 ln 3 + ln (\frac{1}{3}) = ln (3^{2}) - 2 ln 3 + ln (3^{−1}) = 2 ln 3 - 2 ln 3 - ln 3 = − ln 3 .

检验点 6.37

利用对数性质将以下表达式化简为单个对数：

ln 8 - ln 2 - ln (\frac{1}{4}) .

定义数 e

既然自然对数已经定义好了，我们就可以用它来定义数 $e .$ 。

定义

数 $e$ 定义为满足下式的实数：

ln e = 1 .

换句话说，曲线 $y = 1 / t$ 在 $t = 1$ 和 $t = e$ 之间的面积等于 $1$ （图 6.77）。这样一个数的存在性和唯一性的证明留给读者。（提示：用介值定理证明存在性，并利用 $ln x$ 递增来证明唯一性。）

图：曲线 y=1/t，在第一象限递减。曲线下方有阴影区域，左侧以 x=1 为界，右侧以 x=e 为界，标记为 area=1。

图 6.77 曲线从

1

到

e

下方的面积等于一。

数 $e$ 可以证明是无理数，尽管我们在此不予证明（参见泰勒级数和麦克劳林级数中的学生项目）。其近似值为

e \approx 2.71828182846 .

指数函数

现在我们将注意力转向函数 $e^{x} .$ 。注意，自然对数是一一对应函数，因此有反函数。我们暂时将此反函数记为 $exp x .$ 。那么，

exp (ln x) = x 当 x > 0 和 ln (exp x) = x 对所有 x .

下图给出了 $exp x$ 和 $ln x .$ 的图形。

图：三条曲线。第一条标记为 exp x，是递增曲线，以 x 轴为水平渐近线，在 y=1 处与 y 轴相交。第二条是穿过原点的对角线。第三条标记为 ln x，是递增曲线，以 y 轴为渐近线，在 x=1 处与 x 轴相交。

图 6.78

ln x

和

exp x .

的图形

我们猜想 $exp x = e^{x} .$ 。对于 $x,$ 的有理值，这一点容易证明。如果 $x$ 是有理数，则有 $ln (e^{x}) = x ln e = x .$ 。因此，当 $x$ 是有理数时， $e^{x} = exp x .$ 。对于 $x,$ 的无理值，我们直接将 $e^{x}$ 定义为 $ln x .$ 的反函数。

定义

对于任意实数 $x,$ ，定义 $y = e^{x}$ 为满足下式的数：

ln y = ln (e^{x}) = x .

(6.25)

那么对于所有 $x,$ ，我们有 $e^{x} = exp (x)$ ，于是

e^{ln x} = x 当 x > 0 和 ln (e^{x}) = x

(6.26)

对于所有 $x .$ 。

指数函数的性质

由于指数函数是由反函数定义的，而非直接用 $e,$ 的幂来定义，我们必须验证指数的常用运算法则对函数 $e^{x} .$ 仍然成立。

定理 6.19

指数函数的性质

如果 $p$ 和 $q$ 是任意实数，且 $r$ 是有理数，则

$e^{p} e^{q} = e^{p + q}$
$\frac{e^{p}}{e^{q}} = e^{p - q}$
${(e^{p})}^{r} = e^{p r}$

证明

注意，当 $p$ 和 $q$ 都是有理数时，这些性质显然成立。然而，如果 $p$ 或 $q$ 是无理数，则必须利用 $e^{x}$ 的反函数定义来加以验证。这里只验证第一个性质；其余两个留给读者。我们有

ln (e^{p} e^{q}) = ln (e^{p}) + ln (e^{q}) = p + q = ln (e^{p + q}) .

由于 $ln x$ 是一一对应函数，则

e^{p} e^{q} = e^{p + q} .

□

与对数性质的第 iv 部分类似，我们可以将性质 iii 推广到 $r,$ 的无理数值，我们将在本节末尾完成这一推广。

我们还需要验证函数 $y = e^{x} .$ 的求导公式。为此需要用到隐函数求导。设 $y = e^{x} .$ ，则

\begin{matrix} ln y & = & x \\ \frac{d}{d x} ln y & = & \frac{d}{d x} x \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & 1 \\ \frac{d y}{d x} & = & y . \end{matrix}

因此

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}

这正是我们所期望的，由此直接得到积分公式

\int e^{x} d x = e^{x} + C .

我们在以下例题中应用这些公式。

例 6.38

指数函数的性质应用

计算下列导数：

$\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}}$
$\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}}$

解

我们根据需要应用链式法则。

$\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}} = \frac{d}{d t} e^{3 t + t^{2}} = e^{3 t + t^{2}} (3 + 2 t)$
$\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}} = e^{3 x^{2}} 6 x$

检验点 6.38

计算下列导数：

$\frac{d}{d x} (\frac{e^{x^{2}}}{e^{5 x}})$
$\frac{d}{d t} {(e^{2 t})}^{3}$

例 6.39

指数函数的性质应用

计算下列积分： $\int 2 x e^{− x^{2}} d x .$

解

使用 $u$ 换元法，设 $u = − x^{2} .$ 。则 $d u = −2 x d x,$ ，可得

\int 2 x e^{− x^{2}} d x = − \int e^{u} d u = − e^{u} + C = − e^{− x^{2}} + C .

检验点 6.39

计算下列积分： $\int \frac{4}{e^{3 x}} d x .$

一般对数函数和指数函数

最后，我们考察以 $e .$ 以外的数为底的指数函数和对数函数。指数函数是形如 $f (x) = a^{x} .$ 的函数。注意，除非 $a = e,$ ，否则对于无理指数，我们仍缺少严格的数学定义。下面我们用指数函数 $e^{x} .$ 来定义函数 $f (x) = a^{x}$ 来弥补这一不足。然后，我们考察以 $e$ 以外的数为底的对数函数，将其作为指数函数的反函数。

定义

对于任意 $a > 0,$ 以及任意实数 $x,$ ，将 $y = a^{x}$ 定义如下：

y = a^{x} = e^{x ln a} .

现在， $a^{x}$ 对于x的所有值都得到了严格定义。这个定义还使得我们能够将对数性质的第 iv 部分和指数函数性质的第 iii 部分推广到 $r .$ 的有理值和无理值。不难验证，以这种方式定义的一般指数函数满足指数运算法则。

现在我们用这个定义来推导 $a^{x} .$ 的导数公式。我们有

\frac{d}{d x} a^{x} = \frac{d}{d x} e^{x ln a} = e^{x ln a} ln a = a^{x} ln a .

相应的积分公式也随之而来。

定理 6.20

涉及一般指数函数的导数和积分

设 $a > 0 .$ ，则

\frac{d}{d x} a^{x} = a^{x} ln a

且

\int a^{x} d x = \frac{1}{ln a} a^{x} + C .

如果 $a \neq 1,$ ，则函数 $a^{x}$ 是一一对应函数且有反函数。其反函数记为 ${log}_{a} x .$ 。则

y = {log}_{a} x 当且仅当 x = a^{y} .

注意，一般对数函数可以用自然对数来表示。设 $y = {log}_{a} x .$ ，则 $x = a^{y} .$ 。对第二个方程两边取自然对数，可得

\begin{matrix} ln x & = & ln (a^{y}) \\ ln x & = & y ln a \\ y & = & \frac{ln x}{ln a} \\ {log}_{a} x & = & \frac{ln x}{ln a} . \end{matrix}

因此，所有对数函数之间只相差一个常数倍。接下来，我们用这个公式来推导以 $a .$ 为底的对数的导数公式。设 $y = {log}_{a} x .$ ，则

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d}{d x} ({log}_{a} x) \\ = \frac{d}{d x} (\frac{ln x}{ln a}) \\ = (\frac{1}{ln a}) \frac{d}{d x} (ln x) \\ = \frac{1}{ln a} \cdot \frac{1}{x} \\ = \frac{1}{x ln a} . \end{matrix}

定理 6.21

一般对数函数的导数

设 $a > 0 .$ ，则

\frac{d}{d x} {log}_{a} x = \frac{1}{x ln a} .

例 6.40

计算一般指数函数和对数函数的导数

计算下列导数：

$\frac{d}{d t} (4^{t} \cdot 2^{t^{2}})$
$\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4)$

解

我们根据需要应用链式法则。

$\frac{d}{d t} (4^{t} \cdot 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t} \cdot 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t + t^{2}}) = 2^{2 t + t^{2}} ln (2) (2 + 2 t)$
$\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4) = \frac{1}{(7 x^{2} + 4) (ln 8)} (14 x)$

检验点 6.40

计算下列导数：

$\frac{d}{d t} 4^{t^{4}}$
$\frac{d}{d x} {log}_{3} (\sqrt{x^{2} + 1})$

例 6.41

积分一般指数函数

计算下列积分： $\int \frac{3}{2^{3 x}} d x .$

解

使用 $u -换元$ ，并设 $u = −3 x .$ 。则 $d u = −3 d x$ ，可得

\int \frac{3}{2^{3 x}} d x = \int 3 \cdot 2^{−3 x} d x = − \int 2^{u} d u = - \frac{1}{ln 2} 2^{u} + C = - \frac{1}{ln 2} 2^{−3 x} + C .

检验点 6.41

计算下列积分： $\int x^{2} 2^{x^{3}} d x .$

第6.7节练习

对于以下练习，求导数 $\frac{d y}{d x} .$

295.

$y = ln (2 x)$

296.

$y = ln (2 x + 1)$

297.

$y = \frac{1}{ln x}$

对于以下练习，求不定积分。

298.

$\int \frac{d t}{3 t}$

299.

$\int \frac{d x}{1 + x}$

对于以下练习，求导数 $d y / d x .$ （可用计算器绘制函数和导数的图形来验证结果）。

300.

[T] $y = \frac{ln (x)}{x}$

301.

[T] $y = x ln (x)$

302.

[T] $y = {log}_{10} x$

303.

[T] $y = ln (sin x)$

304.

[T] $y = ln (ln x)$

305.

[T] $y = 7 ln (4 x)$

306.

[T] $y = ln ({(4 x)}^{7})$

307.

[T] $y = ln (tan x)$

308.

[T] $y = ln (tan (3 x))$

309.

[T] $y = ln ({cos}^{2} x)$

对于以下练习，求定积分或不定积分。

310.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{3 + x}$

311.

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{3 + 2 t}$

312.

$\int_{0}^{2} \frac{x d x}{x^{2} + 1}$

313.

$\int_{0}^{2} \frac{x^{3} d x}{x^{2} + 1}$

314.

$\int_{2}^{e} \frac{d x}{x ln x}$

315.

$\int_{2}^{e} \frac{d x}{{x (ln x)}^{2}}$

316.

$\int \frac{cos x d x}{sin x}$

317.

$\int_{0}^{π / 4} tan x d x$

318.

$\int cot (3 x) d x$

319.

$\int \frac{{(ln x)}^{2} d x}{x}$

对于以下练习，对 $ln y .$ 求导，计算 $d y / d x$

320.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

321.

$y = \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}$

322.

$y = e^{sin x}$

323.

$y = x^{−1 / x}$

324.

$y = e^{(e x)}$

325.

$y = x^{e}$

326.

$y = x^{(e x)}$

327.

$y = \sqrt{x} \sqrt[3]{x} \sqrt[6]{x}$

328.

$y = x^{−1 / ln x}$

329.

$y = e^{− ln x}$

对于以下练习，用任何方法计算。

330.

$\int_{5}^{10} \frac{d t}{t} - \int_{5 x}^{10 x} \frac{d t}{t}$

331.

$\int_{1}^{e^{π}} \frac{d x}{x} + \int_{−2}^{−1} \frac{d x}{x}$

332.

$\frac{d}{d x} \int_{x}^{1} \frac{d t}{t}$

333.

$\frac{d}{d x} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{t}$

334.

$\frac{d}{d x} ln (sec x + tan x)$

以下练习使用函数 $ln x .$ 。如果无法用解析方法求出交点，请使用计算器。

335.

求由 $x = 1$ 和 $y = 5$ 在 $y = ln x .$ 上方围成的区域的面积。

336.

[T] 求 $ln x$ 从 $x = 1$ 到 $x = 2 .$ 的弧长。

337.

求 $ln x$ 与 x 轴之间从 $x = 1 到 x = 2 .$ 的面积。

338.

求该曲线从 $x = 1 到 x = 2$ 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积，如下图所示。

339.

[T] 求上一个练习中的曲线从 $x = 1$ 到 $x = 2$ 绕 x 轴旋转所得旋转体的表面积。

如果无法用解析方法求出以下练习中的交点，请使用计算器。

340.

求由 $x = 2 和 y = 2$ 在 $y = 1 / x .$ 上方围成的双曲四分之一圆的面积。

341.

[T] 求 $y = 1 / x$ 从 $x = 1 到 x = 4 .$ 的弧长。

342.

求 $y = 1 / x$ 下方且 x 轴上方从 $x = 1 到 x = 4 .$ 的面积。

对于以下练习，验证导数和原函数。

343.

$\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

344.

$\frac{d}{d x} ln (\frac{x - a}{x + a}) = \frac{2 a}{(x^{2} - a^{2})}$

345.

$\frac{d}{d x} ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x}) = - \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

346.

$\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}$

347.

$\int \frac{d x}{x ln (x) ln (ln x)} = ln (ln (ln x)) + C$

6.7 积分、指数函数和对数

学习目标

作为积分的自然对数

定义

自然对数的性质

定理 6.15

自然对数的导数

定理 6.16

自然对数导数的推论

例 6.35

计算自然对数的导数

解

检验点 6.35

定理 6.17

(1/u) du 的积分

例 6.36

计算涉及自然对数的积分

解

检验点 6.36

定理 6.18

自然对数的性质

证明

例 6.37

使用对数性质

解

检验点 6.37

定义数 e

定义

指数函数

定义

指数函数的性质

定理 6.19

指数函数的性质

证明

例 6.38

指数函数的性质应用

解

检验点 6.38

例 6.39

指数函数的性质应用

解

检验点 6.39

一般对数函数和指数函数

定义

定理 6.20

涉及一般指数函数的导数和积分

定理 6.21

一般对数函数的导数

例 6.40

计算一般指数函数和对数函数的导数

解

检验点 6.40

例 6.41

积分一般指数函数

解

检验点 6.41

第6.7节 练习

第6.7节练习